【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第八讲 二次函数 课件（共42张PPT）
文档属性
| 名称 | 【A典学案】冲刺100分 九年级上专题复习第八讲 二次函数 课件（共42张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-15 11:16:55 | ||
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文档简介
第八讲 二次函数
北师大版 九年级上册
知识清单
1．二次函数的概念
一般地，形如______________（a，b，c 是常数，__）的函数，叫做二次函数
[注意]（1）等号右边必须是整式；（2）自变量的最高次数是 2；（3）当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条_________，它是轴对称图形，其对称轴平行于____轴
[注意]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的形状、大小、开口方向只与 a 有关．
抛物线
y
知识清单
3．二次函数的性质
开口向上
开口向上
开口向下
开口向下
知识清单
减小
增大
减小
增大
增大
减小
增大
减小
知识清单
4．二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数 y＝ax2 的图象可得到二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象．
[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
知识清单
5．用待定系数法求二次函数的表达式
（1）利用一般形式 y＝ax2＋bx＋c 求二次函数的表达式；
（2）利用顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 求二次函数的表达式；
（3）利用交点式 y＝(x－x1)(x－x2)求二次函数的表达式；
6．利用二次函数求最值的问题
（1）利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤
①找出销售单价与利润之间的函数关系式（注明范围）；
知识清单
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
（2）产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．
产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以用求二次函数的顶点处
的函数值来解决．可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．
[注意]在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；
知识清单
也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．
（3）与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含 x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．
[警示]在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．
知识清单
7．二次函数与一元二次方程的关系
对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，只要令 y 等于某个具体的数 y0，就可以将函数转化为一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为 y0的点的横坐标．
特殊地，如果令 y 值为 0，所得方程为 ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与 x 轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与 x 轴无交点．
二次函数的图象和 x 轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令 y＝0，得 ax2＋bx＋c=0
知识清单
当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与 x 轴有 ________个交点；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与 x 轴有 ________个交点（即顶点）；
当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根，二次函数的图象与 x 轴没有交点．
两
一
典例精讲
类型之一 二次函数图象的平移
【例 1】将抛物线 y＝3x2向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，那么得到的抛物线的函数表达式为（ ）
[解析]将抛物线 y＝3x2向上平移 3 个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝3x2＋3；将抛物线 y＝3x2＋3 向左平移 2 个单位长度所得抛物线的解析式为 y＝3(x＋2)2＋3．故选：A．
变式训练
1．如果将抛物线 y＝x2＋bx＋c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线 y＝x2－2x＋1， 则 b＝______，c＝______．
解析：∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝
又抛物线y＝(x－1)2是 向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故抛物线 可看作是抛物线y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．
∴b＝－6，c＝6．故答案为：－6；6．
典例精讲
类型之二 二次函数的图象与性质
【例 2】已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过 A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
[解析]结合图形，找到 A，O，B，C 四个点的大致位置，容易看出 y1与 y2 的大小关系．
故选：A．
变式训练
2．如图为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，在下列说法中：
①ac＜0；
②方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3； ③a＋b＋c＞0；
④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大．
其中正确的说法有 （把正确答案的序号都填在横线上）________．
变式训练
解析：∵图象开口向上，∴a＞0．
∵图象与y轴交于原点的下方，∴c＜0，∴ac＜0，故①正确．
∵图象与x轴交于点(－1，0)和点(3，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3，故②正确．
∵直线x＝1是对称轴，∴当x＝1时，a＋b＋c＜0，故③错误．
在对称轴直线x＝1右侧，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：①②④
典例精讲
类型之三 二次函数与一元二次方程的关系
【例 3】若二次函数 y＝x2－4x＋c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c＝ （只要求写出一个）．
[解析]∵抛物线 y＝x2－4x＋c 与 x 轴没有交点，
∴一元二次方程 x2－4x＋c＝0 没有实数根，
∴(－4)2－4c＝16－4c＜0，即 c＞4（c 为整数）．
故答案为：5．
变式训练
3．如果函数 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，求 a 的取值范围．
解：∵y＝(a－1)x2＋3x＋ 经过平面直角坐标系的四个象限，
∴y＝(a－1)x2＋3x＋ 需满足下列三个条件：
①函数是二次函数，因此a－1≠0即a≠1．
②它与x轴有两个交点，即： ，解之得a＜
③方程 的两根符号相反（分居在原点的两侧，即一正，一负），即x1·x2＜0，即＜0，解得a＜－5，综上可知，a＜－5．
典例精讲
类型之四 二次函数与几何图形
