(共59张PPT)
专题一 函数与导数
第2讲 基本初等函数、函数与方程
考情分析
KAO
QING
FEN
XI
1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较
大小是常见题型.
2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现.
内
容
索
引
考点一
考点二
专题强化练
1
考点一 基本初等函数的图象与性质
PART
ONE
核心提炼
1.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0
1两种情况，着重关注两函数图象的异同.
例1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
√
解析 画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.
由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；
在A，B之间，|f(x)|综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，
因此h(x)有最小值－1，无最大值.
√
解析 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点.
函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln
x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln
x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln
a，即a＝e，∴a规律方法
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
√
解析 当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；
函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；
跟踪演练1 (1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－
的解集是
A.(－∞，－1)
B.(－∞，－1]
C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)
√
解析 当x>0时，f(x)＝1－2－x>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
2
考点二 函数的零点
PART
TWO
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法.
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
核心提炼
考向1 函数零点的判断
√
解析 当x≤0时，
f′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
当－10，
故f(x)在(－1,0]上单调递增，
又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0作出f(x)的图象，如图所示.
因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，
所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，
若1若m＝0，则x1＋x2＝3；
√
解析 对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f
[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，
根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根.
考向2 求参数的值或取值范围
例3 (1)已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________.
[－3,0)
解析 设t＝3－|x－2|(0由题意知a＝t2－4t在(0,1]上有解，
又t2－4t＝(t－2)2－4(0∴－3≤t2－4t<0，
∴实数a的取值范围是[－3,0).
[－3，－1)∪[3，＋∞)
如图所示，
因为g(x)恰有两个不同的零点，
即g(x)的图象与x轴有两个交点.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，
则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，
则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，
则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，
即－3≤a<－1，
综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞).
二级结论
利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
√
解析 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点.
√
√
解析 当a≤0时，f(x)仅有一个零点x＝0，
故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立.
当a>0时，f(x)的图象如图所示，
当f(f(x))＝0时，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，
故f1(x)＝－2a有三个根，f2(x)＝0有三个根，f3(x)＝a有两个根，
解得a>8且a>0，综上可知，a>8.
3
专题强化练
PART
THREE
一、单项选择题
1.(2020·全国Ⅰ)设alog34＝2，则4－a等于
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解析 方法一 因为alog34＝2，
所以log34a＝2，
所以4a＝32＝9，
方法二 因为alog34＝2，
2.函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点一定位于区间
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,5)
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解析 函数f(x)＝ln
x＋2x－6在其定义域上连续且单调，
f(2)＝ln
2＋2×2－6＝ln
2－2<0，
f(3)＝ln
3＋2×3－6＝ln
3>0，
故函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点在区间(2,3)上.
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3.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为
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解析 由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数.
且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；
且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数.故A正确.
4.(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a，b，c满足4a＝6，b＝
，c3
＝
，则
A.aB.bC.cD.c1
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√
解析 4a＝6>4，a>1，b＝
＝－2，
5.(2020·全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝
，其中K为最大确诊病例数.当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln
19≈3)
A.60
B.63
C.66
D.69
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所以当I(t
)＝0.95K时，
＝0.95K，
即
＝0.95，
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∴
＝19，
∴0.23(t
－53)＝ln
19，
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6.(2020·泉州模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是
A.1B.0C.0D.a≥2
解析 令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，
∴1√
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f′(x)＝ex，f′(x0)＝
＝－k，
＝－kx0，
解得x0＝1，k＝－e.
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解析 g(x)＝f(x)＋kx＝0，即f(x)＝－kx，
如图所示，画出函数y＝f(x)和y＝－kx的图象，－2x2＋4x＋1＝－kx，
即2x2－(4＋k)x－1＝0，设方程的两根为x1，x2，
故g(x)在x<0时有且仅有一个零点，
y＝－kx与y＝f(x)在x>0时相切.
