2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题

1a口日,日口f(x)=y3 31+ a口目,a口口囗囗口口
2(2019口口口,9)口口y=fx)口R囗口口口口,口口g(x)=f(x)+f(a2)口囗口口口
日日a口口
3(2018日口口口日,10)日y=f(x)口口2,口X口[-1,1]口,f(x)=x2,口口口y=f(x)口口
日日日y=|gx百口口
2-| R 2
4.(2018日)口口口fx)
口g(X)=b-f(2-×),bR,口囗
( 2)X>2,
y=fx×)-g(X)日4百百,日b百日
5(2019日口口日日日,14)口口R口口口口f(X)=ax3+bx2+cx(a≠0)口日口日日囗(-1,1),口口口
3a[(×)2+2bfXx)+C=0口6日囗口口口,口口a囗囗囗囗囗囗
6.日mR,日日f(x)=g( +
(1)口囗囗g(X)=(x)+g2口口口囗口口口,口口m口口;
(2)m>0,日x1,x2日[tt2,日日日|(x1)fx2)s1自t[a,1,m百百口
7.(2018口口口口口口口囗口口)口9(x)=X2-2ax+1口口口[1,3]口日口口[0
(1)a口
(2)日日日g(2)-k4≌0日Ⅺ[1,+)日口日,日日口k口口口口口;
(3)日口y
7(21
k--3k囗囗口囗口,口口囗k囗口囗囗口
口口口口口口
1.口[2,2]
口苜日日日f(×)日日[1,3],a=y3 31+ [1,3]日日日,日yy3 1+ 改日
[-1,3]日口,a口[2,2
2.日口
口口口口口g(x)=f(x)+f(a2)口口口口口,口口口口X口口,口f(x)+f(a2)=0,口fa×2)=fXx
口口囗囗口x口口,口f(a×2)=f(×)口囗
日f(×)百R百百口
口囗囗囗口X口口,口a-X2=-×
X-a=0口口口
日△1+4a=0,日日a=-a
3.日口10
日,y=f(x)y=x日,,,口10口
4.口口
2-5X+8,x>2,
口日日y=f(×)-g(X)日4日日日,日日X日口口b=f(x)+(2-×)={2.0≤ 2,口4口口
2,X<0
7
日囗囗囗口口口,口囗口5.口(-∞,2)
口口口f(x)口口口f(x)=3ax2+2bx+c,口口f(x)口囗囗口口口(1,1),口口-1,1口f(x)=0口口口
口口{
0
2-33a(×)]2+2bf(x)+c=06a口口口口口f(x)=1口f(x)=13口口口口
口□r )>1,
外 -2 1
1)<-1
22 -1日日a<-2
6.口(1)口口,g(x)=f(x)+gx2=g(mX2+2X)
口g(×)日口口口
+>0,
+2×-1=0
日m=0日,X=2,日日日;
日m≠0口,△=4+4m=0.口m=-1,口口囗口
日口,m=0口m=-1
(2)日x0J=m+日日日
m>0,Du>0,y=gu口口口
f(x)(0,+)口口囗
日日×1,X2tt2],X1)fxX2)s1日日日t[a,1日口口,
ft-f(t+2)=g( +
g( +
21s1口口口t[,1]口口口
m+10( +2+2日t[1日日
口囗口,9mt2+18m+1)4≥0日口口t[,1]口口
m>0,y=9mt2+18(m+1t4日t囗[a,1]口口口
日t=。,ymn=。m+2m+1)4≥0,口m≥
7.口(1)g(x)=X2-2ax+1=(x-a)2+1-a2口口口[1,3]口口口口口[04
口1≤a≤3,g()口口口口g(a)=1a2,日13日口囗口口口囗口口
1.日日A=1,0],B={ y=(
2),X口R},口A口B=
2(2019口4,5)y=√7+6 22口口口口
3.(2019,4)日y=-(X-5)X口囗囗
4.(2019百口口口百口口口日,10)日R口日口f(x)日口f(×)=-f(×)
f(×)=f(x+4),日日x日(1,0)口,(×)=2x+2
口f(og220)=
2
5.(2019日口口口,8)日口口f(x)=
1+22“k=1”口“口日f(x)口口口口”口
日.(“百百百古”“百”“百百”百“日口
log1(-X+1)-1,x[-1k]
6.、(2018日日)口日口f(x)={
口囗囗囗k口囗囗口
2| 1, ( p
日日日口口[2,0],日日自a口日口口
7(2018口口囗口口口囗口口囗口口)口口囗f(×)=22x|+4口口口囗口ab],口口a3a,3b],口口日口(a,b)口
8、(2019日口,9)日y=f(X+2)日日日日口X=-2日日,百X口(0,+∞)口
x)=1g2×a=(3),b=f(2)
4,C=f(2),口a,b,c口口口口囗口口口
9(2019日口口囗囗口口口口囗囗日囗囗囗囗口,16)口口口fx)=ex。2X日囗口口[1,1]口口
日日日(e百百口口
(1)日口口m口口
(2)口f(a-1)+f(2a2)≤0,口口a口口口口
10.(2018口口口囗口囗口口)口口口f(×)=ax2-2ax+2+b(a≠0)日口口[23]口口口
日5,口口2
(1)口ab口口
(2)b<1g(×)=f(X)-2mX口[2,4]百日日口口,口口m口口囗日口
1.口[1,2]
口口口日x2-1≥-1,口口0<(
≤2,B=(0,2,日A口B=[1,2]
2.口[-1,7]
口口口口口囗囗口口口,口口7+6×20,0口-1≤X≤7,日口口口口口[1,7
3日[0,
口口口x≥0口,y=(X5)X=×2+5×,口口口口口口,口囗口口口X=,口口口口口口0,];x0
日y=(×5)X=x2.5X日日囗口囗,口口日囗口日X=2,口口囗口囗口口囗囗口
日,y=5从日日0,2
4.口囗-1
5
日日f(og220)=(og2204)=(og2),15
5
口0f(og220)=f(-log27)=f(og2=)=(2
5.日口口口
口口口f()口囗囗囗,f(-×)=-f(×),
2
2
1+ 2
212
p
口k2(2)2-1=(2x)2k2
口口(k2-1)[(2x)2+1]=0,
口囗k2-1=0
口口k=±1
日日k=-1口fx×)百口口口口口囗
6.口囗
日日日日f×)日日(口),口日口日日a囗囗口口日1(2019口口口口,12)口口口{an}口口口口口an=5n+1,口口{bn}口口口口口bn=n2,口口口
an}{bn}百百口口百百百百百{cn}c6日日口
2、(2018日日百)日日日日日日{an},aa3a4=a2+a3+a4,a3口
3.(2019口,10)百百,百“,日,口
日,,,,口日 ”“百,口口
日 ”日33,百百百,日口
4(2019口口口口3口口,10)口口{an}口a+a=82a2a4=81,
日nT,日2019×3 11日日日日口n日
5(2018日日日日日日日日日日)Sn口{an}n口日,S3,S9,S6日日口口,口
a2+a5=2a m. m=
6(2019口口口口口囗口,13口口x,y,z口[0,41,口x2,y2,22日口口2口口口口,ny+y
7、(2018)日日{an}百:日日n,an+1≥an自日;百百口
日日日口kank+an+k=2ann(n>k)日日,日日口{an“R(k)日口”
(1)R2210000an}“R(2)口”,口a囗口
2 ,日口,
(2)日口{bn}“R(3)日日”,口口口口p(p>1),口口b3p3,b3p1,b3p+1,b3p+3口百,口
口:{bn}口口口
1.口囗256
口口口am=bk,口5m+1=k2,m=
( +1)( 1)
日m口口囗口,囗k+1k-15日口口口
日k+1=5tk-1=5ttN),k=5t-1日k=5t+1t口N)
口口k=4,6,9,1114,16,19,21,口,口口c6=162=256
2.口口√3
口aaa4=a+a3+a4, +a3ta3q, 3=+q+1≥3a3>0,口a3≥√3,口口口q=1
口囗,a3口囗口口√3.
3.口口6
2×-1
1-2
1
1-(7)
日日日日口2×-1+2-21≥33
232
2
口f(×)=2
2
日X>0日,f(×)日日口,f(5)=32-<32,f(6)=64>32,日日日囗囗口口6口
4.口6
日日百百日{an}日口口q(q>1),
+ 3=82
=1
g=81,
3=81,q=3
口an=3n1
口+
2
133
3(1-27)
3
口2019× 21|>1,
日2019×>1,3"<2019,口口囗口n口口口口口6
5.口口8
日自日日an}日日日q,S3,S,S日日日口日,s3+S6=2S9,
(a+a2+a3)2+q3)=2(a1+a2+a3(1+q3+q.a+a2+a3≠0,02+q3=2+293+2q63=2
2
a2ta5=a 2+a 2a
a2=2a m=2a 20 m-22
=2,m=8
6.42√3
口口口口X,y,z口[,4]X2y2,2口2口口,0≤xsy≤z≤4,|y+|y-z|=z
4
4
4
+ 2+77 +/ 4-4+2√3
4-2√
叫|y+y-2口囗日42√3
7.日(1)口{an}“R(2)日口”
日n日日日,an+1an=2(n+1)(2n1)=3>0,日口an+1≥an
an2+an+2=2(n-2)-1+2+2)-1=2(2n-1)=2a
日n日日日口,an+1an=2(n+1)-1-2n=1>0,口日an+1≥an
an2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an
日日,口{an}“R(2)口”
(2)日日:日日日口bn3+bn+3=2bn,
日日b1,b4,b7,口口口,口口口口口d1,
日b2,b5,b8,口口,口日口口d2
日囗b3,b6,b9,口囗囗口口,口口囗口d3
口口bn≤bn+1,口口b3n+1≤b3n+2≤b3n+4
日日b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1,
日日n(d2-d1)≥b1-b2日,n(d2-d)≤b1b2+d1
日d2d1<0,n>。,口日口;
- 2+ 1
口d2-d1>0,口n>
日,口
2- a
口d2-d1=0,囗囗囗囗囗囗囗,口d1=d2.12口口囗
1日ABCD日日日日日日日日,+=1(a>b>0)日,ABx口AD百日百F,日日口
2日C 对+=1(a>b>0)日日日F,日y=v3X日日自C日AB日日,AFBF,口口
3.囗口P口囗囗
2516
1日日口口,F1,M(6,4),口|PM|+PF1口口口
42017日日日)日,日日日日日口日XOy口,口AB1,B2日日口C:n+,z=1(a>b>0)
日口口口口口口,F囗囗C口口口口.口B2FAB1,囗囗C口囗囗囗囗
5.日日C,+1( 0日 XUOOOO PO AuOOOOOO日.PA口口
6.(2019日,13),日日+=1(a>b>0),日AB1,B2,F日日日口口日日日口口
日百,卣AB2自日BFM百百百百百古,百百百百百口
7.(2019口,11)日日,口日xOy百,口口
3
7+7=1(a>b>0)百日日百日日AB,百日日F,百日C,BC日百日日M,AM
日口口口口口日日D,DF口口X口,日口口囗e口
8.(2019日日日,10)日F1F2日日日日日E +=1(a>b>0)日日日百,AB日
日E日日,口日AB日日日日P,口日PFPF2,日Ee自口口口
9.日日日日日口口Xy,日日C:2+=1(a>b>0)日自口口口,,F1,F2日口
日,F口口口囗口口口口日h1,l2,口l1日C日日A,B口,口1zC口口D,E口,AF1F2
日日日4+2√3.
(1)口口C口囗
(2)1AB20E,oDE日
日口口口口口
√5-1
1.口囗
2
日口A口口口口口口A(22口y=×,v,口b2=a2
√5-1
C2=ac,e2+e-1=0(02
2.口口√3-1
日日自F,卣日FAFB自.日AFBF,日FAFB,口
OA|=|OF=c.口口AOF=120°,日|AF=√3cAF|=c.日日日|AF|+AF|=√3c+c=2a.口口
日口e=
√3+1
3-1.
3.口15
口口口日日,+,=1日口口口日R,口F2(3,0),MF2|=5.日口|PM|+PF1=2a+|PM|PF2|≤
2a+MF2|=10+5=15,日口日日日P日MF2日日百口.|PM|+|PF1|日
口口15
√5-1
4.口口
口口口口F(c,0),B2(0,b)B1(0,b),A(a,0),口口 2(c,-b), 27a,8).口口B2FAB1,口口ac-b2=0,
-1+√5
口c2+ac-a2=0.口e2+e-1=0,口口e=
(口日日囗)
5.口囗
3
日日日日P(2,0),A(0, 70日PA日日(272)0日口
9
1(a>b>0)日,口
√3
日囗a=y3c.口囗囗口口e
3
6.口囗
百百,A口(-a0),日B1日日口(0,-b),B2日日日(0,b),F百口(c,0

日口口AB2囗口囗
口口FB1囗口21

日口口口口口
252
日日日AB2日B1F日日日口日X=一口,
2,口(
21.、(2019)日日an}n口日口Sn,S1=132a6+a9=30,a12口口
2、(2019日日日日){an}日日日日日日日日,an=2,a3=a2+4,百百5口日
3.(2019日)日日{an}日n日Sn,an+1-2an=1,a1=1,S9日口
4.(2018百)口日日an}n自Sn.S3,S9,S日日日日日,口a8=3,口
5.日{an}日a1=1,口口口an+1=2a2n1an=a2n1+1,日{an}20日口口
6.、(2019)Sn日{an}n百,6a6,a8,8a4日日日,Szk=65Sk,口口
7日Sn日an日n日,日a=2,a 3+1=25bnog2a,my+nn+口+7h7口日
8.(2018日日日日)日a,b,c自,a+6b+2,c+1,b百日口
9.、(2019日日)日{an}日日百,日bn}口bn=anan+1an+2(n口N)
(1){an]日a10=2a4a14,as口口
日日日日{an}日口口口;
日日日日{ bou n doo sn,n百百日,Sn口口口日
(2)口{cn}cn=an+1an+2- 3口N),口口口{an}囗囗,口口口口p,q,口口ap+cq
10.(2018日日日日()日{an}口口1,d,{n}口
nSn,日nN,6Sn=9bn-an-2口口口
(1)日日{Sn日日口,百{bn}百口口日
(2){ +}日口日,百d口口
(3)日日d=3,日{cn}日日1,cn=bn-bn1n≥2),{an}口百口百百{cn}
1.口囗24
日日口S11=132,口
11( + 11
132,11a6=132,a6=12,a6+ag=30,口ag=18,口
a6+a12=2a9,口a12=24.
2.62
日自q日日日{an}口
口口a1=2a3=a2+4口2q2=2q+4,
口q2-q2=0
日日q=2q=-1(日口),
口口q=2,口S5=(1-2
62
1-2
3.日口1013
口口日an+1-2an=1,口an+1+1=2(an+1),a33 +1+1=2
+1
日日日日{an+1}日2日百,2百口口口口
2(1-2
日日日{an+1}百n百Tn,Tg
=1022,
口Sg=T9-9=1013
4.-6
日百日S3,S9,S6口口口日日日S3+S6=2S9,口口口口{an}口日q=1口日日口,q≠
(1- 7),n (1 )。 (1- )
8
2
1-
口口囗2q°q31=0q3=(01,口a5==-6
5.口口2056
10
a1+a+口+a192121023,口a2+a4+口
a20=(a1+1)+(a3+1)++(a19+1)=1033,日{an}20口口2056
6.口囗6
口日口{an}口口日日,6a6a8,8a4日口口口,2a8=6a6+8a4,2a1q7=6a1q5+8a1q3,口
q4=3q2+4,口口q2=4日q2=1(口)
3(1- 3) 1(1- 3
S2k=65Sk,口
2=65
1-
口q=64,口k=6
7.口口必备一 主干知识回扣
知识点一 函数性质
1.函数的单调性
(1)定义 :一般地 ,设函数 f(x)的定义域为 A,如果对于属于定义域 A 内某个区间 I上的任意两个自
变量的值 x1,x2,当 x1f(x 2)),那么就说 f(x)在这个区间 I上是增 (减)函数 .
(2)证明方法 :定义法、导数法 .
2.函数的奇偶性
(1)定义 :对于函数 f(x),如果对于定义域内任意一个 x都有 f(-x)=-f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数 ;如果
对于定义域内任意一个 x都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数 .如果函数 f(x)是奇函数或偶函数 ,那么
就说函数 f(x)具有奇偶性 .
(2)图象特征 :奇函数的图象关于原点对称 ;偶函数的图象关于 y轴对称 .
3.函数零点
(1)对于函数 y=f(x),x∈D,我们把使函数 y=f(x)的值为 0的实数 x(x∈D)称为函数 y=f(x)的零点 ,实
质上函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根 ,它是实数而不是点 .
函数 y=f(x)-g(x) 的零点可以看成是方程 f(x)-g(x)=0 的根或函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图
象的交点的横坐标 .
(2)零点存在性定理 :一般地 ,若函数 y=f(x)在区间 [a,b]上的图象是一条不间断的曲线 ,且
f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间 (a,b)上有零点 .这一定理一般用来证明函数有零点 ,其逆命题是假命题 .
知识点二 导数
1.导数的几何意义 :f '(x0)表示曲线 f(x)在点 P(x0, f(x 0))处的切线斜率 .
2. n n-1 x x x x
1
常见的导数公式 :(x )'=nx ;(a )'=a ln a(a>0且 a≠1);(e )'=e ;(logax)'= x (aa>0且 a≠1);(ln
1
x)'= x;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.
3.导数的运算法则 :[f(x) g±(x)]'=f '(x) g±'(x);
[f(x)·g(x)]'=f '(x)·g(x)+f(x)·g'(x);
f(x) ' f '(x)g(x) -f(x)g'(x)
[ g(x) ] = 2 (g(x)≠0).[g(x)]
4.导数与函数的单调性 :
f '(x)>0 函数 f(x)在相应区间上为单调增函数 ;
f '(x)<0 函数 f(x)在相应区间上为单调减函数 .
5.导数与函数的极值、最值 :(1)函数的极值 :设函数 f(x)在点 x0附近有定义 ,且对 x0附近的所有点
都有 f(x)< f(x 0)(或 f(x)> f(x 0)),则称 f(x 0)为函数 f(x)的一个极大 (或小 )值 ,其中 x0称为极值点 , f(x 0)称
为极值 ,所以极值点是实数而不是点 .
(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得 .
知识点三 基本初等函数
1. :(1)( n a)n=a(n N*); n , =a; n , 指数的概念及运算性质 √ ∈ 当 为奇数时 √ 当 为偶数时 √ =|a|;(2)正数

1 1
的分数指数幂的意义 : = ; - = *√ = (a>0,m、n∈N ,且 n>1) .
√
2.对数的概念及运算性质 :
(1)ab=N logaN=b(a>0且 a≠1);

(2) n对数的运算法则 :loga(M·N)=log aM+log aN;loga =loga M-log aN;logaM =nlogaM(a>0且 a≠1);
log N
(3)换底公式 :log N= a (a>0且 a≠1,b>0且 b≠1).
log a
3.指数函数的定义 :一般地 ,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数 ;
对数函数的定义 :一般地 ,函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数 ;
幂函数的定义 :一般地 ,形如 y=xa的函数叫做幂函数 .
4.指数函数、对数函数的图象和性质 :
指数函数 对数函数
01 01
图象
定义域 :R;值
共同 定义域 :(0,+ ∞值域); :R;
域:(0,+ ∞ );
性质 图象过定点 (1,0)
图象过定点 (0,1)
在 (- 在(-
在
∞ ,+∞) ∞ ,+∞)
不同 (0,+ ∞)
上是单 上是单 在 (0,+ ∞上)是增函数
性质 上是减
调减函 调增函
函数
数 数
知识点四 三角函数
1.任意角的三角函数的定义 :

sin α= ,cos α= ,tan α= .
2. sin 同角三角函数的关系式 (同角公式 ):平方关系 :sin2α+co2sα=1商, 数关系 :tan α=cos .
π
3.诱导公式 :k· ±α∈(kZ)与 α的三角函数值之间的等量关系式 ,记忆口诀是奇变偶不变 ,符号看象2
限.
4.三角函数的图象和性质 :
三角
y=sin x y=cos x y=tan x
函数
图象
定义 x x∈R,
R R
域 πx≠2 +kπ ,∈k Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
对称 ( π+
(kπ ,0),k Z ( π∈
π 2
,0) ,k∈Z
中心 2 ,0) ,k∈Z
对称
π
x=kπ+,k∈Z
2 x=kπ ,∈k Z 没有对称轴
轴
周期
2π 2π π
性
单调
2kπ-π, π[2k π- kπ- ,2 2
增区
π π ,2k π∈],kZ2kπ+ ,k Z k π∈ π+ ,k∈Z
间 2 2
单调
π
2kπ+,
2 [2k π ,2k π+π ],k
减区 无
3π ∈Z2kπ+ ,k∈Z
间 2
特别关注 :(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性 ,要注意函数的定义域 .
(2)三角函数的值域与最值的常见题型 :一是利用三角公式化为标准型 y=Asin( ωx+φ )(A>0, ω二>0);
是转化为基本函数型 ,如:y=cos 2x-sin x+1,y=sin 2x+sin x+cos x均可以通过换元转化为二次函数 ;三
是利用导数法 .
(3) 2π三角函数的周期 :y=Asin( ωx+和φ)y=Acos( ωx+φ )(A>0, ω都>可0)以利用周期公式 T=
求
π
解;y=Atan( ω x+φ )(A>0利,用周ω期>公0)式 T= 求解 .
y=|Asin( ωx+φ )|(A>0, ω>0),y=|Acos( ωx+φ )|和(A>y0=,|Atωan>(0)ωx+φ )|(A>0, 的ω周>0 π期)都是 T= ;
y=|Asin( ωx+φ )+b|(A>0, ω≠>00)的,b周期公式是 T=2π
.
π
(4)奇偶性 :y=Asin( ωx+φ )(A>0, ω是>奇0函) 数 φ=kπ∈,kZ,是偶函数 φ=kπ+,k∈Z.
2
y=Asin( ωx+φ )(A>0, ω是> π奇0)函数 φ=kπ+
2,k∈Z,是偶函数 φ=kπ∈,k Z.
(5)对称性 :求对称轴、对称中心 ;已知对称轴或对称中心 ,求参数的取值 (用特值法 ).
5.三角恒等变换 :
(1)两角和与差的三角函数公式 :
sin( α±β )=αsicnosβ± coαs sinβ;
cos( α±β )=αcocsosβ sin αsinβ;
tan( tan )= ± tan α±β
1 tan tan .
(2)二倍角公式 :sin 2α=2sinαcosα ;cos2α=co2sα-sin2α=2co2sα-1=1-2sin2α ;tan2 2tan α= 2 .1-tan α
2 1-cos2 2 1+cos2 (3)降幂公式 :sin α= 2 ;cosα= 2 .
6.解三角形 :

