(共71张PPT)
专题一 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
考情分析
KAO
QING
FEN
XI
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段
函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分
段函数中参数的求解及函数图象的识别.难度属中等及以上.
2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，
多与导数、不等式、创新性问题结合命题.
内
容
索
引
考点一
考点二
考点三
专题强化练
1
考点一 函数的概念与表示
PART
ONE
核心提炼
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
A.(1,2]
B.(2,4]
C.[1,2)
D.[2,4)
√
故f(x)的定义域为(1,2]，
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.
规律方法
(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.
√
解析 当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；
f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，
由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，
所以a∈[－2，－1].
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是
A.y＝sin
xcos
x
B.y＝ln
x＋ex
C.y＝2x
D.y＝x2－2x
√
√
解析 由题意，得“H函数”的值域关于原点对称.
其值域关于原点对称，故A是“H函数”；
B中，函数y＝ln
x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；
C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；
D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”.
综上所述，A，B是“H函数”.
2
考点二 函数的性质
PART
TWO
1.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
核心提炼
3.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
考向1 单调性与奇偶性
例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
A.[－1,1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0,1]
C.[－1,0]∪[1，＋∞)
D.[－1,0]∪[1,3]
√
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].
(2)设函数f(x)＝
的最大值为M，最小值为N，则(M＋N
－1)2
021的值为___.
1
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2
021＝1.
A.减函数且f(x)>0
B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0
D.增函数且f(x)<0
√
考向2 奇偶性与周期性
又函数f(x)为奇函数，
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2
020)＋f(－2
021)＝________.
1－e
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，
又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，
因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，
所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数.
所以f(2
020)＋f(－2
021)＝f(0)－f(2
021)
＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.
二级结论
(1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期.
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期.
跟踪训练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于
A.－50
B.0
C.2
D.50
√
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
√
√
√
解析 由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin
x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；
根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；
因为f(0)＝0＋sin
0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；
对f(x)求导得f′(x)＝1＋cos
x≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确.
3
考点三 函数的图象
PART
THREE
核心提炼
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.
考向1 函数图象的识别
例4 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x·ln
|x|的图象可能是
解析 函数f(x)＝x·ln
|x|是奇函数，排除选项A，C；
√
(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是
√
解析 根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值.
C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；
对于A选项，f(x)为偶函数，
对于B选项，f(x)为偶函数，
考向2 函数图象的变换及应用
例5 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为
√
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，
需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，
然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，
根据上述步骤可知C正确.
√
解析 由函数的解析式易知f(x)≤0恒成立，
等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立.
作出函数y＝|f(x)|的图象，
如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，
由图可知，当m<0时，不满足题意；
当m＝0时，满足题意；
当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)
相切的情况.
令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，
规律方法
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察.
跟踪演练3 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y＝2|x|sin
2x的图象可能是
√
解析 令f(x)＝2|x|sin
2x，
因为x∈R，f(－x)＝2|－x|sin
2(－x)＝－2|x|sin
2x＝－f(x)，
所以f(x)＝2|x|sin
2x为奇函数，排除选项A，B；
(2)已知函数f(x)＝
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实
数a的取值范围是
A.(0，＋∞)
B.[－3,0]
C.(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D.(－∞，－3]∪(0，＋∞)
√
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；
当a<0时，直线y＝ax－1经过第二、三、四象限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，必然相交于第二象限.
即ax－1＝x2－x，变形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，
令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞).
4
专题强化练
PART
FOUR
一、单项选择题
1.函数y＝
的定义域为
A.(－1,3]
B.(－1,0)∪(0,3]
C.[－1,3]
D.[－1,0)∪(0,3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解得x∈(－1,0)∪(0,3].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 观察函数解析式发现，x是以平方、绝对值的形式出现的，所以f(x)为偶函数，排除B；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若x>1，则f(x)＝x＋1>2，
易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减.
若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；
若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是[1,2].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函数且周期为2，根据f(x)在x∈[－1,0]上的图象和f(x)是偶函数可得f(x)在[0,1]上是增函数.
对于B,03<－cos
3<1，
∴f(sin
3)3)＝f(cos
3)，B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，f(2
020)＝f(0)019)＝f(1)，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.定义新运算?：当a≥b时，a?b＝a；当aA.－1
B.1
C.6
D.12
解析 当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1又∵y＝x－2，y＝x3－2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则
等于
A.0
B.m
C.2m
D.4m
√
解析 由题意可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，
所以两个图象的交点关于直线x＝1对称，且每对关于直线x＝1对称的交点的横坐标之和为2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9.若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，
①
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，
即f(x)－2g(x)＝e－x，
②
所以g(－1)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题可知f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故A正确；
故B正确，C错误；
所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是
A.f(－0.8)＝0.2
B.当1≤x<2时，f(x)＝x－1
C.函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)
D.函数f(x)是增函数、奇函数
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由f(x)＝x－[x]，得f(－0.8)＝－0.8＋1＝0.2，故A正确；
当1≤x<2时，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正确；
函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)，故C正确；
当0≤x<1时，f(x)＝x－[x]＝x，当1≤x<2时，f(x)＝x－1，
当x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，当x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，
则f(0.5)＝f(1.5)，即f(x)不为增函数，
由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即f(x)不为奇函数，故D不正确.
12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是
A.f(7)＝0
B.f(x)的一个周期为8
C.f(x)图象的一个对称中心为(3,0)
D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2
019
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
解析 依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1,0)是f(x)图象的一个对称点.
又因为f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x－1)＝f(－(x－2)＋1)＝f(－x＋3)，
则f(－x＋3)＝－f(－x－1)，令t＝－x，则f(t＋3)＝－f(t－1)，
故f(t＋4)＝－f(t)，则f(t＋8)＝－f(t＋4)＝f(t)，
所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；
f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；
x＝2
019＝8×252＋3，所以直线x＝2
019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
二、填空题
13.(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝
，则f(－8)的值是____.
－4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴函数f(x)的周期为T＝4.
又当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 当x<0时，f(x)＝x2＋2x关于原点对称的函数是y＝－x2＋2x(x>0)，
由题意得，y＝－x2＋2x(x>0)与y＝kx＋2有交点，
即－x2＋2x＝kx＋2(x>0)有解，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
②③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确.
本课结束
