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第49讲
排列与组合
考情分析
1.理解排列、组合的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq
\f(A,A)＝＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
[微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
经典例题
考点一 排列问题
【例1】
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
解 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2
520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5
040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1
440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3
600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3
600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3
720.
法二 (间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3
720(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
考点二 组合问题
【例2】
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5
984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5
984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2
100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2
100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2
100＋455＝2
555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2
555种.
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6
545－455＝6
090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6
090种.
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
考点三 分组、分配问题
【例3】
(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A.80种
B.90种
C.120种
D.150种
(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )
A.24种
B.30种
C.48种
D.60种
解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有eq
\f(CCC,A)种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq
\f(CCC,A)·A＝90种分派方法.
(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有eq
\f(CCC,A)种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq
\f(CCC,A)·A＝90种分派方法；
另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有eq
\f(CCC,A)种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq
\f(CCC,A)A＝60种分派方法.
所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).
(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.
答案 (1)90
(2)D
(3)C
规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.
2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.
[方法技巧]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
课时作业
1．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（
）
A．40种
B．60种
C．100种
D．120种
2．（2019·湖北武汉·高三其他（文））用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
3．（2020·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）将5封信投入3个邮筒，不同的投法有
（ ）
A．种
B．种
C．3种
D．15种
4．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三二模（理））为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（
）
A．540
B．240
C．150
D．120
5．（2020·江苏宿迁·高二期中）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（
）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
6．（2020·武威第六中学高二期末（理））某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（
）
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种
7．（2020·岑溪市第一中学高二月考）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·湖北云梦·高二月考）从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（
）．
A．96
B．48
C．72
D．36
9．（2020·湖北武汉·高二期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（
）
A．6
B．12
C．18
D．24
10．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）现有件互不相同的产品，其中有件正品，件次品，每次从中任取一件测试，直到件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有（
）种.
A．
B．
C．
D．
11．（2020·四川成都·月考（理））美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲?乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（
）种
A．96
B．120
C．180
D．216
12．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有
A．15种
B．18种
C．19种
D．21种
14．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（
）
A．17
B．18
C．19
D．20
15．（2020·江苏徐州·高三月考）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（
）
A．6种
B．24种
C．36种
D．72种
16．（2020·北京高二期末）从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（
）
A．12种
B．24种
C．36种
D．64种
17．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（
）
A．12种
B．18种
C．36种
D．54种
18．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
19．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（
）
A．2680种
B．4320种
C．4920种
D．5140种
20．（2020·全国高二单元测试）有名优秀毕业生到母校的个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2020·天津滨海新·高三其他）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.
22．（2020·浙江高三其他）已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有
．
23．（2020·河北高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
24．（2020·山西高三月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.
25．（2019·河南中牟·高二期中（理））有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）
26．（2019·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).
27．（2020·越秀·广东实验中学高三月考）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
28．（2020·上海市七宝中学高三月考）我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类?物理学类?力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).
29．（2020·四川省新津中学高三开学考试（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
30．（2020·重庆市第七中学校高二月考）从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.
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精品试卷·第
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排列与组合
考情分析
1.理解排列、组合的概念；
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq
\f(A,A)＝＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
[微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
经典例题
考点一 排列问题
【例1】
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
解 (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2
520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5
040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1
440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3
600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3
600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3
720.
法二 (间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3
720(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
考点二 组合问题
【例2】
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5
984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5
984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2
100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2
100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2
100＋455＝2
555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2
555种.
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6
545－455＝6
090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6
090种.
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
考点三 分组、分配问题
【例3】
(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A.80种
B.90种
C.120种
D.150种
(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )
A.24种
B.30种
C.48种
D.60种
解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有eq
\f(CCC,A)种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq
\f(CCC,A)·A＝90种分派方法.
(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有eq
\f(CCC,A)种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq
\f(CCC,A)·A＝90种分派方法；
另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有eq
\f(CCC,A)种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有eq
\f(CCC,A)A＝60种分派方法.
所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).
(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.
答案 (1)90
(2)D
(3)C
规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.
2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.
[方法技巧]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
课时作业
1．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（
）
A．40种
B．60种
C．100种
D．120种
【答案】B
【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有
=60种.
2．（2019·湖北武汉·高三其他（文））用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】B
【解析】解：若个位数是，则有种，
若个位数不是，则有种，
则共有种，
3．（2020·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）将5封信投入3个邮筒，不同的投法有
（ ）
A．种
B．种
C．3种
D．15种
【答案】B
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
首先第一封信有3种不同的投法，
第二封信也有3种不同的投法，以此类推
每一封信都有3种结果，
∴根据分步计数原理知共有35种结果，
4．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三二模（理））为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（
）
A．540
B．240
C．150
D．120
【答案】C
【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为或，
当分派到3个贫困村得人数为时，有种；
当分派到3个贫困村得人数为时，有种，
所以共有种.
5．（2020·江苏宿迁·高二期中）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（
）
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
【答案】D
【解析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.
6．（2020·武威第六中学高二期末（理））某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（
）
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种
【答案】B
【解析】方法数有种.故选B.
