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第47讲-变量的相关性与统计案例
考情分析
1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；
2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
知识梳理
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B
总计
A
n11
n12
n1＋
A
n21
n22
n2＋
总计
n＋1
n＋2
n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
[微点提醒]
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
经典例题
考点一 相关关系的判断
【例1】
(1)观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析 (1)由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关系数r越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.
3.线性回归直线方程中：>0时，正相关；<0时，负相关.
考点二 线性回归方程及应用
【例2】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2
012，z＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
Z
0
1
2
3
5
表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程＝x＋，
其中＝eq
\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－)
解 (1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，
＝＝1.2，
＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2
012，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2
012)－1.4，即＝1.2x－2
410.8.
(3)因为＝1.2×2
022－2
410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
规律方法 1.(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
(2)回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换，
求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.
考点三 独立性检验
【例3】环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染指数
(0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，300]
(300，＋∞)
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；
(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
11
27
11
7
3
1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优、良
空气质量污染
总计
限行前
限行后
总计
解 (1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，
所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，
由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.
(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，
按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A1，A2，A3，A4，
空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B1，B2，
从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个，
记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A所包含的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9个，
故P(A)＝＝，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为.
(3)2×2列联表如下：
空气质量优、良
空气质量污染
总计
限行前
90
90
180
限行后
38
22
60
总计
128
112
240
由表中数据可得，
χ2＝≈3.214<3.841，所以没有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
规律方法 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足n11n22－n12n21≈0.|n11n22－n12n21|越小，说明两个变量之间关系越弱；|n11n22－n12n21|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式计算χ2的值；
(3)比较χ2的值与临界值的大小关系，作统计推断.
[方法技巧]
1.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^
，由于a^
，b^
的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
课时作业
1．（2020·全国高三月考（理））已知变量，，都是正数，与的回归方程：，且每增加1个单位，减少2个单位，与的回归方程：，则（
）
A．与正相关，与正相关
B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与正相关
D．与负相关，与负相关
【答案】D
【解析】由题意，得：，故与正相关，与负相关，可得：与负相关.
2．（2020·全国高三（文））设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【答案】D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为
y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y
与
x
具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加
1cm，预测其体重约增加
0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为
170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
3．（2020·河南洛阳·高三月考（文））我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某景区对重新开放后的月份与该月游客的日平均人数（单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据：
月份
日平均人数
若与线性相关．且求得其线性回归方程为，则表中的值为（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【解析】由表格中的数据可得，，
将点的坐标代入回归直线方程得，解得.
4．（2020·湖北襄城·襄阳四中高三月考（文））某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.
零件数个
10
20
30
40
50
加工时间
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（
）
A．68
B．68.3
C．68.5
D．70
【答案】A
【解析】，
设模糊看不清的数据为，
则，
∴，即.
5．（2020·西安市长安区第五中学高三月考（文））若变量之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为
所以回归直线必过定点
故选：C
6．（2020·江苏常州·高二期末）对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为＝，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是（
）
A．114.5
B．115
C．115.5
D．116
【答案】B
【解析】由题可知：，，
所以，
当时
，
7．（2020·广东月考）在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是(
)
A．
B．
C．
D．（）
【答案】B
【解析】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B．
8．（2020·宁夏高三其他（文））通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是（
）
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
【解析】解：∵计算得到统计量值的观测值，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”.
9．（2020·西安市长安区第五中学高三月考（文））对于相关系数，下列说法中正确的是（
）
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
【答案】D
【解析】解：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误；
对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误；
对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱,
即C错误；
对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确，
10．（2020·河南高二期末（理））对两个变量进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（
）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量之间的相关系数为，则变量之间具有线性相关关系
【答案】C
【解析】解：样本中心点在直线上，故A正确，
残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，
R2越大拟合效果越好，故C不正确，
当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选C
11．（2020·全国高三课时练习（理））某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值.
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（
）
A．95%
B．5%
C．97.5%
D．2.5%
【答案】B
【解析】由题意知观测值k2≈3.918>3.841，所以对照题中的附表得P(K2≥k)＝0.05＝5%.
12．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）用最小二乘法得到一组数据（其中、、、、）的线性回归方程为，若，，则当时，的预报值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，
由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得.
所以，回归直线方程为，当时，.
13．（2020·四川新都·高三开学考试（理））给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差；
④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（
）
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．②④
【答案】B
【解析】解:对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据平均数的计算公式可得,根据方差的计算公式，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.