【例 4】如图，苗圃的形状是直角梯形 ABCD，AB∥DC，BC⊥CD．其中 AB，AD 是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边 BC 与 CD 的长度之和为 30 米，如果梯形的高 BC 为变量 x（米），梯形面积为 y（米 2），问：当 x 取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
典例精讲
[解析]作 AE⊥CD 于点 E．
∵∠BAD＝135°，则∠ADC＝45°，∴BC＝AE＝ED．
又∵BC＋CE＋ED＝30， 则 AB＝30－2x，CD＝30－x，
故 y＝ (AB＋CD)·BC＝ [(30－2x)＋(30－x)]·x，
配方，得
即当 x＝10 时，y 最大＝150 米 2．
变式训练
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝m（m 是大于 0 的常数），BC＝8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B，C 重合）．连接 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？
（3）若 ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
变式训练
解析：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴在Rt△BFE中，∠BEF＋∠BFE＝90°．
又∵EF⊥DE，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
，即
（2）当m＝8时， ，化成顶点式
∴当x＝4时，y的值最大，最大值是2．
变式训练
（3）由 得x的方程x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
∵△DEF中∠FED时直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF＝ED，
此时，Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC＝2时，m＝CD＝BE＝6；
当EC＝6时，m＝CD＝BE＝2．
即m的值为6或2时，△DEF是等腰三角形．
典例精讲
类型之五 二次函数的应用
【例 5】水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求 y 与 x 之间的函数表达式；
典例精讲
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入－进货金额）
[解析]（1）设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得
80(a＋2)＝88a，解得 a＝20．
答：现在实际购进这种水果每千克 20 元．
（2）①∵y 是 x 的一次函数，∴可设函数表达式为 y＝kx＋b． 将(25，165)，(35，55)分别代入 y＝kx＋b，得
解得 k＝－11，b＝440， ∴y＝－11x＋440．
典例精讲
②设最大利润为 W 元，则 W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100，
∴当 x＝30 时，W 最大值＝1100．
答：将这种水果的销售单价定为 30 元/千克时，能获得最大利润 1100 元．
变式训练
5．利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元．设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）．
（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；
变式训练
（2）求出 y 与 x 的函数表达式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解析：
当x为210元时，月利润y最大．
答：利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
变式训练
（4）我认为小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额 来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17 325元；
而当x为200元时，月销售额为18 000元．
变式训练
∵17325＜18 000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
区校真题
1．（光明）在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝－5x2＋3 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝－5(x＋1)2＋4 B．y＝－5(x＋1)2＋2
C．y＝－5(x－1)2＋2 D．y＝－5(x－1)2＋4
2．（福田）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一次函数 y＝ax＋c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
B
D
区校真题
3．（龙岗）如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点(－1，0)，对称轴为直线 x＝1，2＜c＜3，下列结论：
①abc＞0； ②9a＋3b＋c＝0；
③若点 ， 点 ， 是此函数图象上的两点，
则 y1＝y2；
④－1＜a＜
其中正确的个数（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
C
区校真题
4．（宝安）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，且 a≠0）和
一次函数 y＝kx＋m（k，m 为常数，且 k≠0）的图象如图，交于点 M ，N(2，－2)，则关于 x 的不等式 ax2＋(b－k)x＋c－m＜0 的解集是 _______________
区校真题
5．（龙华）如图所示，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠找为 9 m 的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为 40 m 的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为 x m．
（1）当展示台的面积为 128 m2 时，求 x 的值；
（2）设展示台的面积为 y m2 ，求 y 的最大值．
区校真题
解：（1）依题意，得x(40－2x)＝128．解得x1＝4，x2＝16．
当x＝4时，40－2x＝40－8＝32＞9(舍去)．故x＝16．
（2）依题意，得y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200．
∵展示台的一边靠找为9 m的宣传版（这条边不能超出宣传版），
∴40－2x≤9．解得x≥15.5．
∵a＝－2＜0，∴当x＞10时，y随着x的增大而减小．
∴当x＝15.5时，y取得最大值，此时y＝－2(15.5－10)2＋200＝139.5．
∴y的最大值为139.5．答：（1）x的值为16；（2）y的最大值为139.5．
区校真题
6．（光明）“佳佳商场”在销售某种进货价为 20 元/件的商品时，以 30 元/件售出，每天能售出 100 件．调查表明：这种商品的售价每上涨 1 元/件，其销售量就将减少 2 件．
（1）为了实现每天 1600 元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少；
（2）物价局规定该商品的售价不能超过 40 元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少；最大利润是多少？
区校真题
解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得(x－20)[100－2(x－30)]＝1600．
解得x＝40或x＝60．
答：售价应定为40元或60元．
（2）设利润为y元，得y＝(x－20)[100－2(x－30)](x≤40)．
即y＝－2x2＋200x－3200．
∵a＝－2＜0，∴当 时，y取得最大值．
又x≤40，则在x＝40时可取得最大值，即y最大＝1600．
区校真题
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．
中考链接
中考链接
解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点(0，0)，(1，0)，
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x(x－1)＝x2－x，
当x 时，y＝
∴乙说的不对；
（2）对称轴为
当 是函数的最小值；
中考链接