(1)正弦定理 :sin =sin =sin =2R;
1 1 1
S△ABC=2absin C=2bcsin A=2casin B.
2 2 2
(2)余弦定理 :cos A= + - 2 ,
2+ 2 - 2
cos B= 2 ,
2+ 2- 2
cos C= 2 2 22 ,a =b +c -2bccos A,
b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
知识点五 平面向量
1.平面向量共线定理 :(1)向量 b与非零向量 a共线 存在唯一的实数 λ使,得 b=λa.
(2)平面向量共线定理的坐标表示 :若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b x1y2-x 2y1=0.
2.平面向量基本定理 :若 e1,e2是同一平面内的两个向量 ,则对于这一平面内的任一向量 a,有且只有
一对实数 λ1,λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2称为基底 .
3.两个向量的数量积 :(1)向量的夹角 :已知两个非零向量 a与 b,作 = a , = b , 则∠AOB 叫做向量
a与 b的夹角 .注意 :夹角的范围是 [0, π作];图时两向量一定要共起点 .
(2)已知两个非零向量 a与 b,它们的夹角为 θ则,a·b=|a||b·| cos θ.
注意 :数量积运算的结果是数量 ,而线性运算的结果仍然是向量 .
知识点六 数列
1.等差数列与等比数列 :
等差数列 等比数列
an+1-
定义 an=d(n∈N
*,d +1 *
=q(n∈N ,q为常数 )
为常数 )
an=a1+(n-
1)d=am+(n-
通项公式 n-1 n-m *m)d(m,n∈N*, an=a1q =amq (m,n∈N ,且 n>m)
且 n>m)
Sn=
前 n项和 ( + )S = 1 n 2 1, q = 1,
( - 1)
公式 =na1+ d { 1 (1-
)
= 1
- q
2 ,q≠11- 1-
若
m+n=p
常 +q,m,n, am+an=ap+aq am·an=ap·aq
p,q∈N
用
*,则
性
Sk ,S2k-
质 2Sk ,S3k- 是公差为 k d
是公比为 qk的等比数列 (Sk≠0)
S2k, ( 的等差数列
k∈N* )
证明 {a n}
成等差 定义法和等
定义法和等比中项法
(比 )数列 差中项法
的方法
2.已知数列的递推公式 ,求通项公式的常用方法 :累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法 .
3.常见复杂数列求和的基本数学思想 :转化与化归思想 ,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数
列求和问题 .常用方法有 :(1)并项求和法 (正负相间的项的求和 );(2)裂项相消法 ;(3)错位相减法 ;(4)分组
求和法 .求和时先分析通项 ,再选择求和方法 .
知识点七 不等式
1 1
1.不等式的重要性质 :①若 a0,则 > ,即不等式两边同号时 ,不等式两边取倒数 ,不等号方
向要改变 ;②如果不等式两边同时乘 (或除以 )一个代数式 ,要注意它的正负号 ,如果正负号未定 ,要注意
分类讨论 .
2.基本不等式 :(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .
+
即若 a,b>0,则 ≥√ (当 且仅当 a=b时 ,取等号 ).2
+ 2
基本变形 :①a+b≥2√ ;( ) ≥ab;2
2
a,b R, a2 2 2ab, +
2
( +
2
②若 ∈ 则 +b ≥ ≥2 2 ) .
(2)基本应用 :求函数最值
注意 :①一正二定三相等 ;②积定和最小 ,和定积最大 .
已知 a,b为正数 .当 ab=p(常数 )时,a+b≥2√ ,当且仅当 a=b=√ 时,a+b取得最小值 2√ ;
2 2
当 a+b=s(常数 )时,ab≤ ,当且仅当 a=b=4 2时,ab取得最大值 .4
知识点八 直线与圆
1.距离公式 :(1)两点间距离公式 :设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),则 AB=√ ( 1 - 2 ) 2 + ( 1 - 22 ) ;
| +B +C|
(2)点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 0 0的距离公式 :d=
√ 2 + 2 ;
| - |
(3)两条平行直线 Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C =0间距离公式 :d= 1 22 .
√ 2 + 2
2.(1)圆的标准方程 :(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2;
2
圆的一般方程 :x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 2+E2-4F>0),把一般方程配方得 ( + 2 ) +( +
2 2+ 2 -4F
2) = 4 (D
2+E2-4F>0).
(2)判断直线与圆的位置关系的方法 :比较圆心到直线的距离 d与圆的半径 r的大小 ,若 d>r,则相离 ;
若 d=r,则相切 ;若 d3.圆与圆的位置关系 .设☉C1的半径为 r1,☉C2的半径为 r2,d=|C1C2|,
则☉C1与☉C2相外离 d>r1+r2;☉C1与☉C2相外切 d=r1+r2;☉C1与☉C2相交 |r1-
r2|知识点九 椭圆
1.椭圆的定义
(1)第一定义 :平面内到两定点 F1,F2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个
定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距 .需要注意 :常数大于 |F1F2|.若常数等于 |F1F2|,则轨迹是
线段 F1F2;若常数小于 |F1F2|,则无轨迹 .表达式 :|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)第二定义 :平面内动点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0轨迹是椭圆 ,定点是椭圆的一个焦点 ,定直线是与焦点同侧的准线 ,常数 e是椭圆的离心率 .焦点在 x轴
2 2
上的椭圆 ,准线方程是 x=± ;焦点在 y轴上的椭圆 ,准线方程是 y=± .
2.椭圆的标准方程及其几何性质
x2 y2 2 2方程
a2 +b2 =1(a>b>0)
y +xa2 b 2=1(a>b>0)
图形
x∈[-a,a],y∈[-
范围 x∈[-b,b],y∈ [-a,a]
b,b]
对称性 关于坐标轴对称、关于坐标原点对称
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b), A1(0,-a),A2(0,a),顶点、
B1(-b,0),B2(b,0),
长轴
长轴长、 长轴长 :A 1A2=2a,
长:A 1A2=2a,
短轴长 短轴长 :B1B2=2b
短轴长 :B1B2=2b
c
离心率 焦距与长轴长的比 :e=a
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
准线 a
2 2
x=± y=
a
±
c c
与坐标系
无关的 a2-b2=c2
量、式
知识点十 空间直线与平面的位置关系
1.平行公理 (公理 4):平行于同一条直线的两条直线平行 ,符号语言 :a∥b,b∥c a∥c.
2.直线和平面平行 :(1)判定定理 :平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 ,则该直线与此平面
平行 .符号表示 :a α , bα∥,a b a∥α.
(2)性质定理 :若一条直线与一个平面平行 ,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行.符号表示 :a∥α ,aβ ,∩αβ = b a∥b.
3.直线和平面垂直 :(1)判定定理 :一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 ,则该直线与此平面
垂直 ,符号表示 :a⊥b,a⊥c,b,c α ,∩b c=A a⊥α.
(2)性质定理 :垂直于同一个平面的两条直线平行 .符号表示 :a⊥α ,⊥b α a∥b.
4.平面与平面平行 :(1)判定定理 :一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 ,则这两个平面平
行.符号表示 :a∥α∥,bα∩,a b=P,a β , bβ α∥β.
(2)性质 :①如果两个平面平行 ,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面 ;
②性质定理 :如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行 ,符号表
示: α∥β ,∩αγ =a∩, βγ = b a∥b.
5.平面与平面垂直 :(1)判定定理 :一个平面经过另一个平面的垂线 ,则这两个平面垂直 ,符号表
示:a⊥α , aβ α⊥β.
(2)性质定理 :两个平面垂直 ,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 .符号表
示: α⊥β ,∩αβ =l,⊥a l,a α a⊥β.15口
1.(2019日口口口,7)日日日,y=ex+2X+1日X=0口口口
2、(2019日日日,6)口f(x)= ax-In x日(1,f(1)百日日2,日口日a口日
3(2019口口口口口口口口,.8)日口1口口y=2X2+nx口口口,口口口1口口口口口口
4.(2018日日)日,旧(0,1),回y=f(×)百日日日(a,3),f(a=3,日日a日
fr)
50囗口囗囗xOy,ay=ax2+aba)口P(2,5),口 000 P000囗口
日日7x+2y+3=0,a+b口
6.、(2019日,8)y=X+2ex=0日口口百口口口百口口口
7(2018日日日日日)日日日日日日日Xoy,cCXy=√3日日P囗口k:x+√3y=0
8(2019口口口囗口口口囗口口口口(口),12)口口P口口Cy=x2口,口C口口P囗口口口口,
日P日1日百C百Q,0日日日,OPOQ,P百口
92018日口口口口日口)日口y=元×x2日口日y=ax日口日口口囗P(s,)口口口囗口
日,a口囗
10.(2019日口日日,11)口口f(×)=
24,X≤0,
口口日X日口口(×)|-ax-5=0口口口口口
e-5,X>0
日日百,a百百口
11(2018口口口口口囗囗囗口囗口囗口囗口口口)口口口f(x)=x3.口口y=f(x)口口P(X1,f(x1)
( 3)
日日日日日日日日Qx2,f(×2),f(x百f(x)日日日,(23)日日
12(2018日日日日日)日日日X=x0日日日C1:y=(ax-1)ex口口c2y=(1-×)e口口口口口
日AB,百C1日日A日日日口h,口C2口B日日百口12.日日Xo[o,a],口h口l2,
1.日y=3X+2
日日y=ex+2,口k=3,日口(0,2),口日口口口口y-2=3×,日y=3X+2
2.3
日口f(x)=ax-nx,f(x)=a
日日日日日日日日k=f(1)=a-1=2,日日a=3
3.日囗4
口囗y=2X2+nx日日口口口(0,+∞),
y=4x+2424,0口日日X=20口口
口囗囗|口口口囗囗囗囗口4
4.口3
日日日日,(a,3)日,日日日日日日日日f(a)=3,k=23,a=3
5.口囗-3

日日y=ax2+aP2,5)0日5=4a+2,y=2aX,Pa4a-a
日,口口口口口a=-1,b=-2,口口a+b=3
6.口口
日百百日(0,2),日y=1+2e,口口口口口k=3.日日日日口y=3X+2,口百百口口口
口口日日日日日(0,2),(-=0),日日日日口口日囗口S=2×2×=
7.0口√3
3
√3
日日y=y=,-=方X3,日P3,1)(v3,1)日日口kx+3y=0日日
日,口口口√3
8.口口1
口日日P( 2)t≠0.y=×2口口口y=x,日口|口口kt,a口a口囗口PQ日口口口

日PQy
(x-t),
口囗口囗口口口口口Q((32
3
口OPoQ,日争弹230,t(22)+2( 3)=0,0口口4=1,0t2=2,口P口口口口口1第 12讲 椭圆
- 2
1.已知集合 A= { | ≥0} ,B= { - 1 | > } .若 A∪B=R,则实数 t 的取值范围是 .
2 2
2.(2019 南京六校联合体联考 ,2)双曲线 9 - 25 =1 的渐近线方程是 .
3.(2019 江苏七市一模 ,7)若实数 x,y 满足 x≤y≤2x+3, 则 x+y 的最小值为 .
1
4.(2019 常州期末 ,9)已知正数 x,y 满足 x+ =1,则 + 的最小值为 .
5.(2019 启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考 ,13)在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知圆 O:x 2+y 2=1,
3
直线 l:y=x+a, 过直线 l上点 P作圆 O 的切线 PA,PB,切点分别为 A,B,若存在点 P使得 + = ,则 2
实数 a 的取值范围是 .
6.(2019 如东中学、栟茶中学期末 ,10)在边长为 4√2的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形 (如
图 1 中阴影部分 ),折叠成底面边长为 2 的正四棱锥 S-EFGH(如图 2),则正四棱锥 S-EFGH 的体积
为 .
7.已知平面内的四点 O,A,B,C 满足 · = 2, · = 3, 则 · = .
8.(2018 常州教育学会学业水平检测 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,函数 y=sin( ωx+φ)(ω>0,0< φ<π)
的图象与 x轴的交点 A,B,C满足 OA+OC=2OB, 则φ= .
9.(2019 南通通州、海门联考 ,16)在△ABC 中,已知 sin 2A-sin 2B=(sin A-sin C)sin C.
(1)求内角 B 的大小 ;
√3
(2)若 cos A= 3 ,求 sin 2C 的值 .
答案精解精析
1.答案 (-∞,1)
解析 集合 A=(- ∞,1)∪[2,+ ∞),B=(t,+ ∞),A∪B=R,则 t<1.
2. 5答案 y=±3 x
2 2 5
解析 令 9 - 25 =0,得 y= ±3x,
2 2 5
∴双曲线 9 - 25 =1 的渐近线方程为 y=±3x.
3.答案 -6
≤ ,
解析 原不等式等价于 { ≤2 + 3,
作出其表示的平面区域 ,如图所示 .
设 z=x+y, 当直线 z=x+y 过点 A(-3,-3) 时,z取得最小值 -6.
4.答案 4
1 1 1 2 2 2
解析 √ 2 + = ( + )×1= ( + ) ( + ) =2+ 2 + ≥2+2 2· =4,当且仅当 2= ,即 y=x 时 ,取“=”,
1
故 + 的最小值为 4.
5.答案 [-2√2,2√2]
解析 设 AB 的中点为 M,
则 + = 2 = 3 , 2
3
所以 PM= 4 PO.
2 3 2 √3因为 = , 所以 PA =PM ·PO= 4PO ,即 PA= 2 PO,
因为 OA=1, 且 OA⊥PA,所以 PO=2,
| |
所以圆心 O 到直线 l的距离 d= 2≤2, √
解得 a∈[-2 √2,2√2].
6. 8√2答案 3
解析 过 S作 SP⊥HG 于点 P,
连接 EG,FH交于点 O,
连接 SO,OP.如图 .
1
根据题意 ,SP= 2(BD-2)=3,
∴SO=√ 2 -1 =2√2.
1 1 8√2
∴V= S 四边形 EFGH3 ·SO= 3×4×2√2= 3 .
7.答案 -5
解析 由 · = · ( - ) = · - · = 2 , · = · ( - ) = · - · = 3 两式相加可
得 · - · = · = 5 .
故 · = - · = - 5 .
3π
8.答案 4
2π
解析 设 A(x,0),最小正周期 T= ,则 C( + ,0) ,B( - ,0) .由 OA+OC=2OB, 得 x+x+ =2 ( - x) .解得
2 2 2 2
2π π 3πx= . y=f ( - 所以
8 8) =sin ( - ×8 + φ) =sin ( - 4 ) =1.又 0< φ<π,所以φ= . 4
9.解析 (1)在△ABC 中 ,设角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,

由sin = sin = sin 及 sin
2 A-sin 2B=(sin A-sin C)sin C, 得 a2-b 2=ac-c 2,即 a2+c 2-b 2=ac,
2+ 2 - 2 1
由余弦定理得 cos B= 2 = 2 ,
π
因为 0(2)解法一 :因为在△ABC 中,cos A= √3,
3
6
所以 sin A= √1- cos2 A=√3 ,
2√2
所以 sin 2A=2sin Acos A= 3 ,
1
cos 2A=cos 2A-sin 2A=- 3 ,
π 4π
而 2C=2 (π- - 3 ) = 3 -2A,
4π
所以 sin 2C=sin ( 3 -2A)
4π 4π
=sin 3 cos 2A-cos 3 sin 2A
√3 1 1 2 2 2 2+ 3=- 2 ×( - 3) - ( -
√ √ √
2)× 3 = 6 .
√3
解法二 :因为在△ABC 中 ,cos A= 3 ,
√6
所以 sin A= √1- cos2 A= 3 ,
π π π 3+ 6
所以 sin C=sin ( + 3 ) =sin Acos 3 +cos Asin 3 =
√
6 ,
π π π
cos C=-cos ( + ) =-cos Acos +sin A sin = 3√2-√33 3 · 3 6 .
2√2+√3
所以 sin 2C=2sin Ccos C= 6 .
(当然这里求 cos C 时也可以用 sin 2C+cos 2C=1, 但要判断角 C的范围 )第 4练
1.【选做题】 A.选修 4—2:矩阵与变换
- 1 2
(2019 泰州期末 ,21A)已知矩阵 M= [
5 ]的一个特征值为 -2,向量α= [
4
16] ,求 Mα.
2 x
B.选修 4—4:坐标系与参数方程
(2019 徐州检测 ,21C)已知圆 M 的极坐标方程为ρ 2
π
-4√2ρcos ( - 4 ) +6=0, 求ρ的最大值 .
C.选修 4—5:不等式选讲
(2019 南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模 ,21C)已知实数 a,b,c 满足 a2+b 2+c 2≤1,求
: 1 1 1 9证 2+1 + 2+1 + 2 +1≥4.
2
2.(2019 扬州期中 ,22)假定某人在规定区域内投篮命中的概率为 ,现他在某个投篮游戏中共投篮 3 次.
3
(1)求连续命中 2 次的概率 ;
(2)设命中的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X).
3.(2019 扬州期中 ,24)已知正项数列 {an}满足 a 2n+1 =a n- (n∈N * ).
1
求证 :(1)0
(2) ∑ai =2
答案精解精析
+ 1 - 2
1.A.解析 f(λ)= | 5 |=
- 2 λ-x
λ2-(x-1) λ-(x+5), 令 f(λ)=0,
则λ2-(x-1) λ-(x+5)=0, 将λ=-2 代入上式 ,解得 x=3,
- 1 2 - 1 2
M= [ ] , M = [ ] [ 4 ]= [28所以 5 所以 α 5
3 3 16 58
] .
2 2
B.解析 原方程可化为
ρ2-4√2 (
√2 √2
ρ
2 cos + 2 sin )+6=0,
即ρ2-4(ρcos θ+ρsin θ)+6=0.
∴圆的直角坐标方程为 x2+y 2-4x-4y+6=0.
∴圆心M(2,2), 半径为√2.
∴ρ 2 2max =√2+ 2 +√2=2√2+√2=3 √2.
C.证明 由柯西不等式 ,得
[(a2 2 2
1 1 1
+1)+(b +1)+(c +1)] ( 2 +1 + 2 +1 + 2+1 )
2 1 2 1≥( √ + 1· 2 +1 + √ + 1·√ √ 2+1 +
2
√ 2
1
+ 1· 2 2 2
√ 2+1 ) =9( 当且仅当 a =b =c 时取“ =”),
1 1 1 9 9 9
所以 2+1 + 2+1 + 2 +1≥ 2 + 2 + 2+3≥1+3 = 4 .
2.解析 (1)设 A i(i=1,2,3) 表示第 i 次投篮命中 , 表 示第 i 次投篮不中 .设投篮连续命中 2 次为事件 A,
2 2 1 1 2 2 8
则 P(A)=P(A 1A2 3+ 1 A2A3)= 3×3×3+ 3×3×3 = 27 .
(2)命中的次数 X可能的取值为 0,1,2,3.
2 3 1
P(X=0)= (1 - 3) = 27 ,
2 1 2P(X=1)= C13 ( 3 ) (1 -
2
3) =
2
9,
2 2 2 1 4
P(X=2)= C23 ( 3) (1 - 3) = 9,
2 3 8
P(X=3)= ( 3) = 27 .
从而 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 2 4 8
27 9 9 27
1 2 4 8
所以 E(X)=0 × +1× +2 ×+3 × =2.
27 9 9 27
3.证明 (1)由 a 21- 1 =a 2>0,解得 0下面用数学归纳法证明 :
1
当 n≥2 时,an≤ +2.
1 2 1 1
①当 n=2 时 ,a3=a 2- 22=- ( 2 - 2) + 4≤4,
所以不等式成立 .
1
②假设当 n=k(k ≥2,k∈N *)时,不等式成立 ,即 ak≤ +2,
1 2 1 1 1 2 1 +1 +1 1
则当 n=k+1 时,有 ak+1 =a k- 2 =- ( - 2) + 4≤- ( +2 - 2 ) + 4= < = , ( +2)2 ( +1)( +3) ( +1)+2
则当 n=k+1 时,不等式也成立 .
1
综合①② ,当 n≥2 时,都有 an≤ +2.

