(共47张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
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X
丌2
2
2
2
X课时作业5 三角函数的图象与性质
[A·基础达标]
1．角θ的终边经过点P(4，y)，且sin
θ＝－，则tan
θ＝( )
A．－
B.
C．－
D.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，且|θ|<，则θ等于( )
A．－
B．－
C.
D.
3．[2020·天津卷]已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
4．[2020·神州市质量检测]把函数f(x)＝sin
x＋cos
x图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则( )
A．g(x)＝cos
2x
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
5．[2020·贵阳市第一学期监测考试]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin
β的值是________．
7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是________．
8．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________________．
9．已知函数f(x)＝sin
2x－2sin2x.
(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin
2x－cos
2x的图象经过怎样的平移变换得到．
[B·素养提升]
1．已知函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx(ω>0)，若f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为2π，则f＝( )
A.
B.
C．－1
D．－
2．[2020·广州市阶段训练]
如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－′|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
3．函数f(x)＝的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________．
4．[2020·河北九校第二次联考]函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
5．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
6．已知函数f(x)＝4sincos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2.求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
课时作业5 三角函数的图象与性质
[A·基础达标]
1．解析：解法一 ∵sin
θ＝－，∴＝－，∴y＝－3，∴tan
θ＝－，故选C.
解法二 由P(4，y)得角θ是第一或第四象限角或是终边在x轴的正半轴上的角，∴cos
θ>0.∵sin
θ＝－，∴cos
θ＝＝，∴tan
θ＝＝－，故选C.
解法三 由P(4，y)得角θ是第一或第四象限角或是终边在x轴的正半轴上的角，∵sin
θ＝－<0，∴角θ是第四象限角，∴tan
θ<0，故排除选项B，D，又sin
θ＝－>－，不妨取－<θ<0，∴－1θ<0，故选C.
答案：C
2．解析：因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sin
θ＝－cos
θ，所以tan
θ＝.因为|θ|<，所以θ＝，故选D.
答案：D
3．解析：f(x)＝sin的最小正周期为2π，①正确；sin＝1＝f为f(x)的最大值，②错误；将y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)＝sin的图象，③正确．故选B.
答案：B
4．解析：由f(x)＝sin
x＋cos
x，得f(x)＝sin，经过变换后得到函数g(x)＝sin＝cos
2x的图象．
答案：A
5．解析：因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0,2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.
答案：B
6．解析：由2tan(π－α)－3cos＋5＝0化为－2tan
α＋3sin
β＋5＝0 ①，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tan
α－6sin
β＝1 ②，由①＋②×2得：9sin
β＝3，∴sin
β＝.
答案：
7．解析：由三角函数的定义知cos
α＝a，sin
α＝b，∴cos
α＋sin
α＝a＋b＝，∴(cos
α＋sin
α)2＝1＋sin
2α＝，
∴sin
2α＝－1＝，∴cos＝－sin
2α＝－.
答案：－
8．解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：
9．解析：(1)∵点P(1，－)在角α的终边上，
∴sin
α＝－，cos
α＝，
∴f(α)＝sin
2α－2sin2α
＝2sin
αcos
α－2sin2α
＝2××－2×2＝－3.
(2)f(x)＝sin
2x－2sin2x＝sin
2x＋cos
2x－1＝2sin－1.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
10．解析：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，
∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin
2x－cos
2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin
2x－cos
2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象．
[B·素养提升]
1．解析：f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝2sin，
易知该函数的最大值为2，又f(x1)＝2，
f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为2π，
所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2π＝8π.
所以＝8π，即ω＝，f(x)＝2sin，
所以f＝2sin＝－1.
答案：C
2．解析：
根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则P(cos
x，sin
x)，P′(－cos
x，sin
x)，所以＝(cos
x，sin
x)，′＝(－cos
x，sin
x)，所以－′＝(2cos
x,0)，所以f(x)＝|－′|＝|2cos
x|，所以f(x)＝由余弦函数的图象知A正确．故选A.
答案：A
3．解析：因为f(x)＝＝|sin
3x|，最小正周期T＝×＝，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于T＝.
答案：
4．解析：因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，所以，得0<ω≤.又函数f(x)＝sin(ω>0)的图象关于直线x＝－π对称，所以－π·ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝－k－(k∈Z)，又0<ω≤，所以ω＝.
答案：
5．解析：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin
ωx－cos
ωx－cos
ωx
＝sin
ωx－cos
ωx
＝
＝sin.
因为f＝0.
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
6．解析：(1)f(x)＝4sincos
x＋
＝4cos
x＋
＝2sin
xcos
x－2cos2x＋
＝sin
2x－cos
2x＝2sin.
所以f(x)的周期T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，
当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.
