导数与其他知识交汇
综合讲义1
导数与函数
方程的根的问题
若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】选择
【关键词】
令，，要方程有三个不同实根，必须（否则，单调增长，最多只有一根）．
此时在上单调增加，在上单调减少，在上单调增加．
要有三个零点，当且仅法，且．
解得．
【答案】B
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
⑴若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
⑵若函数有且仅有一个零点，求的值，并求出相应的零点．
⑶如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009，广东，高考，题20
⑴依题可设
（），则；
又的图像与直线平行，∴，．
∴，
，
设，则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，，解得；
当时，，解得．
⑵由（），得
①
当时，方程①有一解，函数有一零点；
当时，方程①有一解，解得．
此时有零点．
⑶∵，由⑵知，函数存在零点
①有解．
当时，方程①有一解，函数有一零点；
当时，方程①有一解，，
此时函数有一零点；
方程①有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
综上，当时，函数有一零点；
当（）或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点．
【答案】⑴；⑵，零点；
⑶当时，函数有一零点；
当（）或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点．
已知函数为奇函数，
⑴求的解析式；
⑵求的单调区间．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
⑴∵函数是奇函数，所以，于是，
⑵∴，
∴当时，；当时，．
所以在上单调递减，在与上单调递增．
⑶，，
当时，；
当时，，
故当时，有三个不同的实根．
【答案】⑴；⑵在上单调递减，在与上单调递增．
⑶．
设函数，已知是奇函数．
⑴求、的值．⑵求的单调区间与极值．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2006，安徽，高考
⑴∵，∴．
从而是一个奇函数，故；
⑵由⑴知，从而，
由此可知，和是函数的单调递增区间；是函数的单调递减区间；
在时取得极大值，极大值为，在时取得极小值，极小值为．
⑶当时，；当时，，
故当时，有三个不同的实根．
【答案】⑴；
⑵和是函数的单调递增区间；是函数的单调递减区间；在时取得极大值，在时取得极小值．
⑶．
设函数．
⑴对于任意实数，恒成立，求的最大值；
⑵若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009，江西，高考，题17
⑴，
因为，，
即恒成立，
所以，得，即的最大值为；
⑵因为当时，；当时，；当时，；
所以当时，取极大值；
当时，取极小值；
（而当时，；当时，；
注：标准答案没有这一段，默认了三次函数的两边趋于无穷大的特征）
故当或时，方程仅有一个实根．解得或．
故的取值范围为．
【答案】⑴；⑵．
已知函数的极小值为，其导函数的图象经过点，如图所示．
⑴
求的解析式；
⑵
若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试
⑴
，且的图象过点，
所以为的根，代入得：
……①
由图象可知，在时取得极小值，
即，得……………………②
由①②解得．
∴．
⑵
由题意，方程在区间上有两个不等实根，
即方程在区间上有两个不等实根．
，令，解得或．
可列表：
2
－
0
＋
0
－
3
极小值8
极大值
8
由表可知，当或时，方程在区间上有两个不等实根，即函数在区间上有两个不同的零点．
【答案】⑴；⑵或．
已知二次函数满足：①在时有极值；②图象过点，且在该点处的切线与直线平行．
⑴
求的解析式；
⑵
求函数的单调递增区间．
⑶求在上的最大值与最小值．
⑷关于的方程最多有几个解?并求出此时的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
设，则．
由题设可得：，即，解得．
所以．
⑵，
列表：
由表可得：函数的单调递增区间为和．
⑶由⑵知，在时取到极大值；在时，取到极小值，
又，故在上的最大值为，最小值为；
⑷作出的草图（略），可知当时，有四个解，为解最多的情况．
【答案】⑴；⑵的单调递增区间为和．⑶最大值为，最小值为；
⑷当时，有四个解，为解最多的情况．
设函数，其中常数为整数．
⑴当为何值时，；
⑵定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使．（注：此定理在新课标的必修一中已经给出了）
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2004，广东，高考
⑴函数，连续，且．
令得．
当时，，为减函数，；
当时，，为增函数，．
根据函数极值判别方法，为极小值，而且对都有．
故当整数时，；
⑵由⑴知，当整数时，，
函数在上为连续减函数．
，
当整数时，与异号，
由所给定理知，存在唯一的，使，
而当整数时，，
记，则，
当时，，故在上单调递增，从而．
故．
类似地，
当整数时，函数在上为连续增函数，且与异号，
由所给定理知，存在唯一的，使．
故当时，方程在内有两个实根．
【答案】⑴；⑵见解析．
已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
⑴求的解析式；
⑵是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2006，福建，高考
⑴∵是二次函数，且的解集是，
∴可设，它的图象为开口向上的抛物线，对称轴为．
∴在区间上的最大值是．
由已知得，∴，∴．
⑵方程等价于方程．
设则．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
∵，
∴方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间，内没有实数根，
所以存在惟一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根．
【答案】⑴；⑵存在，．
设为实数，函数，
⑴求的单调区间与极值；