(2)记 f(x)=ln(1+x)- (x>0),
1+
f '(x)= 1 1 1+ - 2= 2,又 x>0, 故 f '(x)>0, (1+ ) (1+ )
所以 f(x)在 (0,+∞)上是增函数 ,

则 f(x)>f(0)=0, 即 ln(1+x)> 1+ .
1
令 x= (i∈N *
1 +2 +1
+1 ),则 +2
从而有 ∑a 1i≤∑ < ∑[ln(i+1)-ln i]=ln(n+1)-ln 2 =2 =2 =2填空题专练 (六)
1.(2019 南通基地学校三月联考 )已知复数 z=(2+i)-ai(2-i)(i 为虚数单位 ),若 z为纯虚数 ,则实数 a 的
值为 .
2.(2018 江苏如皋高三上学期教学质量调研 (三))集合 A={1,3},B={a 2+2,3}, 若 A∪B={1,2,3}, 则实数 a
的值为 .
3.(2019 江苏 ,3,5 分)如图是一个算法流程图 ,则输出的 S的值是 .
4.(2019 海安期末 )某地区连续 5 天的最低气温 (单位 :℃ )依次为 8,-4,-1,0,2, 则该组数据的标准差
为 .
5.(2019 江苏 ,6,5 分)从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务 ,则选出的 2 名同学
中至少有 1 名女同学的概率是 .
6.(2018 江苏启东中学第一学期期中 )已知命题 p: x∈ [1,2],x 2-a≥0,命题 q: x∈R,x2+2ax+2-a=0,
若 p∧q 是真命题 ,则实数 a的取值范围是 .
7.三棱锥 P-ABC 中 ,D,E分别为 PB,PC的中点 ,记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2,则
1
= .2
π π
8.(2018 江苏扬州中学第一学期阶段性测试 )若函数 y=sin ωx(ω>0) 在区间 [ - 6 , 4]上是增函数 ,则ω的
取值范围为 .
9.(2018 江苏南京多校高三上学期第一次段考 )区域 D 是由直线 y=-2x-1 、x 轴和曲线 y=ln x 在点
(1,0)处的切线所围成的封闭区域 ,若点 (x,y)在区域 D 内,则 z=x-2y 的最大值为 .
1
10.(2019 +1南通、如皋二模 )已知数列 {an }的首项 a1= 8,数列 {b n}是等比数列 ,且 b5=2, 若 b n= ,则
a10= .
2 2
11.(2019 扬州中学 3 月检测 )已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 MN 过
M | 1
F2,且与双曲线右支交于 M,N 两点 , cos F | 1 若 ∠ 1MN=cos ∠F1F2M, | = ,则双曲线的离心率等1 N| 2
于 .
2
12. f(x)= {(2 - )e ,x ≤0,已知函数 2 g(x)=f(x)+2k, 若函数 g(x)恰有两个不同的零点 ,则实数 k 的取- + 4x + 3,x > 0,
值范围为 .
13.已知△ABC 中,AB=AC= √3,△ABC 所在的平面内存在点 P使得 PB2+PC 2=3PA 2=3,则△ABC 面积
的最大值为 .
3 -
14.(2019 南通三县联考 )已知实数 a>b>0, 且 a+b=2, 则 2+2ab - 3 2的最小值为 .
答案精解精析
1.答案 2
解析 因为 z=(2+i)-ai(2-i)=2-a+(1-2a)i 是纯虚数 ,所以 {2- = 0,1-2 0,解得 a=2,则实数 a的值为 2. ≠
2.答案 0
解析 ∵A={1,3},B={a 2+2,3}, 且 A∪B={1,2,3},
∴a2+2=2,a 2=0,a=0, 即实数 a的值为 0.
3.答案 5
解析 本题考查了流程图的基本逻辑结构以及算法的含义 ,考查了学生的逻辑推理能力 ,考查的核心素
养是逻辑推理和数学运算 .
= 1, = 2,
依次执行流程图可得 { = 1 , {
= 3, = 4,
3
2 = ,
{
2 = 3,
{ = 5,
此时满足 x≥4,结束循环 ,输出的 S的值为 5.
4.答案 4
1
解析 平均数为 = 5×(8-4-1+0+2)=1,
1
标准差为 s=√5×(49 + 25 + 4 + 1 + 1)=√16=4.
7
5.答案 10
解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法 ,考查学生的应用意识和运算求解能力 ,考
查的核心素养是逻辑推理和数学运算 .
记 3 名男同学分别为 a1,a2,a3,2名女同学分别为 b1,b 2,从这 5 名同学中选出 2 名同学的选法如
下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b 1,b 2),共 10 种 ,其中至少有 1 名
7
女同学的选法如下 :(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b 1),(a3,b 2),(b 1,b2),共 7 种,故所求概率 P= 10 .
6.答案 {a|a≤-2 或 a=1}
解析 当命题 p 是真命题时 ,a≤(x 2)min =1,当命题 q 是真命题时 ,Δ=4a 2-4(2-a) ≥0,得 a≥1 或 a≤-2,故
p∧q 是真命题时 ,a≤-2 或 a=1.
1
7.答案 4
解析 如图 ,设 S△ABD =S 1,S△PAB=S2,E到平面 ABD 的距离为 h 1,C到平面 PAB 的距离为 h2,则
1 1 1 1
S2 =2S 1,h 1 12=2h 1,V1= 3 S1h1,V2= 3 S2h2,∴ = = . 2 2 42
8.答案 (0,2]
π π
-
>0, { 6
ω≥ - 2 ,
解析 因为ω 所以 解得 0< ω≤2.
π π
4ω≤ 2 ,
9.答案 2
1
解析 y=ln x 的导数 y'= ,则曲线 y=ln x 在点 (1,0)处的切线斜率为 1,方程为 y=x-1,
区域 D 是由 x 轴、直线 y=-2x-1 和直线 y=x-1 所围成的封闭区域 ,如图 (阴影部分 ).
1 1
z=x-2y 可变形为 y= 2 x- 2 z,
1 1
当直线 y= 2 x- 2z过点 A(0,-1) 时,截距最小 ,此时 z 最大 ,最大值为 2.
10.答案 64

b = +1解析 因为 n ,所以 an+1 =a n bn,
所以 a2=a 1b1,
a3=a 2b 2=a 1b 1b2,
a4=a 3b 3=a 1b 1b2b 3, ,
1
a10=a 9b 9=a 1b 1b2b 3· b·9=a 1 5 9 = 8×2
9=64.
11.答案 2
解析 ∵cos ∠F1MN=cos ∠F1F2M,
∴∠F1MN= ∠F1 F2M,
∴|MF 1|=|F 1F2|=2c,
由双曲线的定义可得 |MF 2|=|MF 1|-2a=2c-2a,
| 1 M | 1
∵ N|= 2,∴|NF 1|=4c, 则|NF 2|=4c-2a, | 1
在△MF 1F2中,由余弦定理得
4 2+ (2c - 2a )2 2 -
cos F - 4 ∠ 1F2M= = ,
2·2 ·2( - 2 ) 2
在△NF1F2中 ,由余弦定理得 cos ∠F1F2N=
4 2+ (4c -2a )2 - 16 2 2 2= + -4ac
2·2 ·4( - 2 ) 2 ( 2 - )
,
∵∠F1F2M+ ∠F1F2N= π,
∴cos ∠F1F2M+cos ∠F1F2N=0,
- 2+ 2 -4ac
即 2 + 2 (2 - ) =0,
整理得 2a2+3c 2-7ac=0,
∴3e 2-7e+2=0, 解得 e=2 或 e= 1(舍去 ).
3
7 3 2+1
12.答案 ( - 2 ,- 2)
√
∪{0 , }
e√2
解析 作出函数 f(x)的图象如图 ,函数 g(x)恰有两个不同的零点 ,即函数 y=f(x) 与 y=-2k 的图象恰好
有两个不同的交点 .又 x≤0 时,y'=(2-x 2)ex,所以 x=- √2时,函数取得极小值 (-2√2-2) e-√2.由函数图象可
得
-2k=(-2 √2-2) e-√2或-2k=0 或 3<-2k<7,
7 3
解得 k=( √2+1) e-√2或 k=0 或- 2 2
13. 5√23答案 16
解析 以 BC的中点 O 为坐标原点 ,BC所在的直线为 x轴,AO 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 ,

设 B( - 2 ,0) ,C( 2 ,0) ,A(0,h),a>0,h>0,
2
则 24 +h =3(*).
设 P(x,y),由 PA=1 得点 P在以 A 为圆心 ,1 为半径的圆上 ,即点 P在圆 A:x2+(y-h) 2=1 上,又由
2
2 2 2
2 3 2
PB +PC =3 得( + 2 ) +y + ( - 2 ) +y
2=3,化简得 x2+y 2= - 22 4 ,a ≤6,
2 2 3
2
则点 P在圆 O:x +y = 2- 4上 ,所以圆 A 与圆 O 有公共点 ,
3 -
2 3 2
|1 -√ |≤OA=h ≤1+ √ - ,代入 (*)解得 h
5
≥ ,25≤h2<3,
2 4 2 4 4 16
2 4 2
1 1
易知△ABC 的面积 S= ah= √ 2 √
25 25
2 2 = - + 3 在 h
2∈[ 16 ,3)上递减 ,则当 h
2= 16时 ,S取得最大值
5√23
16 .
3+ √5
14.答案 4
解析 由于 a+b=2, 且 a>b>0,
则 03 - 3 -
所以 2+2ab -3 2= ( - )( +3 )
= 3 - (2- )
[ - (2- )] · [+3(2- )]
4 - 2
= ( 2 - 2)( 6- 2 )
2(2 - 1)
= ( 2 - 2)( 6- 2 ),
令 t=2a-1 ∈ (1,3),
则 2a=t+1,
3 - 2 2
所以 2+2ab -3 2= =( - 1)[ 6- ( +1)] ( - 1)( 5- )
2 2 2 2 1 3+ √5 3+√5
= 6 - ( 2+5 )= 5 ≥ =6- ( + ) 6- 2√ 5 6- 2 5
= 3- 5= (3- = , √ √ √5)( 3+ √5) 4
·

5
当且仅当 t= (1
即 t= √5时,等号成立 ,
3 - 3+ √5
因此 2+2ab -3 2的最小值为 4 .
一题多解 a2+2ab-3b 2=(a-b)(a+3b),
3 +
{ = - > 0,
= 4 ,
令 = + 3 > 0 { - = 4 .
由 a+b=2 x+y=4,
9 +3 -
3 - 4 - 4 5 + 1 5 1 1 5 1 1 1 5 3+ √5 5 则 2 +2ab - 3 2= = 2 = 2 ( + ) = 2 ( + )·4(x+y)= 8 (6 + + )≥ 4 ,当且仅当 = ,即 y=√5x
时取“=” .第 19讲 数列中的推理与证明
1.设命题 p:x>4; 命题 q:x2-5x+4 ≥0,那么 p 是 q 的 条件 .(填“充分不必要”“必要不充分”
“充要”或“既不充分也不必要” )
2.若直线 (a2+2a)x-y+1=0 的倾斜角为钝角 ,则实数 a的取值范围是 .
2
3.(2018 南通调研 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C与双曲线 x2- 3 =1 有公共的渐近线 ,且经过
点 P(-2,√3),则双曲线 C的焦距为 .
4.(2019 海安中学检测 )若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π,则其母线与轴的夹角的大小
为 .
5.(2019 海安中学检测 )方程 log 2(9 x-1 -5)=log 2(3 x-1 -2)+2 的解为 .
6.(2019 南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考 )首项为 7 的数列 {an}满足 :(n+1)a n+1 -
(n+2)a n=0, 则 a2 019 -a2 018 的值为 .
7.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 1 2上的点 ,AD= AB,BE= BC,若 = λ 1 + λ 2 ( λ1,λ2为实数 ),则λ2 3 1+λ2
的值为 .
8.(2019 江都中学、华罗庚中学等 13 校联考 )在如图所示的平面直角坐标系中 ,已知点 A(1,0)和点 B(-
1,0),| | = 1, 且∠AOC=x, 其中 O 为坐标原点 .
(1) 3若 x= 4π,设点 D 为线段 OA 上的动点 ,求| + | 的最小值 ;
π
(2)若 x∈ [0 , ] ,向量 m= , n=(1-cos x,sin x-2cos x), 求 m·n 的最小值及相应的 x值 . 2
2 2 1
9.(2018 盐城田家炳中学第一学期期末 )已知椭圆 E∶ 2+ 2=1(a>b>0) 经过点 P( √3, 2) ,左焦点为 F(-
√3,0).
(1)求椭圆 E的方程 ;
1
(2)若 A 是椭圆 E的右顶点 ,过点 F且斜率为 2的直线交椭圆 E于 M,N 两点 ,求△AMN 的面积 .
答案精解精析
1.答案 充分不必要
解析 命题 q:x≤1 或 x≥4,则 p 是 q 的充分不必要条件 .
2.答案 (-2,0)
解析 该直线的斜率 k=a 2+2a<0,
解得 -23.答案 4√3
2
解析 ∵双曲线 C与双曲线 x2- =1 有公共的渐近线 ,
3
2
∴设双曲线 C的方程为 x2- 3 =λ(λ>0).
∵双曲线 C经过点 P(-2,√3),
∴λ=4-1=3.
2 2
∴双曲线 C的方程为 3 - 9 =1.
∴双曲线 C的焦距为 2×√3 + 9=4 √3.
π
4.答案 3
解析 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 S 侧面积=πrl,
1
S 轴截面= 2×2r×√
2 - 2 ,
π
∴ √ 2 - 2=2 π,
∴l 2
4 2
= r2,即 l= r.
3 √3
设母线与轴所成的角为θ ,
3
则 sin θ= =
√
2 ,
π
∵0< θ< 2 ,
π
∴θ= .
3
5.答案 2
解析 ∵log 2(9x-1 -5)=log 2(3x-1 -2)+2,
∴log 2(9x-1 -5)=log 2[4(3 x-1 -2)],
∴9x-1 -5=4(3 x-1 -2),且 3x-1 -2>0,
∴32(x-1) -4·3 x-1 +3=0,
∴3x-1 =3 或 3x-1 =1( 舍去 ),
∴x=2.
7
6.答案 2
解析 ∵(n+1)a n+1 -(n+2)a n=0,
+1 +2
∴ = +1,
2 3 3 4 +1
∴ = 2, = 3, ,1 2 = , -1
2 3 3 4 +1
∴ · · ·= ·· ·(n≥2), 1 2 - 1 2 3

∴ = +1,
1 2
7, = 1,
∴an= { 7
2 (n + 1),n ≥2,
7
∴a2 019 -a 2 018 = 2.
1
7.答案 2
解析 = + = 1 + 2 2 3 =
1
2 +
2 ( + )= - 1 + 2 = λ1 + λ , =- 1, = 2, + 13 6 3 2 所以λ1 6 λ2 3 λ1 λ2= 2.
2 2
8. √ √解析 (1)设 D(t,0)(0 ≤t≤1),易知 C( - , ) ,
2 2
所以 + √
2 √2 = (- 2 + t, 2 ) ,
2
2 1所以 | + | 2= ( - √2 ) + 2 (0≤t≤1),
√2
所以当 t= 时 ,|
√2
2 +
| 有最小值 ,为 2 .
(2)由题意得 C(cos x,sin x),
m= = (cos x+1,sin x),
则 m·n=1-cos 2x+sin 2x-2sin xcos x
=1-cos 2x-sin 2x
π
=1- √2sin (2 + 4 ) .
π
因为 x∈[0 , 2 ] ,
π π 5π
所以 4≤2x+ 4≤4 .
π π
所以当 2x+ 4 = 2,
π π
即 x= 8时 ,sin(2 + 4)取得最大值 1,
π π
所以 x= 8时,m·n=1- √2sin(2 + 4 )取得最小值 1-√2,
π
所以 m·n 的最小值为 1-√2,此时 x= 8.
1 1
9.解析 (1) 2由椭圆的定义得 √(√3 + √3) + + =2a a=2, 又 c= √3,故 b 24 2 =a
2-c 2=1,∴椭圆E的方程为
2 +y 2=1.
4
(2)过 F(-√3,0)
1
且斜率为 2的直线方程为 y=
1
2(x+ √3),
1
= (x + √3),
|AF|=2+ √3, { 2联立 2 2 8y -4√3y-1=0. + 2 = 1
4
设 M(x 1,y1),N(x 2,y2),
则 y1+y √32= 2 ,
1 5
y1y =-
√
2 8 |y1-y 2 |= 2 .
1 1 √5 2√5+ √15
∴△AMN 的面积为 |2 |· | 1- 2| = 2×(2+ √3)×2 = 4 .填空题专练 (四)
1.(2017 无锡普通高中高三期中 )已知集合 A={1,3},B={1,2,m}, 若 A∪B=B,则实数 m= .
2.设复数 z=(3+2i)(1-i)(i 是虚数单位 ),则 z的共轭复数为 .
3.(2018 江苏南通海安高级中学高三阶段检测 )某同学在 7 天内每天参加体育锻炼的时间 (单位 :分钟 )
用茎叶图表示 ,如图 ,图中左列表示时间的十位数 ,右列表示时间的个位数 .则这 7 天该同学每天参加体
育锻炼时间 (单位 :分钟 )的平均数为 .
5 5
6
6
7 3 4
8 0 1
4.苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班 ,其中 ,列车在车站停留 0.5 分钟 ,假设乘客到达站台的时刻是随
机的 ,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 .
5.(2018 江苏徐州铜山中学高三上学期期中 )执行如图所示的算法流程图 ,则输出 x的值
为 .
6.(2018 江苏海安高级中学高三上学期阶段检测 )设α和β为不重合的两个平面 ,给出下列命题 :
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线 ,则α平行于β;
(2)若α外一条直线 l 与α内的一条直线平行 ,则 l 和α平行;
(3)若α和β相交于直线 l,若α内有一条直线垂直于 l,则α和β垂直;
(4)直线 l 与α垂直的充分必要条件是 l 与α内的两条直线垂直 .
其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号 )
7.(2019 江苏高三第四次模拟 )设数列 {an}为等差数列 ,其前 n 项和为 Sn,已知
a1+a 4+a 7=60,a 2+a 5+a 8=51, 若对任意 n∈N * ,都有 Sn≤Sk成立 ,则正整数 k 的值为 .
π
8.(2018 江苏南通模拟 )已知函数 y=Asin( ωx+φ)( > 0, > 0,| | < 2)的图象上有一个最高点的坐
标为 (2,√2),若这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x轴交于点 (6,0),则此函数解析式
为 .
9.(2018 江苏泰州中学高三月考 )如图 ,矩形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 分别在函数
1
√2
y=lo g√2x,y= 2 ,y= ( 2 ) 的图象上 ,且矩形的边分别平行于两个坐标轴 ,若点 A 的纵坐标为 2,则点 D 的
2
坐标为 .
2 2
10.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点 F是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0) 的一个焦点 ,若 P,Q 是椭圆与抛物线
的公共点 ,且直线 PQ 经过焦点 F,则该椭圆的离心率为 .

11.在△ABC 中 , 若 9cos 2A-4cos 2B=5, 则 的 值为 .
12.在平面四边形 ABCD 中 ,已知 AB=3,DC=2, 点 E,F分别在 AD,BC 上,且 = 3 , = 3 ,若 向量
与 的 夹 角为 60°,则 · 的 值为 .
13.(2019 盐城、南京高三第一次模拟 )若正实数 a,b,c 满足 ab=a+2b,abc=a+2b+c, 则 c的最大值
为 .
14.(2019 ) f(x)= {
e ,x≤0,
徐州高三考前模拟检测 已知函数 ( -1), > 0,g(x)=k(x+1), 若方程 f(x)-g(x)=0 有
两个不同的实根 ,则实数 k 的取值范围是 .
答案精解精析
1.答案 3
解析 由 A∪B=B 得 A B,则 m=3.
2.答案 5+i
解析 因为 z=(3+2i)(1-i)=5-i, 所以 z的共轭复数为 5+i.
3.答案 72
65+65+66+73+74+80+81
解析 这 7 天该同学每天参加体育锻炼时间 (单位 :分钟 )的平均数为 7 =72.
1
4.答案
10
5 , 0.5 , 0.5= 1解析 在 分钟内 有 分钟乘客到达站台立即能乘上车 则所求概率为 5 10 .
5.答案 4
解析 该流程图运行 5 次,第 1 次,x=1,k=1; 第 2 次,x=2,k=2; 第 3 次,x=4,k=3; 第 4 次,x=16,k=4; 第
5 次,x=4,k=5, 结束运行 ,故输出 x的值是 4.
6.答案 (1)(2)
解析 由面面平行的判定可知 (1)正确 ;由线面平行的判定定理可知 (2)正确 ;由面面垂直的判定定理可
知(3)不正确 ;当 l 与α内两条平行直线垂直时 ,不能推出 l⊥α,故(4)错误 .
7.答案 10
解析 设等差数列 {an}的公差为 d,则 a1+a 4+a 7=3a 4=60,a 4=20,a 2+a 5+a 8=3a 5=51,a 5=17, 则
d=a 5-a4=-3,a n=20-3(n-4)=32-3n, 数列 {an}的前 10 项是正数 ,从第 11 项开始为负数 ,则 (Sn)max =S 10 ,
则正整数 k 的值为 10.
π π
8.答案 y=√2sin ( 8 x + 4 )
1 2π π π π π
解析 由题意可得 A= √2,4T=4,T=16= ,ω= 8 ,sin ( 4 + φ) =1,∵|φ|< 2 ,∴φ= 4 ,∴此函数解析式为
π π
y=√2sin ( 8 x + 4 ) .
1 1
9.答案 ( 2 ,4 )
1 1 1
解析 由 2=lo g√2 x 得 A 点的横坐标是 2 ,即 A( 2 ,2) ,由
2 =2 得 B点的横坐标是 4,即 B(4,2),则点 C的
2
√2 4 1 1 1
横坐标是 4,纵坐标为 ( 2 ) = 4 ,故点 D 的坐标为 ( 2 , 4) .
10.答案 √2-1

