题型分类教案：离散型随机变量及分布列（含答案）

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题型复习：随机变量的分布列分类提升
【典型例子】
例.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球，都是白球的概率为.
第一类：简单概率计算
题型1：现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求取球2次终止的概率；
(3)求甲取到白球的概率．
(2)记“取球2次终止”为事件A，则P(A)＝＝.
(3)记“甲取到白球”的事件为B，
“第i次取到白球”为Ai，i＝1，2，3，4，5，
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．所以P(B)＝P(A1＋A3＋A5)．而A1，A3，A5两两互斥．[]
∴P(B)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.
第二类：常见分布列类型
题型2：现甲单独从袋中任取抽球，发生以下几种情况；
(1)不放回的任取三球，求抽到白球个数的分布列以及期望；
(2)放回的任取三球，求抽到白球个数的分布列以及期望；
(3)在不放回的前提下，一直抽球，直到抽中黑球时停下，求中止时白球个数的分布列和期望；
(4)在放回的前提下，一直抽球，直到抽中黑球时停下，求中止时白球个数的分布列和期望；
（1）公式：
（2）公式：
（3）公式：n=0,1,2,3,p(x=n)=
(4)
公式：
第三类：记分类分布列题型（要求理解题意即可，不要求作答）
题型3：甲和乙两人进行比赛，规则有以下两种：
第一种：甲和乙轮流抽球并放回，每人共取四次，抽中黑球得1分，抽中白球倒扣1分，记录总分的绝对值
第二种：甲先抽三球，剩余的球归乙所有，且抽取时不放回，抽中黑球得2分，抽中白球得1分，记录总分
(1)在第一种游戏规则下，求甲得分得分布列以及期望值；
(2)在第一种游戏规则下，若甲得了2分，求乙获胜时抽中黑球数量的分布列以及期望值；
(3)在第二种游戏规则下，求甲得了4分时乙获胜的概率；
(4)在第二种游戏规则下，求甲赢乙的概率，并求出获胜时甲得分的分布列以及期望。
（1）可取-4，-2，0，2，4，前两个和后两个情况一样，要合并，随后用超几何分布进行计算
（2）乙获胜，乙为4，-4此两种情况，但写在分布列时注意概率和要为一
（3）甲得四分时的情况是两个白，一个黑，剩下均是乙的
（4）甲赢乙的几种情况分析出来即可
第四类：定义更复杂的规则（要求理解题意即可，不要求作答）
(1)在第一种游戏规则下，再增添一个规则，只记录总分，甲先抽，甲依次抽取4球，若甲在抽球中途得分不小于4，则不用再抽求，直接判定乙赢，求乙胜利时甲抽球数量的分布列以及期望；
(2)在第一种游戏规则下，再增添一个规则，抽到白球时放回，黑球不放回，求甲得分的分布列以及期望值，以及甲获胜时抽中黑球的期望值；
【习题积累】
1.袋中有大小相同的三个球，编号分别为，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用表示“所有被取球的编号之和”
（1）求的分布列
（2）求的数学期望及方差
思路：（1）依题意可知如果取球取出的是，则取球停止，此时的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和的值为，所以可知可取的值为，当时，意味着直接取到了1号球（概率为）；当时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为），另一种为取到了2（概率为），改完数字后再取到1（概率为）；当时，为取到了2（概率为），改完数字后再取到3（概率为），从而可计算出概率。进而得到分布列与期望方差
解：（1）可取的值为
的分布列为：
（2）
2.若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品
（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率
（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望
（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为，取到次品的概率为，在3次试验中2次取到次品，1次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率
解：设事件为“2次取到次品”
（2）思路：因为只有2个次品，所以最多用掉3个灯泡，可取的值为，时，意味着取到的是合格品，概率为，是取到一个次品（概率为）之后在9个灯泡中取到一个合格品（概率为），是连续取到2个次品（概率为），之后一定拿到合格品，分别计算概率即可
解：可取的值为
的分布列为：
3.某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为，第二次参加考试合格的概率为，第三次参加考试合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过
（1）求小李第一次考试即通过的概率
（2）求小李参加考核的次数分布列
（1）思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为。后面通过测试的概率受到前面抽签的影响，要利用条件概率进行解决
解：（1）若没有抽到“引体向上”，则
若抽到“引体向上”，则
（2）思路：依题目要求可知可取的值为，在参加下一次考核时，意味着前几次考核失败，所以当取时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立。
解：可取的值为
的分布列为：
4.有三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别
（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件为“取得红色的三个球“，事件为”取得颜色互不相同的三个球“，求
（2）先从盒中任取一球放入盒，再从盒中任取一球放入盒，最后从盒中任取一球放入A盒，设此时盒中红球的个数为，求的分布列与数学期望
（1）思路一：可利用古典概型求出，基本事件空间为“三个盒子的取球情况”，则，则，（三种颜色全排列确定出自哪个盒），从而求得
解：（1）
思路二：本题也可用概率的乘法进行计算。表示每个盒均取出红球（取出红球的概率为），因为每盒之间互不影响，所以；要求每盒颜色不同，所以前一个盒取出球的颜色会影响到下一个盒取球的选择。第一个盒取出一个颜色，则第二个盒只能取另外两个颜色的球（概率为），而第三个盒只能取出剩下颜色的那个球（概率为），所以
解：（1）