⑵当在什么范围内取值时，方程仅有一个根．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2005，全国，高考
⑴，令得，变化时，变化如下：
+
+
极大值
极小值
∴的单调递增区间为与；单调递减区间为；
的极大值是，极小值是．
⑵易知足够大时，；足够小时，，所以与轴至少有一个交点．
由的单调性知：
当的极大值时，极小值也，与轴仅有一个交点；
或当的极小值时，极大值也，与轴也只有一个交点．
综上可知当或时，与轴只有一个交点，
此时可解出或．
【答案】⑴的单调递增区间为与；单调递减区间为；极大值是，极小值是．⑵．
已知函数在处有极值．
⑴
求函数的单调区间；
⑵
若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2010，丰台，二模，题19
⑴
由题意知：
，得，
∴，
令，得或，
令，得，
∴的单调递增区间是和，单调递减区间是．
⑵
由⑴
知，，
为函数极大值，为极小值．
∵函数在区间上有且仅有一个零点，
∴或或或或，
即，
∴，即的取值范围是．
【答案】⑴的单调递增区间是和，单调递减区间是．⑵．
已知函数．
⑴若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由？
⑵若函数在上是增函数，求的取值范围．
⑶设为方程的三个根，且，，，求证：．
【考点】导数与函数综合
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】2009，西城，一模，题20
⑴当时，，
因为，所以，函数的图象不能总在直线的下方．
⑵由题意，得，
令，解得或，
当时，由，解得，
所以只在上是增函数，与题意不符，舍去；
当时，由，与题意不符，舍去；
当时，由，解得，所以在上是增函数，
又在上是增函数，所以，解得，
综上，的取值范围为．
⑶因为方程最多只有个根，
由题意，得在区间内仅有一根，
所以，
①
同理，
②
当时，由①得，即，
由②得，即，
因为，所以，即；
当时，由①得，即，
由②得，即，
因为，所以，即．
当时，因为，所以有一根，这与题意不符．
综上，．
注：在第⑶问中，得到①、②后，可以在坐标平面内，用线性规划方法解．
【答案】⑴略；⑵；⑶略．
图象的交点问题
已知直线与曲线有交点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．0
【考点】导数与函数综合
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】
结合图象知，当直线与曲线相切时，有最大值．设切点为，有，从而，解得．
【答案】B
直线（为自然对数的底数）与两个函数，的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是__________．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】2010，丰台，二模，题14
考虑函数，的图象斜率为的切线的截距即可．
对于，斜率为的切线为，即，截距为；
对于，斜率为的切线为，即，截距为；
因此实数的取值范围是．
【答案】
已知函数
⑴
求的单调区间；
⑵
若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009，陕西，高考
⑴
，
当时，对，有，∴当时，的单调增区间为．
当时，由解得或；由解得，
∴当时，的单调增区间为，单调减区间为．
⑵
∵在处取得极值，∴，∴．
∴，，
由解得．
由⑴中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值．
又，，的图象大致如下．
∵直线与函数的图象有三个不同的交点，结合的图象可知，的取值范围是．
【答案】⑴当时，的单调增区间为．
当时，的单调增区间为，单调减区间为．
⑵的取值范围是．
已知函数，其中是的导函数．
⑴对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
⑵设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2006，四川，高考
⑴由已知有，令，是的一次函数，
所以只需，解得的范围为．
⑵与只有一个交点，就是方程只有一个实数根．
易知方程至少有一个实数根．
当时，显然只有一个实数根；
当时，令，的根为，
的单调性如下表：
0
0
极大值
极小值
只有一个实根，则的极大值或极小值，即：或，
解得或．
综上，当时，的图象与只有一个交点．
【答案】⑴；⑵．
已知函数．
⑴
当时，求函数的单调区间；
⑵
若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试
⑴
令，解得或；令，解得．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
⑵
因为函数的图象与直线只有一个公共点，
所以方程只有一个解，即只有一个解．
令，则其图象和轴只有一个交点，
，令，所以，
可列表：
＋
－
＋
极大值
极小值
所以，在处取得极小值，在取得极大值，
要使的其图象和轴只有一个交点，
只要或，
解得或．
【答案】⑴的单调递增区间为，单调递减区间为．
⑵或．
已知函数，且．
⑴
试用含的代数式表示；
⑵
求的单调区间；
⑶
令，设函数在处取得极值，记点，，
证明：线段与曲线存在异于的公共点．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2009，福建，高考
⑴
依题意，得．由得．
⑵
由⑴得，
故．
令，得或．
①当时，．
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②当时，．此时，恒成立，且仅在处，故函数
的单调增区间为．
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．
⑶
当时，得，由，得
由⑵得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值．
故，所以直线的方程为．
由，得．
令，易得，
而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点．
当然也可以直接由有根，将因式分解
，可得的第个根为，
所以线段与曲线有异于的公共点．
【答案】⑴；
⑵当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；
⑶略．
，其中．
⑴若，求的单调区间；
⑵在⑴的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围；
