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第53讲
离散型随机变量及其分布列
考情分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq
\f(CC,C)(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
经典例题
考点一 离散型随机变量分布列的性质
【例1】
设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1)求a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解 (1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考点二 超几何分布的应用 典例迁移
【例2】
(经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq
\f(C,C)＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
【迁移探究1】
用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.
解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝5)＝eq
\f(C,C)＝.
因此X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
【迁移探究2】
用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.
解 由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，
则P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝－1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝－3)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝－5)＝eq
\f(C,C)＝，
因此X的分布列为
X
3
1
－1
－3
－5
P
规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
考点三 求离散型随机变量的分布列
【例3】
为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.
解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝P(C)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝0)＝P(D)＝eq
\f(C＋C＋C,C)＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.
[方法技巧]
1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
课时作业
1．（2020·浙江高三二模）已知随机变量满足，，，若，则随增大（
）
A．增大增大
B．减小增大
C．减小减小
D．增大减小
【答案】C
【解析】解：随机变量满足，，，
，
.
若，则随增大，减小，减小.
2．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（
）
A．0.372
B．0.256
C．0.128
D．0.744
【答案】C
【解析】因为，所以根据正态曲线的对称性知，.
3．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（
）
A．10
B．32
C．34
D．37
【答案】B
【解析】设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
4．（2020·新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现解析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是(
)
A．85
B．85.5
C．86
D．86.5
【答案】A
【解析】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是，故选：A．
5．（2020·黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量，则该变量的方差（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，由二项分布的方差公式可得.
6．（2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数的方差是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由条件可知
所以.
7．（2020·四川宜宾·高三其他（理））某同学投篮命中的概率为，且各次投篮是否命中相互独立，他投篮次，至少连续2次命中的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知：
若连续两次命中概率为：
若连续三次命中概率为：
所以他投篮次，至少连续2次命中的概率是
8．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量服从正态分布，且，则（
）
A．0.6
B．0.2
C．0.4
D．0.35
【答案】B
【解析】∵随机变量服从正态分布，
∴正态曲线的对称轴是，
∵，
∴.
9．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
【答案】A
【解析】由，
因为正态分布的对称轴为：，
所以.
10．（2020·湖南高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，
满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以，故选：B.
11．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（
）
A．150
B．200
C．300
D．400
【答案】C
【解析】∵，，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
12．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
所以，故选：D
13．（2020·浙江高三月考）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，能取的值为，，，，
则，，
，
，
则的数学期望.
14．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（
）
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】C
【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，
则数学成绩小于等于90分对应的概率约为，
又数学考试成绩近似服从正态分布，
所以，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为人，
因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.
15．（2020·全国开学考试（理））宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm的圆，正中间有一边长为1cm的正方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则两次油滴均落入孔中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：圆的面积为
，正方形的面积为，
则一滴油滴落入孔中的概率，
所以两滴油滴均落入孔中的概率.
16．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知随机变量服从二项分布，则（
）
A．
B．8
C．
D．5
【答案】C
【解析】因为随机变量服从二项分布，所以，所以，故选：C.
17．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（
）
(附：，则，)
A．36014
B．72027
C．108041
D．168222
【答案】B
【解析】，，
，，
，
这些考生成绩落在的人数约为.
18．（多选题）（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（
）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：，正确；
对于选项B
C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；
对于选项D：，正确.
19．（多选题）（2020·广东珠海·高三月考）已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
…
…
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】解：因为，
则，
，
令时，，
故选项A错误，选项C正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为，则的分布列为：
故选项B错误；选项D正确.
20．（多选题）（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）下列命题中正确的是（
）
A．命题：，的否定：，
B．若随机变量服从正态分布，，则；
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D．若随机变量，且，则
【答案】BC
【详解】对于选项A，命题：，的否定为：，，所以A不正确；
对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
所以，所以B正确；
对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以，
即，所以C正确；
对于选项D，因为，且，所以，即，
所以，所以D不正确.
21．（2020·云南师大附中高三月考（理））华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近.小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.
购买华为
购买其他
总计
年轻用户
28
非年轻用户
24
60
总计
附：.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出9个人，再随机抽3人，其中年轻用户的人数为，求的分布列和期望.