解析 由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合可得 2 =c,易知 PQ 既是抛物线的通径 ,又是椭圆的通径 ,
2 2
则 2p= ,则 2ac=b
2=a 2-c 2,
即 c2+2ac-a 2=0,所以 e2+2e-1=0, 又 02
11.答案
3
解析 因为 9cos 2A-4cos 2B=9(1-2sin 2A)-4(1-2sin 2B)=
5-18sin 2A+8sin 2B=5,
sin 2
所以 3sin A=2sin B, 所以 = sin = 3 .
12.答案 7
解析 将 用 和 表 示 ,再利用数量积的定义求解 .因为 = + + ① , = + + = -
2 + - 2
2 1 2
② ,①×2+②得 3 = 2 + ,所 以 = + 3 3 , 所以 · = ·( 3 +
1 2 2 1 1
3 ) = 3| | + 3 · = 6+ 3×3×2cos 60 °=7.
8
13.答案 7
解析 解法一 :由正实数 a,b,c 满足 ab=a+2b 得 ab≥2√2 ,则 ab≥8,当且仅当 a=2b, 即 a=4,b=2
1 1 1 8 8
时取等号 ,又由 abc=a+2b+c 得 c= - 1=1+ - 1,ab≥8 0< - 1≤7 ,则 1 +2 1
解法二 :由 abc=a+2b+c,ab=a+2b 得 c= +2 - 1=1+ +2 -1 ,因为 ab=a+2b, 所以
1 2 1 2 4 4 4
+ =1,a+2b=(a+2b) ( + )=4+ + ≥4+2 √ · =8,当且仅当 = ,即 a=2b=4 时取等号 ,则 a+2b
8
的最小值是 8,c 的最大值为 7.
1 1
14.答案 ( - e ,- 2e ]
解析 当 x≤0 时, f '(x)=(1+x)e x,x∈(-∞,-1), f '(x)<0, f(x) 递减 ,x∈(-1,0), f '(x)>0, f(x) 递增 ,且 x∈(-
∞,0), f(x)<0, f(-1)=- 1,作出函数 f(x),x∈(-∞,0]的图象 ,再将 (-1,0] 的图象向右平移 1 个单位长度 ,得到
e
f(x),x∈ (0,1]的图象 ,再向右平移 1 个单位长度 ,得到 f(x),x∈(1,2]的图象 , ,图略 ,
1 1 1 1 1 1
当直线 g(x)=k(x+1) 经过点 (1 ,- e)时,k=- 2e ,经过点 (0 ,- e )时 ,k=- e,且点 (1 ,- e)和(0 ,- e)均取不到 ,结合
1 1
图形可得 ,若方程 f(x)-g(x)=0 有两个不同的实根 ,则实数 k 的取值范围是 ( - e ,- 2e ] .日23口”“囗口囗囗口口囗
1.(2018日百百口百)日,OM,ON口口口
日(日日日百百),日OM日日日日日,Q日日日日口日百,A日日日OM百百口百日.日tan
口MON=3,OA=6日,QOM,ON日日百日3日日,。日.A日Q
(1)日日口口日AB口口
(2)日日日日Q日日日日6日日P日,百9日.口口
,日日日日P日日,日日日,t日日,r=2V (0≤t≤9,0,日日S(口)日日日B日(1)日BA√2日百日日日口口口A
2、(2018日日百3日日)日,,口日口囗口80m口口囗
ABCD,自AD日,日日O.日日3古AD,PB,PC百百日6
日日Ⅲ日日(),旧ⅵ百百百,日P百百百百百,AD口口
PBPC日E(日日口口
1)PB日日,PAD百日口
(2)日PoD=e,(0,
口囗囗EF囗囗囗
1.口(1)d百日日,OMX,百口XOy,口囗囗
日日日口日A(6,0)
日日ON日日日y=3×,Q(X0,3)(X0>0)
3 +3|6√10
√10
,口X=3(日日日日),Q(3,3)
-3
日日日AQ日百y=-(X-6),日X+y-6=0,日日
日X=3,y=9
6=0
日B(-3,9)
口口AB=9√2
(2)日口口P,口口P(39)
日t,卣卣AB自日囗C口,
口BC=V2t0≤t≤9,口口C(3+9-t)
口囗囗口口口口日口口口,PC2>r2口t[0,9]口口
口PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t36>4at,
日t=0口,口囗囗
18
18
日t(0日2a日日a(0,1),口r≤PC百,百百百百口口口
2.百AD日口X,AD日y自
(1)口PB口口口口y=2X,口口O口口口口x2+y2=402y≥0),
=2
3+ 3=40(÷o0y16√5.口P口AD囗口口囗16v5m
(2)日,口P(40cos,40sin0)
sin +2
日日PB囗口日口y+80=
COS +1
(X+40)
80cos +80
y=0,口XE
40=
sin +2
80cos -40sn
sin +2
sin +2
日日Pc日日口y+80=c05721(×-40)
80c0s -80
80cos +40sn
日y=0,口XF=
+40
sin +2
sn +2
80sn
T
日日EF日日日口f()= X FXE-7+2,8(0,z)
口口口ⅣDⅥ口口囗口口口S1=2×(80.80smn
6400
sm +2)×80=
sin +2
1
80sin
1600sin26
日日日S2=2EF40sn0=2x(sn +2)×40sn6=
sin +2
1600sin8+6400
日口S1+S2
1600(22)+6400
8
口sinθ+2t,口2=1600( +2-4)≥1600(4√24)=6400(√2-1)
口囗口t2√2,snθ=2√22口“=”口口
日日旧ⅵS1+S2自,百百百百百古口第 2练
1.【选做题】 A.选修 4—2:矩阵与变换
7 - 7
(2019 苏州期末 ,21A)已知矩阵 M= [ ]的逆矩阵 M -1 = [ ] ,求实数 m,n.
2 3 - 2
B.选修 4—4:坐标系与参数方程
π π π
(2019 江苏 ,21B,10 分)在极坐标系中 ,已知两点 A(3 , 4 ) ,B( √2, 2) ,直线 l 的方程为ρsin ( + 4 ) =3.
(1)求 A,B 两点间的距离 ;
(2)求点 B到直线 l 的距离 .
C.选修 4—5:不等式选讲
(2019 南京三模 ,21B)若 x,y,z 为实数 ,且 x2+4y 2+9z 2=6,求 x+2y+6z 的最大值 .
2.(2019 江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考 ,22)某物理老师准备从 3 道经典题和 5 道原
创题中随机选择 4 道题组成一份物理竞赛试卷 .
(1)求该试卷中至少有 1 道经典题的概率 ;
(2)根据以往对试卷的评价分析 ,经典题评价指数一般为 a(a 为常数 ),原创题评价指数一般为 2a.试卷
的评价指数为每道题的评价指数之和 ,求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学期望 .

3.(2019 如皋期中 ,23)如图 ,已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F,准线为 x=- 2.若抛物线 C 与直线
l:y=2x+m 相交于 A,B 两点 ,抛物线的焦点在直线 l上 ,线段 AB 中点到抛物线准线的距离为 5.
(1)求 p,m 的值 ;
(2)设点 E为抛物线 C上一点 ,若三角形 AEB 的面积为 4√5,试确定点 E的个数 ,并说明理由 .
答案精解精析
7 -7
1.A.解析 由于 MM -1 = [ ] [ ]
2 3 - 2 m
- 14 0 1 0
= [ ] = [ ] ,
2 - 6 -14 + 3 0 1
- 14 = 1,
所以 {2 - 6 = 0, 解得 { = 5,
-14 + 3 = 1, = 3.
B.解析 (1)设极点为 O.
π π
在△OAB 中,A(3 , 4 ) ,B( √2, 2) ,
由余弦定理 ,得 AB=
2 π π
√32 + (√2) - 2×3×√2×cos ( -2 4 ) =√5.
π
(2)因为直线 l的方程为ρsin ( + 4 ) =3,
π 3π
则直线 l过点 (3 √2,
2) ,倾斜角为 . 4
π 3π π
又 B(√2, 2) ,所以点 B到直线 l 的距离为 (3√2-√2)×sin ( 4 - 2 ) =2.
C.解析 由柯西不等式 ,得[x2+(2y) 2+(3z) 2](1 2+1 2+2 2)≥(x+2y+6z) 2.
因为 x2+4y 2+9z 2=6,
所以 (x+2y+6z) 2≤36,
所以 -6≤x+2y+6z ≤6.
2 3
当且仅当 1= 1 = 2时取等号 ,
此时 x=1,y= 12,z=
2
3或 x=-1,y=-
1 ,z=- 22 3 ,
所以 x+2y+6z 的最大值为 6.
2.解析 (1)设“至少有 1 道经典题”为事件 A,
则事件 A 的对立事件 为“没有经典题” .
C4 13
所以 P(A)=1-P( )=1- 54= . C8 14
13
答:该试卷中至少有 1 道经典题的概率为 14 .
(2)设ξ表示选用经典题的道数 ,则ξ的所有可能取值为 0,1,2,3.设 X为试卷的评价指数 ,依题意 ,得 X=a ξ
+2a(4- ξ),
故 X的所有可能值依次为 8a,7a,6a,5a.
C4 1
则 P(X=8a)=P( ξ=0)= 5
C4
= ,
8 14
C1 C3
P(X=7a)=P( ξ=1)= 3 5
3
C4 = 7, 8
C2 C2 3
P(X=6a)=P( ξ=2)= 3 5C4 = 7, 8
C3 C1 1
P(X=5a)=P( ξ=3)= 3 5C4 = 14 . 8
从而 X 的概率分布为
X 8a 7a 6a 5a
P 1 3 3 1
14 7 7 14
1 3 3 1 13
所以 E(X)=8a ·14 +7a ·7+6a ·7+5a ·14 = 2 a.

3.解析 (1)因为抛物线的焦点在直线 l 上,所以 =- ,即 m=-p,
2 2
{
2 = 2px,
联立得 消去 y,得 (2x-p) 2=2px,
= 2 - ,
即 4x2-6px+p 2=0,
3 + 3
设 A(x1,y1),B(x 2,y2),则 x1+x 2= 2 ,
1 2
则 2 = 4 ,
3
因为线段 AB 中点到抛物线准线的距离为 5,所以 4 + 2=5, 解得 p=4, 则 m=-4.
(2)抛物线方程为 y2=8x,直线方程为 y=2x-4, 联立整理得 x2-6x+4=0, 所以弦 AB 长为√5|x1-
x2|=√5·√( 1 + 2 )
2- 4 1 2 =10.
设点 E到直线 AB 的距离为 d,
1 4
则三角形 AEB的面积为 2×10·d=4 √5,解得 d= √5.
2
设平行于 AB = 8x,且与抛物线相切的直线为 y=2x+n, 联立得 { 2 = 2 + ,化简得 4x +(4n-8)x+n
2=0, Δ
=(4n-8) 2-16n 2=-64n+64=0,n=1, 4此时切线方程为 y=2x+1, 其与直线 AB 的距离为√5> ,而与直线
√5
4
AB 的距离为 5的点在两条平行直线上 ,这两条直线与抛物线的交点共有 4 个,所以符合题意的点 E共√
有 4 个 .1.(2019日日日,22)自,口 P-ABCD
口BC口PB,AB囗BCAD口BCAD=3PA=BC=2AB=2PB=√3
(1)口口PCDA口口
(2)口E口口PA口,口BE囗口口PCD,口口BE囗口
2、(2019日日日日,24),日 P-ABCD自,ABAD,AP日口,口口口
1,2 2N1)
(1)A=1日日PC日囗口PBD口口口口
(2)日日口BPCD日口120。,口日A日口
1.(①1)口PAB口,
日口PA=2,PB=√3,AB=1,
口囗PA=AB+PB2,PBAB
日BC日PB,AB口BC,
日日日百古日百B-×yz,口口
口囗B(0,0,0),A(1,0,0),c(0,2,0),D(1,3,0),P(0.0,3, 1,1,0),罗20,2,V3)
日日ABCD百口日n=(0,0,1)
日日PCD日百日日口m=(X,y,z)
{ 26B=02 20
Pe 0,2 V3z
口z=2,m=(-√3,V3,2)
日P-CDAc日口

√10
口cosa= COstm
√3+3+45
日日日PCD-A口
(2)日EPA口
口费决知[0,1
口口 -1,0,√3)
口囗到 (A,,3入),
神 2(1-入,,3入)
口囗日BE囗PCDm=(√3,√32)口口PCD囗口口口囗口
口口 h0.0√3(11)+23入=0入
口口到2,0,),
口口BE=
2口(1){ 口口口口口口口口口口口口口口口口Axyz
口口入=1,费
日日日日C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,O),
口口 1,1,-1), 21,0,1), 0,1,1)
日日日PBD日日口日口n=(x,y,z)
=0. 20,
郾=0.1 20
日z=1,口n=(1,1,1)
口囗|cosw2a)m p
1×1+1×1+(-1)x×11
√3×√3
日囗囗口PC口口口PBD口囗囗囗囗囗口
(2)口口(1)C(1,入,9210,1),21,A1, 270,1)
日日口PBC口口n=(X1,y1,z1)
·嘴=0,,,x
0
.Pe20,k1+Ay-z1=0,
口z1=1,口n=(1,0
口口口PCD囗口囗口口n2=(×2,y2,Zz)
2P0,X2+入yz2=0,
:P=0,y2-22=0,
日z2=1,口n2=(1-入,1,1)填空题专练 (二)
1.(2018 南京第一学期期中 )已知集合 A={2,3,5},B={x|2 ≤x≤4},则 A∩B= .
2.(2018 江苏如皋高三上学期教学质量调研 (三))已知复数 z=(2+i)(1-i), 其中 i 为虚数单位 ,则 z 的虚
部为 .
3.(2018 苏北四市高三第一次调研 )某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析 ,随机抽
取了 150 分到 450 分之间的 1 000 名学生的成绩 ,并根据这 1 000 名学生的成绩画出样本的频率分
布直方图 (如图 ),则成绩在 [250,400) 内的学生共有 人.
4.(2018 江苏盐城射阳二中调研 (三))焦点为 (0,-1)的抛物线的标准方程为 .
5.(2018 南京第一学期期中 )已知等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn ,若 a1=2,S 3=12, 则 a6的值
为 .
6.秦九韶是我国南宋时期的数学家 ,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法 ,至今
仍是比较先进的算法 ,如图所示的流程图是秦九韶算法的一个实例 .若输入 n,x 的值分别为 3,3,则输出
v 的值为 .
7.(2018 南京高三学情调研 )记函数 f(x)= √4- 3 - 2 的定义域为 D.若在区间 [-5,5] 上随机取一个数 x,
则 x∈D 的概率为 .
8.(2018 苏北四市高三第一次调研 )已知正四棱柱的底面边长为 3 cm, 侧面的对角线长是 3√5 cm,则
这个正四棱柱的体积是 cm 3.
9.在△ABC 中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 sin A= √3sin C,B=30 °,b=2, 则△ABC 的面积
是 .
1 1
10.若 a>0,b>0, 且2 + + +1=1,则 a+2b 的最小值为 .
( 3- ) ,0 ≤ ≤3,
11.(2018 南京、盐城高三第一次模拟 )设函数 f(x)是偶函数 ,当 x≥0 时, f(x)= { - 3 + 1,x > 3,
若函
数 y=f(x)-m 有四个不同的零点 ,则实数 m 的取值范围是 .
12.(2018 江苏南通模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中,M 为直线 x=3 上一动点 ,以 M 为圆心的圆记为圆
M,若圆 M 截 x 轴所得的弦长恒为 4.过点 O 作圆 M 的一条切线 ,切点为 P,则点 P到直线 2x+y-
10=0 的距离的最大值为 .
13.(2019 江苏高三第四次模拟 )已知菱形 ABCD 中,对角线 AC= √3,BD=1,P 是 AD 边上的动点 (包括
端点 ),则 · 的 取值范围为 .
ln , > 0,
14.(2018 江苏启东中学高三第二次月考 )已知函数 f(x)= { 2 + x,x < 0,其中 a>0,若函数 y=f(x) 的图
象上恰好有两对关于 y 轴对称的点 ,则实数 a 的取值范围为 .
答案精解精析
1.答案 {2,3}
解析 由交集定义可得 A∩B={2,3}.
2.答案 -1
解析 ∵z=(2+i)(1-i)=2-2i+i+1=3-i, ∴z 的虚部为 -1,故答案为 -1.
3.答案 750
解析 由频率分布直方图可得成绩在 [150,250) 和 [400,450] 的频率之和为 (0.001+0.001+0.003) ×
50=0.25, 则成绩在 [250,400) 的频率是 1-0.25=0.75, 又样本容量是 1 000,故频数是 750.
4.答案 x2=-4y

解析 由抛物线的焦点在 y 轴负半轴上设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 因为 2=1,p=2, 故抛物线的标
准方程是 x2=-4y.
5.答案 12
解析 设等差数列 {an}的公差为 d,由题意知 S3=3a 2=12,a 2=4, 则 d=a 2-a 1=2,则 a6=a 1+5d=12.
6.答案 48
解析 该流程图运行 3 次,第 1 次,v=5,i=1; 第 2 次,v=16,i=0; 第 3 次,v=48,i=-1, 运行结束 ,故输出 v
的值是 48.
1
7.答案 2
解析 要使函数 f(x)有意义 ,则 4-3x-x 2≥0,解得 D=[-4,1], 则在区间 [-5,5] 上随机取一个数 x,x∈D 的
1- (- 4) 1
概率为 P= 5- (- 5)= 2.
8.答案 54
解析 由正四棱柱的底面边长为 3 cm, 侧面的对角线长是 3√5 cm,得该正四棱柱的高为 6 cm, 则这
个正四棱柱的体积是 32×6=54(cm 3).
9.答案 √3
√3
解析 由 sin A= √3sin C 可得 a=√3c,由余弦定理可得 4=a 2+c 2-2ac×2 ,联立解得 c=2,a=2 √3,所以
△ABC 1的面积是 2 ca·sin B=
1
2×2×2√3
1
×2=√3.
10. 1答案 2 +√3
2 + 3 3 2 + 3( +1) 1 1 3 2 + 3 ( +1) 3
解析 a+2b= 2 + 2(b+1)- 2= [ 2 + 2 ] ( 2 + + +1) - 2=2+ 2( +1)+ 2(2 + )- 2≥
1 2 + 3( +1) 1 2 + 3( +1) 1
2+2 √2( +1)·2(2 + )= 2+√3,当且仅当 2( +1)= 2(2 + )时,取等号 ,所以 a+2b 的最小值为 2+√3.
11.答案 [1 , 9
4 )
解析 画出 x≥0 时 f(x)的图象 ,根据偶函数的图象关于 y 轴对称可得 x<0 时的图象 ,如图 ,由图象可得
9
m∈[1 , 4) .
12.答案 3√5
解析 设 M(3,t),P(x 0,y0),
因为 OP⊥PM,所以 · = 0 , 可 得 2 20 + 0 -3x 0-ty 0=0, ①
又圆 M 截 x 轴所得的弦长为 4,
所以 4+t 2=(x 0-3) 2+(y 0-t) 2,
整理得 20 + 20 -6x 0-2ty 0+5=0, ②
由①②得 2 + 2=5, 即点 P在圆 x2+y 20 0 =5 上,
10
于是 P到直线 2x+y-10=0 的距离的最大值为 +√5=3 √5.
√5
1 3
13.答案 [ 2 ,2]
解析 以 AC 所在的直线为 x 轴 ,BD 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 ,则 A( -
√3
2 ,0) ,C(
√3
2 ,0) ,B(0 ,-
1
2) ,D(0 ,
1
2) ,点 P在 AD 边上 (包括端点 ),可设 = λ ,λ ∈ [0,1],则 P( -
√3 √3 1
+ λ,λ) , 2 2 2
· √
3 √3 1 1 √3 1 3 1 3 = ( 2 - 2 λ-,2 - 2λ)·(√3- 2 λ-,
2
2λ) = 4(λ-1)(λ-2)+ 4λ(λ+1)= λ-2λ+ 2在λ∈[0,1]单调递减 ,当λ=0
2 3 3 3 1 1 3时,λ-2λ+ 2= 2,当λ=1 时,λ
2-2λ+ 2= 2,所以 · 的 取值范围是 [ 2 , 2 ].
14.答案 (0,1)
解析 f(x)=ax 2+x,x<0 关于 y 轴的对称函数为 y=ax 2-x,x>0, 由题意可得 y=ax 2-x,x>0 与 y=ln
x,x>0 的图象恰有 2 个交点 ,即方程 ax2-x=ln x(x>0) , ln 1有两解 则 a= 2 + ,x>0,即函数
ln 1 1- - 2ln ln 1
y=a,y= 2 + ,x>0 的图象有两个不同的交点 ,y'= 3 ,则函数 y= 2 + 在(0,1)上递增 ,在(1,+ ∞)上递
减,ymax =1,作出函数大致图象如图 ,由图可得 02(2019日口口口,14)口口口f(×)=X3+ax2a2x+1,g(x)=ax2-2X+1,口口口口a0,fx)g(x)口口
(aa+1)日,a口口
3、(2018日日日日日日)日口f(x)=2f(1)nX-x,口f(x)口口囗囗口
4(2018口口囗口口口)口口f(x)=asin(x)口口g(×)=3+bxc口口口口[02],a囗口口囗
口囗囗口口囗口口,b+c=
5.(2018日日日)y=a日日y=2X-2,口日y=2ex+X日日口A,B,日日AB
6.(20193日日日,10)日日日f(x)={
2,X≤0
口口口口口口口口口口口,口口口口a口口
7(2019口口口3口口,14)口口口口f(x)=ax2-2X+nx口口口口囗口口口X1,x2,口口口口
λ>fx1)+f(x2),A百口口口口
8、(2018日日日百口口日百口口日日口)口日口f(x)=e
exg(×)=2ax+a,日e日日口,aR
(1)口口:f(X)≥0;
(2)日日口X0日R,f(x)=9(X0),a囗口囗口口;
(3)口口口口日X日(-∞,-1),f(x)≥g()口日,a口口口
9.、(2019日口,19)口y=f(X)X=Xo口百,xo百y=f(x)日
口口口.口口f(x)=X3x2+1(t口R)
(1)口口口f(x)(0,1)日口口日百,t日日口口口;
(2):口口口t,口f(×)百百口百口百口口口
(3)t3,日日囗f(×日日日日日日口日4,日日日日日口日百日日
1.口(
口口日口口口f(x)=x3+ax2+(a+6)X+1口(2,2)口囗口口口口囗口囗口囗,口f
22
9-12(a+6)>0
2
(x)=3X2+2ax+(a+6)=0(2,2)口口口口口口口口口口,口口
3
(-2)=12-4 + x6>0
2)=12+4 2 r6>0,
18
a<3
2.口(
口口f(x)=3×2+2ax-a2=(3-a)(X+a)
日口g(X)口口口口X

日日a>0,{1口日a≥1;
外1≤
日日a<0,口{
sas、y5+1
1+√
口口,a(-∞;
口[1,+∞)
3.口2n2-2
日自口囗f(x)=
2 (1)
1,口×=1,f(1)=2(1)-1,日f(1)=1,日f(x)=1,口f(x)=0 ×=2,
日(0,2),f(x)>0,f(x)日日;x日(2,+∞),f(×)<0,f(X)日日,日=2日,f(X)日日,口
f(2)=2n22
1
4.口口
1
3
日日日日f(x)=asin(x)0,2日f(2)=a5n(2T)
()

