课时作业4 计数原理、二项式定理
一、选择题
1．有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )
A．8
B．15
C．18
D．30
2．在(2x＋)5的展开式中，x4的系数是( )
A．40
B．60
C．80
D．100
3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．48
B．72
C．90
D．96
4.6的展开式中，有理项共有( )
A．1项
B．2项
C．3项
D．4项
5．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23＋24＋25产生进位现象．则小于100的“开心数”的个数为( )
A．9
B．10
C．11
D．12
6．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )
A．－32
B．0
C．32
D．1
7．[2020·成都市诊断性检测](x2＋2)6的展开式中的常数项为( )
A．25
B．－25
C．5
D．－5
8．若(1＋2x)5＋(a＋2x)5＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a＋a1＋a3＋a5＝( )
A．0
B．－1
C．243
D．2
9．高铁站81进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进入闸机检票通道口的选法不同，几个人进入同一个闸机检票通道口的次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式共有( )
A．24种
B．36种
C．42种
D．60种
10．已知二项式4，则展开式的常数项为( )
A．49
B．－47
C．－1
D．1
11．若(1－2
020x)2
019＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2
019x2
019(x∈R)则＋＋…＋的值为( )
A．2
0202
019
B．1
C．0
D．－1
12．[2020·四省八校第二次质量检测]某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有( )
A．120种
B．156种
C．188种
D．240种
二、填空题
13．[2020·开封市模拟考试]10的展开式中x4的系数是________．
14．某地试行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．若要求考生物理、化学、生物三科中至少选一科，政治、历史、地理三科中至少选一科，则考生共有______种选考方法．
15．已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n＝________，展开式中的第五项为________．
16．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
课时作业4 计数原理、二项式定理
1．解析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法．根据分类加法计数原理知共有3＋5＝8种选法，故选A.
答案：A
2．解析：(2x＋)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－k·()k＝C·25－k·x.令5－＝4，得k＝2，故x4的系数为C×23＝80，故选C.
答案：C
3．解析：由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．故选D.
答案：D
4．解析：6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·36－r·x，令6－r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项，故选D.
答案：D
5．解析：由题意得，小于100的“开心数”的个位数字为0,1,2；十位数字为0,1,2,3.所以小于100的“开心数”的个数为3×4＝12.故选D.
答案：D
6．解析：∵二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n＝32，解得n＝5.
令x＝1，可得展开式中各项系数的和为5＝32.故选C.
答案：C
7．解析：因为6的展开式中的常数项与2的乘积为2Cx33＝－2C＝－40，6的展开式中含x－2的项与x2的乘积为Cx24×x2＝C＝15.所以(x2＋2)6的展开式中的常数项为－40＋15＝－25.
答案：B
8．解析：由常数项为零，根据二项式展开式的通项可得1＋a5＝0，∴a＝－1，且a1＝2C＋2C＝20，a3＝23C＋23C＝160，a5＝25C＋25C＝64，∴a＋a1＋a3＋a5＝－1＋20＋160＋64＝243.故选C.
答案：C
9．解析：若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A＝6(种)；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有CCAA＝36(种)；若三名同学从同1个检票通道口进站，则有CA＝18(种)．综上，这3个同学的不同进站方式有60种．故选D.
答案：D
10．解析：因为4＝4＝1＋4＋62＋43＋4.因为和3的展开式中没有常数项，2展开式中的常数项是C(－2x)＝－4，4展开式中的常数项是C2(－2x)2＝24，所以二项式4展开式的常数项为1＋6×(－4)＋24＝1.故选D.
答案：D
11．解析：令x＝0，a0＝1.
令x＝得0＝a0＋＋＋…＋
∴＋＋…＋＝－1.故选D.
答案：D
12．解析：将《一带一路》、《命运与共》两个节目捆绑在一起有A种编排方案，当《文明之光》排在第一位时，有AA种编排方案．当《文明之光》排在第二位时，有CAA种编排方案．当《文明之光》排在第三位时，若《一带一路》、《命运与共》两个节目排在前二位，则有AA种编排方案；若《一带一路》、《命运与共》两个节目不排在前二位，则有AAA种编排方案．所以编排方案共有AA＋CAA＋AA＋AAA＝48＋36＋12＋24＝120(种)．
答案：A
13．解析：10的展开式的通项为Tk＋1＝C10－k(－x)k＝(－1)kCx2k－10，令2k－10＝4，则k＝7，x4的系数为(－1)7C＝－120.
答案：－120
14．解析：解法一 利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有C种，因此考生的选考方法有C－2C＝18(种)．
解法二 根据题意，分2种情况讨论．
①从物理、化学、生物三科中选2科，从政治、历史、地理三科中选1科，则有CC＝9(种)选法；
②从物理、化学、生物三科中选1科，从政治、历史、地理三科中选2科，则有CC＝9(种)选法．
则一共有9＋9＝18(种)选考方法．
答案：18
15．解析：二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝37，则n＝8，故展开式中的第五项为C··x＝x.
答案：8 x
16．解析：解法一 从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C×C，3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C×C，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C－C×C－C×C＝472.
解法二 若取出的3张卡片中没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C×C×C＝64；若仅有2张卡片的颜色相同，则不同取法的种数为C×C×C×C＝144.若红色卡片有1张，且剩余2张不同色时，不同取法的种数为C×C×C×C＝192；若红色卡片有1张，且剩余2张同色时，不同取法的种数为C×C×C＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．
答案：472(共17张PPT)
第4讲 计数原理、二项式定理