【详解】（1）易得
购买华为
购买其他
总计
年轻用户
12
28
40
非年轻用户
24
36
60
总计
36
64
100
由列表可得，
故没有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.
（2）利用分层抽样抽取9个购买华为手机的用户，
易知其中有3个年轻用户，6个非年轻用户.
现在其中随机抽取3人，设抽到的年轻用户人数为，
则可能的取值为0，1，2，3，
易得，
故分布列为
0
1
2
3
.
22．（2020·云南高三月考（理））某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此解析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
【详解】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，
，，
则，，
乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，
∵，∴，，
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
23．（2020·河南洛阳·月考（理））为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass（通过）与Fail（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为，且各关卡之间是否通过相互独立．
（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；
（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费．
（ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额的数学期望：
（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.
【详解】解：（1）买家通过三关的概率为，
买家参加复活环节并闯关成功的概率为，
所以买家闯关成功的概率．
（2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率，
设这8100名买家中闯关成功的人数为，
则，
且，
所以的数学期望为，
所以该日所有买家所获红包总金额的数学期望为
元．
（ⅱ）设电商该日剔除红包款后盈利元，
则元，
由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算．
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精品试卷·第
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离散型随机变量及其分布列
考情分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq
\f(CC,C)(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
经典例题
考点一 离散型随机变量分布列的性质
【例1】
设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1)求a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解 (1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考点二 超几何分布的应用 典例迁移
【例2】
(经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq
\f(C,C)＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
【迁移探究1】
用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.
解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝5)＝eq
\f(C,C)＝.
因此X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
【迁移探究2】
用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.
解 由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，
则P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝－1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(X＝－3)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝－5)＝eq
\f(C,C)＝，
因此X的分布列为
X
3
1
－1
－3
－5
P
规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
考点三 求离散型随机变量的分布列
【例3】
为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.
解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝P(C)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝0)＝P(D)＝eq
\f(C＋C＋C,C)＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.
[方法技巧]
1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
课时作业
1．（2020·浙江高三二模）已知随机变量满足，，，若，则随增大（
）
A．增大增大
B．减小增大
C．减小减小
D．增大减小
2．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（
）
A．0.372
B．0.256
C．0.128
D．0.744
3．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（
）
A．10
B．32
C．34
D．37
4．（2020·新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是(
)
A．85
B．85.5
C．86
D．86.5
5．（2020·黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量，则该变量的方差（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为，那么成活棵数的方差是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·四川宜宾·高三其他（理））某同学投篮命中的概率为，且各次投篮是否命中相互独立，他投篮次，至少连续2次命中的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量服从正态分布，且，则（
）
A．0.6
B．0.2
C．0.4
D．0.35
9．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
10．（2020·湖南高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
11．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（
）
A．150
B．200
C．300
D．400
12．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·浙江高三月考）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，则的数学期望（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（
）
A．60
B．70
C．80
D．90
15．（2020·全国开学考试（理））宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm的圆，正中间有一边长为1cm的正方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则两次油滴均落入孔中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知随机变量服从二项分布，则（
）
A．
B．8
C．
D．5
17．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（
）
(附：，则，)
A．36014
B．72027
C．108041
D．168222
18．（多选题）（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（
）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为
19．（多选题）（2020·广东珠海·高三月考）已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
…
…
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（
）
A．
B．
C．
D．
20．（多选题）（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）下列命题中正确的是（
）
A．命题：，的否定：，
B．若随机变量服从正态分布，，则；
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D．若随机变量，且，则
21．（2020·云南师大附中高三月考（理））华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近.小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.
购买华为
购买其他
总计
年轻用户
28
非年轻用户
24
60
总计
附：.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
（1）将列表填充完整，并判断是否有的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出9个人，再随机抽3人，其中年轻用户的人数为，求的分布列和期望.
22．（2020·云南高三月考（理））某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
23．（2020·河南洛阳·月考（理））为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass（通过）与Fail（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为，且各关卡之间是否通过相互独立．
（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；
（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费．
（ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额的数学期望：
（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.
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精品试卷·第
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