当x>0时，设切点为(x0，－kx0)，f(x)＝ex，
√
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设t＝f(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，
由图象可知，若关于x的方程2f
2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1又方程2t2－(2a＋3)t＋3a＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(2a＋3)2－4×2×3a＝(2a－3)2>0，
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二、多项选择题
9.(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则
A.a＋b＝2
B.b－a＝1
C.ab>8lg22
D.b－a>lg
6
√
√
√
解析 由10a＝4,10b＝25，得a＝lg
4，b＝lg
25，则a＋b＝lg
4＋lg
25＝lg
100＝2，故A正确；
ab＝lg
4·lg
25＝4lg
2·lg
5>4lg
2·lg
4＝8lg22，故C正确.
10.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，则
A.函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B.函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D.函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
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解析 ∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1由f(－x)＋g(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；
∵－1当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；
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∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，当0当a>1时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错.
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11.(2020·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是
A.f(2)＝0
B.点(4,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C.函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D.函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点
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解析 对于A，因为f(x)为奇函数且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正确；
对于B，由A知，f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C错误；
对于D，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D错误.
A.任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1
B.函数y＝f(x)在[4,5]上单调递增
C.函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点
D.若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2
＋x3＝
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∴任取x1，x2∈[2，＋∞
)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，故A正确；
函数y＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y＝f(x)在[4,5]上不单调，故B错误；
作出y＝ln(x－1)的图象，结合图象，易知y＝ln(x－1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点，故C正确；
若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x11
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三、填空题
13.(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________.
－3
解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.
因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
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解析 因为|lg
a|＝|lg
b|，所以不妨令a1
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解析 由题意知，当x<0时，
由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
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16.对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________.
[3,4]
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解析 由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，
因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.
方法一 因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，
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故实数a的取值范围为[3,4].
方法二 因为g(μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，
因为1≤μ≤3，所以3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4].
本课结束第2讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.
B．(－∞，e)
C.
D.
答案 B
解析 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln
x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln
x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln
a，即a＝e，∴a规律方法 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是( )
答案 A
解析 当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln
2－e－1，由于ln
2>ln
＝，e－1<，所以f(0)＝ln
2－e－1>0，故排除C.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 A
解析 当x>0时，f(x)＝1－2－x>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)<－的解集和f(x)>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，
即x>1，则f(x)<－的解集是(－∞，－1)．故选A.
考点二 函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1 函数零点的判断
例2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．2
B．2或2＋
C．2或3
D．2或3或2＋
答案 D
解析 当x≤0时，
f′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
当－10，
故f(x)在(－1,0]上单调递增，
所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－.
又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，
由图可知1若1若m＝0，则x1＋x2＝3；
若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋.
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，
根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．
考向2 求参数的值或取值范围
例3 (1)已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 设t＝3－|x－2|(0由题意知a＝t2－4t在(0,1]上有解，
又t2－4t＝(t－2)2－4(0∴－3≤t2－4t<0，
∴实数a的取值范围是[－3,0)．
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为____________________．
答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)
解析 由题意得g(x)＝
即g(x)＝
如图所示，
因为g(x)恰有两个不同的零点，
即g(x)的图象与x轴有两个交点．
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，
则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，
则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，
则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，
即－3≤a<－1，
综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1
B．3
C．2
D．4
答案 B
解析 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点．
(2)(多选)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a的值可能为( )
A．－6
B．8
C．9
D．12
答案 CD
解析 当a≤0时，f(x)仅有一个零点x＝0，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f(x)的图象如图所示，
当f(f(x))＝0时，f1(x)＝－2a，f2(x)＝0，f3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故f1(x)＝
－2a有三个根，f2(x)＝0有三个根，f3(x)＝a有两个根，又x2－ax＝2－，所以－2a>－且a<2a，解得a>8且a>0，综上可知，a>8.
专题强化练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅰ)设alog34＝2，则4－a等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 方法一 因为alog34＝2，
所以log34a＝2，
所以4a＝32＝9，
所以4－a＝＝.
方法二 因为alog34＝2，
所以a＝＝2log43＝log432＝log49，
所以4－a＝＝＝9－1＝.
2．函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点一定位于区间( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
答案 B
解析 函数f(x)＝ln
x＋2x－6在其定义域上连续且单调，
f(2)＝ln
2＋2×2－6＝ln
2－2<0，
f(3)＝ln
3＋2×3－6＝ln
3>0，
故函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．
3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为( )
答案 A
解析 由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若01，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝∈(0,2)，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A正确．
4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a，b，c满足4a＝6，b＝，c3＝，则( )
A．aB．bC．cD．c答案 B
解析 4a＝6>4，a>1，b＝＝－2，c3＝<1,0c>b.
