2.2二次函数的图象与性质（第1课时） 课件（共28张PPT）

是常数,a≠0)
1．定义：一般地,形如______________________
2．我们学习过哪些函数？
y =ax?+bx+c(a、b、c
____________的函数叫做x 的二次函数.
旧知回顾
y = ax? + bx +c (a≠0)
二次函数
y = k x+ b (k≠0)
y = k x (k≠0)
一次函数
变量之间的关系
函数
反比例函数
正比例函数
y = (k≠0)
3.一次函数的图象是 ．
4.反比例函数的图象是 .
双曲线
5.二次函数的图象是什么形状呢？
一条直线
6.通常怎样画一个函数的图象？
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
1．经历探索二次函数图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2.能用描点法画出二次函数的图象，并能根据二次函数的的图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
学习目标
新知导入
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
9
4
1
0
1
9
4
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象
定义：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴
定义：对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
顶点
图象开口向上，有最低点
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
问题1.2：根据所学知识，画出二次函数y=-x2的图像。
在y = -x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
-9
-4
-1
0
-1
-9
-4
课程讲授
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = -x2 的图象
2
二次函数y=ax2的性质
对称轴
顶点
图象开口向下，有最高点
课程讲授
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
2
二次函数y=ax2的性质
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
y = x2
y =- x2
二次函数y=ax2的图象特点：
(1)图象是一条抛物线，开口向上；
(2)原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；
(3)图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大.
探究2 作出二次函数y = -x2 的图象．
(1) 列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
-9
-4
-1
-1
-4
-9
0
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=-x2 的图象.
y
x
-1
-2
-3
O
1
2
3
-6
-7
-8
-3
-4
-5
-9
-1
-2
y=- x2
(1)二次函数 y=-x2 的图象是一条抛物线．
(2)图象与x 轴交于原点(0，0)．原点是图象的顶点，也是最高点.
y
x
-1
-2
-3
O
1
2
3
-6
-7
-8
-3
-4
-5
-9
-1
-2
y=- x2
(5)当x <0时，y 随 x 的增大而增大；当x >0时，y 随 x 的增大而减小．
(3)当 x=0时，y最大值 = 0
(4)图象关于 y 轴对称．
2．顶点坐标；
1．对称轴； 　　　　　　
3．开口方向；
二次函数 y=±x2 的图象和性质：
4．增减性；
5．最值.
y
x
o
y=x2
y=－x2
抛物线
y = x2
y = - x2
图象
对称轴
顶点
开口方向
增减性
最值
y
x
o
y
x
o
在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小
y 轴
开口向上
开口向下
y 轴
原点（最低点）
原点（最高点）
当x=0时,最大值为0
在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大
当x=0时,最小值为0
相同点：
y
x
o
y=x2
y=－x2
3)形状完全相同．
1)顶点都是原点；
2)对称轴都是 y 轴；
探究3 二次函数y=±x2(a≠0)的图象和性质：
y
x
o
y=x2
y=－x2
不同点:
1．开口方向不同；
2．y 随 x 值的变化趋势不同；
3．最值不同．
y
x
o
y=x2
y=－x2
　　函数 y = - x2 的图象与函数 y = x2 的图象关于 x 轴对称．
联系：
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y =a x? + b x + c 的图象叫做抛物线 y =a x? + b x + c .
每条抛物线都有对称轴，顶点是抛物线的最低点或最高点．
随堂练习
1.若点（x1，y1），（x2，y2）是二次函数y=-4x2图象上两点，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1≥y2 D.y1≤y2
2.已知抛物线y=ax2（a＞0）过点A（-2，y1），点B（1，y2），则下列关系式一定成立的是（ ）
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1
C.y1＞y2＞0 D.y1≤y2
B
C
随堂练习
3.如图，从y=-x2的图象上可看出当-3A.-9B.-9≤y<-1
C.-9≤y≤0
D.-9D
随堂练习
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= x2，③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________.（填序号）
①③②
随堂练习
5.二次函数y=ax2的图象如图所示.
(1)求这个二次函数解析式；
(2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个函数的解析式.
解 (1)因为图象经过(2,2)，代入解析式，
得a= ，
2
1
y=- x2.
2
1
故所求的解析式为y= x2.
2
1
(2)由题意得另一个函数的解析式为
二次函数 y= x2 和y=- x2的图象与性质．
抛物线
y = x2
y = - x2
图象
对称轴
顶点
开口方向
增减性
最值
y
x
o
y
x
o
在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小
y 轴
开口向上
开口向下
y 轴
原点（最低点）
原点（最高点）
当x=0时,最大值为0
在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大
当x=0时,最小值为0
课堂小结
谢谢
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