14．（2018·黑龙江大庆中学高三一模（文））下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是（
）
3
4
5
6
2.5
4
4.5
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．回归直线一定过
C．产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D．的值是3.15
【答案】D
【解析】由题意，==4.5，
∵=0.7x+0.35，
∴=0.7×4.5+0.35=3.5，
∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3，故选D．
15．（2020·云南昆明一中高三其他（理））我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图
根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（
）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量
C．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数
D．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数
【答案】C
【解析】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，
16．（2019·陕西韩城·高三月考（文））在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．－1
B．0
C．
D．1
【答案】D
【解析】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
17．（多选题）（2020·江西高三其他（文））某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（
）
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元
C．销售额y与年份序号x线性相关不显著
D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
【答案】BC
【解析】对于A，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确，不符合题意；
对于B，令，由三次多项式函数得，所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B错误，符合题意；
对于C，因为相关系数，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，故C错误，符合题意；
对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，故D正确，不符合题意.
18．（多选题）（2020·琼山·海南中学高三月考）（多选题）下列说法正确的是（
）
A．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位
B．两个具有线性相关关系的变量，当相关指数的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强
C．若两个变量的相关指数，则说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起的
D．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
【答案】CD
【解析】对于，根据回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均减少个单位，错误；
对于，当相关指数的值越接近于，两个变量的相关性就越强，错误；
对于，由相关指数的意义可知正确；
对于，当解释变量时，预报变量，则样本点的残差为，正确.
19．（多选题）（2020·琼山·海南中学月考）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（
）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后的回归方程为
C．去除后y的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点的残差为0.05
【答案】AB
【解析】因为回归直线方程为，，
所以变量x与y具有正相关关系.故A正确.
当时，，
样本点为，去掉两个数据点和后，样本点还是，
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，
所以，
解得，
所以去除后的回归方程为，故B正确.
因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误.
因为，
所以，故D错误.
20．（多选题）（2020·河北高三月考）2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份编号
1
2
3
4
5
销量部
37
104
196
216
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．8月份该手机商城的手机销量约为36.5万部
【答案】AB
【解析】由表中数据，计算得，所以，
于是得，解得，故A正确；
由回归方程中的的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，故B正确，C错误；
8月份时，，（万部），故D错误．
21．（2020·广西南宁三中高三其他（理））国家放开二胎政策后，不少家庭开始生育二胎，随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生，其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的，统计情况如下表：
同意
不同意
合计
男生
20
女生
20
合计
110
（l）求，的值
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?请说明理由.
附：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】（1）依题，；
（2），，
查表可得，有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.
22．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.
（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？
A
B
合计
成活株数
未成活株数
合计
50
50
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如下表：
直径x
10
15
20
25
30
单株售价y
4
8
10
16
27
根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明.
（一般认为，为高度线性相关）
参考公式及数据：相关系数
.
【解析】解：试验发现有80%的树苗成活，故不成活20株，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.
树苗未成活有5株，成活45株，树苗未成活有15株，成活35株，
（1）列联表如下：
A
B
合计
成活株数
45
35
80
未成活株数
5
15
20
合计
50
50
100
，
故没有99%的把握认为二者有差异；
（2）.
.
23．（2020·贵州遵义·高三其他（理））为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图，如图所示.
（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；
（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
【解析】（1）由题意得：，
所以，
200人的平均年龄为：；
（2）依题意按照分层抽样从第2组中抽取3人，第3组中抽取7人，第5组中抽取2人；再从这12人中抽取3人一共有种结果；其中这三人恰好来自不同组别有
故这三人恰好属于不同组别的概率
（3）由题意可得列联表为：
购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200
故，
故没有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关.
24．（2020·山东济南外国语学校高三月考）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【解析】（1）因为，．
，
，
．
．
∴可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），．
∴．
当时，．
∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．
25．（2020·云南昆明一中月考（理））学校食堂统计了最近天到餐厅就餐的人数（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量（袋），得到如下统计表：
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
就餐人数（百人）
13
9
8
10
12
原材料（袋）
32
23
18
24
28
（1）根据所给的组数据，求出关于的线性回归方程；
（2）已知购买食材的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋食材相应的销售单价为元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L
=销售收入-原材料费用）
参考公式：，
参考数据：，，
【解析】（1）由所给数据可得：，，
，，
故关于的线性回归方程为.
（2）因为，所以当时，即预计需要购买食材袋，
因为，
所以当时，利润，
此时当时，，
当时，由题意可知，剩余的食材只能无偿退还，
此时当时，，
当时，利润，
综上所述，食堂应购买袋食，才能获得最大利润，最大利润为元.
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第47讲-变量的相关性与统计案例
考情分析
1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；
2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
知识梳理
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B
总计
A
n11
n12
n1＋
A
n21
n22
n2＋
总计
n＋1
n＋2
n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
[微点提醒]
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
经典例题
考点一 相关关系的判断
【例1】
(1)观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析 (1)由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关系数r越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.
3.线性回归直线方程中：>0时，正相关；<0时，负相关.
考点二 线性回归方程及应用
【例2】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2
012，z＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
Z
0
1
2
3
5
表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程＝x＋，
其中＝eq
\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，＝－)
解 (1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55，
＝＝1.2，
＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2
012，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2
012)－1.4，即＝1.2x－2
410.8.
