课时分层作业(二十四) 对数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2
B．log9＝－2
C．log
(－2)＝9
D．log9(－2)＝
B [根据对数的定义，得log9＝－2.]
2．已知loga3＝2log21，则a的值为( )
A．2 B．3 C．8 D．9
B [∵2log21＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.]
3．已知logx8＝3，则x的值为( )
A．
B．2
C．3
D．4
B [由定义知x3＝8，所以x＝2.]
4．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝9
A [∵2log3x＝＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]
5．设f(x)＝则f(f(2))的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2×e0＝2.]
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________．
2 [原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2.]
7．log6[log4(log381)]＝________．
0 [原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.]
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
12 [∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.]
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝1；(2)logx
8＝.
10．已知loga
b＝logb
a(a>0且a≠1；b>0且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
[证明] 设loga
b＝logb
a＝k，则b＝ak，a＝bk，
∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0且b≠1，
∴k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
∴a＝b或a＝.
11．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1
B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1
D．a＜
B [由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.]
12．方程lg
(x2－1)＝lg
(2x＋2)的根为( )
A．－3
B．3
C．－1或3
D．.1或－3
B [由lg
(x2－1)＝lg
(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.]
13．若a>0，a＝，则log
a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [∵a＝，a>0，∴a＝＝，
设loga＝x，∴＝a.
∴x＝3.]
14．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．
－ [∵log2(1－2x)＝1＝log22，
∴1－2x＝2，
∴x＝－.
经检验满足1－2x>0.]
15．已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
[解] ∵log189＝a，log1854＝b，
∴18a＝9，18b＝54，
∴182a－b＝＝＝.
PAGE课时分层作业(二十五) 对数的运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg
(ab)＝lg
a＋lg
b；②lg
＝lg
a－lg
b；
③lg
＝lg
；④lg
(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④
B．①②
C．③④
D．③
D [∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg
＝×2lg
＝lg
，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg
(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.]
2．已知b>0，log5b＝a，lg
b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac
B．a＝cd
C.
c＝ad
D．d＝a＋c
B [由已知，得a＝，d＝，所以a＝cd.]
3．若lg
x－lg
y＝t，则lg
－lg
＝( )
A．3t
B．t
C．t
D．
A [lg
－lg
＝3lg
－3lg
＝3lg
＝3(lg
x－lg
y)＝3t.]
4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg
3≈0.48)
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
D [由题意，lg
＝lg
＝lg
3361－lg
1080＝361lg
3－80lg
10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg
1033＝33，lg
1053＝53，lg
1073＝73，lg
1093＝93，
故与最接近的是1093.
故选D.]
5．3lg
2－2lg
3＝( )
A．0
B．lg
2
C．lg
3
D．lg
6
A [令M＝3lg
2，N＝2lg
3，
则lg
M＝lg
2lg
3，lg
N＝lg
3lg
2，
∴lg
M＝lg
N，∴M＝N，
∴3lg
2－2lg
3＝M－N＝0.]
二、填空题
6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示)
m＋2n [loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.]
7．计算＋(27)＝________．
12 [由指数和对数的运算法则，得
＋(27)＝＋(33)＝＋32＝＋9＝3＋9＝12.]
8．若lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，则＝________．
4 [因为lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
]
三、解答题
9．求值：lg
500＋lg
－lg
64＋50(lg
2＋lg
5)2.
[解] 原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50＝2＋3lg
2－3lg
2＋50＝52.
10．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
[解] 法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝＝＝＝＝，
所以原式＝.
法二：∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝＝＝＝.
11．已知2x＝9，2y＝，则x＋2y的值为( )
A．6 B．8 C．1 D．log48
A [由2x＝9，得x＝log29，由2y＝，得y＝log2，
∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2＝2(log23＋log2)＝2log2(3×
)＝2log28＝2×3＝6.]
12．lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg
(ab)·(lg
)2＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [由已知得，lg
a＋lg
b＝2，即lg
(ab)＝2，lg
a·lg
b＝.
所以lg
(ab)·(lg
)2＝2(lg
a－lg
b)2＝2[(lg
a＋lg
b)2－4lg
a
lg
b]＝2(22－4×
)＝2×2＝4.]
13．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A．
B．10
C．20
D．100
A [a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝.]