（3）二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点，
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北师大版 九年级上册
知识清单
1．二次函数的概念
一般地，形如______________（a，b，c 是常数，__）的函数，叫做二次函数
[注意]（1）等号右边必须是整式；（2）自变量的最高次数是 2；（3）当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条_________，它是轴对称图形，其对称轴平行于____轴
[注意]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的形状、大小、开口方向只与 a 有关．
抛物线
y
知识清单
3．二次函数的性质
开口向上
开口向上
开口向下
开口向下
知识清单
减小
增大
减小
增大
增大
减小
增大
减小
知识清单
4．二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数 y＝ax2 的图象可得到二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象．
[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
知识清单
5．用待定系数法求二次函数的表达式
（1）利用一般形式 y＝ax2＋bx＋c 求二次函数的表达式；
（2）利用顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 求二次函数的表达式；
（3）利用交点式 y＝(x－x1)(x－x2)求二次函数的表达式；
6．利用二次函数求最值的问题
（1）利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤
①找出销售单价与利润之间的函数关系式（注明范围）；
知识清单
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
（2）产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．
产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以用求二次函数的顶点处
的函数值来解决．可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．
[注意]在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；
知识清单
也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．
（3）与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含 x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．
[警示]在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．
知识清单
7．二次函数与一元二次方程的关系
对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，只要令 y 等于某个具体的数 y0，就可以将函数转化为一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为 y0的点的横坐标．
特殊地，如果令 y 值为 0，所得方程为 ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与 x 轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与 x 轴无交点．
二次函数的图象和 x 轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令 y＝0，得 ax2＋bx＋c=0
知识清单
当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与 x 轴有 ________个交点；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与 x 轴有 ________个交点（即顶点）；
当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根，二次函数的图象与 x 轴没有交点．
两
一
典例精讲
类型之一 二次函数图象的平移
【例 1】将抛物线 y＝3x2向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，那么得到的抛物线的函数表达式为（ ）
[解析]将抛物线 y＝3x2向上平移 3 个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝3x2＋3；将抛物线 y＝3x2＋3 向左平移 2 个单位长度所得抛物线的解析式为 y＝3(x＋2)2＋3．故选：A．
变式训练
1．如果将抛物线 y＝x2＋bx＋c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线 y＝x2－2x＋1， 则 b＝______，c＝______．
解析：∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝
又抛物线y＝(x－1)2是 向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故抛物线 可看作是抛物线y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．
∴b＝－6，c＝6．故答案为：－6；6．
典例精讲
类型之二 二次函数的图象与性质
【例 2】已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过 A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
[解析]结合图形，找到 A，O，B，C 四个点的大致位置，容易看出 y1与 y2 的大小关系．
故选：A．
变式训练
2．如图为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，在下列说法中：
①ac＜0；
②方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3； ③a＋b＋c＞0；
④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大．
其中正确的说法有 （把正确答案的序号都填在横线上）________．
变式训练
解析：∵图象开口向上，∴a＞0．
∵图象与y轴交于原点的下方，∴c＜0，∴ac＜0，故①正确．
∵图象与x轴交于点(－1，0)和点(3，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3，故②正确．
∵直线x＝1是对称轴，∴当x＝1时，a＋b＋c＜0，故③错误．
在对称轴直线x＝1右侧，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：①②④
典例精讲
类型之三 二次函数与一元二次方程的关系
【例 3】若二次函数 y＝x2－4x＋c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c＝ （只要求写出一个）．
[解析]∵抛物线 y＝x2－4x＋c 与 x 轴没有交点，
∴一元二次方程 x2－4x＋c＝0 没有实数根，
∴(－4)2－4c＝16－4c＜0，即 c＞4（c 为整数）．
故答案为：5．
变式训练
3．如果函数 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，求 a 的取值范围．
解：∵y＝(a－1)x2＋3x＋ 经过平面直角坐标系的四个象限，
∴y＝(a－1)x2＋3x＋ 需满足下列三个条件：
①函数是二次函数，因此a－1≠0即a≠1．
②它与x轴有两个交点，即： ，解之得a＜
③方程 的两根符号相反（分居在原点的两侧，即一正，一负），即x1·x2＜0，即＜0，解得a＜－5，综上可知，a＜－5．
典例精讲
类型之四 二次函数与几何图形
【例 4】如图，苗圃的形状是直角梯形 ABCD，AB∥DC，BC⊥CD．其中 AB，AD 是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边 BC 与 CD 的长度之和为 30 米，如果梯形的高 BC 为变量 x（米），梯形面积为 y（米 2），问：当 x 取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
典例精讲
[解析]作 AE⊥CD 于点 E．
∵∠BAD＝135°，则∠ADC＝45°，∴BC＝AE＝ED．
