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第01讲
集合
考情分析
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知识梳理
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.
5.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
[微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
经典例题
考点一 最值问题
角度1 利用几何性质求最值
【例1－1】
设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12
B.8，11
C.8，12
D.10，12
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
答案 C
角度2 利用均值不等式或二次函数求最值
【例1－2】
(2019·郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；
(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y2＝4x.
(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3联立得方程组
消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)>0恒成立.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，∴|CB|＝4，
点A到直线l′的距离d＝，
∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)，
令＝t，t∈(1，2)，则m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，
令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2，
令f′(t)＝0，得t＝(负值舍去).
易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减.
∴y＝f(t)在t＝，即m＝－时取得最大值为.
∴△ABC面积的最大值为.
规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用
圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点二 范围问题
【例2】
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y1))，Beq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y2)).
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y，))
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2eq
\r(2（y－4x0）).
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|
＝(y－4x0).
因为x＋eq
\f(y,4)＝1(x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
因此，△PAB面积的取值范围是.
规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点三 证明问题
【例3】
已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0).
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||
||成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，
∴＋<1，解得0(2)解 由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，
则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，
从而P，||＝.
于是||＝eq
\r(（x1－1）2＋y)＝eq
\r(（x1－1）2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4))))＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列.
设该数列的公差为d，则
2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|
＝.②
将m＝代入①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.
规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.
考点四 定点问题
【例4】
已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为－.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
解 (1)设C(x，y).由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0).
整理，得＋＝1(y≠0).
故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2)法一 易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m.
联立得方程组消去y并整理，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，
即3＋4k2＝m2.
设x1，x2为方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝，
∴x1＝x2＝.
∴P，即P.
又Q(4，4k＋m)，
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，得·(4－t，4k＋m)＝0.
整理，得(t－1)＋t2－4t＋3＝0.
由的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
法二 设P(x0，y0)，则曲线C在点P处的切线PQ：＋＝1.
令x＝4，得Q.
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，
得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，
即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.
由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
考点五 定值问题
【例5】
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.
(1)证明 ∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.
又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2)解 ①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得eq
\f(x,4)－y＝0.
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴eq
\f(x,4)＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组
消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).
∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综合①②知△POQ的面积S为定值1.
规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
考点六 开放问题
【例6】
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.
将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).
联立方程得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根与系数的关系得①
其中Δ>0恒成立，
由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
＝
＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③
将①代入③得
＝＝0，④
则t＝4，
综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
[方法技巧]
1.有关弦的三个问题
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.
2.求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.
3.求范围问题要注意变量自身的范围.
4.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.
5.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.
课时作业
1．（2020·全国高三（理））过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线l有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条
【答案】C
【解析】由题可知：双曲线的方程为
所以可知：，
当过焦点直线斜率不存在时，，有1条
当过焦点直线斜率存在时，
双曲线的定点距离为，有2条
2．（2020·全国高三（理））设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】设，则依题有，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为；综上可知，选A.
3．（2020·全国高三（理））已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由双曲线的离心率为2可得：，所以
所以双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：，
又抛物线y2＝8x的准线方程为：，
由得：或，所以,
A为双曲线的右顶点，且△AMN为正三角形，则：，解得：
所以，
所以双曲线的方程为。
故选：B
4．（2020·宁夏兴庆·银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线为，
双曲线的两条渐近线为，
可得两交点为，
即有三角形的面积为，解得，故选A．
5．（2020·云南高二期末（文））已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．
6．（2020·全国高三（理））若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则(
)
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】D
【解析】抛物线的焦点是，
双曲线的一个焦点是，
由条件得解得.
7．（2020·全国高三（理））抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，为抛物线上一点，直线与双曲线有且只有一个交点，若，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】解：，直线与双曲线有且只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行.
，F为抛物线的焦点，所以，代入，则，即，，所以，所以该双曲线的离心率为.
