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第55讲
随机变量的数字特征
考情分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
[微点提醒]
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
经典例题
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为p1＝×＝，
两人都付40元的概率为p2＝×＝，
两人都付80元的概率为
p3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝40)＝×＋×＝；
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝120)＝×＋×＝；
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.
考点二 二项分布的均值与方差
【例2】
某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.
解 (1)∵前四组频数成等差数列，
∴所对应的也成等差数列，
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，
解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定w＝2.5＋≈2.83.
(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，
可知P(A≤2.5)＝0.7，
由题意，X～B(3，0.7)，
P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，
P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，
P(X＝3)＝C×0.73＝0.343，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.
规律方法 二项分布的均值与方差.
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
考点三 均值与方差在决策问题中的应用
【例3】
某投资公司在2019年年初准备将1
000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35
000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140
000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
[方法技巧]
基本方法
1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
3.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
课时作业
1．（2020·浙江高三月考）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为，则随机变量的数学期望（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·湖北宜昌·高二期末）已知随机变量，若，则，分别为（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
3．（2020·重庆）2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·陕西西安中学高三月考（理））从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·全国高三专题练习（理））已知，随机变量的分布列如图：则当增大时，的期望变化情况是（
）
-1
0
1
A．增大
B．减小
C．先增后减
D．先减后增
6．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·全国高一课时练习）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是
A．
B．
C．
D．
9．（2020·天水市第一中学高二月考）已知随机变量，若，则实数的值分别为(
)
A．4，0.6
B．12，0.4
C．8，0.3
D．24，0.2
10．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A．
B．
C．
D．
11．（2020·黑龙江大庆实验中学高三一模（理））甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·威远中学校高三月考（理））设随机变量，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·保定容大中学高二月考）已知某一随机变量的分布列如下表所示，若，则的值为（
）
7
9
0.1
0.4
A．4
B．5
C．6
D．7
14．（2020·全国高三（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2020·张家口市宣化第一中学高三月考）在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·晋中市和诚高中有限公司高三月考（理））已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，<
B．<，>
C．>，<
D．>，>
17．（2020·浙江省东阳中学高三其他）已知随机变量的分布列如表，且，则__，的取值范围为__.
0
1
2
3
18．（2020·北京通州·高二期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，该运动员连续3次射击，中靶2次的概率是__.
19．（2020·江苏高三专题练习）若随机变量的分布列如下表，且，
则表中的值为_______.
20．（2019·山东济宁·高二期末）设随机变量的分布列（其中），则___．
21．（2020·云南师大附中高三月考（理））2020年是我国垃圾分类逐步凸显效果关键的一年.在国家高度重视，重拳出击的前提下，高强度、高频率的宣传教育能有效缩短我国生活垃圾分类走入世界前列所需的时间，打好垃圾分类这场“持久战”，“全民战”.某市做了一项调查，在一所城市中学和一所县城中学随机各抽取15名学生，对垃圾分类知识进行问答，满分为100分，他们所得成绩如下：
城市中学学生成绩分别为：73
71
83
86
92
70
88
93
73
97
87
88
74
86
85
县城中学学生成绩分别为：60
64
71
91
60
76
72
85
81
72
62
74
73
63
72
（1）根据上述两组数据在图中完成两所中学学生成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两所中学学生成绩的平均分及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（2）从城市中学成绩在80分以上的学生中抽取4名，记这4名学生的成绩在90分以上的人数为X，求X的分布列与数学期望.
22．（2020·云南师大附中高三月考（理））为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷"，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占：女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.
更擅长理科
其他
合计
男生
女生
合计
附：，其中.
P（）
0.050
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；
（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.
23．（2020·贵州高三月考（理））某校为了了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“成绩不达标”的学生，其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180)，[180,200)，[200,220）中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200,220)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
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精品试卷·第
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第55讲
随机变量的数字特征
考情分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知识梳理
1.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
[微点提醒]
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
经典例题
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为p1＝×＝，
两人都付40元的概率为p2＝×＝，
两人都付80元的概率为
p3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝40)＝×＋×＝；
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝120)＝×＋×＝；
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.
考点二 二项分布的均值与方差
【例2】
某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.
解 (1)∵前四组频数成等差数列，
∴所对应的也成等差数列，
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，
解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定w＝2.5＋≈2.83.
(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，
可知P(A≤2.5)＝0.7，
由题意，X～B(3，0.7)，
P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，
P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，
P(X＝3)＝C×0.73＝0.343，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.
规律方法 二项分布的均值与方差.
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
考点三 均值与方差在决策问题中的应用
【例3】
某投资公司在2019年年初准备将1
000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35
000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140
000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
[方法技巧]
基本方法
1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
3.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
课时作业
1．（2020·浙江高三月考）袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为，则随机变量的数学期望（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得的取值为0，1，2，
，，
，
所以数学期望.
2．（2020·湖北宜昌·高二期末）已知随机变量，若，则，分别为（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】C
【分析】，，.
