题型解读4
二次函数图像平移题型
【解题方法】
1.平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”
2.注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
【典型例题】
1．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ B ）
A．
（0，2）
B．
（0，3）
C．
（0，4）
D．
（0，7）
2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）A
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位
D．向下平移2个单位
3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）y=﹣2（x﹣1）2+2
4.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）y=（x﹣4）2﹣2
5.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的解析式为，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的解析式为（）
A.
B.
C.
D.
解析：考查二次函数图像的平移。∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),∴点C与A关于原点对称，∴C(-2,-1),纸上的点与二次函数同时移，即相当于二次函数平移，该点由点A移到点C，即向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，则二次函数也随之向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，∴二次函数的解析式为：，选A
6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（ 4027 ， 4027 ）．
解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1
相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，
M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027
（4027，4027），
7.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与
x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点
为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下
去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（ （10.5，﹣0.25） ）．
解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（2.5，﹣0.25）P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，
p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（10.5，﹣0.25）．
题型解读5
二次函数与一元二次方程关系题型
【知识梳理】
一.二次函数与一元二次方程的关系
图像
方程根的情况
与x轴交点
与y轴交点
若
则AB=||
=
=
=
=
无交点
没有实数根
二.二次函数最值问题
(一).对二次函数，若自变量为任意实数，则取最值情况为：
（1）当时，
（2）当时，
（3）可直接根据图象或采用配方法和公式法求二次函数的最值.
三.二次函数表达式
（一）二次函数的三种表示方法
1、解析法（用函数表达式表示）；2、表格法；3、图像法
（二）用待定系数法求二次函数的解析式(简称”一般两根三顶点”)
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：(即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。)
【典型例题】
1.
若二次函数的解析式为，则其函数图象与x轴交点的情况是(
A
)
A.
没有交点
B.
有一个交点
C.
有两个交点
D.
以上都不对
2.已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为(
C
)
A.
B.
C.
D.
3.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(
D
)
A.
B.
C.
D.
4.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有(
B
)③④
①；②；③方程必有两个不相等的实根；
④；⑤当时，函数值y随x的逐渐增大而减小．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.如图，抛物线与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．
若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为
．
【解析】依题意，得
，因为三角形
是等腰三角形，所以，点
在线段
的垂直平分线上，
线段
的垂直平分线为：，解方程组：
即：，
解得：，所以，点
的坐标为
6.
求二次函数y=x??2x+3的最小值.
7.当﹣2≤x≤1时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（ C ）
A.
B.
C.
D.
解：二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．《二次函数》题型解读6
二次函数应用题
【题型梳理】
1.二次函数解析式的应用题型
（1）建立直角坐标系，或找到直角坐标系；
（2）用待定系数法求解析式，建立起y与x的函数关系式；
（3）审题理解找出已知x值代入求y值或已知y值代入求x值；
2.二次函数最值应用题型
（3）注意题中的限制条件，会影响到当配方求y最值时x的求值；
【方法梳理】
1.解题方法----审透等量关系式；
2.解题技巧----特殊值法：把未知数假设为具体数字，只列综合式不计算，最后用未知数换回来；有具体数字的参与，可以帮助我们更好的结合生活理解找准题中各数量间的关系式；
【典型例题】
例1.
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
解析：（1）“建立直角平面坐标系
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）
（2）“待定系数法求二次函数解析式”
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2
（3）代入或求或值
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，
例2.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场OD的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与
水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量的x取值范围）
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大
高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
解析：此题中有关距离的数据即是“”，有关高度的数据即是“”；
（1）∵排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最大高度3.2米，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2），
设抛物线的解析式为：，∵抛物线过点C（0，1.8），∴，∴，∴排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式为：，即．
（2）∵，∴当x=9.5时，，∴她可以拦网成功．
例3.在世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
解析：
（1）解题方法：“审透等量关系列解析式”
①销售量=原销售量-因提价减少的销售量，即
②销售额=每件销售单价销售量=
（1）解题技巧：“特殊值法”
①假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少套，现在的销售量为240-，换回来即为：；
②假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少套，现在的销售量为240-，
每月的销售额为：，换回来即为：；
（2）“解一元二次方程”
③根据题意可得，
（3）“配方求最值”
④设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400，
∴当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
例4.某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=1050，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1050，整理得：x2﹣2x-3=0，解得：x1=3,x2=-1(舍去)，
∴10﹣3=7，答：第二周的销售价格为7元．
(2)设总利润为W，由题意可得W=200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=
-50x2+100x+1200=-50（x-1）2+1250
∵-50，∴当x=1时，W有最大值，即第二周每个旅游纪念品的销售价格为9时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是1250元
例5.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。（墙体的最大可用长度a=10米）设AB=，长方形ABCD的面积为
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
解析：（1）“审透等量关系求二次函数解析式”：
“”
（2）“解一元二次方程”：
（3）“配方求最值，注意限制条件”：
，
∴能围成面积比45平方米更大的花圃.