14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x
3
5
8
9
15
lg
x
2a－b
a＋c
3－3a－3c
4a－2b
3a－b＋c＋1
请将错误的一个改正为lg
________＝________．
15 3a－b＋c [由lg
9＝2lg
3，对照表格可知3，9的对数值没错，lg
8＝3lg
2，所以lg
8＝3－3a－3c等价于lg
2＝1－a－c，比较lg
5＝a＋c，由lg
2＋lg
5＝1可知lg
5，lg
8的值没错，而lg
15＝lg
3＋lg
5＝3a－b＋c，所以表格中lg
15错误，应改为：lg
15＝3a－b＋c.]
15．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg
(ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0(x＞0).
设t＝lg
x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg
a，t2＝lg
b，即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝.
∴lg
(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12，
即lg
(ab)·(logab＋logba
)＝12.
PAGE课时分层作业(二十六) 对数函数的概念、图象和性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
D [由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞).故选D.]
2．函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(0，1)
C．(1，＋∞)
D．R
C [结合f(x)＝log2x的图象可知，f(m)>0时，m>1.]
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于( )
A．M B．N
C．?
D．R
A [M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.]
4．函数y＝4x的反函数是( )
A．y＝4x
B．y＝x4
C．y＝logx4
D．y＝log4x
[答案] D
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
A B C D
C [y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.]
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是________．
(0，4] [由2－log2x≥0，得log2x≤2，又x＞0，
∴0
7．已知函数f(x)＝则f＝________．
[f＝f＝f(－2)＝3－2＝.]
8．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
1 [∵f(x)＝log2x在区间[a，2a]上是增函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.]
三、解答题
9．求函数y＝log2x＋的定义域．
[解] 由题意知，
∴故有1，
所以原函数的定义域是.
10．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[解] 在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图象，如图所示．
由图象得：当m<0时，方程无解；
当m＝0时，方程有一解；
当m>0时，方程有两解．
11．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10 C．1 D．
C [由已知得a－lg
x≥0的解集为(0，10]，
由a－lg
x≥0，得lg
x≤a，
又当0＜x≤10时，lg
x≤1，
所以a＝1，故选C.]
12．方程－log2x＝0的解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．不确定
B [在同一坐标系中画出函数y＝与y＝log2x的图象，如图所示．
由图知它们的图象只有一个交点，即方程＝log2x仅有一个解．]
13．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为( )
A B C D
C [函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，
当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；
当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，
又∵图象过(1，1)，(－1，1)两点，结合选项可知，选C.]
14．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
[1，2] [作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.]
15．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解] 因为2≤x≤4，
所以log
2≥log
x≥log
4，即－1≥log
x≥－2.
设t＝log
x，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；
当t＝－1时，ymin＝.
PAGE课时分层作业(二十七) 对数函数的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＝log428，b＝log535，c＝log642，则a，b，c的大小关系为( )
A.b＜c＜a
B．c＜b＜a
C.a＜c＜b
D．a＜b＜c
B [因为a＝1＋log47，b＝1＋log57，c＝1＋log67，且log74＜log75＜log76，
而log47＝，log57＝，log67＝，
所以log47＞log57＞log67，即a＞b＞c，故选B.]
2．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3))，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A.c＜b＜a
B．b＜c＜a
C.c＞a＞b
D．a＜b＜c
C [由题意f(x)＝f(|x|).
∵log47＝log2＞1，|log3|＝log23＞1，0＜0.20.6＜1，
∴|log3|＞|log47|＞|0.20.6|.
又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∴c＞a＞b.故选C.]
3.
设a、b、c分别是方程2x＝logx，＝log2x，＝log2x的实数根，则( )
A.cB．aC.bD．cC [∵2a＝loga>0，∴0∵＝log2b＝－b>0，∴b<0；
∵＝log2c>0，∴c>1.
∴b4．设a＝log32，b＝ln
2，c＝5
eq
\s\up6(－)，则( )
A.aB．bC.cD．cC [a＝log32＝2＝b，又c＝5
eq
\s\up6(－)＝<，a＝log32>log3＝，因此c5．已知函数f(x)＝|lg
x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C.(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
C [不妨设0a＝lg
b，lg
a＋lg
b＝0，ab＝1，因此，a＋b＝a＋>2，故选C.]
二、填空题
6．已知f(x)的定义域是[－1，1]，则f
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logx))的定义域是________．
[由－1≤logx≤1，得≤x≤2.]
7．设0 [由于y＝logax(0∴2ax－2>1，即ax>.
由于08．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．
[由0≤|log0.5x|≤2，解得≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－＝.]
三、解答题
9．已知x满足不等式2
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logx))
eq
\s\up8(2)＋7logx＋3≤0，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
[解] 由2
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log
eq
\s\do2()x))＋7logx＋3≤0，
得－3≤logx≤－，
即≤log2x≤3，令log2x＝t，≤t≤3.
f(x)＝(log2x－2)(log2x－1)＝(log2x)2－3log2x＋2，
f(t)＝t2－3t＋2＝－.
