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第50讲
二项式定理
考情分析
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[微点提醒]
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
经典例题
考点一 通项公式及其应用 INCLUDEPICTURE"箭头.TIF"多维探究
角度1 求二项展开式中的特定项
【例1－1】
(1)(x2＋1)的展开式的常数项是( )
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
(2)的展开式中所有的有理项为________.
解析 (1)由于的通项为C··(－2)r＝C·(－2)r·x，
故(x2＋1)·的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42.
(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx
.
由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，
－，x－2.
答案 (1)D (2)x2，－，x－2
规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.
角度2 求二项展开式中特定项的系数
【例1－2】
(1)(多项式是积的形式)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15
B.20
C.30
D.35
(2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于( )
A.2
B.2
C.－2
D.－1
(3)(三项展开式问题)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4，
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2.
(3)法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
答案 (1)C (2)B (3)C
规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
考点二 二项式系数与各项的系数问题
【例2】
(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
解析 (1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
答案 (1)3 (2)1或－3
规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m
(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
考点三 二项式系数的性质 INCLUDEPICTURE"箭头.TIF"多维探究
角度1 二项式系数的最值问题
【例3－1】
二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A.3
B.5
C.6
D.7
解析 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
答案 D
角度2 项的系数的最值问题
【例3－2】
已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________.
解析 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8
064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·210－k≥C·210－k＋1，,C·210－k≥C·210－k－1，))得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥2C，,2C≥C，))
即解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15
360x4.
答案 －8
064 －15
360x4
规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
2.二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.
[方法技巧]
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
课时作业
1．（2020·福建省福州第一中学开学考试）在的二项展开式中的系数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为展开式的第项为，
令，则，
所以的二项展开式中的系数为.
2．（2020·北京期末）展开式中各项系数之和为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】解：令，得展开式中各项系数之和为.
3．（2020·广西南宁三中高三其他（理））二项式的展开式中常数项为（
）
A．5
B．10
C．-20
D．40
【答案】D
【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式中的常数项为，
4．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））的展开式中，第4项的系数为（
）
A．
B．80
C．40
D．
【答案】A
【解析】解：，
5．（2020·北京高三开学考试）在的展开式中，常数项为（
）
A．60
B．30
C．20
D．15
【答案】A
【解析】因为展开式的第项为，
令，则，
所以常数项为.
6．（2020·河南高三月考（理））在展开式中，含的项的系数是（
）
A．220
B．-220
C．100
D．-100
【答案】D
【解析】解:由题意知，含的项有两部分，即，
所以含的项的系数是.
7．（2020·湖南高三月考）设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（
）
A．－2
B．2
C．3
D．－3
【答案】D
【解析】的二项展开式的通项公式为，.
令，得，
所以展开式中项的系数为，解得.
8．（2020·广西南宁·高三月考（理））展开式中项的系数为（
）
A．5
B．6
C．-6
D．-4
【答案】B
【解析】分解，
求这两部分的项的系数和，
项为.
9．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））在二项式的展开式中，含的项的系数是（
）
A．
B．
C．15
D．
【答案】B
【解析】由知,所以的系数为，
10．（2020·河南南阳·高二期末（理））在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是
A．-15
B．85
C．-120
D．274
【答案】A
【解析】的展开式中，
含项为五个括号中四个取还有一个括号取常数相乘得到，
故含的项的系数为
11．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（
）
A．4
B．5
C．4或5
D．6
【答案】C
【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得
所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，
12．（2020·北京二模）在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣40
B．40
C．﹣80
D．80
【答案】C
【解析】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为，
故x2的系数为：﹣80．
13．（2020·云南昆明一中月考（理））在的展开式中的系数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】的展开式的通公式为，
令.则，
故的系数是，
14．（2020·广东月考）在的展开式中，的系数是（
）
A．20
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
15．（2020·广东月考）的展开式中，的系数为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由题意，
的通项公式为，
令，则；
令，则；
所以的展开式中，的系数为.
16．（2020·广东月考）已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（
）
A．-84
B．-14
C．14
D．84
【答案】A
【解析】因为二项式的系数之和等于128，
所以，解得，
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为，
17．（2020·山东济南外国语学校高三月考）二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）
A．8
B．6
C．5
D．10
【答案】C
【解析】由二项式的展开式的通项得：令
，得，则
，所以，解得，
18．（2020·广西柳州·高三二模（理））的展开式中，项的系数为-10，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，分别令，可求得
的系数为，的系数为，
故的展开式中，项的系数为，解得．
19．（2020·山东潍坊·高三月考）的展开式中常数项为（
）
A．
B．160
C．80
D．
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式的常数项为.
20．（2020·重庆高二月考）展开式中的常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意．
二项展开式的通项为，
令得常数项为．
21．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）展开式中的常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】解：可得展开式的通项公式为，
令，则常数项为．
22．（2020·湖南郴州·月考）已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含项的系数是__________.
【答案】60
【解析】解：由于的展开式的二项式系数之和为，
所以，解得，
所以，
故令，即可得.
23．（2020·宝山·上海交大附中高三月考）在的二项展开式中，常数项为______.
【答案】84.
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的二项展开式中，常数项为.
24．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知，若，则实数m＝________.
【答案】
【解析】因为的通项公式，
故令得，故，.
25．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））在的展开式中，含项的系数为_________．
【答案】
【解析】的展开式的通项公式：，
令，解得，
所以含项的系数为.