例6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价据试销发现，月销售量千克与销售单价元符合一次函数若该商店获得的月销售利润为W元，请回答下列问题：
请写出月销售利润W与销售单价x之间的关系式关系式化为一般式；
在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
若获利不得高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？
解：根据题意得，
；
当时，得到，解得：，，
使顾客获得实惠，．答：销售单价应定为60元，
获利不得高于，即，
．当时，．答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大．
例7.深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=-0.2x+260，设每月的利润为W(元)．(利润=销售额-投入)
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元?
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
（1）解：由题意得，(x-200)(-0.2x+260)=36000，整理得，x2-1500x+440000=0,
∴x1=400，x2=1100，经检验都符合题意，
答：
该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为
400元或1100元。
（2）解：由题意得，200(-0.2x+260)≤20000，∴x≧800，
设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元，由题意得，W=(x-200)(-0.2x+260)=-0.2(x-750)2+60500，
∵-0.2＜0，x≥800，∴当x=800时，W取得最大值，最大值=-0.2(800-750)2+60500=60000，
即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元。
例8.
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
解析：（1）“审透等量关系式列解析式”
①“利润=（售价﹣成本）×销售量y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）“配方求最值”
②y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500,∵a=﹣5＜0，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）“与不等式结合”
“先转化成一元二次方程求解：当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
“画二次函数草图确定x的取值范围”（如图）
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．《二次函数》题型全解读7
几何动点与函数图像问题
【知识梳理】
1.题型介绍：实质为分段函数图像问题，利用几何知识求出两个动点变量间在各段的函数关系式，依这些函数关系式选择对应的图形选项。
2.解题思路：依运动状态分好段，先确定每段中两变量间的函数关系，可能是一次函数（正比例函数）、反比例函数或二次函数，再依这些函数的图像选择正确的答案，特别留意选项中相近似图像的细小区别。
例1．如图，已知A，B是反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
解：当点P从点O运动到点A的过程中，且S随着t的增大而增大；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．
例2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，
符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．
例3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
解析：易证∠EPD=90°，出现了一个“三垂直模型”，∴△PCD∽△EBP，∴，即，
∴，∴函数图象为C选项图象．特别需注意C、D两选项的区别.
例4.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
解析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
∴y=，故选A．《二次函数》知识结构图
《二次函数》题型全解读1
二次函数的概念
【知识梳理】
1.定义：一般地，若两个变量，之间的对应关系可以表示成是常数，a≠0,b,c可以为零)．那么叫做的二次函数.其中分别是二次项、一次项和常数项，分别是二次项系数、一次项系数。
2.
二次函数各种形式之间的变换
（1）二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
（2）是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①；②；
③；④；⑤.
【典型例题】
例1.
下列函数中是二次函数的有（
D
）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．⑤;⑥⑦;⑧
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例2.
函数是二次函数，则m=
．m=2
例3．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a
时，是二次函数；当a
，b
时，是一次函数；当a
，b
，c
时，是正比例函数．()
例4.已知函数
（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________()
（2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)
（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数)
《二次函数》题型全解读2
二次函数图像与性质
【知识梳理】
一.二次函数的五种图像及性质
二次函数的图象及性质
大致图象
a>0
a<0
对称轴
y轴(直线x=0)
顶点坐标
原点（0，0）
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向下，函数左增右减）
最值
当时，有最小值为0
当时，有最大值为0
二次函数+c的图象及性质
a的符号
a>0
a<0
大致图象
c>0
c<0
对称轴
y轴(直线x=0)
顶点坐标
（0，c）
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
当时，有最小值为
当时，有最大值为c
平移规律
+c图象是由图象按“上加下减”的规律平移|c|个单位而成
的图像及性质
a的符号
a>0
a<0
大致图象
h>0
h<0
对称轴
直线ｘ＝ｈ
顶点坐标
(ｈ,0)
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
顶点坐标
(ｈ,0)
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
当时，有最小值
当时，有最大值为c
平移规律
图象是由图象按“左加右减”的规律平移|h|个单位而成
的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对
称
轴
顶点坐标
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=h时，y有最小值为k
当x=h时，y有最大值为k
平移规律
的图像是由图象按按“左加右减”的规律平移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成
的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对
称
轴
顶点坐标
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=时，y有最小值，
当x=时，y有最大值，
平移规律
项目
字母
字母符号
图象特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为轴
(即、同号)
对称轴为轴左侧
(即、异号)
对称轴为轴右侧
c
经过原点
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
二.二次函数图像性质与系数的关系
三.二次函数图像的平移
平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；
左加右减须牢记，上加下减错不了”
注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
四.（补充）二次函数过定点问题
例1：已知y=x?+kx-2k通过一个定点,这个定点的坐标是__________
解析:题意是k为任何值时,都不会影响抛物线过这个定点,即定点的X和Y值,与K的取值无关.
