排列、组合与二项式定理
命题点1 排列、组合的应用
1．求解有限制条件排列问题的5种主要方法
(1)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法；
(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中；
(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列；
(5)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；
②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．
2．求解排列、组合问题的3个易错点
(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；
(2)混淆排列问题与组合问题；
(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列．
[高考题型全通关]
1．五名同学相约去国家博物馆参观大型展览，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
C [除甲、乙二人外，其他3个同学先排成一排，共有A＝6种，这3个同学排好后，留下4个空位，排甲、乙，共有A＝12种，所以，不同排法有6×12＝72种，故选C．]
2．(2020·长治一模)2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服务项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有( )
A．24
B．36
C．48
D．72
B [先把4人分成3组，然后把3组全排列有CA＝36种．故选B．]
3．中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，现甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选了一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )
A．18种
B．24种
C．36种
D．54种
D [若甲选《春秋》，则有CA＝18种情况；
若甲不选《春秋》，则有AA＝36种情况．
所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．]
4．用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是( )
A．18
B．16
C．12
D．9
D [若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有3×3×2×1＝18种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]
5．(2020·德阳模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )
A．472
B．256
C．232
D．484
B [根据题意，分2种情况讨论：
①取出的3张卡片中没有红色，则其他三种颜色各取一张，有4×4×4＝64种取法；
②取出的3张卡片有1张红色，需要在其他三种颜色任选2种，有C×4×4×4＝192种取法，则有64＋192＝256种不同取法．故选B．]
6．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有________种．
150 [5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))·A＝150(种)．]
7．[一题两空]某区有7条南北向街道，5条东西向街道，如图所示：
(1)图中有________个矩形；
(2)从A点走向B点最短的走法有________种．
(1)210 (2)210 [(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210(种)走法．]
命题点2 二项式定理
“一明、二抓、三通”解决二项式定理
一明原理：需熟知二项式定理的原理及推导过程，对于一些非二项式展开式中项的系数问题，均可转化为二项式定理问题求解．
二抓通项：二项展开式(a＋b)n的通项公式Tr＋1＝C·an－rbr为第r＋1项，利用它可求展开式中的特定项．
三通性质：二项式系数与二项展开式中项的系数不同，前者指的是C，而后者指的是除字母外的系数，二项展开式中项的系数问题常用赋值法求解．
[高考题型全通关]
1．(2020·东莞市模拟)已知a＞0，的展开式中x的系数是160，那么a＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
C [∵的展开式通项为Tk＋1＝Cx5－k(ax－1)k＝akCx5－2k(k＝0,1,2,3,4,5)，
令5－2k＝1，得k＝2，所以由已知得a2C＝10a2＝160，所以a2＝16，又a＞0，
所以a＝4.故选C．]
2．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )
A．8
B．10 C．11 D．12
C [的展开式的通项Tr＋1＝C(x4)n－r·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))＝(－1)rCxeq
\s\up12(4n－r)，当4n－r＝0，即n＝r时展开式中存在常数项，所以n的最小值为11，故选C．]
3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
D [因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.从而C＋C＋C＋…＋C＝210，所以奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.]
4．若(1－3x)2
020＝a0＋a1x＋…＋a2
020x2
020，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2
020·32
020的值为( )
A．22
020－1
B．－82
020－1
C．22
020
D．82
020－1
D [由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2
020·32
020＝(1－9)2
020＝82
020，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2
020·32
020＝82
020－a0＝82
020－1，故选D．]
5．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5
B．10
C．15
D．20
C [因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C．]
6．(2020·昆明模拟)的展开式中，常数项为( )
A．1
B．3
C．4
D．13
D [由于表示4个因式eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋＋1))的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取.
故展开式中的常数项为1＋C×C＝13，故选D．]
7．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．
－240 [∵(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，∴二项展开式中含x项的系数为C×(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5×C×(－2)4＝－160－80＝－240.]
8．[一题两空]在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
16 5 [由二项展开式的通项公式可知，
Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
当为常数项时，r＝0，T1＝C()9＝16.
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.]
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