8．（2020·全国高三（理））设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】解:设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，它们的半焦距为
因为，所以
为两曲线的一个公共点，不妨设
所以，
，
9．（2020·四川南充·高三其他（理））设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】解：，设
，
因为
，
10．（2020·河北正定中学高三月考（理））已知曲线是以原点为中心，，为焦点的椭圆，曲线是以为顶点?为焦点的抛物线，是曲线与的交点，且为钝角，若，，则（
）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【解析】不妨设位于轴负半轴,
位于轴正半轴，
位于第一象限，如图所示.
设抛物线的方程为.作抛物线的准线,则过,过作垂直于准线于点,由抛物线的定义可得，
所以.
因为点在抛物线上，所以.
由得或.
又为钝角，所以，所以，即.
故选：C.
11．（2020·武汉市第一中学高三二模（文））已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（
）
A．x2﹣y2＝1
B．y2＝1
C．y2＝1
D．y2＝1
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为，的其中一条渐近线为，
由题，得，解得，
所以双曲线得标准方程为，
故选：C
12．（2020·云南曲靖·期末（文））已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（
）
A．
B．5
C．3
D．
【答案】D
【解析】∵，∴，，因此该双曲线的一条渐近线的方程为，即.又焦点为或，可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．
13．（2020·安徽省太和中学高二期末（文））已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设，代入：，得，
（1）-（2）得.
因为线段的中点恰好为点，所以，
从而，即的斜率为.
14．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．
在中，当时，则有．①
由得，代入消去整理得．②
结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，
由①②两式消去得，
整理得，
解得或（舍去），
∴．
15．（2020·江苏广陵·扬州中学高二月考（文））已知双曲线(a＞0，b＞0)的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】由抛物线x2＝2py(p＞0)可知其焦点为，所以，又，因此双曲线的方程为，渐近线方程为.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设，由可得，即，
则，解得p＝4.故选A.
16．（2020·邵东县第十中学高三其他（文））设，双曲线与圆相切，（，），（，
），若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】联立与，消去得
，又
易知点分别为双曲线的左、右焦点，又，故由双曲线的定义可知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得
点到轴的距离为，故选D．
17．（2020·定远县私立启明民族中学高三三模（文））已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），可得a＝，c＝2，则b＝，不妨B（0，），则△BF1F2的重心G，双曲线的渐近线方程为：y＝x的距离为：d＝．
18．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（
）
A．1
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，抛物线的渐近线为，渐近线与准线的交点为，，所以，，故选B．
19．（2020·四川武侯·成都七中高三其他（文））已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设以O为原点、半焦距为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点.
由得，
要使<0，则点P在A、B之间，
∴x0的取值范围是．故选A．
20．（2020·湖北高三期中（理））若抛物线与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0有且只有两个不同的公共点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．﹣1＜a＜1
D．﹣1＜a＜1或
【答案】D
【解析】解：联立抛物线与圆的方程可得
，整理得，
，由题意知，方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根，
则或，
解得或，故选:D.
21．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（理））等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设C：－＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
22．（2020·南京市秦淮中学高三开学考试）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（
）
A．渐近线方程为
B．渐近线方程为
C．
D．
【答案】BC
【解析】双曲线离心率为
故渐近线方程为，
取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,
则，
所以则
故选BC
23．平面内与两定点，，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的结论为（
）
A．当时，曲线是一个圆
B．当时，曲线的离心率为
C．当时，曲线的渐近线方程为
D．当，，时，曲线的焦点坐标分别为和
【答案】ABD
【解析】设动点为，
当时，由条件可得，即，
又，的坐标满足.
当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆，故正确；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆，，离心率为，故正确；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故错误；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，
由，可知焦点坐标分别为和；
当时，是焦点在轴上的双曲线，方程为，
由，可知焦点坐标分别为和，故正确.
三、解答题
24．（2020·全国高三（理））已知过点，圆心在抛物线上运动，若为在轴上截得的弦，设，.
（1）当运动时，是否变化？证明你的结论.
（2）求的最大值，并求出此时方程.
【解析】（1）设，方程为，
与联立.
得.
.
在抛物线上，
，代入，
得为定值.
不变.