(3)因为＝1.2×2
022－2
410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
规律方法 1.(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
(2)回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换，
求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.
考点三 独立性检验
【例3】环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：
空气污染指数
(0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，300]
(300，＋∞)
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；
(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
11
27
11
7
3
1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优、良
空气质量污染
总计
限行前
限行后
总计
解 (1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，
所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，
由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.
(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，
按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A1，A2，A3，A4，
空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B1，B2，
从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个，
记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A所包含的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9个，
故P(A)＝＝，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为.
(3)2×2列联表如下：
空气质量优、良
空气质量污染
总计
限行前
90
90
180
限行后
38
22
60
总计
128
112
240
由表中数据可得，
χ2＝≈3.214<3.841，所以没有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
规律方法 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足n11n22－n12n21≈0.|n11n22－n12n21|越小，说明两个变量之间关系越弱；|n11n22－n12n21|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式计算χ2的值；
(3)比较χ2的值与临界值的大小关系，作统计推断.
[方法技巧]
1.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^
，由于a^
，b^
的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
课时作业
1．（2020·全国高三月考（理））已知变量，，都是正数，与的回归方程：，且每增加1个单位，减少2个单位，与的回归方程：，则（
）
A．与正相关，与正相关
B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与正相关
D．与负相关，与负相关
2．（2020·全国高三（文））设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
3．（2020·河南洛阳·高三月考（文））我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某景区对重新开放后的月份与该月游客的日平均人数（单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据：
月份
日平均人数
若与线性相关．且求得其线性回归方程为，则表中的值为（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
4．（2020·湖北襄城·襄阳四中高三月考（文））某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.
零件数个
10
20
30
40
50
加工时间
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（
）
A．68
B．68.3
C．68.5
D．70
5．（2020·西安市长安区第五中学高三月考（文））若变量之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·江苏常州·高二期末）对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为＝，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是（
）
A．114.5
B．115
C．115.5
D．116
7．（2020·广东月考）在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是(
)
A．
B．
C．
D．（）
8．（2020·宁夏高三其他（文））通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是（
）
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
9．（2020·西安市长安区第五中学高三月考（文））对于相关系数，下列说法中正确的是（
）
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
10．（2020·河南高二期末（理））对两个变量进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（
）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量之间的相关系数为，则变量之间具有线性相关关系
11．（2020·全国高三课时练习（理））某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值.
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（
）
A．95%
B．5%
C．97.5%
D．2.5%
12．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）用最小二乘法得到一组数据（其中、、、、）的线性回归方程为，若，，则当时，的预报值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·四川新都·高三开学考试（理））给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差；
④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（
）
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．②④
14．（2018·黑龙江大庆中学高三一模（文））下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是（
）
3
4
5
6
2.5
4
4.5
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．回归直线一定过
C．产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D．的值是3.15
15．（2020·云南昆明一中高三其他（理））我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图
根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（
）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量
C．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数
D．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数
16．（2019·陕西韩城·高三月考（文））在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．－1
B．0
C．
D．1
17．（多选题）（2020·江西高三其他（文））某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（
）
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元
C．销售额y与年份序号x线性相关不显著
D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
18．（多选题）（2020·琼山·海南中学高三月考）（多选题）下列说法正确的是（
）
A．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位
B．两个具有线性相关关系的变量，当相关指数的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强
C．若两个变量的相关指数，则说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起的
D．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
19．（多选题）（2020·琼山·海南中学月考）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（
）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后的回归方程为
C．去除后y的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点的残差为0.05
20．（多选题）（2020·河北高三月考）2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份编号
1
2
3
4
5
销量部
37
104
196
216
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．8月份该手机商城的手机销量约为36.5万部
21．（2020·广西南宁三中高三其他（理））国家放开二胎政策后，不少家庭开始生育二胎，随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生，其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的，统计情况如下表：
同意
不同意
合计
男生
20
女生
20
合计
110
（l）求，的值
（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?请说明理由.
附：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.
（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？
A
B
合计
成活株数
未成活株数
合计
50
50
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如下表：
直径x
10
15
20
25
30
单株售价y
4
8
10
16
27
根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明.
（一般认为，为高度线性相关）
参考公式及数据：相关系数
.
23．（2020·贵州遵义·高三其他（理））为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图，如图所示.
（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；
（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
24．（2020·山东济南外国语学校高三月考）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
25．（2020·云南昆明一中月考（理））学校食堂统计了最近天到餐厅就餐的人数（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量（袋），得到如下统计表：
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
就餐人数（百人）
13
9
8
10
12
原材料（袋）
32
23
18
24
28
（1）根据所给的组数据，求出关于的线性回归方程；
（2）已知购买食材的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋食材相应的销售单价为元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L
=销售收入-原材料费用）
参考公式：，
参考数据：，，
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精品试卷·第
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