5．(2020·全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t
)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t
约为(ln
19≈3)( )
A．60
B．63
C．66
D．69
答案 C
解析 因为I(t)＝，
所以当I(t
)＝0.95K时，＝0.95K，
即＝0.95，
即1＋＝，
即＝－1，
∴＝19，
∴0.23(t
－53)＝ln
19，
∴t
＝＋53≈＋53≈66.
6．(2020·泉州模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．1B．0C．0D．a≥2
答案 A
解析 令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，
∴17．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝
(e为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx恰好有两个零点，则实数k等于( )
A．－2e
B．e
C．－e
D．2e
答案 C
解析 g(x)＝f(x)＋kx＝0，即f(x)＝－kx，如图所示，画出函数y＝f(x)和y＝－kx的图象，
－2x2＋4x＋1＝－kx，
即2x2－(4＋k)x－1＝0，
设方程的两根为x1，x2，
则Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x1x2＝－，
故g(x)在x<0时有且仅有一个零点，
y＝－kx与y＝f(x)在x>0时相切．
当x>0时，设切点为(x0，－kx0)，f(x)＝ex，
f′(x)＝ex，f′(x0)＝＝－k，＝－kx0，
解得x0＝1，k＝－e.
8．已知函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的解，则a的取值范围是( )
A．(1,2)
B.
C.
D.∪
答案 D
解析 作出f(x)＝|x|＋1，x≠0的图象如图所示．
设t＝f(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，
解得t1＝a，t2＝.
由图象可知，若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，
所以1又方程2t2－(2a＋3)t＋3a＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(2a＋3)2－4×2×3a＝(2a－3)2>0，
解得a≠，综上，得1二、多项选择题
9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2
B．b－a＝1
C．ab>8lg22
D．b－a>lg
6
答案 ACD
解析 由10a＝4,10b＝25，得a＝lg
4，b＝lg
25，则a＋b＝lg
4＋lg
25＝lg
100＝2，故A正确；b－a＝lg
25－lg
4＝lg
>lg
6且lg
<1，故B错误，D正确；ab＝lg
4·lg
25＝4lg
2·lg
5>
4lg
2·lg
4＝8lg22，故C正确．
10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
答案 AB
解析 ∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－11时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，当01时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．
11．(2020·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )
A．f(2)＝0
B．点(4,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C．函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D．函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点
答案 AB
解析 对于A，因为f(x)为奇函数且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A正确；对于B，由A知，f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C错误；对于D，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，
f(－6)＝0，所以函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D错误．
12．对于函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1
B．函数y＝f(x)在[4,5]上单调递增
C．函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点
D．若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝
答案 ACD
解析 f(x)＝的图象如图所示，
当x∈[2，＋∞)时，f(x)的最大值为，最小值为－，∴任取x1，x2∈[2，＋∞
)，都有|f(x1)－f(x2)|≤
1恒成立，故A正确；函数y＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y＝f(x)在[4,5]上不单调，故B错误；作出y＝ln(x－1)的图象，结合图象，易知y＝ln(x－1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点，故C正确；若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x1三、填空题
13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________.
答案 －3
解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝
－f(－x)＝e－ax，所以f(ln
2)＝e－aln
2＝a＝8，所以a＝－3.
14．已知函数f(x)＝|lg
x|，若f(a)＝f(b)(a≠b)，则函数g(x)＝的最小值为________．
答案 2
解析 因为|lg
a|＝|lg
b|，所以不妨令a则有－lg
a＝lg
b，所以ab＝1，b＝(0所以g(x)＝
当x≤0时，g(x)＝(x＋)2＋3≥3，取等号时x＝－；
当x>0时，g(x)＝ax＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
综上可知，g(x)min＝2.
15．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．
答案
解析 由题意知，当x<0时，
f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．
答案 [3,4]
解析 由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，
因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.
方法一 因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0，或
解得≤a≤4，或3≤a<，得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
方法二 因为g(μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，
a＝＝μ＋－1，
因为1≤μ≤3，所以3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．