⑶设，问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
⑴，
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
极小值
极大值
故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减．
⑵由已知得，即，
又，所以（）
①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
∴，
解之得，又，所以的取值范围为；
⑶令，则
因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，
则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
当时，，是增函数；
当时，，是减函数；
当时，，是增函数；
∴有极大值；有极小值．
又因为当充分接近时，；当充分大时，
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须或，
即或，∴或．
∴当或时，函数与的图象有且只有两个不同交点．
【答案】⑴在单调递减，在单调递增，在上单调递减．
⑵；⑶存在，或．
已知函数．
⑴求在区间上的最大值；
⑵是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2006，福建，高考
⑴．
当，即时，在上单调递增，
；
当，即时，；
当时，在上单调递减，．
综上，；
⑵函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵，
∴，
当时，，是增函数；当时，，是减函数；
当时，，是增函数；当或时，．
∴．
∵当充分接近0时，；当充分大时，．
∴要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须，即．
所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为．
【答案】⑴；⑵存在，的取值范围为．
已知是函数的一个极值点．
⑴
求；
⑵
求函数的单调区间；
⑶
若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
⑴
因为，
所以，
因此；
⑵
由⑴知，，
，
当时，；当时，．
所以的单调增区间是，；的单调减区间是．
⑶
由⑵知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，
所以的极大值为，极小值为．
因为
所以在的三个单调区间，，直线与的图象各有一个交点，当且仅当．
因此，的取值范围为．
【答案】⑴；⑵的单调增区间是，；单调减区间是．
⑶．
已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
⑴求的值；
⑵是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点，若存在，求出实数的值；若不存在，试说明理由．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
⑴∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，，∴．
⑵由⑴知，由可得，
即．
∵的图象与的图象只有两个交点，
∴方程有两个非零等根或有一根为，另一个不为，
∴或，∴或．
【答案】⑴；⑵存在，或．
其它
已知，函数定义域中任意的，有如下结论：
①；②；
③；④．
上述结论中正确结论的序号是
．
【考点】导数与函数综合
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】
结合函数的图象与导数的几何意义知，①正确，②错误；
③正确，④错误．
【答案】①③
已知二次函数的图象经过原点、点和点（，且）．
⑴求函数的解析式；
⑵设（），若，，求证：．
⑶在例题⑵的条件下，若，则过原点与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
⑴设，依题意得，解得．
∴．
⑵，∴，
依题意得是方程的两个实数根，
又，，，
故两根分布在区间、内，又，∴成立；
⑶设的过原点的切线对应切点的横坐标为，
则切线方程为，
若此切线过原点，则有，
解得或．
故有两条过原点的切线，设对应的切点的横坐标分别为，且，
则，
从而两切线的斜率分别为，
若两切线互相垂直，则，∴．此时有，
∴存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．
【答案】⑴；⑵略；⑶能，证明略．
设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
⑴若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
⑵若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．
【考点】导数与函数综合
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
由函数得，，
⑴若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当，即．
⑵当时，恒成立当时，恒成立．
当时，显然成立．
当，，
∵的最小值是．∴．从而解得．
当，，
∵的最大值是，∴，从而解得．
综上可得，从而．
【答案】⑴；⑵．
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
⑴若，，试写出，的表达式；
⑵已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
⑶已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】2010，海淀，二模，题20
⑴由题意可得：，．
⑵，，
，
当时，，∴，；
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴．
综上所述，．
即存在，使得是上的4阶收缩函数．
⑶，令得或．
函数、的变化情况如下：
极小值
极大值
令，解得或3．
ⅰ）时，在上单调递增，因此，，．
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立．
①即：对恒成立，