（2）思路：分析可知整个过程对于而言是取出一个球，再进入一个球，所以可取的值为，情况较为简单的为和的情况，当时，意味着从盒中取出了红球到（概率为），此时盒中为2红2非红，C盒中的情况取决于B盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为），则C盒中为2红2非红，然后从C中取出非红球即可（概率为）；若取出的不是红球（概率为），则C盒中为1红3非红，再从C中取出非红球即可（概率为），综上可得：；当时，意味着从盒中取出了非红球到（概率为），此时盒中为1红3非红，C盒中的情况取决于B盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为），则C盒中为2红2非红，然后从C中取出红球即可（概率为）；若取出的不是红球（概率为），则C盒中为1红3非红，再从C中取出红球即可（概率为），综上可得：，进而可利用求出
解：依题意，可取的值为
的分布列为：
5.
某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．
（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．
（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即，两个方程即可解出
解：设事件为“甲队获第一名”，则
设事件为“乙队获第一名”，则
解得：
（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可。
可取的值为
的分布列为
6.
甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X．
（1）设事件：“且甲获得冠军”，求A的概率；
（2）求X的分布列和数学期望。
（1）思路：事件代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。按照这几种情况找到对应概率相乘即可
解：设事件为“甲在第局取胜”，事件为“第局和棋”，
事件为“乙在第局取胜”
（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故可取的值为；在这些值中包含情况较少，即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率。对于的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用进行计算
可取的值为
的分布列为
7.
甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次比赛相互独立，比赛经次结束，求：
（1）的概率；
（2）随机变量ξ的分布列及数学期望。
（1）思路：代表比赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算出概率
解：设事件为“甲在第局获胜”
（2）思路：考虑可取的值只能是（因为奇数局不会产生多赢2分的情况），当时，即甲乙比分为或是（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成，然后一方连赢两局结束比赛。计算出，即可求出
解：可取的值为
的分布列为：
【概率求值练习】
盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（　　）
Ａ．恰有1只坏的概率
Ｂ．恰有2只好的概率
Ｃ．4只全是好的概率
Ｄ．至多2只坏的概率
某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则等于（　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
设，则等于（　　）
Ａ．1.6
Ｂ．3.2
Ｃ．6.4
Ｄ．12.8
在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（　　）
Ａ．0.998
Ｂ．0.046
Ｃ．0.002
Ｄ．0.954
任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（　
）
Ａ．甲多
Ｂ．乙多
Ｃ．一样多
Ｄ．不确定
在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是　　　　．
1.答案：B；
2.答案：A；
3.答案：D；
4.答案：Ｃ；
5.答案：Ｄ；
6.答案：Ｂ；
7.答案：Ｃ；
8.答案：；
9.
【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.
法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.
10.
【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设，
为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
11.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于的函数表达式；
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量，求Z的分布列与数学期望；
②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（2）①由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，[5000，7000）的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4，（5分）
，
,
,
所以其分布列为
Z
0
2
4
P
所以
②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；
按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元，[]
比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，
即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。
12.
【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.
全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）
年份
时间代号
年销量（亿包/桶）
(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017
年()方便面在中国的年销量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响?
中国的消费业态发生了怎样的转变?
某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：回归方程：，其中，.
参考数据：.
【答案】(1)356;(2)见解析.
（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，
所以；；；，
.
.
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