方法一:特殊值法,取K=1和-1,解出X=2,Y=4,则定点即为(2,4)
方法二:
y=x?+kx-2k=x?+(x-2)k,当X=2时,K无论取何值,都不影响Y值,即定点为(2,4)
例2.无论p取任何实数,抛物线y=2x?-px+4p+1都通过一个定点,求此定点
解析:y=2x?-（4-x）p+1，显然，x=4时，p取多少，y都是33。
即过点（4，33）。
例3.某数学小组研究二次函数y=mx?-2mx+3的图像发现,随着的变化,这个二次函数的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图像总经过两个定点,
解析:
y=mx?-2mx+3=mx(x-2)+3,X=0或,X=2时,Y值与M的取值无关,所以定点为(0,3),(2,3)
解法:二次函数过定点或与某个字母取值无关,先把带有该字母的所有项合并,再让该字母前所有的式子等于零,即可
题型解读1
二次函数图像认识题型
【解题方法】
熟悉五种二次函数图像与性质
【典型例题】
1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）C
A.
开口向下
B.
对称轴是x=﹣1
C.
顶点坐标是（1，2）
D.
与x轴有两个交点
2．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 （1，2） ,对称轴是____________________直线x=1
3．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）D
A．
（﹣1，﹣1）
B．
（1，﹣1）
C．
（﹣1，1）
D．
（1，1）
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），则它的图象一定过点（1，1）
4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（
）B
A.
开口向下
B.
对称轴是y轴
C.
都有最低点
D.
y随x的增大而减小
5．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）D
A．6
B．
5
C．
4
D．
3
解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．
6．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ D ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）
D．抛物线与x轴没有交点题型解读3
多种函数图像识别题型
【解题方法】：排除法
【典型例题】
1.一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．故选C．
2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B．
3．已知≠0，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ C ）
4.函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）B
A．
B．
C．
D．
5.已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D
解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．
6.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．
7.二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，所以A选项错误；B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，所以C选项正确；D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以D选项错误．故选B．
8.函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．题型解读2
二次函数图像性质与系数关系题型
【解题方法】
（1）补图：利用图像的对称性把图像补全，确定各交点对称点的位置；
（2）看图
①开口方向-------判断a的正负性；
②对称轴位置-------依“左同右异”判断b的正负性；
③对称轴的值--------求出a,b的等量关系；
④与y的交点位置------判断c的正负性
⑤与x的交点个数------判断的正负性
⑥利用顶点坐标-----判断不同y值与最值的大小关系，
（3）取“x=特殊值”
①可得出a,b,c的等量关系；
②特殊值（a,b,c的等量关系）+等量代换（a,b的等量关系），可得出a与c或b与c的等量关系；
③“”表示“m取其它值时的y值都要比m取最大值时的y值要小”
（4）描点法-----判断不同y值的增减性
（5）“a”表示的意思是“抛物线y=
a与直线y=m有无交点”
【典型例题】
1.二次函数y=ax
2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
当ax
2+(b-1)x+c>0时,x的取值范围是__________.
解析：考查二次函数图像与性质，填空压轴题。
由“”可转化为“”，表示的意思是“抛物线”的图像在直线“y=x”图像上面那部分图像的x的取值范围。由表格画出草图，且知抛物线与直线y=x的两个交点坐标为（-1，-1）、（3，3），∴x的取值范围是-12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；
②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A．4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0
（1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0
（2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．选：B．
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
解析：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，④错误．故选B．
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，
有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）
是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
②③④
解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有①③④，故选B．
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（ ）
A．
①②
B．
①④
C．
①③④
D．
②③④
解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．
7.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，
与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（ ）
A.
①②③
B.
②④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤
解：①∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x=2，∴﹣=2，∴b=﹣4a＜0，∴abc＞0．故①正确；②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c得：y=4a﹣2b+c，由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0．故②错误；③∵b=﹣4a，∴4a+b=0．故③正确；④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．故④正确；⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，∴y1＞y2．故⑤错误；故选：C．
8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点
（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；
③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
解析:
解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，①错误；∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．
9.
二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的部分图象如图，其中正确的结论有（ ）
①bc＜0；②2a+b＞0；③a+b+c＞0；④2a-3c＜0；⑤ax?+bx+c=0有一个正根和一个负根；⑥当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
A．2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
解析:（1）二次函数图像与系数的关系.开口向上可得a>0,对称轴在y轴右侧得b<0,图像
交y轴负半轴得c<0,可知①正确,④错误;
（2）由对称轴x=-b/2a<1,可得②正确;
（3）令x=1,则y=a+b+c<0,可得③错误;
（4）由图像与x轴正半轴和负半轴各有一个交点,可知⑤正确;
（5）由图像可得x>1时,y随x增大则增大,故⑥错误.所以,选B.