（2）由（1）可设、，
，，
当且仅当时取等号，将代入抛物线可得，即圆心为：，，此时圆方程为.
25．（2020·全国高三（理））已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.
【解析】解：（1）由椭圆：得，焦点在轴上，
，∴，所以双曲线方程为.
（2）∵椭圆：的焦距为，∴，
抛物线方程为，
26．（2020·安徽省泗县第一中学高三其他（文））已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，圆与有且仅有两个交点且都在y轴上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线与椭圆C相切，斜率为的直线与椭圆E交于M，N两点，直线与直线交于点Q．证明：．
【解析】（1）因为圆与C有且仅有两个交点且都在轴上，所以，又，可得故椭圆C的方程为；
（2）证明：由题斜率存在，故可设直线的方程为，整理为
联立，消去后整理，
解得：．
故直线的方程为．
设直线的方程为，点，，
联立，解得，则，
所以，．
联立，整理可得，则，，
所以，同理
．
所以
．
故有
即
27．（2020·全国高三月考（理））已知双曲线：的离心率，其左焦点到此双曲线渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求圆的圆心到抛物线的准线的距离.
【解析】
解：（1）由题意可得，
解得，
∴双曲线的方程为；
（2）易知直线与轴不重合，设直线的方程为，
联立方程，可得，
上述方程式的判别式，以及（否则直线不能与双曲线交两点），
设，，则，，
同时可得，
以为直径的圆过原点，知，
结合，可知，，
∴圆的圆心即中点的纵坐标为，
∵抛物线的准线方程为，
∴圆的圆心到抛物线的准线距离为或．
28．（2020·西藏城关·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）设动直线：与抛物线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标．
【解析】（1）设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线的方程联立，得，
所以，，得；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，得，①
，所以，，②
方程①为，所以，点的坐标为，
点的坐标为，设点的坐标为，
，，
对任意的恒成立，
∴，解得.
因此，点的横坐标.
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精品试卷·第
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第01讲
集合
考情分析
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；
2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知识梳理
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.
5.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
[微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
经典例题
考点一 最值问题
角度1 利用几何性质求最值
【例1－1】
设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9，12
B.8，11
C.8，12
D.10，12
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
答案 C
角度2 利用均值不等式或二次函数求最值
【例1－2】
(2019·郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切.
(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；
(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，∴动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y2＝4x.
(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3联立得方程组
消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)>0恒成立.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝4－2m，x1·x2＝m2，∴|CB|＝4，
点A到直线l′的距离d＝，
∴S△ABC＝×4×＝2×(3＋m)，
令＝t，t∈(1，2)，则m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，
令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2，
令f′(t)＝0，得t＝(负值舍去).
易知y＝f(t)在上单调递增，在上单调递减.
∴y＝f(t)在t＝，即m＝－时取得最大值为.
∴△ABC面积的最大值为.
规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用
圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点二 范围问题
【例2】
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y1))，Beq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y，y2)).
因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y，))
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2eq
\r(2（y－4x0）).
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|
＝(y－4x0).
因为x＋eq
\f(y,4)＝1(x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
因此，△PAB面积的取值范围是.
规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点三 证明问题
【例3】
已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0).
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||
||成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，
∴＋<1，解得0(2)解 由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，
则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，
从而P，||＝.
于是||＝eq
\r(（x1－1）2＋y)＝eq
\r(（x1－1）2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,4))))＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列.
设该数列的公差为d，则
2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|
＝.②
将m＝代入①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.
规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.
考点四 定点问题
【例4】
已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为－.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)(一题多解)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
解 (1)设C(x，y).由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0).
整理，得＋＝1(y≠0).
故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2)法一 易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m.
联立得方程组消去y并整理，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，
即3＋4k2＝m2.
设x1，x2为方程(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0的两个根，则x1＋x2＝，
∴x1＝x2＝.
∴P，即P.
又Q(4，4k＋m)，
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，得·(4－t，4k＋m)＝0.
整理，得(t－1)＋t2－4t＋3＝0.