口g(×)=3X2+b,口口{
3


8
日日日口A(X1,a),B(X2,a)
口a=2×1-2a=2e2+x必备三 解题陷阱妙破
“陷阱” ,顾名思义 ,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种
情况 .数学中的陷阱题 ,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节 ,在考生容易出现错误的
地方着手编拟 ,或是针对考生思维的惯性或弱点来设置障碍 ,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺
陷设置问题 .这些问题像现实生活中的陷阱那样 ,难以识别 ,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌
握的缺陷 .
陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质
3 4 π
例 1 若 z=sin θ-5+(cos - 5 ) i是纯虚数 ,则 tan( - 4)的值为 .
π
易错分析 本题易混淆复数的相关概念 ,忽视虚部不为零的限制条件 ,导致所求 tan( - 4 )的值为多
个,从而错解 .
答案 -7
3
sin - = 0,①
正确解析 由纯虚数的概念 ,可知 { 54
cos - 5 ≠0,②
2
由① ,得 sin 3θ=5,故 cos
3 4 4 4
θ=±√1-sin2θ=±√1- ( 5) =±5,而由② ,可得 cos θ≠5,故 cos θ=-5,所以 tan
π 3
sin 3 π tan -tan - - 1
θ= =- ,则 tan( - 4 = 4 =-7.
cos 4 4 ) =1+tan tan π
4 1+( -
3 )×1
4
▲跳出陷阱 在解答概念类试题时 ,一定要仔细辨析所求的问题 ,在明确概念的前提下再解答 .本
题要搞清楚虚数、纯虚数、实数与复数的概念 .
跟踪集训
1.已知向量 a=(2,1),b=(λ ,1),∈λR,设 a与 b的夹角为 θ若.θ为锐角 ,则 λ的取值范围
是 .
陷阱二 错用结论——公式定理要记准
π
例 2 将函数 g(x)=4sin xcos x的图象向左平移 6个单位长度 ,再把所得图象上所有点的横坐标伸
长到原来的 2倍 (纵坐标不变 ),得到函数 f(x) π的图象 ,则 f ( 4) = .
易错分析 该题易出现的问题有两个 :一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关
系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系 .
√6+√2
答案 2
π
正确解析 将函数 g(x)=4sin xcos x=2sin 2x的图象向左平移 6个单位长度后得到函数 y=2sin
2( + π6 ) =2sin(2 +
π
3 )的图象 ,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )后所
得图象对应的函数解析式为
1 π π
f(x)=2sin( 2×2x + 3 ) =2sin( + 3 ) .
π π π
所以 f( 4) =2sin( 4 + 3) =
2 sinπcosπ+cosπsinπ =
4 3 4 3
2 ( √2 1 + √
2 √3 6+ 2
×
2 ×2 2 × 2 ) =
√ √ .
2
▲跳出陷阱 解决三角函数图象的平移与伸缩变换问题 ,关键是把握变换前后两个函数解析式之
间的关系 ,熟记相关的规律 .
跟踪集训
π π
2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考 )已知函数 f(x)=sin (2 +
6) -cos(2 + 3) +2cos
2x.
(1)求 f ( π
12 )的值 ;
(2)求函数 f(x)的单调区间 ;
(3)函数 f(x)的图象可由 y=sin x的图象如何变换得来 请详细说明 .
陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记
2 2
例 3 已知椭圆 9 + 8 =1的半焦距为 c,曲线 Γ上的任一点 (x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离比该点到
y轴的距离大 c.
(1)求曲线 Γ的方程 ;
(2)直线 l过点 F,交曲线 Γ于 A,B 两点 ,过 A,B 分别作曲线 Γ的切线交于点 P,判断 · 是 不 是
定值 .若是 ,请给予证明并求出该定值 ;若不是 ,请说明理由 .
易错分析 直线 l过点 F交曲线 Γ于 A,B 两点 ,由于思维定势 ,经常只考虑直线 l 的方程为 y=k(x-
1),k≠0的情况 ,从而漏掉了过点 F的直线 l与 x轴垂直这一特殊情况 ,导致错解 .
2 2
正确解析 (1)因为椭圆
9 + 8 =1的半焦距为 c,
所以 c=√9-8=1,
因为曲线 Γ上的任一点 (x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离比该点到 y轴的距离大 1,
所以曲线 Γ上的任一点 (x,y)(x≥0)到定点 F(1,0)的距离等于该点到直线 x=-1的距离 .
根据抛物线的定义 ,知曲线 Γ为抛物线 .
设曲线 Γ的方程为 y2=2px(p>0),

所以 2=1,解得 p=2,所以曲线 Γ的方程为 y
2=4x.
(2) · 为 定 值 .证明如下 :
①当过点 F的直线 l与 x轴垂直时 ,直线 l的方程为 x=1,
根据抛物线的对称性知 ,点 P在 x轴上 ,
所以 PF⊥AB,所以 · = 0 .
②当过点 F的直线 l的斜率存在时 ,可设直线 l 的方程为 y=k(x-1),k≠0,
= ( -1 ),
由{ 2x2-(2k22 +4)x+k
2=0,
= 4x 得 k
所以 Δ =-[(2k2+4)]2-4k2·k2=16k2+16>0,
设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),P(xP,yP),y1>0,y2<0,
4
则 x1+x2=2+ 2 ,x1x2=1.
1 1
由 y2=4x(y>0),得 y=2√ , y'= ,所以过点 A 的切线 PA的方程为 y-y 1= (x-x 1),即 y= +√ 1 ;√ √ 1 √ 1
2=4x(y<0), y=-2 ,y'=- 1由 y 得 √ ,所以过点 B 的切线 PB
1
的方程为 y-y2=- (x-x 2),即 y=- - .
√ √ 2√ 2 √ 2
= + √ 1 ,√ 1 = -√ 1 2 = -1,
由{ 得{ 2
= -
-√ 2 =
√ 2
,
2
2 -0 1即 P(-1, ) ,所以直线 PF的斜率 kPF = -1-1=- ,
1
所以 kPF·k=- ×k=-1,所以 PF⊥AB.
综上所述 , · 为 定 值 ,且定值为 0.
跟踪集训
2 2
3.在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与直线 l:x=m(m∈R),四点 (3,1),(3,-1),(-
2√2,0),(√3,√3)中有三个点在椭圆 C上,剩余一个点在直线 l 上.
(1)求椭圆 C的方程 ;
(2)若动点 P在直线 l上,过 P作直线交椭圆 C于 M,N 两点 ,使得 PM=PN,再过点 P作直线 l'⊥MN.证明 :
直线 l'过定点 ,并求出该定点的坐标 .
陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当
1-
例 4 已知函数 f(x)=ln x-ax+ -1(a∈R).
(1)当 a=-1时,求曲线 y=f(x)在点 (1, f(1))处的切线方程 ;
1
(2)当 0≤a<2时,讨论 f(x)的单调性 .
易错分析 该题易出现的问题是讨论 f(x)的单调性时 ,对参数进行分类讨论的标准不正确 ,造成分
类的重复或遗漏 .
2
正确解析 (1)当 a=-1时, f(x)=ln x+x+ -1,x∈(0,+ ∞ ).
2
所以 f '(x)= +x -2 2 ,x∈(0,+ ∞ ).
因此 f '(1)=0,即曲线 y=f(x)在点 (1, f(1))处的切线的斜率为 0.
又 f(1)=ln 1+1+2-1=2,
所以曲线 y=f(x)在点 (1, f(1))处的切线方程为 y=2.
1-
(2)因为 f(x)=ln x-ax+ -1,

2
所以 f '(x)= 1 -a+
-1
2 =-
-x+1 -a
2 ,x∈(0,+ ∞ ).
令 g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+ ∞ ).
①当 a=0时 ,g(x)=-x+1,
当 x∈ (0,1)时 ,g(x)>0,此时 f '(x)<0,函数 f(x)单调递减 ;
当 x∈ (1,+ ∞时),g(x)<0,此时 f '(x)>0,函数 f(x)单调递增 .
1
②当 01
2 -x+1-a=0,亦即 (x-1)(ax+a-1)=0,解得 x1=1,x2= -1,
1
此时 -1>1>0,
所以当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f '(x)<0,函数 f(x)单调递减 ;
1
当 x∈ (1, -1)时 ,g(x)<0,此时 f '(x)>0,函数 f(x)单调递增 ;
1
当 x∈ ( -1, + ∞ )时,g(x)>0,此时 f '(x)<0,函数 f(x)单调递减 .
综上 ,当 a=0时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减 ,在 (1,+ ∞上)单调递增 ;
1 1 1
当 0▲跳出陷阱 含参的函数单调性的分析是一个难点 ,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚 ,导
致分类混乱 .明确标准 ,合理分类是解决此类问题的关键 ,讨论含参的函数单调性的问题 ,对参数进行分
类讨论的基本顺序 :①最高次幂的系数是不是 0;②方程 f '(x)=0 是否有解 ;③解是否在定义域内 ;④解之
间的大小关系 .分类后确定导函数的符号 ,常画出导函数的图象 ,根据图象与 x轴的相对位置确定导函
数的符号 ,进而写出单调区间 .
跟踪集训
2
4.(2019 江苏七大市三模 ,20)已知函数 f(x)= 1+ln (a≠0),e是自然对数的底数 .
(1)当 a>0时,求 f(x)的单调增区间 ;
1
(2)若对任意的 x≥2, f(x)≥2e
b-1(b∈R),求 的最大值 ;
(3)若 f(x)的极大值为 -2,求不等式 f(x)+ex<0的解集 .
陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏
例 5 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=8,b=10△, ABC 的面积为 20√3,则
△ABC 中最大角的正切值是 .
易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件 .
5√3
答案 3
1 3 π 2π
正确解析 由题意得 20√3= ×8×10 sin C sin C=
√
× C= 或 C= (舍 ),由余弦定理得 ,c2=82+102-2 2 3 3
2 1×8×10×=84,
2
因为 a=8,b=10,所以 a282+84 -10 2 3 1 -cos 2B 5 3
由余弦定理的推论得 ,cos B= 2 8 84 = 84 ,则 tan B=√ =
√ .
× ×√ √ cos 2B 3
▲跳出陷阱 审题时一定要仔细 ,注意题中正数、整数、锐角、钝角、 x轴上方等限制条件 .
跟踪集训
5.已知钝角△ABC 的三个内角成等差数列 ,最大边长与最小边长的比值为 m,则实数 m的取值范围
为 .
陷阱六 推理不当——归纳类比要合理
例 6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理 :幂势既同 ,则积不容异 .这句话的意思 :夹在两
个平行平面间的两个几何体 ,被平行于这两个平行平面的任何平面所截 ,如果截得的两个截面的面积总
相等 ,那么这两个几何体的体积相等 .设由曲线 x2=4y和直线 x=4,y=0所围成的平面图形绕 y轴旋转一
周所得到的旋转体为 Γ1,由同时满足 x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点 (x,y)构成的平面图
形绕 y轴旋转一周所得到的旋转体为 Γ2,根据祖暅原理可知 ,通过类比 Γ2可以得到 Γ1的体积
为 .
易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理 ,只关注两个平面图形形状的差异性 ,找不
出共性 ,导致错误的类比 .
答案 32π
正确解析 设图 (1)中的阴影部分绕 y 轴旋转一周得到的旋转体 Γ1'的体积为 V',则 V'=2 1 ,图(1)、
(2)中的两图形绕 y轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为 8的平行平面之间 ,用任意一个与 y轴垂直
2 2 2
的平面截这两个旋转体 ,设截面与原点的距离为 |y|,则所得截面面积 S1=π (4-4|y|),S2=π (4-y )-π [-4(2-
|y|)2]=π (24-4|y|),所以 S1=S2,由祖暅原理知 ,Γ1与' Γ2的体积相等 .
因为 Γ2是由同时满足 x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点 (x,y)构成的平面图形绕 y轴
4π
旋转一周所得的旋转体 ,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体 ,体积为 ·43-3
2 4π· ·233 =64π所,以 Γ1的体积为 32π.
▲跳出陷阱 类比推理的关键在于 “类” ,即找到两类事物的共性 ,这是类比推理的基础 ,在此基
础上才能进行由此及彼的相关性质研究 ,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关
键.
跟踪集训
6.先阅读下列不等式的证法 ,再解决后面的问题 :
1
已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证 : 2+ 21 2≥ .2
证明 :构造函数 f(x)=(x-a 21) +(x-a 22) ,
则 f(x)=2x 2-2(a1+a2)x+ 21 + 22=2x2-2x+ 21 + 22 ,
∵对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,∴Δ=4-8( 2 + 2
1
1 2 )≤0,从而得 1 2 + 22≥2.
(1)若 a1,a2, ,an∈R,a1+a2+ +an=1,请写出上述结论的推广式 ;
(2)参考上述证法 ,对你推广的结论加以证明 .
陷阱七 画图不准——数化“形”要准确
例 7 已知定义在 R上的函数 f(x)满足 :
①f(x)+f(2-x)=0;
②f(x-2)=f(-x);
√1- 2 ,x∈ [ -1,0],
③在 [-1,1]上的表达式为 f(x)= { π
cos ( 2 x) ,x∈(0,1].

则函数 f(x)与函数 g(x)={2 ,x ≤0,1- , > 0的图象在区间 [-3,3]上的交点个数为 .
易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象 ,导致无法判断两个函数图象交点的个数 .
答案 6
正确解析 由①可得 f(1-x)+f(1+x)=0, 即 f(x)的图象关于点 (1,0)对称 ;
由②可得 f(x-1)=f(-x-1), 即 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称 .
如图 ,根据③先作出函数 f(x)在[-1,1]上的图象 ,然后作出其关于直线 x=-1对称的图象 ,则得函数 f(x)
在[-3,-1]上的图象 ,再作其关于点 (1,0)对称的图象 ,则得函数 f(x)在[-3,3]上的图象 ,最后作出函数 g(x)的
图象 .
由图象可知两函数的图象在 [-3,3]上有 6个交点 .
▲跳出陷阱 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题 ,利用函数的性质准确画
出函数图象是解决此类问题的关键 .要熟练掌握函数的一些基本性质 ,如函数的奇偶性、对称性、周期
性与单调性等 .
跟踪集训
7.(2019扬州期末 ,13)已知函数 f(x)=a+3+ 4 -|x+a|有且仅有三个零点 ,并且这三个零点构成等差数列 ,则实

数 a的值为 .
陷阱八 推理跳步——步骤过程要合理
例 8 (2019南通通州、海门联考 ,15)如图 ,在直三棱柱 ABC-A 1B1C1中,M,N 分别为棱 AC,A 1B1的
中点 ,且 AB=BC.
求证 :(1)平面 BMN⊥平面 ACC 1A1;
(2)MN∥平面 BCC1B1.
正确证明 (1)因为 M 为棱 AC的中点 ,且 AB=BC,
所以 BM⊥AC,
因为三棱柱 ABC-A 1B1C1是直三棱柱 ,
所以 A1A⊥平面 ABC,
因为 BM 平面 ABC,
所以 A1A⊥BM,
又因为 AC,A 1A 平面 ACC 1A1,且 AC∩A1A=A,
所以 BM⊥平面 ACC 1A1,
因为 BM 平面 BMN,
所以平面 BMN⊥平面 ACC 1A1.
(2)如图 ,取 BC的中点 P,连接 B1P,MP.
因为 M,P分别为棱 AC,BC 的中点 ,
1
所以 MP∥AB,且 MP= 2AB,
因为在三棱柱 ABC-A 1B1C1中,A1B1∥AB,A 1B1=AB,且
N为棱 A1B1的中点 ,
1
所以 B1N∥BA,且 B1N=2BA,
所以 B1N∥PM,且 B1N=PM,
所以四边形 MNB 1P是平行四边形 ,
所以 MN∥PB1,
又因为 MN 平面 BCC1B1,PB1 平面 BCC1B1,
所以 MN∥平面 BCC1B1.
跟踪集训
8.(2019南京六校联考 ,16)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形 ,AC与 BD交于点 O,PC⊥
底面 ABCD,点 E为侧棱 PB的中点 .
求证 :(1)PD∥平面 ACE;
(2)平面 PAC⊥平面 PBD.
陷阱九 转化不当——由此及彼要等价
1
9 f(x)= x2例 2 -2aln x+(a-2)x,a∈R.
(1)当 a=1时,求曲线 f(x)在点 (1, f(1))处的切线方程 ;
(2)当 a<0时,讨论函数 f(x)的单调性 ;
( ) -f( )
(3)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+ 2 1∞且), x1≠x2,有 - >a恒成立 若存在 ,求出 a的取值2 1
范围 ;若不存在 ,说明理由 .
( 2 ) -f( 1 )
易错分析 该题易出现的问题是直接把 >a转化为函数 f(x)的导数的范围 ,即 f '(x)>a,导 2 - 1
致错解 .
2 ( -2)( + )
正确解析 f '(x)=x- +a-2= (x>0).
1
(1)当 a=1时, f(1)=- 2,
( -2)( +1)
f '(x)= , f '(1)=-2,

1
所以所求的切线方程为 y-( - 2 ) =-2(x-1),
即 4x+2y-3=0.
(2)①当-a=2,即 a=-2时 ,
( -2) 2
f '(x)= ≥0, f(x)在 (0,+ ∞上)单调递增 .
②当 0<-a<2,即 -2因为 02时, f '(x)>0;-a所以 f(x)在(0,-a),(2,+ 上∞单)调递增 ,在(-a,2)上单调递减 .
③当 -a>2,即 a<-2时,
因为 0-a时, f '(x)>0;当 2上单调递减 .
(3)假设存在这样的实数 a满足条件 ,不妨设 x1 ( 2 ) -f( 1 )
由 2 - >a恒成立 ,知 f(x )-ax2>f(x 1)-ax1恒成立 .2 1
1
令 g(x)=f(x)-ax= x2-2aln x-2x,2
则函数 g(x)在(0,+ ∞上)单调递增 ,所以 g'(x)=x- 2
-2≥0,即 2a≤x
2-2x=(x-1) 2-1在 (0,+ ∞上)恒成立 ,
因为 (x-1)2
1
-1在 (0,+ ∞上)的最小值为 -1,所以 a≤- ,
2
1
故存在这样的实数 a满足题意 ,其取值范围为 ( -∞ ,- 2] .
▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键 ,在转化过
( 2 )- f( 1 )
程中一定要对式子进行等价变形 ,如本题中的第 (3)问中的“ ”,其几何意义是曲线上两点 (x 1, 2 - 1
f(x 1))与 (x2, f(x 2))连线的斜率 ,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处
的切线斜率 ,则求解较为复杂 ,故应该通过代数式的等价变换 ,将原问题转化为函数 g(x)=f(x)-ax 的单调
性问题进行求解 .
跟踪集训

9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考 )已知函数 f(x)=x- ,g(x)=2aln x.
(1)若 b=0,函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切 ,求 a的值 ;
(2)若 a>0,b=-1,函数 F(x)=xf(x)+g(x) 1 1满足对任意 x1,x2∈(0,1](x1≠x2),都有 |F(x1)-F(x2)|<3|
- |恒成立 ,1 2
求 a的取值范围 ;
1
(3)若 b=1,函数 G(x)=f(x)+g(x),且 G(x)有两个极值点 x1,x2,其中 x1∈(0, 3] ,求 G(x 1)-G(x2)的最小值 .
陷阱十 新定义不明 ——用新定义要明确
例 10 (2019天一中学检测 ,18)对于函数 f(x),若在定义域内存在实数 x,满足 f(-x)=-f(x), 则 f(x)称
为“局部奇函数 ”.
(1)已知二次函数 f(x)=ax 2+x-4a(a∈R),试判断 f(x)是不是“局部奇函数 ” ,并说明理由 ;
(2)若 f(x)=2 x+m是定义在区间 [-1,1]上的“局部奇函数 ” ,求实数 m的取值范围 ;
(3)若 f(x)=4 x-2x+1m+m2-3为定义域 R上的“局部奇函数 ” ,求实数 m的取值范围 .
易错分析 对新定义“局部奇函数 ”理解不透彻或理解有误导致错误 .
正确解析 f(x)为“局部奇函数 ”等价于关于 x的方程 f(x)+f(-x)=0 在定义域内有解 .
(1)f(x)是“局部奇函数 ”.对于 f(x)=ax 2+x-4a(a∈R),方程 f(x)+f(-x)=0 即 2a(x2-4)=0,解得 x=±2,
所以 f(x)为“局部奇函数 ” .
(2)对于 f(x)=2 x+m, f(x)+f(-x)=0 即 2x+2-x+2m=0,
因为 f(x)的定义域为 [-1,1],所以方程 2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解 .
1 1 1
令 t=2x,t∈[2 ,2] ,则-2m=t+ ,设 g(t)=t+ ,
2
则 g'(t)=1- 1 2 =
- 1
2 ,
当 t∈(0,1)时,g'(t)<0,故 g(t)在(0,1)上为减函数 ;
当 t∈(1,+ ∞时),g'(t)>0,故 g(t)在(1,+ ∞上)为增函数 .
1 5
所以 t∈ [2 ,2]时 ,g(t)∈[2, 2 ] .
5 5
所以 -2m∈[2, 2] ,故 m∈[ - 4 ,-1] .
(3)对于 f(x)=4 x-2x+1m+m2-3, f(x)+f(-x)=0 可化为
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
令 t=2x+2-x,t∈[2,+ ∞则), 4x+4-x=t2-2,
从而 t2-2mt+2m2-8=0在[2,+ ∞上)有解即可保证 f(x)为“局部奇函数 ” .
令 F(t)=t2-2mt+2m2-8,
①当 F(2)≤0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+ ∞上)有解 ,
由 F(2)≤0,即 2m2-4m-4≤0,
解得 1-√3≤m≤1+√3;
②当 F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+ ∞上)有解 ,等价于
= 4 2 -4(2 2 -8) ≥0,
{ > 2, 解得 1+√3 (2)> 0,
综上 ,所求实数 m的取值范围为 {m|1-√3≤m≤2√2}.
跟踪集训
10.(2019苏州期初 ,20)若对任意的实数 k,b,函数 y=f(x)+kx+b 的图象与直线 y=kx+b 总相切 ,则称函数
f(x)为“恒切函数” .
(1)判断函数 f(x)=x 2是不是“恒切函数”;
(2)若函数 f(x)=mln x+nx(m≠0)是“恒切函数”,求实数 m,n满足的关系式 ;
1
(3)若函数 f(x)=(e x-x-1)e x+m是“恒切函数”,求证 :-4答案精解精析
陷阱一 混淆概念——
理解概念抓本质
跟踪集训
1.答案 { | > - 1
2且 λ≠2}
解析 因为 θ为锐角 ,所以 0cos · 2 +1又因为 θ=
| || =| 2 ,√5·√λ +1
2 +1 2 +1
所以
√5·√ 2
>0且 ≠1,
+1 √5·√ 2 +1
2 + 1 > 0, 1
{ { > - ,所以 2
2 + 1 ≠√5·√ 2
解得
+ 1, ≠2,
1
所以 λ的取值范围是 { | > - 2且 λ≠2} .
陷阱二 错用结论——
公式定理要记准
跟踪集训
2.解析 (1)f(x)=sin (2 + π6 ) -cos(2 +
π
3 )+2cos
2x
√3 1 1 3= sin 2x+ cos 2x- cos 2x+√ sin 2x+cos 2x+1
2 2 2 2
π
=√3sin 2x+cos 2x+1=2sin(2 + 6) +1,
f( π π π∴
12 ) =2sin(2 ×12 + 6 ) +1=√3+1.
π π π π π π π 3π
(2)令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+2 6 2(k∈Z),解得 kπ- ≤x≤kπ+3 6 (k∈Z);令 2kπ+≤2x+ ≤2kπ+2 6 2 (k∈Z),解得
k π 2ππ+≤x≤kπ+
6 3 (k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为 [ - π ππ
3 ,k π+ 6 ]
(k∈Z),
π 2π
f(x)的单调递减区间为 [ π+ 6 ,k π+ 3 ]
(k∈Z).
(3)变换步骤 :(答案不唯一 )
y=sin x
y=sin 2x
π
y=sin(2 + 6 )
y=2sin(2 + π6)
π
y=2sin(2 + 6) +1.
陷阱三 忽视验证——
特例情况要谨记
跟踪集训
3.解析 (1)由题意知有三个点在椭圆 C上,根据椭圆的对称性 ,则点 (3,1),(3,-1)一定在椭圆 C上,即
9 1
2 + 2=1(a>b>0)①,
若点 (-2√2,0)在椭圆 C上,则点 (-2√2,0)必为椭圆 C的左顶点 ,而 3>2√2,则点 (-2√2,0)一定不在椭圆 C上 ,
故点 (√3,√3)在椭圆 C上,点(-2√2,0)在直线 l上 ,
3 3
所以 2+ 2=1② ,
联立①②可解得 a2=12,b2=4,
2 2
所以椭圆 C的方程为 + =1.12 4
(2)证明 :由(1)可得直线 l的方程为 x=-2√2,
设 P(-2 2,y 2√3 2√3√ 0),y0∈ ( - 3 , 3 ) ,
当 y0≠0时 ,设 M(x 1,y1),N(x 2,y2),显然 x1≠x2,
2 21
12 +
1
4 = 1, 2 - 2 2 - 2 1 - 2 1 { 1
+ 2
联立 2 2 则
1 2 1 2 ·
+ =0,即 =- ,2 + 2
12 4
= 1, 1
- 2 3 1 + 2
12 4
又 PM=PN,即点 P为线段 MN 的中点 ,
1 -2√2 2√2
故直线 MN 的斜率为 - ·3 = ,0 3 0
3
又直线 l'⊥MN,所以直线 l' 0的方程为 y-y0=- (x+2 2),
2 √√2
3
y=- 0
4√2
即 2√2 ( + 3 ) ,
4 2
显然直线 l'过定点 ( - √3 ,0) ;
4√2
当 y0=0时,直线 MN 为 x=-2√2,此时直线 l'为 x轴,亦过点 ( - 3 ,0) .
4√2
综上所述 ,直线 l'过定点 ,且该定点的坐标为 ( - 3 ,0) .
陷阱四 讨论漏解——
参数标准要恰当
跟踪集训
4. (1)f(x) (0,e-1) (e-1解析 的定义域为 ∪ ,+∞ ).
1
2 (1+ln )- 2 ·
f '(x)= (1+ln ) 2
1
2 2(+ln )= (1+ln ) 2 ,
1
令 f '(x)>0,因为 a>0,所以 x>e-2 ,
-1
因为e 2 >e-1,
-1
所以 f(x)的单调增区间是 (e 2,+∞ ).
(2)当 a<0时, f(1)=a<0<2eb-1,不合题意 ;
1
当 a>0时 ,令 f '(x)<0,得 01
所以 f(x)在区间 (0,e-1) (e-1,e-和 2)上单调递减 .
1
∈(e-1,e-
1 1
因为 2 ),且 f(x)在区间 (e-2 ,+∞上)单调递增 ,2
1
所以 f(x)在e- 2 2 2处取极小值
e ,即最小值为 e .
1
若 x≥ b-1
2
≥2eb-1 b
2, f(x)≥2e ,则 e ,即 a≥e .