，，由期望和方差的性质可得，.
3．（2020·重庆）2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，
则P（AB），P（B），
P（A|B），故选：A．
4．（2020·陕西西安中学高三月考（理））从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】事件为“取到的2个数之积为偶数”，
事件为“取到的2个数之和为偶数”，
则
5．（2020·全国高三专题练习（理））已知，随机变量的分布列如图：则当增大时，的期望变化情况是（
）
-1
0
1
A．增大
B．减小
C．先增后减
D．先减后增
【答案】B
【分析】由题意可知，
所以则当增大时，的期望减小，故选：B.
6．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，，，
所以,
所以两次都取到红球的概率为.
7．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知，正态分布曲线关于对称，
,
根据对称性可知，,
.
8．（2020·全国高一课时练习）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
“甲企业购买该机床设备”
为事件A，
“乙企业购买该机床设备”
为事件B，
“丙企业购买该机床设备”
为事件C，
则，，，
则，，，
设
“三家企业中恰有1家购买该机床设备”
为事件D
，
则，
9．（2020·天水市第一中学高二月考）已知随机变量，若，则实数的值分别为(
)
A．4，0.6
B．12，0.4
C．8，0.3
D．24，0.2
【答案】B
【分析】解：据题意，
得,
解得，
10．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.
11．（2020·黑龙江大庆实验中学高三一模（理））甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，
事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得，
对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，
，，故选A.
12．（2019·威远中学校高三月考（理））设随机变量，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由于，则，，
所以，，因此，
，故选A.
13．（2020·保定容大中学高二月考）已知某一随机变量的分布列如下表所示，若，则的值为（
）
7
9
0.1
0.4
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据随机变量ξ的分布列的性质，可知，所以，
又，所以，故选A.
14．（2020·全国高三（理））有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
15．（2020·张家口市宣化第一中学高三月考）在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】图形如下图所示：
直线，和轴围成的三角形的面积为；
直线，和轴围成的三角形的面积为；
直线，和轴围成的三角形的面积为；
,
故本题选D.
16．（2020·晋中市和诚高中有限公司高三月考（理））已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，<
B．<，>
C．>，<
D．>，>
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵，∴，故选A．
17．（2020·浙江省东阳中学高三其他）已知随机变量的分布列如表，且，则__，的取值范围为__.
0
1
2
3
【答案】
，
【分析】解：由概率之和等于1可得，
由，可知，
即，解得，
又，故.
又，
，
18．（2020·北京通州·高二期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，该运动员连续3次射击，中靶2次的概率是__.
【答案】0.384.
【分析】解：每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶2次的概率是
.
故答案为：0.384.
19．（2020·江苏高三专题练习）若随机变量的分布列如下表，且，
则表中的值为_______.
【答案】
【分析】由于概率之和为，则，
，解得.
故答案为：.
20．（2019·山东济宁·高二期末）设随机变量的分布列（其中），则___．
【答案】
【分析】依题意，解得.
故填
21．（2020·云南师大附中高三月考（理））2020年是我国垃圾分类逐步凸显效果关键的一年.在国家高度重视，重拳出击的前提下，高强度、高频率的宣传教育能有效缩短我国生活垃圾分类走入世界前列所需的时间，打好垃圾分类这场“持久战”，“全民战”.某市做了一项调查，在一所城市中学和一所县城中学随机各抽取15名学生，对垃圾分类知识进行问答，满分为100分，他们所得成绩如下：
城市中学学生成绩分别为：73
71
83
86
92
70
88
93
73
97
87
88
74
86
85
县城中学学生成绩分别为：60
64
71
91
60
76
72
85
81
72
62
74
73
63
72
（1）根据上述两组数据在图中完成两所中学学生成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两所中学学生成绩的平均分及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（2）从城市中学成绩在80分以上的学生中抽取4名，记这4名学生的成绩在90分以上的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【分析】解：（1）茎叶图如图所示．
城市中学的平均分高于县城中学平均分，
城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散．
（2）80分以上的学生共有10名，93分以上的学生共有3名，
由题可知，1，2，3，
，，
，
，
X的分布列为
．
22．（2020·云南师大附中高三月考（理））为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷"，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占：女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.
更擅长理科
其他
合计
男生
女生
合计
附：，其中.
P（）
0.050
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；
（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.
【分析】（1）补充的列联表如下：
更擅长理科
其他
合计
男生
22
33
55
女生
9
36
45
合计
31
69
100
所以，
所以有的把握认为文理科偏向与性别有关.
（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，
所以X的可能取值为0，1，2，
故，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以.
23．（2020·贵州高三月考（理））某校为了了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“成绩不达标”的学生，其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180)，[180,200)，[200,220）中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200,220)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）由题意可知：各小矩形面积从左到右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05，
∵
∴该生属于“体能不达标”的学生
（2）从样本区间，，中抽出的人数分别为1，2，2，
X可取0，1，2
∴，，
，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴．
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精品试卷·第
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