∵≤t≤3，f(t)min＝f＝－，
f(t)max＝f(3)＝9－9＋2＝2.
所求函数的最大值为2，最小值为－.
10．设函数f(x)＝loga，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)解不等式f(x)＞1.
[解] (1)证明：设0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－，
则g(x1)－g(x2)＝1－－1＋＝＜0，
∴g(x1)＜g(x2).
又∵0＜a＜1，∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(a，＋∞)上是减函数．
(2)∵loga(1－)＞1，
∴0＜1－＜a，∴1－a<<1，
又00，从而a∴不等式的解集为.
11．已知曲线C：y＝(0≤x≤2)与函数f(x)＝logax及函数g(x)＝ax(其中a>1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋x的值为( )
A.16 B．8
C．4 D．2
C [如图所示，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点关于y＝x对称，又A(x1，y1)关于y＝x的对称点为(y1，x1)，则x2＝y1，故x＋x＝x＋y＝4.故选C.]
12．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A.(a－1)(b－1)＜0
B．(a－1)(a－b)＞0
C.(b－1)(b－a)＜0
D．(b－1)(b－a)＞0
D [当a＞1时，logab＞1等价于logab＞logaa，故b＞a＞1，则b－1＞0，b－a＞0；当0＜a＜1时，logab＞1等价于logab＞logaa，故0＜b＜a＜1，则b－1＜0，b－a＜0，综上可得(b－1)(b－a)＞0，故选项为D.]
13．已知函数f(x)＝|lg
x|－有两个零点x1，x2，则有( )
A．x1x2<0
B．x1x2＝1
C.x1x2>1
D．0D [函数f(x)＝|lg
x|－的两个零点x1，x2，即方程f(x)＝0的两根，也就是函数y＝|lg
x|与y＝的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为x1，x2，显然x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，
则?lg
x1x2＝x2－x1<0，
∴014．函数f(x)＝ln
(a≠2)为奇函数，则实数a等于________．
－2 [依题意有f(－x)＋f(x)＝ln
＋ln
＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.]
15．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0且a≠1，设h(x)＝f(x)－g(x)，
(1)求h(x)的定义域；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
[解] (1)因为h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)＝loga，
需有＞0，
即或
所以－1＜x＜1.
所以函数h(x)的定义域为(－1，1).
(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴解得－1＜x＜0.
故使h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．
PAGE课时分层作业(二十八) 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝10x
B．y＝lg
x
C．y＝x10
D．y＝10x
D [由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．]
3．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
A [由图可知函数在第一象限内是一个增函数，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好．]
4．有一组试验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a＞1)
B．y＝ax＋b(a＞1)
C．y＝ax2＋b(a＞0)
D．y＝logax＋b(a＞1)
C [通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.]
5．四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
D [显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]
二、填空题
6．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是________．
y＝3x [由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y＝3x的增长速度最快．]
7．函数y＝x2与函数y＝x
ln
x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
y＝x2 [当x变大时，x比ln
x增长要快，
∴x2要比x
ln
x增长的要快．]
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．
②③ [由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0＜a＜1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产．]
三、解答题
9．某公司为了实现1
000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
[解] 作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图).
观察图象发现，在区间[10，1
000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
10．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？
[解] 令y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，
依题意，得
即
解得
所以甲：y1＝x2－x＋52，
令y＝g(x)＝p·qx＋r.
又
②－①，得p·q2－p·q1＝2， ④
③－②，得p·q3－p·q2＝4， ⑤
⑤÷④，得q＝2.
将q＝2代入④式，得p＝1.
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
所以乙：y2＝2x＋50.
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
11．今有一组实验数据如下：
t
2
3
4
5
6
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
C [由表中数据可知，当t增大时，v也随着增大，所以B不正确．又当t＝2时，v＝1.5，所以A、D不正确，C符合要求．]
12．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x b：y＝x2 c：y＝
d：y＝2－x
B．a：y＝x2 b：y＝2x c：y＝2－x d：y＝
C．a：y＝x2 b：y＝2x c：y＝
d：y＝2－x
D．a：y＝ax b：y＝x2 c：y＝2－x d：y＝
C [根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数．b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．]
13．当0A．h(x)B．h(x)C．g(x)D．f(x)D [取特殊值x＝代入可排除A、B、C.]
