专题5导数之隐零点-2021届高三数学一轮复习讲义（Word版）

一轮复习专题
导数之隐形零点
核心知识点：
零点存在性定理：若在上的图象是连续不断的，且是单调函数，，则在上有唯一的零点.
典型题型Ⅰ：证明函数零点个数或极值点个数（的解的个数）
解题方法：
1.确定的单调性（若无法确定的单调性，求的单调性，再往回推）；2.由于零点问题就是交点问题，确定零点大概范围，再对左右进行讨论。
例：已知函数
⑴证明：存在唯一的极值点
解题思路：令
例：已知函数
⑴讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点。
解题思路：首先确定定义域
由题意，求导得恒成立，在，上为单调递增，
，（学生可以找符合条件得其他点）
有且仅有两个零点
例：已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
解题思路：由题意，求导，得在恒成立，在恒为单调递增函数，又，在上有唯一零点
例：已知函数，的导数，证明：
⑴在区间存在唯一极大值点；
⑵有且仅有2个零点。
解题思路：
⑴有唯一极大值，即有唯一零点
在是单调递减，且
在有唯一零点，且先增后减
在有唯一极大值点
⑵先确定零点存在范围
由图象可以看出在，，恒成立；
观察，发现在上是单调递减的，
，在上有一个交点；
观察，发现在上是单调递增的，
恒成立，在上单调递减，
在上有一个交点；
观察，发现在上单调递减，
，存在，使得在单调递增，上单调递减；
又，存在，使得在单调递增，上单调递减；
又，在上无交点；
综上：有且仅有两个零点
典型题型Ⅱ：求解参数的最值（）
解题方法：最后得到的范围不能跨越一个整数
例：已知函数,若，且对任意恒成立，求的最大值
解：分离参数得到：
例：已知函数，若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值
解题思路：由题意，分离参数可得，设，求导，整理得，
，设，
存在，使得，即，
在上单调递增，在上单调递减；
，
，
例：已知函数的图象在的切线方程为，若，且对任意恒成立，求的最大值
解题思路：由题意可知，
；
设，，
（这个范围可能会出现问题，但是先找出大致范围，之后再缩小范围）
存在，使得
在上单调递减，在上单调递增，
（范围跨越整数，所以利用二分法缩小范围）
，
典型题型Ⅲ：证明或求解（为极值点）取值范围
解题方法：通过结论反推范围
例:已知是函数的极值点
⑴求实数的值
⑵求证：函数存在唯一的极小值点，且（参考数据：）
解题思路：⑴由题意，求导可得，，
是的极值点，即可得
但是这里不能结束，还需要验证，因为导函数为零的点不一定是极值点。
，
，在单调递减，单调递增；
又
是的极值点，且为极大值点。
⑵由⑴可知，在单调递减，单调递增；
又（此步骤在思路上属于最后一步，空先留出来）
存在，使得，即
在单调递增，单调递减
，，
例:已知是函数的极值点
⑵求证：函数存在唯一的极小值点，且（参考数据：）
解题思路：⑵与上一道题只有范围不同，逆推可得，验证，成立。
例：已知
⑴求实数的值
⑵求证：函数存在唯一的极大值点，且
解题思路：由题意，设，若，实际上；，当是单调递减，无最小值；当时，在上是单调递减，在上是单调递增，
，，，
⑵由⑴可知，，，
，在上单调递减，在上单调递增
存在，使得，即
在单调递增，单调递减
，
另
例：已知函数
⑵当时，设函数在上的最小值为，求的值域
解题思路：由题意在上单调递增，
（这部分范围是猜测）
存在，使得，即（在这个位置验证的范围是否是，是单调递增，且，完全对上，范围成立）
，在单调递减，
例：⑴讨论的单调性，并证明当时，
⑵证明：当时，有最小值，设的最小值为，求的值域
解题思路：首先求定义域
恒成立，在上为单调递增；
若证明，即证，
成立。
⑵
存在，使得，即且为单调递减函数（同上题一样进行范围验证，成立）
，
恒成立，在单调递增，
题型Ⅳ：极值点无法确定为定值的一般求解
例：已知函数
当时，证明:
解题思路：，
设单调递增；
又
存在，使得，
在上单调递增，上单调递减
恒成立。
例：若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为？
解题思路：设
，当时，；
存在使得，
；
，解得