由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需．
②即：存在，使得成立．
由得：或，所以，需且只需．
综合①②可得：．
ⅱ）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：
，，可得，
此时，不成立．
综合ⅰ）ⅱ）可得：．
注：在ⅱ）中只要取区间内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已．
【答案】⑴，．
⑵存在，使得是上的4阶收缩函数．⑶．
设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．
⑴设函数，其中为实数，
（ⅰ）求证：函数具有性质；
（ⅱ）求函数的单调区间．
⑵已知函数具有性质．给定，，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围．
【考点】导数与函数综合
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】2010，江苏，高考20
⑴（ⅰ）由得，
因为时，恒成立，
所以函数具有性质；
（ⅱ）当时，由得
所以，故此时在区间上单调递增；
当时，解方程得：，，
因为
所以当时，；所以当时，；时
从而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调减区间为；单调增区间为．
⑵由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立，所以，当时，，从而在区间上单调递增．
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有，符合题设．
②当时，，
，
于是由，及的单调性知，
所以，与题设不符．
③当时，同理可得，，进而得，与题设不符．
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是．
【答案】⑴（ⅰ）略；（ⅱ）当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调减区间为；单调增区间为．
⑶．
已知函数，，
⑴已知函数，如果是增函数，且的导函数存在正零点，求的值；
⑵设，且在上单调递增，求实数的取值范围．
⑶试求实数的个数，使得对于每个，关于的方程都有满足的偶数根．
【考点】导数与函数综合
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
⑴由题意，从而．
由题意知在上恒成立，
即在上恒成立，即，所以，
又存在正零点，即中的等号可以取到，∴，即；
⑵由题设得，
对称轴方程为，．
由于在上单调递增，则有
（Ⅰ）当即时，有，解得．
（Ⅱ）当即或时，
设方程的根为，
①若，则，有，解得；
②若，即，有，
∴，解得．（也可直接根据得到）
由①②得或．
综合（Ⅰ），（Ⅱ）有或．
⑶注意到对任意，为偶数，的取值各不同，
反证法证明如下：若为不同的偶数，满足，
则去分母后因式分解得：，
由都为偶数得为奇数，故，
从而，．
故对任意，为偶数，的取值各不同．
而满足的偶数有个，每个唯一对应一个的值，故共有个满足条件．
【答案】⑴；⑵或．⑶共有个满足条件．
定义在区间上的函数，如果满足：对，常数，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界．
⑴试判断函数在上是否有下界？并说明理由；
⑵又具有下图特征的函数称为在区间上有上界．
请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断⑴中的函数在上是否有上界？并说明理由；
⑶若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（，，、是常数）上的有界函数？
【考点】导数与函数综合
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
⑴解法1：∵，由得，
，∵，∴
∵当时，，∴函数在上是减函数；
当时，，∴函数在上是增函数；
∴是函数的在区间上的最小值点，．
∴对，都有，即在区间上存在常数，使得对都有成立，∴函数在上有下界．
解法2：∵，∴
当且仅当即时“”成立∴对，都有，
即在区间上存在常数，使得对都有成立，
∴函数在上有下界．
⑵
类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在上的函数，如果满足：对，常数，都有成立，则称函数在上有上界，其中称为函数的上界．
设则，由⑴知，对，都有，
∴，∵函数为奇函数，∴
∴，∴
即存在常数，对，都有，
∴函数在上有上界．
⑶
∵，由得，∵，．
∴，∵，∴，
∵当时，，∴函数在上是减函数；
当时，，∴函数在上是增函数；
∴是函数的在区间上的最小值点，
①当时，函数在上是增函数；∴．
∵、是常数，∴、都是常数．
令，，
∴对，常数，，都有．
即函数在上既有上界又有下界．
②当
时函数在上是减函数
∴对都有，∴函数在上有界．
③当时，函数在上有最小值
．
令，令等于、中的最大者则对，常数，，都有，
∴函数在上有界．
综上可知函数是上的有界函数．
【答案】⑴在上有下界；
⑵函数有上界可以这样定义：定义在上的函数，如果满足：对，常数，都有成立，则称函数在上有上界，其中称为函数的上界．
函数在上有上界．
⑶函数是上的有界函数．
PAGE导数与其他知识交汇
综合讲义1
导数与函数
方程的根的问题
【例1】
若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【例2】
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
⑴若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
⑵若函数有且仅有一个零点，求的值，并求出相应的零点．
⑶如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【例3】
已知函数为奇函数，
⑴求的解析式；
⑵求的单调区间．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．
【例4】
设函数，已知是奇函数．
⑴求、的值．⑵求的单调区间与极值．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．
【例5】
设函数．
⑴对于任意实数，恒成立，求的最大值；