14．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
(4) (1) (3) (2) [A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
15．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[解] 设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
画出三个函数的图象，如图所示，
由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．列表如下：
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．
PAGE章末综合测评(四) 对数运算与对数函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝，x>1}，则A∩B＝( )
A．
B．{y|0C．
D．?
A [∵A＝{y|y>0}，B＝.
∴A∩B＝.]
2．函数y＝log的定义域是( )
A．
B．
C．(0，＋∞)
D．R
A [要使函数有意义则5x－3＞0，
∴x＞，函数的定义域为.]
3．已知函数f(x)＝那么f(ln
2)的值是( )
A．0 B．1
C．ln
(ln
2) D．2
B [∵02<1，∴f(ln
2)＝eln
2－1＝2－1＝1.]
4．函数f(x)＝2的图象大致是( )
A B C D
C [∵f(x)＝2＝
∴选C.]
5．0.32，log20.3，20.3三个数的大小关系为( )
A．0.32＜20.3＜log20.3
B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3
D．log20.3＜20.3＜0.32
C [0.32＝0.09，log20.3＜0，20.3＞1，∴log20.3＜0.32＜20.3.]
6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1，3)
C [当x0≥2时，∵f(x0)>1，∴log2(x0－1)>1，
即x0>3；
当x0<2时，由f(x0)>1得－1>1，>，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞).]
7．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0
B．10
C．1
D．
C [由已知，得a－lg
x≥0的解集为(0，10]，由a－lg
x≥0，得lg
x≤a，又当0x≤1，所以a＝1，故选C.]
8．设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
D [令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k
∴＝·＝>1，则2x>3y，
＝·＝<1，则2x<5z，故选D.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值不可能是( )
A． B．
C．2 D．4
ACD [当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝(舍去).
当0∴loga2＝－1，a＝.]
10．函数f(x)＝2x＋loga(x＋1)＋3不过点为( )
A．(0，3)
B．(0，4)
C．
D．(－1，4)
ACD [当x＝0时，loga1＝0，所以此时函数值f(0)＝4，故恒过定点(0，4).]
11．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是( )
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|其中a>0，b>0，a≠0，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数
D．若0ABD [f(x)＝logx，x>0.
函数f(|x|)＝log|x|，∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)为偶函数，A正确；
若f(a)＝|f(b)|其中a>0，b>0，∵a≠b，
∴f(a)＝|f(b)|＝－f|b|，
∴loga＋logb＝log(ab)＝0，∴ab＝1.因此B正确．
函数f(－x2＋2x)＝log(－x2＋2x)＝log[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得0∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；
若01－a，∴f(1＋a)<012．关于函数f(x)＝|ln
|2－x||下列描述正确的有( )
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
ABD [函数f(x)＝|ln
|2－x||的图象如下图所示：
由图可得：
函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4，C错误；
函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．
故选ABD.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________．(用a，b表示)
ab [由于log37＝＝b，又log23＝a，
所以log27＝ab.]
14．若＝log35，，则5m＋5－m的值为________．
[∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，
∴5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝.]
15．如图所示，四条曲线分别是：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与0，1的大小关系是________．
016．已知函数f(x)的图象与函数g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有
下列命题：
①h(x)的图象关于原点(0，0)对称；
②h(x)的图象关于y轴对称；
③h(x)的最小值为0；
④h(x)在区间(－1，0)上单调递增．
其中正确的是________．(把正确命题的序号都填上)
②④ [∵f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于y＝x对称，
∴两者互为反函数，f(x)＝log2x(x>0)，
∴h(x)＝f(1－|x|)＝log2(1－|x|).又h(－x)＝h(x)，
∴h(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，故h(x)的图象关于y轴对称，∴②正确，而①不正确．
∵当1－|x|的值趋近于0时，h(x)的函数值趋近于－∞，
∴h(x)的最小值不是0，∴③不正确．
设－11－|x1|，
又∵y＝log2x是单调增函数，
∴log2(1－|x2|)>log2(1－|x1|)，∴h(x2)>h(x1)，∴h(x)在区间(－1，0)上单调递增，∴④正确．]
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).
[解] 原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)
＝(3log25＋＋)(log52＋＋)
＝log25·(3log52)＝13log25·
＝13.
18．(本小题满分12分)已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
[解] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x＋1).
(1)当a＝0，2时，分别求函数的定义域和值域；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，f(x)＝log2(2x＋1).
由2x＋1>0，得x>－，此时f(x)∈R.
当a＝2时，f(x)＝log2(2x2＋2x＋1)＝log2，
∵2＋≥对一切x∈R都成立，
故f(x)≥－1.
故当a＝0时，f(x)的定义域为，值域为R；
当a＝2时，f(x)的定义域为R，值域为[－1，＋∞).