由的任意性，得t－1＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
法二 设P(x0，y0)，则曲线C在点P处的切线PQ：＋＝1.
令x＝4，得Q.
设R(t，0)为以PQ为直径的圆上一点，则由·＝0，
得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，
即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.
由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.
综上可知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1，0).
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
考点五 定值问题
【例5】
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.
(1)证明 ∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.
又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝＝－.
(2)解 ①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－，得eq
\f(x,4)－y＝0.
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴eq
\f(x,4)＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组
消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0).
∴S△POQ＝|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综合①②知△POQ的面积S为定值1.
规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
→
↓
→
↓
→
考点六 开放问题
【例6】
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.
将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t，0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).
联立方程得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根与系数的关系得①
其中Δ>0恒成立，
由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
＝
＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③
将①代入③得
＝＝0，④
则t＝4，
综上所述，存在T(4，0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
[方法技巧]
1.有关弦的三个问题
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.
2.求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.
3.求范围问题要注意变量自身的范围.
4.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.
5.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.
课时作业
1．（2020·全国高三（理））过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线l有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．0条
2．（2020·全国高三（理））设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（
）
A．或
B．或
C．
D．
3．（2020·全国高三（理））已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·宁夏兴庆·银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为
(
)
A．
B．
C．
D．
5．（2020·云南高二期末（文））已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国高三（理））若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则(
)
A．2
B．4
C．8
D．16
7．（2020·全国高三（理））抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，为抛物线上一点，直线与双曲线有且只有一个交点，若，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
8．（2020·全国高三（理））设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．4
9．（2020·四川南充·高三其他（理））设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
10．（2020·河北正定中学高三月考（理））已知曲线是以原点为中心，，为焦点的椭圆，曲线是以为顶点?为焦点的抛物线，是曲线与的交点，且为钝角，若，，则（
）
A．
B．
C．2
D．4
11．（2020·武汉市第一中学高三二模（文））已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线（a＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（
）
A．x2﹣y2＝1
B．y2＝1
C．y2＝1
D．y2＝1
12．（2020·云南曲靖·期末（文））已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（
）
A．
B．5
C．3
D．
13．（2020·安徽省太和中学高二期末（文））已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于
(
)
A．
B．
C．
D．
15．（2020·江苏广陵·扬州中学高二月考（文））已知双曲线(a＞0，b＞0)的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
16．（2020·邵东县第十中学高三其他（文））设，双曲线与圆相切，（，），（，
），若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·定远县私立启明民族中学高三三模（文））已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（
）
A．1
B．
C．
D．4
19．（2020·四川武侯·成都七中高三其他（文））已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若<0,则x0的取值范围是
A．
B．
C．
D．
20．（2020·湖北高三期中（理））若抛物线与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0有且只有两个不同的公共点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．﹣1＜a＜1
D．﹣1＜a＜1或
21．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（理））等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（
）
A．
B．
C．
D．
22．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高三开学考试）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（
）
A．渐近线方程为
B．渐近线方程为
C．
D．
23．（多选题）平面内与两定点，，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的结论为（
）
A．当时，曲线是一个圆
B．当时，曲线的离心率为
C．当时，曲线的渐近线方程为
D．当，，时，曲线的焦点坐标分别为和
24．（2020·全国高三（理））已知过点，圆心在抛物线上运动，若为在轴上截得的弦，设，.
（1）当运动时，是否变化？证明你的结论.
（2）求的最大值，并求出此时方程.
25．（2020·全国高三（理））已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.
26．（2020·安徽省泗县第一中学高三其他（文））已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，圆与有且仅有两个交点且都在y轴上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线与椭圆C相切，斜率为的直线与椭圆E交于M，N两点，直线与直线交于点Q．证明：．
27．（2020·全国高三月考（理））已知双曲线：的离心率，其左焦点到此双曲线渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求圆的圆心到抛物线的准线的距离.
28．（2020·西藏城关·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知抛物线：，过点的直线与抛物线相交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）设动直线：与抛物线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标．
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精品试卷·第
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