又∵BC＋CE＋ED＝30， 则 AB＝30－2x，CD＝30－x，
故 y＝ (AB＋CD)·BC＝ [(30－2x)＋(30－x)]·x，
配方，得
即当 x＝10 时，y 最大＝150 米 2．
变式训练
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝m（m 是大于 0 的常数），BC＝8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B，C 重合）．连接 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？
（3）若 ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
变式训练
解析：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴在Rt△BFE中，∠BEF＋∠BFE＝90°．
又∵EF⊥DE，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
，即
（2）当m＝8时， ，化成顶点式
∴当x＝4时，y的值最大，最大值是2．
变式训练
（3）由 得x的方程x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
∵△DEF中∠FED时直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF＝ED，
此时，Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC＝2时，m＝CD＝BE＝6；
当EC＝6时，m＝CD＝BE＝2．
即m的值为6或2时，△DEF是等腰三角形．
典例精讲
类型之五 二次函数的应用
【例 5】水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求 y 与 x 之间的函数表达式；
典例精讲
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入－进货金额）
[解析]（1）设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得
80(a＋2)＝88a，解得 a＝20．
答：现在实际购进这种水果每千克 20 元．
（2）①∵y 是 x 的一次函数，∴可设函数表达式为 y＝kx＋b． 将(25，165)，(35，55)分别代入 y＝kx＋b，得
解得 k＝－11，b＝440， ∴y＝－11x＋440．
典例精讲
②设最大利润为 W 元，则 W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100，
∴当 x＝30 时，W 最大值＝1100．
答：将这种水果的销售单价定为 30 元/千克时，能获得最大利润 1100 元．
变式训练
5．利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元．设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）．
（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；
变式训练
（2）求出 y 与 x 的函数表达式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解析：
当x为210元时，月利润y最大．
答：利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
变式训练
（4）我认为小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额 来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17 325元；
而当x为200元时，月销售额为18 000元．
变式训练
∵17325＜18 000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
区校真题
1．（光明）在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝－5x2＋3 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝－5(x＋1)2＋4 B．y＝－5(x＋1)2＋2
C．y＝－5(x－1)2＋2 D．y＝－5(x－1)2＋4
2．（福田）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一次函数 y＝ax＋c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
B
D
区校真题
3．（龙岗）如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点(－1，0)，对称轴为直线 x＝1，2＜c＜3，下列结论：
①abc＞0； ②9a＋3b＋c＝0；
③若点 ， 点 ， 是此函数图象上的两点，
则 y1＝y2；
④－1＜a＜
其中正确的个数（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
C
区校真题
4．（宝安）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，且 a≠0）和
一次函数 y＝kx＋m（k，m 为常数，且 k≠0）的图象如图，交于点 M ，N(2，－2)，则关于 x 的不等式 ax2＋(b－k)x＋c－m＜0 的解集是 _______________
区校真题
5．（龙华）如图所示，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠找为 9 m 的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为 40 m 的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为 x m．
（1）当展示台的面积为 128 m2 时，求 x 的值；
（2）设展示台的面积为 y m2 ，求 y 的最大值．
区校真题
解：（1）依题意，得x(40－2x)＝128．解得x1＝4，x2＝16．
当x＝4时，40－2x＝40－8＝32＞9(舍去)．故x＝16．
（2）依题意，得y＝x(40－2x)＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200．
∵展示台的一边靠找为9 m的宣传版（这条边不能超出宣传版），
∴40－2x≤9．解得x≥15.5．
∵a＝－2＜0，∴当x＞10时，y随着x的增大而减小．
∴当x＝15.5时，y取得最大值，此时y＝－2(15.5－10)2＋200＝139.5．
∴y的最大值为139.5．答：（1）x的值为16；（2）y的最大值为139.5．
区校真题
6．（光明）“佳佳商场”在销售某种进货价为 20 元/件的商品时，以 30 元/件售出，每天能售出 100 件．调查表明：这种商品的售价每上涨 1 元/件，其销售量就将减少 2 件．
（1）为了实现每天 1600 元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少；
（2）物价局规定该商品的售价不能超过 40 元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少；最大利润是多少？
区校真题
解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得(x－20)[100－2(x－30)]＝1600．
解得x＝40或x＝60．
答：售价应定为40元或60元．
（2）设利润为y元，得y＝(x－20)[100－2(x－30)](x≤40)．
即y＝－2x2＋200x－3200．
∵a＝－2＜0，∴当 时，y取得最大值．
又x≤40，则在x＝40时可取得最大值，即y最大＝1600．
区校真题
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．
中考链接
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解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点(0，0)，(1，0)，
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x(x－1)＝x2－x，
当x 时，y＝
∴乙说的不对；
（2）对称轴为
当 是函数的最小值；
中考链接
（3）二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点，
谢谢
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