2021届高三数学精准培优专练恒成立问题理Word含答案解析

例1：设函数，．
（1）解方程；
（2）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
．
一、选择题
1．已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设正数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．若不等式对任意的，恒成立，则的取值范围是
．
7．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为
．
8．已知，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
．
三、解答题
9．设，当时，恒成立，求的取值范围．
10．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
11．已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
12．设，其中，函数在点处的切线方程为．其中．
（1）求证：函数有且仅有一个零点；
（2）当时，恒成立，求最小的整数的值．
例1：【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意，原方程可转化为，
即，解得，
经验证，是原方程的解．
（2）因为是上的奇函数，所以，
故，，则，且在上单调递增．
由，得，
又是上的奇函数，所以，
又在上单调递增，所以，
故对任意的都成立，即对任意的都成立，
因为（当且仅当时取等号），所以，
故实数的取值范围是．
例2：【答案】．
【解析】∵，∴，
即只需要即可，
设，
∴，
令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）
∴，
∵，∴，∴在单调递增，∴，
∴，∴在单调递增，
∴当时，，
∴．
∴实数的取值范围是．
例3：【答案】．
【解析】先作出的图象，
观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，
∴应为单增的对数函数，即，
另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，
只需保证在时，即可，代入可得，
综上可得：．
一、选择题
1．【答案】A
【解析】令，则，
令，则在上，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，，，
所以当时，取得最大值，即，
所以，即整数的最小值是，故选A．
2．【答案】A
【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．
3．【答案】B
【解析】恒成立不等式变形为，
即的图象在图象的上方，先作出的图象，
对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．
通过观察图象，可得只需，解得．
4．【答案】C
【解析】依题意知，∴，
，关于的不等式在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
等价于．
令，∵，∴，
，∴，
故实数的取值范围是．
5．【答案】B
【解析】由，可得，∴，
，可得在单调递增，在单调递减，
故，
∴若原不等式恒成立，只需，
再进行一次参变分离，，则只需，，∴，
∴，解得．
二、填空题
6．【答案】
【解析】设，，则，
则原不等式可化为，
则由上式对任意的恒成立，得对任意的恒成立．
若，不等式显然成立；
若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，则，即，
综上所述，的取值范围是．
7．【答案】
【解析】，即，
作出函数和的图象，
可知，，，∴，
即的最大整数值为．
8．【答案】
【解析】令，可得，
，
由可得，当时，，，，
即，∴在上单调递增，
∴，即，解得，
结合，可得．
三、解答题
9．【答案】．
【解析】恒成立不等式为，只需，
令，则对称轴为．
①当时，在单调递增，∴，
∴，即；
②当时，在单调递减，在单调递增，
∴，∴，即，
综上，．
10．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）当时，，，
易得当时，；当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）恒成立，只需，
由，得，
令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，
∴，都有恒成立，
即只需．
，
当时，令，
则，与矛盾，
当时，，∴，解得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴，
∴，解得，
综上所述：．
11．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），
当时，可得恒成立，∴在单调递增；
当时，令，可解得或，
∴在，单调递增；在，单调递减．
（2）若在上恒成立，则只需，
由（1）可知在的边界处取得最大值，
∴，即对任意的恒成立，
∴，可得，
综上，的取值范围为．
12．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），所以，
当时，，即，解得，
，函数在上单调减，
由于，
则函数有且仅有一个零点．
（2）一方面，当时，，由此；
当时，下证：，在时恒成立，
，
记函数，，在上单调递增，在上单调递减，
；
记函数，，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
，成立，
又因为和不能同时在同一处取到最大值，
所以当时，恒成立，所以最小整数．
恒成立问题
1、利用最值分析
2、分离参数求解
3、数形结合