不妨设 b>0,则 ≤ e .
1-
设 g(b)= (b>0),则 g'(b)= .e e
当 00;
当 b>1时 ,g'(b)<0,
所以 g(b)在(0,1)上单调递增 ,在 (1,+ ∞上)单调递减 ,
1
所以 g(b)≤g(1),即e ≤e,
1
所以 的最大值为 .e
(3)由(2)知,当 a>0时 , f(x)无极大值 ,不符合题意 .
1 1
当 a<0时 , f(x)在(0,e-1)和(e-1,e-2 )上单调递增 ; -在 (e 2 ,+∞上)单调递减 ,
-1
所以 f(x)在 x=e 2处取极大值 ,
1
f(e- )=
2
且 2 e =-2,故 a=-e.
x x e 2设 F(x)=f(x)+e ,即 F(x)=e -1+ln ,
当 x∈(0,e-1),1+ln x<0,所以 F(x)>0;
当 x∈(e-1,+∞ ),F'(x)=xe-e (1+2ln )(1+ln ) 2 ,
由(2)知 ,ex≤ex,又 1+2ln x≤(1+ln x)2,
所以 F'(x)≥0,且 F(x)不恒为零 ,
所以 F(x)在(e-1,+∞上)单调递增 .
不等式 f(x)+ex<0,即 F(x)<0=F(1),所以 e-1即不等式的解集为 (e-1,1).
陷阱五 条件遗漏——
细心审题不遗漏
跟踪集训
5.答案 (2,+ ∞)
解析 不妨设 A0 < < π3 ,{ 0< C = -A < π 6 3 2tan
>2,
2 3
2π
sin sin( 3 -A)
√3cos + 1sin
m= = = = 2 2
1 √3
sin sin sin =2+2tan >2,即实数 m的取值范围是 (2,+ ∞ ).
陷阱六 推理不当——
归纳类比要合理
跟踪集训
6.解析 (1)若 a1,a2, ,an∈R,a1+a2+ +an=1,则 21 + 22+ + 2
1
≥ .
(2)证明 :构造函数 f(x)=(x-a 1)2+(x-a2)2+ +(x-an)2,
则 f(x)=nx 2-2(a1+a2+ +an)x+ 21 + 22 + + 2
=nx2-2x+ 2 + 21 2 + + 2 ,
∵对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,
∴Δ=4-4n( 2 + 21 2 + + 2 )≤0,
从而得 21 + 22 + + 2
1
≥ .
陷阱七 画图不准——
数化“形”要准确
跟踪集训
11 3
7. √
3
答案
6或 -1- 2
解析 由 f(x)=a+3+ 4 -|x+a|=0,
4
得 +3=|x+a|-a,
4
原函数有三个零点 ,即函数 y= +3与 y=|x+a|-a={ , ≥ - , - - 2 , < - 的图象有且仅有三个交点 ,设三个交点的
横坐标分别为 x1,x2,x3,且 x1①如图所示 :
4
联立 { = + 3,解得 x2=-1,x3=4,
= ,
1 + 3
又三个零点构成等差数列 ,则 x2= ,得 x12 =-6,
4 11
得-6 +3=-(-6)-2a,解得 a= 6 .
②如图所示 :
4
联立 { = + 3, x + 解得 3=4, x = 1 3由 2 1 2
= , 2
,得 x -2x =-4,
= 4 + 3,由{ 消去 y,得 x2+(2a+3)x+4=0,
= - - 2 ,
, { 1 + 2 = -(2a + 3),由根与系数的关系 得 1 2 = 4,
又 x1-2x2=-4,
= -4 -101 3 ,{ ( -4 -10)(1 -2 )∴ 1-2 ∴
2
= 9
=4,化为 4a +8a-23=0,
2 3 ,
-2- 3 3
因为 -a>0,所以 a<0,所以 a= √2 .
综上可得 ,a 11 3√3的值为 6或-1- 2 .
陷阱八 推理跳步——
步骤过程要合理
跟踪集训
8.证明 (1)连接 OE.
因为 O为正方形 ABCD 的对角线的交点 ,
所以 O为 BD的中点 .
因为 E为 PB的中点 ,所以 PD∥OE.
又因为 OE 平面 ACE,PD 平面 ACE,所以 PD∥平面 ACE.
(2)在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PC⊥底面 ABCD,BD 平面 ABCD,所以 BD⊥PC.
因为四边形 ABCD 为正方形 ,
所以 BD⊥AC.
又 PC,AC 平面 PAC,PC∩AC=C,
所以 BD⊥平面 PAC.
因为 BD 平面 PBD,
所以平面 PAC⊥平面 PBD.
陷阱九 转化不当——
由此及彼要等价
跟踪集训
9.解析 (1)当 b=0时,函数 f(x)=x 的图象与 g(x)=2aln x的图象相切 ,设切点为 (x 0,2aln x0),则切线方程
2
2 = 1, 0 = e,
为 y= x-2a+2aln x , { e
e
0所以 0
解得 { 所以 a= .0 -2 + 2 ln 0 = 0, = 2 , 2
2
(2)当 a>0,b=-1时,F(x)=x 2+1+2aln x,F'(x)=2x+ >0,所以 F(x)在(0,1]上递增 .
1 1
不妨设 0)+ 3即 F(x2 3 .
2 1
设 h(x)=x 2
3 2 3
+1+2aln x+ ,则原不等式 h(x)在(0,1]上递减 ,即 h'(x)=2x+ ≤0在 (0,1]上恒成立 ,所以 - 2
2a 3≤ -2x2 3 1在(0,1]上恒成立 .因为 y= -2x2在(0,1]上递减 ,所以 ymin=3-2=1,所以 2a≤1,又 a>0,所以 01
(3)当 b=1时,函数 G(x)=f(x)+g(x)=x- +2aln x,
2+2ax+1
G'(x)= 2 (x>0),
2
由题意知 x1,x2是 x +2ax+1=0的两根 ,
1
∴x1x2=1, x1+x2=-2a,x2= ,1
2a=-x1- 1 ,
1
1 1 1
G(x1)-G(x 2)=G(x 1)-G( ) =2[ 1- - ( 1 + ) ln 1 ] .1 1 1
1 1
令 H(x)=2 [ - - ( + ) ln ,]
1 2(1+ )(1 - )ln
H'(x)=2( 2 -1) ln x= 2 .
1 1 1 20ln3 -16
当 x∈(0, 3]时,H'(x)<0,所以 H(x)在 (0, 3]上单调递减 ,H(x)的最小值为 H( ) = ,3 3
20ln3 -16
即 G(x1)-G(x 2)的最小值为 .3
陷阱十 新定义不明 ——
用新定义要明确
跟踪集训
10.解析 (1)函数 f(x)=x 2为“恒切函数” .设切点为 (x0,y0).
( 0 ) + k 0 + b = k 0 + b, { ( 0 ) = 0,则{ ∴ '( 0 ) + k = k, '( 0 ) = 0.
2
对于函数 f(x)=x 2, f '(x)=2x, { ∴ 0 = 0,2 0 = 0,
解得 x0=0.∴ f(x)=x 2是“恒切函数” .
(2)若函数 f(x)=mln x+nx(m≠0)是“恒切函数”,设切点为 (x0,y0),
ln 0 + n 0 = 0,
∵f '(x)=
+n,∴{
+ n = 0,0
解得 ln x0=1,即 x0=e.
∴实数 m,n满足的关系式为 m+ne=0.
(3)证明 :函数 f(x)=(e x-x-1)ex+m是“恒切函数 ”,设切点为 (x0,y0).
∵f '(x)=(2ex-x-2)ex,
{(e
0 - 0 -1)e 0 + m = 0,∴ (2e 0 - 0 -2)e 0 = 0,
{ = -(e
0 - 0 -1)e 0 ,∴
2e 0 = 0 + 2.
求方程 2ex=x+2的解 ,设 g(x)=2ex-x-2.
g'(x)=2ex-1,令 g'(x)=0,解得 x=-ln 2.
当 x∈(-∞,-ln 2)时 ,g'(x)<0,g(x)单调递减 ;
当 x∈(-ln 2,+ ∞时),g'(x)>0,g(x)单调递增 .
∴g(x)min=g(-ln 2)=ln 2-1<0.
①当 x∈(-∞,-ln 2)时,
∵g(-2)= 2 22>0,g(-1)= -1<0,e e
1 1
∴g(x)=2ex-x-2 在(-∞-,ln 2)上有唯一零点 x0∈(-2,-1).又∵m=-( e 0 -x0-1)e 0 = 0 04 x (x +2),∴m∈( - 4 ,0) .
②当 x∈(-ln 2,+∞时),
∵g(0)=0,∴g(x)=2ex-x-2在(-ln 2,+∞上)有唯一零点 0,∴m=0.
综上可知 ,-14 1.(2019 北京文 ,9,5分 )已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 a⊥b,则 m= .
π
2.(2019 课标全国 Ⅱ理改编 ,10,5分 )已知 α∈(0, 2 ) ,2sin 2α =cos2α +1则, sin α= .
3.已知 m,n是不重合的两条直线 ,α ,是β不重合的两个平面 .下列命题 :①若 m∥α ,m β则, α∥β②;若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α③;若 m⊥α ,m⊥β则,
α∥β④;若 α⊥β ,m⊥α则, m∥β其.中所有真命题的序号为 .
1
4.如图 ,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=2, 且 = , = , 则 · = 2 .
2 +5
5.已知关于 x的不等式 ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为 {x|36.(2019 江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考 ,6)函数 f(x)=sin( ω x+φ )(的ω部>0分)图象如图所示 ,则 f(x)的单调递减区间
为 .
1
7.(2019 泰州期末 ,15)已知向量 a=(sin x,1),b= ( 2 ,cos ),其中 x∈ (0, π ).
(1)若 a∥b,求 x 的值 ;
(2)若 tan x=-2,求 |a+b|的值 .
8.(2019 南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模 ,15)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,M,N 分别为棱 PA,PD 的中点 .已知侧面 PAD⊥底面 ABCD, 底
面 ABCD 是矩形 ,DA=DP.
求证 :(1)MN ∥平面 PBC;
(2)MD⊥平面 PAB.
答案精解精析
1.答案 8
解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算 ,考查了方程的思想方法 .
∵a⊥b,
∴a·b=(-4,3) ·(6,m)=-24+3m=0,
∴m=8.
易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆 .
√52.答案 5
解析 本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系 ;考查了学生对方程的思想方法的综合运
用以及运算求解能力 ;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心素养 .
由二倍角公式可知 4sin αcos α=2cos 2α.
π
∵α∈(0 ,
2) ,∴cos α≠0,
1 5
∴2sin α=cos α,∴tan α= 2,∴sin =
√
α 5 .
3.答案 ③
解析 若 m∥α,m β,则α∥β或α,β相交,①错误 ;若 m∥α,m⊥n,则 n α或n,α平行或相交,②错误 ;若 m
⊥α,m⊥β,则α∥β,③正确 ;若α⊥β,m⊥α,则 m∥β或m β,④错误 ,故真命题的序号为③ .
4.答案 -4
解析 · = (
1
+ ) · (
1 2 2 1
2 - ) = ( + 2 ) · ( - ) = -
2
3 3 + 2
2= -6+2=-4.
5.答案 4√5
解析 依题意 ,得 a<0, 且{9 + 3 + = 0, = - 7 ,16 + 4 + = 0,即{ = 12 ,
2+5 144 2+5 144 2+5 - 24√5a
∴ + = -7 = ≥ =4√5, - 6 - 6
当且仅当 144a 2=5, 即 a=- √5时,取等号 .
12
1 3
6.答案 (2 - 4 ,2k + 4) ,k∈Z
1 5 1
解析 由题图得 2T= 4 -4 =1,∴T=2,∴ω=π.
1 1 5 3
函数图象关于直线 x= ×(
2 4 + ) = 对称 , 4 4
3
结合图象知 ,当 x= 时 ,ymin =-1,
4
3π
∴-1=sin ( 4 + φ) ,
3π π 5π
∴4 +φ=2k π- 2,∴φ=2k π- 4 ,k∈Z,
5π 3π
∴f(x)=sin (π - 4 ) =sin (π + 4 ) .
π 3π 3π
∴2kπ+ 2 <πx+ 4 <2k π+ 2 ,k∈Z,
∴2k- 143
4,k∈Z,
1 3
∴函数 f(x)的单调递减区间为 (2 - 4 ,2k + 4) ,k∈Z.
1
7.解析 (1)因为 a∥b,所以 sin xcos x= 2,即 sin 2x=1,
π
因为 x∈(0,π),所以 x= .
4
sin
(2)因为 tan x= cos =-2,
所以 sin x=-2cos x,
1
又因为 a+b= (sin + 2 ,1 + cos ,)
1 2 2 9 3
所以 |a+b|= √(sin + 2) + (1 + cos ) =√4 + sin + 2cos = 2.
8.证明 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为棱 PA,PD 的中点 ,所以 MN ∥AD.
又底面 ABCD 是矩形 ,所以 BC∥AD.
所以 MN ∥BC.
又 BC 平面 PBC,MN 平面 PBC,
所以 MN ∥平面PBC.
(2)因为底面 ABCD 是矩形 ,所以 AB⊥AD.
又侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧面 PAD∩底面 ABCD=AD,AB 底面 ABCD,
所以 AB⊥侧面 PAD.
又 MD 侧面 PAD,所以 AB⊥MD.
因为 DA=DP,M 为 AP 的中点 ,
所以 MD ⊥PA.
又 PA,AB 在平面 PAB 内 ,PA∩AB=A,
所以 MD ⊥平面 PAB.第 7讲 不等式的恒成立与存在性问题
1.(2019 扬州期末 ,11)已知正实数 x,y 满足 x+4y-xy=0, 若 x+y ≥m 恒成立 ,则实数 m 的取值范围
为 .
2.若对任意 x∈(0,+ ∞),y∈ (0,+∞),(m-1)x+my ≥2√2 恒 成立 ,则实数 m 的最小值为 .
3.(2018 江苏海安高级中学高三上学期阶段测试 )已知不等式 (ax+3)(x 2-b)≤0 对任意 x∈(0,+ ∞)恒成
立,其中 a,b 是整数 ,则 a+b 的取值集合为 .
2
4.(2018 徐州铜山高三第三次模拟 )当 a>0 时,若 x∈R,使得 a3x-4≥2 - x成立 ,则实数 a的取值范围
是 .
5.设 0 2+ax+11
6.已知函数 f(x)= +1 (a∈R).若对于任意的 x∈N
*, f(x)≥3 恒成立 ,则 a的取值范围是 .
7.已知函数 f(x)=x 2+2ax-a+2.
(1)若 x∈R, f(x)≥0 恒成立 ,求实数 a的取值范围 ;
(2)若 x∈ [-1,1], f(x) ≥0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 ;
(3)若 x∈ [-1,1], f(x) ≥0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 .
1
8.对于定义在区间 D 上的函数 f(x),若存在正整数 k,使不等式 数.
(1)设函数 f(x)=a|x|, 定义域 D=[-3,-1] ∪[1,3].若 f(x)是 D(3)型函数 ,求实数 a的取值范围 ;
(2)设函数 g(x)=e x -x 2-x,定义域 D=(0,2), 判断 g(x)是不是 D(2)型函数 ,并给出证明 .(参考数据 :7答案精解精析
1.答案 m≤9
解析 m≤x+y 恒成立等价于 m≤(x+y) min ,