⑵若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
【例6】
已知函数的极小值为，其导函数的图象经过点，如图所示．
⑴
求的解析式；
⑵
若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【例7】
已知二次函数满足：①在时有极值；②图象过点，且在该点处的切线与直线平行．
⑴
求的解析式；
⑵
求函数的单调递增区间．
⑶求在上的最大值与最小值．
⑷关于的方程最多有几个解?并求出此时的取值范围．
【例8】
设函数，其中常数为整数．
⑴当为何值时，；
⑵定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使．（注：此定理在新课标的必修一中已经给出了）
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根．
【例9】
已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
⑴求的解析式；
⑵是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【例10】
设为实数，函数，
⑴求的单调区间与极值；
⑵当在什么范围内取值时，方程仅有一个根．
【例11】
已知函数在处有极值．
⑴
求函数的单调区间；
⑵
若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【例12】
已知函数．
⑴若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由？
⑵若函数在上是增函数，求的取值范围．
⑶设为方程的三个根，且，，，求证：．
图象的交点问题
【例13】
已知直线与曲线有交点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．0
【例14】
直线（为自然对数的底数）与两个函数，的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是__________．
【例15】
已知函数
⑴
求的单调区间；
⑵
若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
【例16】
已知函数，其中是的导函数．
⑴对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
⑵设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．
【例17】
已知函数．
⑴
当时，求函数的单调区间；
⑵
若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．
【例18】
已知函数，且．
⑴
试用含的代数式表示；
⑵
求的单调区间；
⑶
令，设函数在处取得极值，记点，，
证明：线段与曲线存在异于的公共点．
【例19】
，其中．
⑴若，求的单调区间；
⑵在⑴的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围；
⑶设，问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例20】
已知函数．
⑴求在区间上的最大值；
⑵是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【例21】
已知是函数的一个极值点．
⑴
求；
⑵
求函数的单调区间；
⑶
若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．
【例22】
已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
⑴求的值；
⑵是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点，若存在，求出实数的值；若不存在，试说明理由．
其它
【例23】
已知，函数定义域中任意的，有如下结论：
①；②；
③；④．
上述结论中正确结论的序号是
．
【例24】
已知二次函数的图象经过原点、点和点（，且）．
⑴求函数的解析式；
⑵设（），若，，求证：．
⑶在例题⑵的条件下，若，则过原点与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
【例25】
设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
⑴若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
⑵若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．
【例26】已知函数的图象在上连续不断，定义：
，．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
⑴若，，试写出，的表达式；
⑵已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
⑶已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围．
【例27】设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．
⑴设函数，其中为实数，
（ⅰ）求证：函数具有性质；
（ⅱ）求函数的单调区间．
⑵已知函数具有性质．给定，，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围．
【例28】已知函数，，
⑴已知函数，如果是增函数，且的导函数存在正零点，求的值；
⑵设，且在上单调递增，求实数的取值范围．
⑶试求实数的个数，使得对于每个，关于的方程都有满足的偶数根．
【例29】定义在区间上的函数，如果满足：对，常数，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界．
⑴试判断函数在上是否有下界？并说明理由；
⑵又具有下图特征的函数称为在区间上有上界．
请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断⑴中的函数在上是否有上界？并说明理由；
⑶若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（，，、是常数）上的有界函数？
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