(2)f(x)的定义域为R?ax2＋2x＋1>0对任意x∈R恒成立．
由上述可知a≠0，依题意，得解得a>1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)的定义域为R.
20．(本小题满分12分)已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)，
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的单调性，并证明．
[解] (1)为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a，又∵a＞1，∴x＜1，故定义域为(－∞，1).
又∵loga(a－ax)＜logaa＝1，
∴f(x)＜1，即函数值域为(－∞，1).
(2)证明：在(－∞，1)上任取x1，x2，且x1＜x2，
f(x)在(－∞，－1)为减函数，
f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝loga，∵a＞1，x1＜x2＜1，
∴ax1＜ax2＜a，
∴0＜a－ax2＜a－ax1，
∴＞1，∴loga＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，1)上为减函数．
21．(本小题满分12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2
000
m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
[解] (1)令x＝8
100，代入函数关系式，得y＝log381＝×4＝2，即游速是2
m/s.
(2)令y＝0，得log3＝0，即＝1，x＝100，
所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位．
(3)设鲑鱼A的游速为yA，耗氧量的单位数为xA，鲑鱼B的游速为yB，耗氧量的单位数为xB.
由yA＞yB，得log3＞log3，
即log3xA＞log3xB，xA＞xB，
所以鲑鱼A的耗氧量较大．
22．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．
[解] (1)令t＝logax(t∈R)，则x＝at，且f(t)＝(at－)，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R).
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a>1时，ax－a－x为增函数，并且注意到>0，所以这时f(x)为增函数．
当0所以f(x)在R上为增函数．
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，所以f(1－m)因为f(x)在(－1，1)上为增函数．
所以
解之，得所以m的取值范围为.
PAGE专题强化训练(四) 对数运算与对数函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln
0.5，c＝0.60.5，则( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
B [∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数．
∴log0.60.61.
同理，ln
0.51＝0，即b<0.
0<0.60.5<0.60＝1，即0∴a>c>b.]
2．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( )
A． B．60
C．
D．
B [由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.]
3．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．先增后减
D．先减后增
A [∵当a>1时，y＝logau，u＝(a－1)x＋1都是增函数．
当0∴f(x)在定义域上为增函数．]
4．函数f(x)＝ln
(x2＋1)的图象大致是( )
A B C D
A [由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0，0)点，排除B，D.]
5．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A． B．
C． D．
A [∵2＜3＜4＝22，∴1＜log23＜2.∴3＜2＋log23＜4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝
＝2－log224＝2
eq
\s\up8(log2)＝.]
二、填空题
6．(lg
2)2＋lg
2·lg
50＋lg
25＝________．
2 [原式＝lg
2·(lg
2＋lg
50)＋lg
25＝2lg
2＋lg
25＝lg
100＝2.]
7．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b－a的最小值为____．
[由题意可知，求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，
所以b－a的最小值为.]
8．设f(x)＝lg
x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
[因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg
x是增函数，
所以解得0三、解答题
9．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，若f(1)>f，求x的取值范围．
[解] 因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，
所以不等式f(1)>f可化为lg
>1或lg
<－1，
所以lg
>lg
10或lg
，
所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为∪(10，＋∞).
10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0，1).
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.
11．函数f(x)＝log2|2x－1|的图象大致是( )
A B C D
A [当x>0时，函数f(x)单调递增，
当x<0时，f(x)<0，故选A.]
12．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是( )
A．f2(x)与f4(x)
B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x)
D．f3(x)与f4(x)
A [因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以将f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.]
13．若点在y＝lg
x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A．
B．
C．
D．
D [由题意，b＝lg
a，2b＝2lg
a＝lg
a2，即也在函数y＝lg
x的图象上．]
14．函数f(x)＝log2·log
(2x)的最小值为________．
－ [由题意得x>0，∴f(x)＝log2·log
(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝－≥－.当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.]
15．已知函数f(x)＝log2(2x＋1).
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．
[解] (1)证明：任取x1则f(x1)－f(x2)＝log2(2x1
＋1)－log2(2x2
＋1)＝log2，
因为x1所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)g(x)＝m＋f(x)，即g(x)－f(x)＝m.
设h(x)＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2.
设1≤x1则3≤2x1
＋1<2x2
＋1≤5，≥＞≥，
－≤＜≤－，
∴≤1－<1－≤，
∴log2≤h(x1)即h(x)在[1，2]上为增函数且值域为[log2，log2].
要使g(x)－f(x)＝m有解，需m∈.
故m的取值范围为.
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