不等式
命题点1 不等式的性质与解法
解答不等式的性质与解法的技巧
(1)判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：①利用不等式的性质直接判断；②构造函数，利用函数的单调性判断；③利用特殊值判断．
(2)求解含参数不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易失分点：①对参数进行讨论时分类不完整；②不会通过转换把参数作为主元进行求解；③不考虑a的符号．
[高考题型全通关]
1．[教材改编]若b＜a＜0，则下列结论错误的是( )
A．＜
B．ab＞a2
C．|a|＋|b|＞|a＋b|
D．＞
C [∵b＜a＜0，∴＜，ab＞a2，由函数y＝在R上单调递增，可得＜.
设b＝－2，a＝－1时，|a|＋|b|＝|a＋b|与C选项矛盾．
因此只有C错误．故选C．]
2．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为( )
A．(－3,1)
B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．?
D．(0,1)
B [因为x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ＝4a2－4a＜0，所以0＜a＜1，所以函数y＝ax是减函数，由a＜1，可得t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B．]
3．(2020·济南模拟)已知关于x的不等式ax2－2x＋3a＜0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [x∈(0,2]时，不等式可化为ax＋＜2.
当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意；
当a＞0时，不等式化为x＋＜，
则＞2＝2，当且仅当x＝时取等号，
所以a＜，即0＜a＜；
当a＜0时，x＋＞恒成立．
综上知，实数a的取值范围是.故选A．]
4．(2020·南宁一模)已知函数f(x)＝log2＋，则不等式f(lg
x)＞3的解集为( )
A．
B．∪(10，＋∞)
C．(1,10)
D．∪(1,10)
D [函数f(x)＝log2＋是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数．
又f(1)＝log22＋＝3，
所以不等式f(lg
x)＞3可化为0＜|lg
x|＜1，
即－1＜lg
x＜1，且lg
x≠0，解得＜x＜10，且x≠1；
所以，不等式的解集为∪(1,10)．故选D．]
5．[高考改编]已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0，则实数m的取值范围为________．
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－，0)) [因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图象是开口向上的抛物线，所以要使对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0成立，
解得－＜m＜0，
所以实数m的取值范围为eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－，0)).]
命题点2 基本不等式
用基本不等式求最值需关注的3点
(1)解题依据：基本不等式“≥
(a，b>0)”；
(2)常用方法：配凑法、消元法、常值代换法等；
(3)注意事项：解题时要注意
“一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
[高考题型全通关]
1．[高考改编]已知P(a，b)在直线x＋y－2＝0上运动，当点P位于第一象限时，
y＝＋的最小值是( )
A．
B．4
C．
D．5
C [由题意可知a>0，b>0，a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，故y＝＋的最小值为.]
2．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为( )
A．9
B．12
C．16
D．20
C [∵a＞0，b＞0，
＋≥?eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))(3a＋b)≥n，
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))(3a＋b)＝9＋＋＋1≥10＋2＝16，当且仅当a＝b时，等号成立，故n≤16，故选C．]
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C．
D．
B [由x＋2y＋2xy＝8，得2y(x＋1)＝8－x，即2y＝，则x＋2y＝x＋＝x＋＝x－1＋＝x＋1＋－2≥2－2＝4(当且仅当x＋1＝3，即x＝2时取“＝”)．故选B．]
4．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
0 [y＝x＋－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．]
[教师备选]
(2020·和平区模拟)已知a＞0，b＞0，当(a＋4b)2＋取得最小值为________时，a＋b＝________.
8 [因为a＞0，b＞0，
所以a＋4b≥4，当且仅当a＝4b时取等号，
所以(a＋4b)2≥16ab，
则(a＋4b)2＋≥16ab＋≥2＝8，
当且仅当即a＝1，b＝时取等号，此时取得最小值8，a＋b＝.]
命题点3 简单的线性规划问题
三种常见的目标函数及其最值求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
[高考题型全通关]
1．(2020·沙坪坝区模拟)若x，y满足约束条件z＝x－y的最大值为M，最小值为m，则M－m＝( )
A．0
B．
C．－3
D．3
D [由题意，作出平面区域如下，
z＝x－y可化为y＝x－z，
结合图象可知，
?
过点B(1,1)时，截距最小，z有最大值M＝1－1＝0，
过点C(0,3)时，截距最大，z有最小值m＝0－3＝－3，
故M－m＝3，故选D．]
2．若x，y满足约束条件则的取值范围为( )
A．eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－，1))
B．eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－))∪[1，＋∞)
C．[0,1]
D．eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，1))
A [作出x，y满足约束条件
的可行域如图阴影部分，表示区域内的点与点(－2,0)连线的斜率，联立方程可得B(2，－2)，同理可得A(2,4)，当直线经过点B时，取最小值：＝－；当直线经过点A时，取最大值＝1.则的取值范围为eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－，1)).故选A．]
3．(2020·景德镇一模)若变量x，y满足约束条件则(x－1)2＋y2的最小值为( )
A．1
B．
C．
D．
B [画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示．设z＝(x－1)2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到定点C(1,0)的距离的平方，
由图象知C到直线2x－y＝0的距离最小，此时圆心到直线2x－y＝0的距离为d＝＝，
则z＝d2＝，所以(x－1)2＋y2的最小值为.
故选B．]
4．[一题两空](2020·宁波模拟)已知实数x，y满足且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为________，若目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于_______．
(2，＋∞) 5 [作出可行域如图，则要为三角形需满足B(1,1)在直线x＋y＝m下方，即1＋1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x－z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时zmin＝－1，直线PA：y＝x＋1，与AB：y＝2x－1的交点为A(2,3)，该点也在直线AC：x＋y＝m上，故m＝2＋3＝5.]
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