26．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考）若的展开式的常数项为6，则_________.
【答案】4
【解析】解：∵展开式的通项公式为：
，
令，可得，
∴展开式的常数项为，解得.
27．（2018·广东高二期末（理））在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.
【答案】3
【解析】的展开式
令二项式中的得到展开式中的各项系数的和为，
又各项二项式系数的和，为，
根据题意得即，
解得或
(负值舍)，
故.
28．（2020·江西高二期末（理））在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【解析】解：（1）的展开式中所有二项式系数之和为，，
故展开式的通项公式为．
令，求得，故展开式中的常数项为．
（2）由于，故当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为．
29．（2020·福建三明一中高二月考）已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）在
(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)
的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
【解析】解：所有奇数项的二项式系数之和为128，
，解得.
（1）的第项为
，
令，得，
则常数项为；
（2）
展开式中的系数为：
.
30．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由.
设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即最大，由二项式系数的性质可得，；
若选填条件③，即各项系数之和为，则，即；
二项式展开式的通项：.
由，得.
即存在整数，使得是展开式中的常数项；
若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为，
则，∴.
二项式展开式的通项：.
由，得.
即不存在整数k，使得是展开式中的常数项.
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精品试卷·第
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第50讲
二项式定理
考情分析
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识梳理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[微点提醒]
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
经典例题
考点一 通项公式及其应用
INCLUDEPICTURE
"../../第49讲
排列与组合-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/第49讲-排列与组合-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/箭头.TIF"
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多维探究
角度1 求二项展开式中的特定项
【例1－1】
(1)(x2＋1)的展开式的常数项是( )
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
(2)的展开式中所有的有理项为________.
解析 (1)由于的通项为C··(－2)r＝C·(－2)r·x，
故(x2＋1)·的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42.
(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx
.
由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，
－，x－2.
答案 (1)D (2)x2，－，x－2
规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.
角度2 求二项展开式中特定项的系数
【例1－2】
(1)(多项式是积的形式)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15
B.20
C.30
D.35
(2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于( )
A.2
B.2
C.－2
D.－1
(3)(三项展开式问题)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为
1·Cx2和·Cx4，
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2.
(3)法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
答案 (1)C (2)B (3)C
规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
考点二 二项式系数与各项的系数问题
【例2】
(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
解析 (1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
答案 (1)3 (2)1或－3
规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m
(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
考点三 二项式系数的性质
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"../../第49讲
排列与组合-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/第49讲-排列与组合-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/箭头.TIF"
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多维探究
角度1 二项式系数的最值问题
【例3－1】
二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A.3
B.5
C.6
D.7
解析 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
答案 D
角度2 项的系数的最值问题
【例3－2】
已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________.
解析 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8
064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·210－k≥C·210－k＋1，,C·210－k≥C·210－k－1，))得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥2C，,2C≥C，))
即解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15
360x4.
答案 －8
064 －15
360x4
规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
2.二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.
[方法技巧]
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
课时作业
1．（2020·福建省福州第一中学开学考试）在的二项展开式中的系数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京期末）展开式中各项系数之和为（
）
A．
B．
C．
D．1
3．（2020·广西南宁三中高三其他（理））二项式的展开式中常数项为（
）
A．5
B．10
C．-20
D．40
4．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））的展开式中，第4项的系数为（
）
A．
B．80
C．40
D．
5．（2020·北京高三开学考试）在的展开式中，常数项为（
）
A．60
B．30
C．20
D．15
6．（2020·河南高三月考（理））在展开式中，含的项的系数是（
）
A．220
B．-220
C．100
D．-100
7．（2020·湖南高三月考）设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（
）
A．－2
B．2
C．3
D．－3
8．（2020·广西南宁·高三月考（理））展开式中项的系数为（
）
A．5
B．6
C．-6
D．-4
9．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））在二项式的展开式中，含的项的系数是（
）
A．
B．
C．15
D．
10．（2020·河南南阳·高二期末（理））在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是
A．-15
B．85
C．-120
D．274
11．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（
）
A．4
B．5
C．4或5
D．6
12．（2020·北京二模）在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣40
B．40
C．﹣80
D．80
13．（2020·云南昆明一中月考（理））在的展开式中的系数是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·广东月考）在的展开式中，的系数是（
）
A．20
B．
C．
D．
15．（2020·广东月考）的展开式中，的系数为（
）
A．2
B．
C．3
D．
16．（2020·广东月考）已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（
）
A．-84
B．-14
C．14
D．84
17．（2020·山东济南外国语学校高三月考）二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）
A．8
B．6
C．5
D．10
18．（2020·广西柳州·高三二模（理））的展开式中，项的系数为-10，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·山东潍坊·高三月考）的展开式中常数项为（
）
A．
B．160
C．80
D．
20．（2020·重庆高二月考）展开式中的常数项为（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）展开式中的常数项是______．（用数字作答）
22．（2020·湖南郴州·月考）已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含项的系数是__________.
23．（2020·宝山·上海交大附中高三月考）在的二项展开式中，常数项为______.
24．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知，若，则实数m＝________.
25．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））在的展开式中，含项的系数为_________．
26．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考）若的展开式的常数项为6，则_________.
27．（2018·广东高二期末（理））在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.
28．（2020·江西高二期末（理））在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
29．（2020·福建三明一中高二月考）已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）在
(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)
的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
30．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由.
设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
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