由 x+4y-xy=0, 得 y= -4,因为 x,y 是正实数 ,所以 x>4,y>1.
- 4+4 4 4
则 x+y=x+ =x+ =x+ +1=(x-4)+ +5 ≥9,当且仅当 x=6,y=3 时取等号 .
- 4 - 4 - 4 - 4
所以 m≤9.
2.答案 2
解析 ∵(m-1)x+my ≥2√2 ,∴ m(x+y) ≥x+2 √2 .
又∵x∈ (0,+∞),y∈(0,+ ∞),
+2√2
∴m≥ + .
+2√2 + +2
∵ + ≤ + =2,
当且仅当 x=2y(x>0,y>0) 时等号成立 ,
∴m≥2,故 m 的最小值为 2.
3.答案 {-2,8}
解析 当 b≤0 时,由(ax+3)(x 2-b)≤0 得到 ax+3 ≤0 在 x∈(0,+ ∞)上恒成立 ,则 a 不存在 ;
当 b>0 时,由(ax+3)(x 2-b)≤0,可设 f(x)=ax+3,g(x)=x 2-b,又函数 f(x)、g(x)的大致图象如图所示 ,
由题意可知 :
< 0,
{ 3- = ,再由 a,b 是整数得到 √
{ = -1,或{ = - 3,因此 a+b=8 或-2.
= 9 = 1.
故 a+b 的取值集合为 {-2,8}.
1
4.答案 0解析 由 a3x-4
2
≥2 -x ,a>0 可得 log 2a3x-4≥x2-x,即 x2-(3log 2a+1)x+4log 2a≤0 在 R上有解 ,则Δ
1 1
=(3log 2a+1) 2-16log 2a≥0,解得 log 2a≤9或 log 2a≥1,则 09或 a≥2.
5.答案 8
解析 由题意可知 0<1-2m<1, 1 2 1 2 2且 k 的最大值即为 + 的最小值 .因为 + = (
1- 2 1- 2 2 +
2 1- 2 2 1
1- 2 ) [2m+(1-2m)]=2+2 ( 2 + 1- 2 ) +2≥8,当且仅当 2m=1-2m, 即 m= 4时取等号 ,故 kmax =8.
8
6.答案 [ - 3 , + ∞)
2 +ax+11 * 8 8解析 f(x)= +1 ≥3(x∈N ),则 (3-a)x≤x
2+8, 即 3-a≤x+ .x+ ≥2√8=4 √2,当且仅当 x=2 √2时取等
号,因为 x∈N *
8 8 8 8 8 8
,当 x=2 时,x+ =6; 当 x=3 时,x+ =3+ 3 <6,因此 x+ 的最小值为 3+ 3 ,于是 3-a≤3+ 3 ,即
8
a≥- 3.
7.解析 (1)Δ=4a 2-4(-a+2) ≤0,a2+a-2 ≤0,解得 -2≤a≤1,故实数 a的取值范围是 [-2,1].
(2) x∈[-1,1], f(x) ≥0 恒成立 ,则 f(x) min≥0,x∈[-1,1]. 当 a>1 时, f(x)在 x∈ [-1,1] 上单调递增 ,则
f(x)min =f(-1)=3-3a ≥0,a≤1,舍去 ;当 -1≤a≤1 时, f(x) min =f(-a)=-a 2-a+2 ≥0,-2≤a≤1,则-1≤a≤1;当
a<-1 时, f(x)在 x∈ [-1,1] 上单调递减 ,则 f(x) min =f(1)=a+3 ≥0,a≥-3,则-3≤a<-1.
综上可得实数 a的取值范围是 [-3,1].
(3) x∈[-1,1], f(x) ≥0 恒成立 ,则 f(x) max≥0,x∈[-1,1]. 当 a≥0 时 , f(x) max =f(1)=a+3 ≥0,a≥-3,则 a≥0;
当 a<0 时, f(x) max =f(-1)=3-3a ≥0,a≤1,则 a<0.综上可得实数 a的取值范围是 R.
1 1 3
8.解析 (1)因为 f(x)=a|x| 是 D(3)型函数 ,所以31]∪[1,3]上恒成立 .
又|x|的取值范围为 [1,3],
3
< ( | |) min = 1,
所以 {
> ( 1 13| |) max = 3 ,
1
所以 a 的取值范围为 ,1 .
3
(2)g(x) 是 D(2)型函数 .证明如下 :
①先证明 g(x)<2.
2 +x+2
记 h(x)= ,02 1
2 3
-( -x+1 ) ( -2 ) +所以 h'(x)= 4e =- e <0,
所以 h(x)在(0,2)上为减函数 .
h(x)>h(2)= 8
2
所以 2>1,
+x+2
所以 >1, e e
即 ex-x 2-x<2, 所以 g(x)<2 成立 .
g(x)> 1②再证明 2.
2+x+ 1
记 r(x)= 2e ,01
-( 2 - x - )
所以 r'(x)= 2
e
.
1+ √3 1+ √3 1
令 r'(x)=0, 得 x= 2 ∈ (0,2),记 x0= 2 ,则 x0+ 2= 0
2 .
当 00,
当 x0所以 r(x)在 (0,x 0)上为增函数 ,在(x0,2)上为减函数 ,
2 10 + 0 + 2 2
所以 r(x) 2 0max =r(x 0)= = . e 0 e 0
1 2 2
要证 g(x)> 2,只要证 r(x)<1, 只要证 r(x)max <1,
0
即证 2 0e 0 <1,即证 (√2x0) < e ,即证 2ln √2+2ln x 02
为证明 (*)式,我们先证 x>1 , - 1时有 ln x< 2 .
2 1 1 1 2
记 p(x)=ln x- - 1,x>1, p'(x)= - - =- ( - 1)所以 2 <0,所以 p(x)在 (1,+∞)上为减函数 ,所以2 2 2 2 2
2- 1
p(x)2-1 1 2 1
所以 2ln √2<2 ·2 2= 2,2ln x <2
0 - 1
0 ·2 =x 0- , √ √ 0 0
1 1 1+ √3 1
故要证明 (*)式 ,只需证明 +x 02 - 0 2. √ 0
1
由①②得 21.(2017日日口)ABC日,A,B,C日日日口口口ab,c,口 bcos a+ acos B=2 CCOS C
(1)日C口口口;
(2)b=2a,口口ABC口日口2√3,口C
2.口口,口口口囗ABC-A1B1C1,AB=AC,D口BC口口口
(1)口口ABC囗口口BCC1B1,口:AD口DC1;
(2)日日:AB日日日ADC1
3.(2018)日,日日日l1日1,o日口
日,口口囗口口囗囗口-囗口囗3km口口囗.囗口囗囗口口囗口囗囗口囗囗口AB,口l1l2口囗
日口A口B,AB,千日口112
(1)OA=akm,OB=bkm,日a,b日日日日日AB日日,口a,b百,口口a,b口
(2)AOT=a,a日日百AB日日,日日AB,古AB百百口
4.口口口口口h(x)=ax2+bx+c(c<3),口口口y=h(x)口囗口囗口,口f(x)=6|nx+h(x)
(1)y=f(x)日(2,f(2)日日口口口;
(2)f(×)日(1, +2)日口口,口ma口口
(3)日y=×,日(0.6)日日日口y=f(X)日百,c口口日口
1.日(1)口口
口 bcos a+ acos b=2cc0sC口
sin sin sin
sin bcos asin acos b=-2sin ccos c
日日sin(B+A)=2 sin Coso
口ABC口口口口囗囗口
日口B+A=T-C,
日口sinC=-2 sin ccos c.
口口C口(0m),a口sinC>0.口囗cosC=1g0C=T
(2)日口囗ABC口口口口2√3
口囗 absin o=2√3,
口日ab=3
sm2(1)日C=3r,
口口 sin csv3
日囗ab=8.
口b=2a,口口a=2,b=4,
口口c2=a2+b22 abcs c=22+422×2×4x(-2)=28
口口C=2√7.
2.口(1)口AB=AC,D口BC口日,AD口BC
日日日口ABC口口口BCC1B1,
日ABCn口BCC1B1=BC,
AD 口口ABC
日口AD口口口BCC1B1
日口DC1 日BCC1B1,口ADDC1
(2),日A1C,日AC1日日O,
日OD.口口OA1C口口口
日D百BC,口OD日A1B
OD 日ADC1,A1B ADC1,
日囗A1B囗日日ADC1
3.日(1)日口AOB口,OA=akm,OB=bkm,口AOB=
T
口口囗口口口,AB2=OA2+0B2-2A。Bcos口AOB=a2+b2-2 abcs==a2+b2-ab,口
AB=√ + 2-ab.
√3
日A(a,0),B(2b,2b,日日日AB日日日日y=x(xa),
口√3bx+(2a-b)y-y3ab=0,
3
3 +(2ab)2
口囗口口口口口a2+b21a2b2+abab(3,6)
(2)日AB日日O日,日OT日AB.
日 RtOTA,AT=3tan,
T
日 RtlOTB日,BT=3tan(-),
T
T
oO AB=AT+TB=tan a+tan (2-a)(0 <
√3-tan
tan-a+1
日日AB=3(tan +
=3√3
1+√3tan
1+√3tan
口u=1+y3tana,u囗(1,4)第 5讲 三个“二次”的问题
1.若定义在 R上的二次函数 f(x)=ax 2-4ax+b(a≠0)在区间 [0,2]上是增函数 ,且 f(m)≥ f(0),则实数 m的取
值范围是 .
2.已知不等式 x2-2x+k 2-3>0对一切实数 x恒成立 ,则实数 k的取值范围是 .
2
3.(2018江苏徐州模拟 )不等式 2 -x -2 <1的解集为 .
4.(2018江苏南通中学模拟 )某小型服装厂生产一种风衣 ,日销货量 x件 (x∈N*)与货价 p元/件之间的关
系为 p=160-2x,生产 x件所需成本为 C=(500+30x)元.要使日获利不少于 1 300元,则该厂日产量的最小
值为 件 .
5.已知函数 f(x)=ln|x|-x -2,则关于 a的不等式 f(2a-1)-f(a)<0 的解集为 .
6.已知关于 x的方程 x2-6x+(a-2)|x-3|-2a+9=0有两个不同的实数根 ,则实数 a的取值范围
是 .
7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二 ,10)已知偶函数 f(x)的定义域为 R,且在 [0,+ ∞上)为增函数 ,则不
等式 f(3x)>f(x 2+2)的解集为 .
8.(2018泰州中学高三检测 )设函数 f(x)=x 2-2ax+15-2a的两个零点分别为 x1,x2,且在区间 (x1,x2)上恰好有
两个正整数 ,则实数 a的取值范围是 .
9.(2018徐州铜山高三第三次模拟 )设函数 f(x)= {
2,x ≥1, 则满足 f(f(a))<(f(a)) 2的 a的取值范围
2 -1, < 1,
为 .
10.(2018江苏南京秦淮中学月考 )已知函数 f(x)=log 2(ax2-4ax+6).
(1)当 a=1时,求不等式 f(x)≥log23的解集 ;
(2)若 f(x)的定义域为 R,求 a的取值范围 .
11.已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a>0,c>0)的图象与 x轴有两个不同的公共点 ,且 f(c)=0,当 0有 f(x)>0.
1
(1)当 a=3,c=2时,求不等式 f(x)<0 的解集 ;
(2) 1若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 8,且 ac=2,求 a,c的值 ;
(3)若 f(0)=1,且 f(x)≤m2-2m+1对所有 x∈ [0,c] 恒成立 ,求正实数 m的最小值 .
答案精解精析
1.答案 [0,4]
解析 由题意知函数图象的对称轴为直线 x=2,又 f(x)在 [0,2]上为增函数 ,所以 a<0,借助函数图象可得
0≤m≤4.
2.答案 (-∞,-2)∪(2,+ ∞)
解析 由已知得函数 y=x2-2x+k2-3的图象位于 x轴上方 ,则 Δ=4-4(k2-3)<0,解得 k>2或 k<-2.
3.答案 (-1,2)
2
解析 2 - x-2 <1 x2-x-2<0,解得 -1故解集为 (-1,2).
4.答案 20
解析 由题意可得 px-C≥1 300,即(160-2x)x-(500+30x) 2≥1 300,化简得 x -65x+900≤0,解得
20≤x≤45,故该厂日产量的最小值为 20件.
1 1
5.答案 { |3 < a < 1 且 a≠2}
解析 f(x)=ln|x|-x -2是定义在 {x|x≠0}上的偶函数 ,且当 x>0 时, f(x)=ln x-x -2单调递增 ,则不等式 f(2a-
1)-f(a)<0 f(2a-1)2 -1 ≠0, 1 1
即{(2 -1)2 < 2 ,解得 36.答案 (0,+ ∞∪){-2}
2
解析 当 x≥3时,原方程可变形为 x -6x+(a-2)(x-3)-2a+9=0, 2整理得 x +(a-8)x-5a+15=0,即 (x-5)(x+a-
3)=0,所以 x1=5,x2=3-a;
当 x<3时 ,原方程可变形为 x2-6x+(a-2)·(3-x)-2a+9=0,整理得 x2-(a+4)x+a+3=0,即(x-1)(x-a-3)=0,所以
x3=1,x4=3+a.因为 x1=5和 x3=1是原方程的根 ,所以原方程有两个不同的实数根 ,必须满足 {3- < 3,3 + ≥3或
{3- = 5,3 + = 1,解得 a>0或 a=-2.
7.答案 (-2,-1)∪(1,2)
解析 f(x)为 R上的偶函数 ,且在 [0,+ ∞上)为增函数 ,
∴f(3x)>f(x 2+2)等价于 f(|3x|)>f(|x 2+2|),
∴|3x|>x2+2,∴x2-3|x|+2<0,
∴(|x|-1)(|x|-2)<0,
∴1<|x|<2,∴1∴所求解集为 (-2,-1)∪(1,2).
31 19
8.答案 ( 10 , 6 ]
解析 由 f(x)有两个零点得 Δ =-(2a)2-4(15-2a)>0,解得 a<-5或 a>3.当 a<-5时 , f(x)>0,x∈(0,+ ∞恒)成立 ,
不适合题意 ;当 a>3时 , f(3)=24-8a<0,a>3,所以区间 (x1,x2)上的两个正整数是 3和 4,则
(4)= 31-10 < 0,
{ (2)= 19-6 0,
31 19
≥ 解得 10 (5)= 40-12 ≥0,
9.答案 a<1
≥1, < 1, ≥1, < 1,
解析 令 f(a)=t,不等式 f(t)a<1.
10.解析 (1)a=1时,log2(x2-4x+6)≥log23,∴x2-4x+6≥3,
∴x2-4x+3≥0,∴x≤1或 x≥3,
∴不等式 f(x)≥log23的解集为 (-∞ ,1∪] [3,+ ∞ ).
(2)f(x)的定义域为 R,即 ax2-4ax+6>0恒成立 .
①当 a≠0 3时 ,得 a>0且Δ=16a2-24a<0,∴02
②当 a=0时, f(x)=log 26,显然 f(x)的定义域为 R成立 .
3
综上可得 a的取值范围为 [0,
2 ) .
11. (1) a=1解析 当 3,c=2时, f(x)=
1x23 +bx+2.
又 f(2)=0,所以 f(x)=0 的一个根为 x=2,设另一个根为 x=x1,则 2x1=6,即 x1=3.
所以 f(x)<0 的解集为 (2,3).
(2)因为函数 f(x)的图象与 x轴有两个交点 ,即方程 f(x)=0 有两个不相等的实根 ,又 f(c)=0,所以设另一个
1 1
根为 x=x 2,则有 cx2= 2 ,于是 x = ,则函数 f(x)的图象与坐标轴的三个交点为 (c,0),( ,0) ,(0,c).
因为当 00, 1所以 x2= >c,
1 1
则以这三个交点为顶点的三角形的面积为 2 ( -c) c=8,
1 1
又 ac= ,所以 a= ,c=4.2 8
(3)由(2)知 f(x) 1 1的两个零点为 ,c,且 >c.

又 a>0,所以 f(x)在 [0,c]上是单调递减的 ,
所以当 x∈ [0,c]时, f(x)在 x=0处取到最大值 ,为 f(0)=1.
要使 f(x)≤m2-2m+1对所有 x∈[0,c]恒成立 ,
需 m2-2m+1≥1,即 m2-2m≥0,解得 m≥2或 m≤0.
又 m>0,所以 m≥2,则 m的最小值为 2.1.(2018日日日日)日口日a=(1,2),b=(2,1).日日口a-b日日日ka+b百,口口ka口
2口口,口口口口 ABCDEF口, R费 p(探…口R),A+口口口
3、(2018日日日日日日日日日)日日日a=(1,yV3),b=(√3,1),ab口口口
4.(2018)ABC日,AH口口日BC日,G日日日日日,日AB=2,AC=4,口
BAH=30,(钾神P
52018日日日日口口口)日,日AC=BC=4,口ACB=90°,M口BC口日百,D日AC口口口口
60口口ABCD, , 口同a=2b=3a口b口口口口,口口BD口口口
7、(20190四四,14),ABC日,932D口BE口囗口
PAP=1BC=4,费列2,口到 口口
8.(2019日日,12)日日,ABCD日日AB=4AD=2,日自C百百,CB百日百CD
口口口E,口P囗囗口EB(囗口BE)口,费 口口口口口
9.、(2019日日口口口口日口口口口口口,16)口口口口a=(2cosa,2Sina),b=(cosa-sina,cosa+sin
(1)日日口a日b日口口;
(2)(b-a)a,百x口
1.口口-1
日日a-b=(3,1)日ka+b=(k-2,2k+1)日口,口3(2k+1)-(k2)=0,日口k=-1
2.口囗
口口口口,口口CE囗AD口G口,口92237)p=
日日日AB日X,AE日日y日百百日日日,AB=1,口
A(0,0),B(1,0),E(0,√3),C(,),D(1,√3),口 R界 p费
口(1,3)=入
+p(O,V3),
口口{
√3
口入+p=3
3.口囗
6
√3
口日日日ab=23,0sab>m72.ab>0,,口ab>
4.口6
口日口AH日口口BC口口口,AB=2,AC=4,口BAH=30°,AH=√3BH=1HC=√13口H口
口囗囗口,BC日日口口口X口,AH口囗口口口y囗囗囗口口口口口口口,A(0,V3),B(
10,H(0.O),c(√130)G(3,3),(神只√13+1,√3)(3
13-123.13-1
2=6
5.口8-4√5
口A(-20),C(2,0),B(2,-4,M(2,2).口D(2cosθ,2sin), w24,-2)(-2cosθ+2,2sinθ)=4sin
0-8cos0+8=4y5sn(0-q)+8,口 w 口口口84√5填空题专练 (五)
1.(2019 江苏 ,2,5 分)已知复数 (a+2i)(1+i) 的实部为 0,其中 i 为虚数单位 ,则实数 a的值是 .
2.(2018 江苏泰州中学高三月考 )已知全集 U=R,集合 A={x|x ≥2},B={x|0 ≤x<5}, 则 ( UA)∩
B= .
3.(2019 如皋期末 )执行如图所示的伪代码 ,输出的结果是 .
S←1
I←3
While S ≤200
S←S×I
I←I+2
End While
Print I
4.(2019 扬州中学 3 月检测 )已知一组数据 x1,x2, ,xn的方差为 3,若数据 ax1+b,ax 2+b, ,axn+b(a,b
∈R)的方差为 12,则 a 的值为 .
5.(2019 锡山高级中学实验学校检测 )某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 45 s,黄灯时间为 3 s,绿
灯时间为 60 s,从西向东行驶的一辆公交车通过该路口 ,遇到红灯的概率为 .
2 2
6.(2019 南通基地学校 3 月联考 )已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为
3a,则该双曲线的渐近线方程为 .
≤4,
7.(2018 扬州期末 )若实数 x,y 满足 { ≤3, 则 x2+y 2的取值范围是 .
3 + 4 ≥12,
π π
8.将函数 f(x)=2sin ( - 3) (ω>0)的图象向左平移 3 个单位长度 ,得到函数 y=g(x) 的图象 .若 y=g(x)
π
在[0 , 4]上为增函数 ,则ω的最大值为 .
9.(2019 苏锡常镇四市教学情况调查二 )已知等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn ,若 a6=2a 2,则
12
= .8
10.在正三棱锥 P-ABC 中,M,N 分别是 PB,PC的中点 ,若截面 AMN ⊥平面 PBC,则此棱锥中侧面积与
底面积的比为 .
11.(2018 江苏南通海安高级中学高三阶段检测 )设 m>0,n>0,2m+n=1, 则 4m 2+n 2+√ 的 最大值
与最小值之和为 .
12.已知点 A(0,2)为圆 M:x 2+y 2-2ax-2ay=0(a>0) 外一点 ,圆 M 上存在点 T使得∠MAT=45 °,则实数
a的取值范围是 .
13.在等腰三角形 ABC中 ,已知 AC=BC= √5,点 D,E,F分别在 AB,BC,CA 上,且 AD=DB=EF=1. 若
· 2 5≤ 16 ,则 · 的 取 值范围是 .
14.(2019 徐州期中 )已知函数 f(x)=x|x 2-a|-a,若 f(x)有三个零点 ,则实数 a 的取值范围是 .
答案精解精析
1.答案 2
解析 本题考查了复数的概念及运算 ,考查了学生的运算求解能力 ,考查的核心素养是数学运算 .
∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i 的实部为 0,
∴a-2=0, 解得 a=2.
2.答案 {x|0≤x<2}
解析 UA={x|x<2},
则( UA)∩B={x|0 ≤x<2}.
3.答案 11
解析 第一次循环 ,S=3,I=5; 第二次循环 ,S=15,I=7; 第三次循环 ,S=105,I=9; 第四次循环 ,S=945,I=11.
结束循环 ,输出 I=11.
4.答案 ±2
解析 ∵数据 x1,x2, ,xn的方差为 3,
∴数据ax1+b,ax 2+b, ,axn+b(a,b ∈R)的方差为 a2·3=12,
∴a2=4,∴a=±2.
5
5.答案 12
45 5
解析 从西向东行驶的一辆公交车通过该路口 ,遇到红灯的概率 P= 45+3+60 = 12 .
6.答案 y=±3x

解析 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 b=3a, 所以该双曲线的渐近线的斜率为± =±3,即
y=±3x.
144
7.答案 [ 25 ,25]
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示 :
x2+y 2
12
表示区域中的点与原点距离的平方 ,其中原点到直线 3x+4y-12=0 |-12 |的距离为 2 2= ,原点到√3 +4 5
A(4,3) 5, x2+y 2 [ 144的距离为 所以 的取值范围是 25 ,25] .
8.答案 2
π π π π π
解析 因为 g(x)=2sin [ ( + 3 ) - 3 ]=2sin ωx(ω>0)在[0 , 4]上为增函数 ,所以 4ω≤2 ω≤2,故ω的
最大值为 2.
7
9.答案 3
解析 设等比数列 {an}的公比为 q,则由 a6=2a 2,得 q 4=2,
1 (1- 12 )
12= 1- = 1-
12 1- 23 7
所以 88 1 (1 - ) 1- 8 = 1- 22 = 3.
1 -
10.答案 √6∶1
解析 取 BC的中点 D,连接 AD,PD,记 PD 与 MN 的交点为 E,连接 AE,如图所示 .因为 AM=AN,E 为
MN 的中点 ,所以 AE⊥MN, 又截面 AMN ⊥平面 PBC,所以 AE⊥平面 PBC,则 AE⊥PD,又 E点是 PD
3 2
的中点 ,所以 PA=AD. 设正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a, √ √则侧棱长为 a,斜高为 a,则此棱锥中侧面
2 2
3 1a √2× × a
积与底面积的比为 2 2√3 =√6∶1. 2
4
25+4 2
11. √答案 16
1 √2
解析 由 m>0,n>0,2m+n=1 得 1≥2√2 , 02-
1 2 17 1 17
4mn+ = -4mn+ + 1=-4 ( - ) + , = , ; = √
2
√ √ √ 8 16 当√ 8时 取得最大值 16 当√ 4 时,取得最小值
1+ √2, 17 1 √2 25+4 √2所以最大值与最小值之和为 + + = .
2 4 16 2 4 16
12.答案 √3-1≤a<1
解析 由点 A(0,2)在圆外 ,得 4-4a>0, 解得 a<1, 则 02a 2
A 的圆的切线与 AM 的夹角α≥45°,所以 sin α=√ √ ≥2 ,则 AM ≤2a,所以 AM
2=a 2+(a-2) 2≤4a2,整理
得 a2+2a-2 ≥0,解得 a≥√3-1(舍负 ).综上 ,实数 a 的取值范围是 √3-1≤a<1.
4
13.答案 [ 3 ,2]
解析 由题意可得 D 为 AB 的中点 ,以点 D 为坐标原点 ,AB 所在直线为 x 轴,CD所在直线为 y 轴建立
平面直角坐标系 ,则 A(-1,0),B(1,0),C(0,2),
设 E(x1,2-2x 1),x 1∈[0,1],
F(x2,2+2x 2),x2∈[-1,0].
又 EF=1,
所以 (x1-x 2)2+4(x 1+x 2)2=1,
即 5(x1-x 2)2+16x 1x2=1,
2
x 1 5( 1 - 2 )则 1x2= 16 - 16 .①
= x x +4(1-x )(1+x )=4(x -x )-3x x +4 25· 1 2 1 2 2 1 1 2 ≤16 ,②
将①代入②化简得 15(x 2-x 1)2+64(x 2-x 1 )+36 ≤0,
18 2
解得 - 5 ≤x2-x 1≤- 3 .又由 x1∈ [0,1],x 2∈[-1,0],
且(x1-x 2)2+4(x 1+x 2)2=1 可得 -1≤x2-x 1≤0,
2
所以 -1≤x2-x 1≤- 3.
则 · = - 2 (x 2-x 1)∈ [
4 ,2] .
3
27
14.答案 a> 4
解析 ①a=0 时, f(x)=x|x 2|=x 3,只有一个零点 ,不符合题意 .
②a<0 时, f(x)=x(x 2-a)-a=x 3-ax-a, f '(x)=3x 2-a, f '(x)>0, f(x) 在 R上单调递增 ,
所以 f(x)=x 3-ax-a 不可能有 3 个零点 ,不符合题意 .
③a>0 时,令 f(x)=x|x 2-a|-a=0,
则|x2