7．（2020·岑溪市第一中学高二月考）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部），基本事件总数，
《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组包含的基本事件个数，
所以《九章算术》《海岛算经》在同一组的概率为，
8．（2020·湖北云梦·高二月考）从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（
）．
A．96
B．48
C．72
D．36
【答案】B
【解析】解：从4名男生和4名女生中任意选取3名学生，至少要选到男生与女生各一名，有两种情况：一种是1男2女，另一种是2男1女
其中1男2女的有种；2男1女的有，
所以不同的选法有种
9．（2020·湖北武汉·高二期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（
）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】D
【解析】第一步：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，共有种可能；
第二步：从所选的2个奇数中选一个放在个位，然后把余下的两个数在百位与十位全排列，共有种可能；
所以可以组成无重复数字的三位奇数有种.
10．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）现有件互不相同的产品，其中有件正品，件次品，每次从中任取一件测试，直到件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有（
）种.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，第三件次品恰好在第次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.
第三件次品恰好在第次被测出的所有检测方法有种.
11．（2020·四川成都·月考（理））美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲?乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（
）种
A．96
B．120
C．180
D．216
【答案】D
【解析】由
12．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，甲有3种，乙有两种，丙、丁各有3种，共54种．故选A
13．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有
A．15种
B．18种
C．19种
D．21种
【答案】B
【解析】每个盒子先放一个球，用去3个球，则不同放法就是剩余6
个球的放法；有两类：
第一，6个球分成1,5或2,4两组，共有种方法；第二，6个球分成1,2,3三组，有种方法．所以不同放法共有12+6=18种．故选B
14．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（
）
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】C
【解析】解：将5个字母排成一排，可分三步进行：
第一步：排e,o，共有种排法；
第二步：排三个r，共有种排法；
将5个字母排成一排共有种排法，
可能出现的错误写法的种数为种；
15．（2020·江苏徐州·高三月考）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（
）
A．6种
B．24种
C．36种
D．72种
【答案】C
【解析】根据题意有两个人是分到同一个地方的，
先选出两人作伴，之后再进行全排，
则由分步计数原理有（种），
故选：C.
16．（2020·北京高二期末）从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（
）
A．12种
B．24种
C．36种
D．64种
【答案】B
【解析】根据题意，先在4个人中任选3个人，有种选法，
再将选出的3人全排列，安排去完成3项不同的工作，有种情况，
则有种安排方法.
17．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（
）
A．12种
B．18种
C．36种
D．54种
【答案】B
【解析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，
则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，
共有种排法，
所以不同的放法数（种）.
18．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
19．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（
）
A．2680种
B．4320种
C．4920种
D．5140种
【答案】B
【解析】个点可组成的三角形有，∵三盆兰花不能放在一条直线上，∴可放入三角形三个角上，有中放法，再放盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余个位置，有种放法，∴不同的摆放方法为种．故
20．（2020·全国高二单元测试）有名优秀毕业生到母校的个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．
若是1，1，3，则有种，
若是1，2，2，则有种
所以共有150种不同的方法，
21．（2020·天津滨海新·高三其他）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.
【答案】36
【解析】根据题意可分为2种情况讨论：
（1）若小张或小赵入选，则有种不同的选法；
（2）若小张，小赵都入选，则有种不同的选法，
综上可得，共有种不同的选法.
22．（2020·浙江高三其他）已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有
．
【答案】
【解析】先考虑甲乙捆绑成一个的情形:（甲乙）丙；
（甲乙）
丙；
（乙甲）
丙；（乙甲）
丙；
（甲乙）丙；
（甲乙）丙；（乙甲）
丙；（乙甲）
丙.共有8种可能；将三个大人全排列共种可能，所以共有种可能.
23．（2020·河北高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
【答案】180
【解析】分配的方案有两类，
第一类：一组3人，另一组5人，有种；
第二类：两组均为4人，有种，
所以共有种不同的分配方案．
24．（2020·山西高三月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.
【答案】16
【解析】农场主在中间共有种站法，
农场主在中间，两名男生相邻共有种站法，
故所求站法共有种.
25．（2019·河南中牟·高二期中（理））有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）
【答案】144
【解析】因为丙需2人承担且至少1人是男生，所以有二种情况：（1）一男生一女生选丙任务；（2）二男生选丙任务.
（1）一男生一女生选丙任务：不同的选法种数为；
（2）二男生选丙任务：不同的选法种数为，
所以从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是.
26．（2019·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).
【答案】30
【解析】设A表示命中的情况，B表示未命中的情况，
将两次连续的命中（AA)一起考虑，将三次连续的命中（AAA）一起考虑，所以将（A
A）和（AAA）插入到五个BBBBB之间，而5个B之间有6个空可以插入，所以共有种情况，
27．（2020·越秀·广东实验中学高三月考）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
【答案】300
【解析】从8个专业中任选3个专业填报，共有=336种，
其中甲，乙同时兼报的有：，
故符合题意的填报志愿的方法种数为：种．
28．（2020·上海市七宝中学高三月考）我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类?物理学类?力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】解：将5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类?物理学类?力学类这三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有种，
三个专业都有我校学生的情况有种不同分配方式，
三个专业都有我校学生的概率：，
29．（2020·四川省新津中学高三开学考试（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
【答案】
【解析】若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有
种；
若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；
若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.
30．（2020·重庆市第七中学校高二月考）从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.
【答案】120
【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.
因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：
一类是，前三个圆用3种颜色，有种方法，后3个圆也有3种颜色，有种方法，此时不同方法有6×4=24方法；
二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有方法.
综上可知，所有的涂法共有种方法.
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精品试卷·第
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