-a|= (x≠0),

则当 x>√ 或 x<-

√ 时,x2-a= ,
作出 y=x 2-a,y= 的图象 ,如图 ,
两函数图象有一个交点 ,
方程 x2

-a= 有唯一实根 ;
当-√
令φ'(x)=0, 得 x= ±√3 ,

易知φ(x)在( -√ ,-√3) ,(√ ,√ )3
上递增 ,
( - , 在 √3 √3 )上递减 ,

又φ(-√ )>0, 则φ(√3 )= 3√3 -a√3+a<0,
27
解得 a> 4 .第 5练
1.【选做题】 A.选修 4—2:矩阵与变换
-2 1
(2019 苏中、苏北七大市三模 ,21A)已知 a,b,c,d ∈R,矩阵 A= [ ]的逆矩阵 A -1 = [ ] .若曲线 C
0 1
在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 y=2x+1, 求曲线 C 的方程 .
B.选修 4—4:坐标系与参数方程
= ,
(2019 南京、盐城二模 ,21B)在平面直角坐标系 xOy 中 ,直线 l的参数方程为 { = √3t + 2(t 为参数 ),
= cos ,
曲线 C的参数方程为 { (θ为参数),点 P是曲线 C 上的任意一点 .求点 P到直线 l 的距离的最
= √3sin
大值 .
C.选修 4—5:不等式选讲
(2019 苏中、苏北七市三模 ,21C)已知 a∈R,若关于 x 的方程 x2+4x+|a-1|+|a|=0 有实根 ,求 a 的取
值范围 .
2.(2019 江苏七市第二次调研 ,22)如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是矩形 ,PA⊥平面
ABCD,AB=1,AP=AD=2.
(1)求直线 PB与平面 PCD 所成角的正弦值 ;
(2)若点 M,N 分别在 AB,PC 上 ,且 MN ⊥平面 PCD,试确定点 M,N 的位置 .
3.(2019 南通、如皋二模 ,23)已知 An={x>0|x=k 1·2+k 2·22+ +k n·2n},其中 n∈N *,n≥2,k i∈{-
1,1}(i=1,2, ,n),记集合 An的所有元素之和为 Sn .
(1)求 S2,S3的值 ;
(2)求 Sn.
答案精解精析
1 0 -2 1 1 0
1.A.解析 因为 AA -1= [ ] ,所以结合题意得 [ ] [ ]= [ - 2 ac- 2] = [ ] ,
0 1 0 b 1 b 0 1
所以 a=1,b=1,c=2,d=0,
1 -2
即矩阵 A= [ ] .
0 1
设 P(x,y)为曲线 C上的任意一点 ,在矩阵 A 对应的变换作用下变为点 P'(x',y'),
[ '
1 -2
则 ']= [ ] [ ] , {
' = -2 ,
即
0 1 ' = .
由已知条件可知 ,P'(x',y') 满足 y'=2x'+1, 整理得 2x-5y+1=0,
所以曲线 C的方程为 2x-5y+1=0.
= ,
B.解析 将直线 l 的参数方程 { = 3t + 2(t 为参数 )化为普通方程为 √3x-y+2=0. √
设 P(cos θ,√3sin θ),
π
|√6cos( + )+2|
P l d= |√3cos -√3sin +2 |
4
则点 到直线 的距离 = ,
√( 3)2
2
√ +1
π π
取θ=- 4 ,则 cos ( + 4 ) =1,此时 d 取最大值 ,
P l √6+2所以点 到直线 的距离的最大值为 2 .
C.解析 因为关于 x 的方程 x2+4x+|a-1|+|a|=0 有实根 ,
所以Δ=16-4(|a-1|+|a|) ≥0,即|a-1|+|a| ≤4.
当 a 5≥1 时,2a-1≤4,解得 1≤a≤ ;
2
当 03
当 a≤0 时,1-2a≤4,解得 - 2≤a≤0.
3 5
综上 ,所求 a的取值范围为 - 2≤a≤2 .
2.解析 (1)由题意知 ,AB,AD,AP 两两垂直 ,
以{ , , } 为正交基底 ,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
从而 = (1,0,-2), = (1,2,-2), = ( 0 ,2,-2),
设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),
· P C = 0,
{ { + 2 -2 = 0,则 即
P D = 0, 2 - 2 = 0,·
不妨取 y=1,
得平面 PCD 的一个法向量为 n=(0,1,1).
·
设直线 PB与平面 PCD 所成角为θ,所以 sin θ=|cos< ,n >|= | |
| | · |
=√105 ,
10
即直线 PB与平面 PCD √所成角的正弦值为 5 .
(2)设 M(a,0,0)(0 ≤a≤1),
则 = ( - a ,0,0),
设 = λ ( 0≤λ≤1),
则 = (λ,2λ,-2λ),
又 = (0,0,2),
所以 = + + = (λ-a,2λ,2-2λ).
由(1)知 ,平面 PCD 的一个法向量为 n=(0,1,1),
因为 MN ⊥平面 PCD,所以 ∥n,
所以 { - = 0, 1 12 = 2- 2 , 解得λ= ,a= . 2 2
所以当 M 为 AB 的中点 ,N 为 PC的中点时 ,MN ⊥平面 PCD.
3.解析 (1)当 n=2 时,A2={x>0|x=k 1·2+k 2·22}={x>0|x=2k 1+4k 2}={2,6},
所以 S2=2+6=8.
当 n=3 时,A3={x>0|x=k 1·2+k 2·22+k 3·23}={x>0|x=2k 1+4k 2+8k 3}={2,6,10,14}.
所以 S3=2+6+10+14=32.
(2)若 kn=-1, 且 k1=k 2= =k n-1 =1,n ≥2,n∈N *,
- 1
x=2+2 2+ +2 n-1
2(1 -2
-2 n= )-2 n=-2<0, 此时 x An.
1- 2
所以 kn必然等于 1,且当 k1=k 2= =k n-1 =-1,n ≥2,n∈N *时,
- 1
x=-2-2 2- -2 n-1 +2 n=- 2(1- 2 ) 1- 2 +2
n=2>0, 此时 x∈An.
所以当 kn =1,k 1,k2, ,kn-1∈{-1,1},n ≥2,n∈N *时,都有 x∈An.
根据乘法原理知 ,使得 k i=1(i=1,2,3, ,n-1,n ≥2,n∈N *)的 x 共有 2n-2 个 ,使得 k i=-1(i=1,2,3, ,n-1,n
≥2,n∈N *)的 x 也共有 2n-2 个,
所以 Sn中的所有 k i·2 i(i=1,2,3, ,n-1,n ≥2,n∈N *)项的和为 0,
因为使得 kn=1 的 x共有 2n-1 个 ,
所以 Sn=2 n-1×2n=2 2n-1 .填空题专练 (一)
1.(2018 南京高三学情调研 )若集合 P={-1,0,1,2},Q={0,2,3}, 则 P∩Q= .
2.(2018 江苏南京高三期中 )若复数 z 满足 z(1-i)=2i, 其中 i 是虚数单位 ,则复数 z= .
3.(2017 无锡普通高中高三期末 )某高中共有学生 2 800 人 ,其中高一年级 960 人,高三年级 900 人,现
采用分层抽样的方法 ,抽取 140 人进行体育达标检测 ,则抽取高二年级学生的人数为 .
4.(2017 江苏泰州姜堰模拟 )甲、乙两名同学下棋 ,若甲获胜的概率为 0.3,甲、乙下成和棋的概率为
0.4,则乙获胜的概率为 .
5.(2018 江苏南京高三上学期期中 )下面是一个算法的伪代码 .如果输出的 y 值是 30,那么输入的 x 值
是 .
Read x
If x≤4 Then
y←15x
Else
y←5x+5
End If
Print y
6.(2019 1江苏高三模拟 )在等差数列 {an}中 ,若 a5= 2,8a6+2a 4=a 2,则 {an}的前 6 项和 S6的值为 ________.
7.(2018 南京第一学期期末调研 )已知角α的终边经过点 P(12,5),则 sin(π+α)+cos(- α) 的值
是 .
8.(2018 江苏泰州姜堰高三上学期期中 )曲线 y=2x-ln x 在点 (1,2)处的切线方程是 .
9.(2018 江苏溧水中学月考 )已知直线 l:y=ax+2 和 A(1,4),B(3,1) 两点 ,当直线 l 与线段 AB 有公共点时 ,
实数 a 的取值范围为 .
10.(2017 徐州王杰中学高三月考 )在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB,平面 SBC,平面 SAC 都是以 S为直
角顶点的等腰直角三角形 ,且 AB=BC=CA=2, 则三棱锥 S-ABC 的表面积是 .
2 2
11.(2018 江苏南京调研 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为
F1,F2,过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A,B两点 ,直线 AF2与椭圆的另一个交点为 C,若 2 =2 2 C ,
则该椭圆的离心率为 .
2 ,x≤0, ( )- a
12.(2018 2 南京高三学情调研 )已知函数 f (x)= {-3| -1| + 3, > 0.若存在唯一的整数 x,使得 >0 成
立,则实数 a的取值范围为 .
13.在△ABC 中 ,D是 BC的中点 ,AD=8,BC=20, 则 · 的 值为 .
14.(2019 江苏高三下学期期初联考 )已知实数 x,y,z 满足 x+y+z=0,xyz=-3, 则|x|+|y|+|z| 的最小值
是 .
答案精解精析
1.答案 {0,2}
解析 本题考查交集 .集合 P∩Q={0,2}.
2.答案 -1+i
2i
解析 z= =i(1+i)=-1+i.
1 -i
3.答案 47
2 800 - 960 -900
解析 抽取高二年级学生的人数为 2 800 ×140=47.
4.答案 0.3
解析 由互斥事件和对立事件的概率公式可得乙获胜的概率为 1-(0.3+0.4)=0.3.
5.答案 2 或 5
15 , ≤4,
解析 由伪代码可得 y= {5 + 5, > 4,当 y=30 时,x=2 或 5.
6. 15答案 2
1
解析 设等差数列 {an}的公差为 d,则 a5=a 1+4d= 2 ,
5 1 5 15 15
8a6+2a 4=a 2 8(a1+5d)+2(a 1+3d)=a 1+d a1+5d=0, 解得 a1= 2,d=- 2,则 S6=6a 1+15d=6 ×2- 2 = 2 .
7
7.答案 13
5 12 5 12 7
解析 sin α= 13 ,cos α= 13 ,则 sin(π+α)+cos(- α)=-sin α+cos α=- 13 + 13 = 13 .
8.答案 x-y+1=0
1
解析 因为 y'=2- ,所以点 (1,2)处的切线斜率是 1,所以切线方程为 y-2=x-1, 即 x-y+1=0.
1
9.答案 [ - 3 ,2]
1
解析 直线 l 过定点 (0,2),由图可知 (图略 ),经过点 B时 ,a取得最小值 - 3,经过点 A 时,a取得最大值 2,故
1
实数 a 的取值范围是 [ - 3 ,2] .
10.答案 3+√3
1 √3
解析 设三棱锥 S-ABC 的侧棱长为 a,则√2a=2,a= √2,则侧面积为 3×2×a
2 =3,底面积为 4 ×2
2=√3,
表面积为 3+√3.
√5
11.答案 5
2
解析 由题可知点 A 的横坐标为 -c,不妨设其纵坐标大于 0,可知 A(- , ) ,F2(c,0),由于 2 = 2 2 C , 可
2
知点 C(2 ,
2 ) ,由点 C在椭圆上得 :
4 2 2 2 2 √5
2 + 4 2 =1 16c +a -c
2=4a 2 e= 5 .
12.答案 [0,2]∪[3,8]
解析 作出函数 f(x)的图象如图 ,当 x>0 时 , f(x)≤f(1)=3, ( )- 因为存在唯一的整数 x,使得 >0 成立 ,所
以 a ( )-
得 >0 成立 ,所以 a>f(x) 只有 1 个整数解 ,又 f(-1)=2, f(-2)=8, 所以 2 ( ) -
a≤8 时 , >0 只有 1 个整数解 .
13.答案 -36
解析 由题意可得 + = 2 , 两 边 平方可得
2 2
| | |
| | 2+ | |2 +2 · = 4| | 2, 所 以 · = 2| | 2- + | 2 .又 cos∠ADB+cos ∠ADC=0, 所以
64+100 - 2 64+100 - 2 2| | + | |
2

2 8 10 + 2 8 10 =0,解得 2 =164, 所以 · = 2 ×64-164=-36. × × × ×
3
14.答案 2√12
解析 由条件知 x,y,z 中恰有一个负数 ,两个正数 ,不妨设 x<0,y>0,z>0,
|x|+|y|+|z|=-x+y+z=-2x,-x=y+z 2 = 2 -3则 ≥ √ √ ,
∴(-x) 3
3 3 3 1 3
≥12,-x≥2√12,-2x≥2√12,当且仅当 x=- √12,y=z= 2 √12时取等号 ,则|x|+|y|+|z| 的最小值是
3
2√12.第 15讲 曲线的切线
1.(2018 江苏盐城高三期中 )已知集合 A={1,3,6},B={1,2}, 则 A∪B= .
2 ,x ≤0,
2.(2019 南京三模 ,7)若函数 f(x)= { ( - 2), > 0,则 f(log 23)= .
√3 π
3.(2019 扬州中学 3 月检测 ,6)已知圆锥的体积为 3 π,母线与底面所成角为 3 ,则该圆锥的表面积
为 .
4.(2019 如东中学、栟茶中学期末 ,5)△ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,则“a>b ”是
“cos 2A必要”中选填 ).
2 2
5.离心率为 2 且与椭圆 25 + 9 =1 有共同焦点的双曲线方程是 .
6.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y 2-8x+15=0, 若直线 y=kx-2 上至少存在一点 ,使得以该
点为圆心 ,1为半径的圆与圆 C有公共点 ,则 k 的最大值是 .
7.(2019 扬州中学检测 ,15)已知命题 p:指数函数 f(x)=(2a-6) x在 R上单调递减 ,命题 q:关于 x 的方程 x2-
3ax+2a 2+1=0 的两个实根均大于 3.若“p 或 q”为真 ,“p 且 q”为假 ,求实数 a的取值范围 .
√5
8.(2018 南京、盐城高三模拟 )在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c= 2 b.
(1)若 C=2B, 求 cos B 的值 ;
π
(2)若 · = · ,求 cos ( + 4 )的值 .
答案精解精析
1.答案 {1,2,3,6}
解析 集合 A={1,3,6},B={1,2}, 则 A∪B={1,2,3,6}.
2. 3答案 4
2 log 2 3 3
解析 f(log 23)=f(log 23-2)= 2 log 2 3- 2= 22 = 4.
3.答案 3π
解析 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,
1 3
则3πr
2h= √3 π,∴r
2h= √3,
π
∵母线与底面所成角为 3 ,∴h= √3r,
∴r=1,h= √3,
∴圆锥的母线长为 2.
∴圆锥的表面积为πrl+ πr2=3 π.
4.答案 充要
解析 △ABC 中,由正弦定理知 a>b sin A>sin B, 则 1-2sin 2A<1-2sin 2B cos 2A“a>b ”是“ cos 2A 2 2
5.答案 4 - 12 =1
= 4,
解析 由题意知 { = 2,解得 a=2,
2 2
则 b2=c 2-a 2=12, 则双曲线的标准方程为 4 - 12 =1.
4
6.答案 3
解析 设直线 y=kx-2 上一点 P(x,kx-2), 圆 P与圆 C:(x-4) 2+y 2=1 有公共点 ,则 PC≤2,即(x-4) 2+(kx-2) 2
≤4 有解 ,即(1+k 2)x 2-(8+4k)x+16 ≤0 有解 ,所以 [-(8+4k)] 2-64(1+k 2)≥0,化简得 3k2-4k 4≤0 0≤k≤3 ,故
4
k 的最大值是 3 .
7.解析 若 p 为真命题 ,则 f(x)=(2a-6) x在 R 上单调递减 ,
7
∴0<2a-6<1, ∴3若 q 为真命题 ,令 f(x)=x 2-3ax+2a 2+1,则应满足
= (- 3 )2 -4(2 2 + 1) ≥0, ≥2 或 ≤ - 2,
{ - - 3
5
2 > 3, > 2, ∴a> 2.
5
(3) = 9- 9 + 2 2 + 1 > 0 { < 2 或 > ,2
又已知“ p 或 q”为真 ,“p 且 q”为假 ,则有 p 真 q 假,或者 p 假 q 真 .
7
3 < < ,
①若 p 真 q 假 ,则{ 25 无解 .
≤2 ,
7
≤3 或 ≥ ,
②若 p 假 q 真 ,则{ 25
> 2 ,
5 7
∴25 7
综合①②知 ,实数 a的取值范围为 ( ,3]∪[ , + ∞) .
2 2
8. (1) c= √5b, , sin C= √5解析 因为 2 则由正弦定理 得 2 sin B.
√5
又 C=2B,所以 sin 2B= 2 sin B,即 4sin B·cos B= √5sin B.
又 B是△ABC 的内角 ,
5
所以 sin B>0, 故 cos B= √4 .
(2)因为 · = · ,所 以 cbcos A=bacos C, 则由余弦定理 ,得 b 2+c 2-a 2=b 2+a 2-c 2,得 a=c.
2 2
2 + 2 - 2
2 + 2 -( c) 3
从而 cos B= √52 = 2 2 = 5,
4
又 0π π π
从而 cos ( + 3 √2 4 √2 √2
4) =cos Bcos -sin Bsin = × - × =- . 4 4 5 2 5 2 10第 6讲 基本不等式
-1
1.不等式 ≥3 的解集为 .

2.(2019 无锡期中 ,5)已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=4,|b|=3, 则|2a+b| 的值为 .
+ 1 ≥0,
3.(2019 如皋期末 ,7)设实数 x,y 满足约束条件 { - + 1 ≥0, 则 z=2x-y 的最大值是 .
+ + 1 ≤0,
π π
4.(2019 连云港期中 ,10)若函数 f(x)=3sin ( + 2 )与 g(x)=8tan x 的图象在区间 (0 , 2) 上交点的横坐标
为 x0,则 cos 2x 0的值为 .
2 + - 4 ≥0,
5.设变量 x,y 满足 { - - 2 ≤0, 则 z=3x+y 的最小值为 .
-2 ≤0,
< 0,
6.已知 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,当 x>0 时, f(x)=x 2-4x,则不等式组 { ( ) > 的解集用区间表示
为 .
7.(2019 苏锡常镇四市教学情况调查一 ,11)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知
π
5a=8b,A=2B, 则 sin ( - 4 ) = .
π π
8.将函数 y=2cos (2 + 3 )的图象向右平移φ (0 < < 2)个单位长度后 ,所得函数为奇函数 ,则φ
= .
9.(2019 泰州期末 ,12)已知点 P为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点 ,且满足 + + 2 = 0 , λ +
μ + = 0,则λμ= .
10.已知向量 a=(cos α,sin 2α),b=(sin α,t),α∈(0,π).
1
(1)若 a-b= ( 5 ,0) ,求 t 的值 ;
π
(2)若 t=1,a ·b=1, 求 tan (2 + 4) 的值 .
答案精解精析
1. 1答案 { -|
2 ≤x < 0}
-1 2 +1 1
解析 ≥3 ≤0 - 2≤x<0.
2.答案 7
解析 因为 a·b=|a| ·|b|×cos 120 °=-6,
所以 |2a+b|= √(2 + ) 2=√4 2 + 2 + 4 · = √ 64+ 9 + 4×(- 6)=7.
3.答案 1
+ 1 ≥0,
解析 根据实数 x,y 满足约束条件 { - + 1 ≥0, 画出可行域 ,如图 :
+ + 1 ≤0
= -1,
由{ = - - 1解得 A(0,-1). 可知当目标函数所对应的直线经过点 A 时 z取最大值 ,即 zmax =2×0-(-1)=1.
7
4.答案 9
π
解析 f(x)=3sin ( + ) =3cos x, { = 3cos ,2 联立得 = 8tan ,
即 3sin 2x+8sin x-3=0,
1
解得 sin x= 3(sin x=-3 舍去 ),
即 sin x 10= ,所以 cos 2x 0=1-2sin 23 x
7
0= 9.
5.答案 5
2 + -4 ≥0,
解析 画出 { - -2 ≤0, 表示的可行域如图 ,
-2 ≤0
{2 + -4 = 0, { = 1,由 - 2 = 0, 得 = 2.平移直线 z=3x+y, 由图知 ,当直线 z=3x+y 经过点 (1,2)时 ,z有最小值 3×
1+2=5.
6.答案 (-5,0)
解析 若 x<0, 则-x>0,
∵当x>0 时, f(x)=x 2-4x,
∴当-x>0 时, f(-x)=x 2+4x.
又∵f(x)是定义在 R上的奇函数 ,
∴f(-x)=x 2+4x=-f(x),
即 f(x)=-x 2-4x,x<0.
当 x<0 时,由 f(x)=-x 2-4x>x, 得 x2+5x<0, 解得 -5即原不等式组的解集为 (-5,0).
17 2
7. √答案 50
3 4 24 7 π 2
解析 5a=8b,A=2B 5sin 2B=8sin B sin B= 5 ,cos B= 5,∴sin A= 25 ,cos A= 25 ,∴sin ( - ) =
√
4 2 (sin A-
17√2
cos A)= 50 .
5π
8.答案 12
π π
解析 将函数 y=2cos (2 + 3 )的图象向右平移φ (0 < < 2 )个单位长度后 ,得到函数 y=2cos (2 +
π π π π 1 π 5π
3 -2φ)为奇函数 ,则3 -2φ= 2 +k π,k∈Z,即φ=- 12 -2 kπ,k∈Z,又 0<φ< 2 ,则 k=-1, φ= 12 .
3
9.答案 - 4
解析 因为 + + 2 = 0 ,
所以 + + 2( + ) = 0 ,
即 + + 2( + ) = 0 ,
即 + + 2( + - ) =0,
所以 3 - + 2 = 0,
3
即
1
- + = 0, 2 2
= 3, =- 1 , =- 3所以λ 2 μ 2 则λμ 4 .
1 1
10.解析 (1)因为向量 a=(cos α,sin 2α),b=(sin α,t),a-b= ( 5 ,0) ,所以 cos α-sin α= 5 ,t=sin
2α.
1 24 π
由 cos α-sin α= 5 ,得 2sin αcos α= 25且α∈(0 , 2 ) ,
所以 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos = 49α 25 .
π 7
因为α∈(0 , 2 ) ,所以 sin α+cos α= 5,
3 9
所以 sin α= 5 ,则 t=sin
2α= 25 .
(2)因为 t=1,a ·b=1,
所以 sin αcos α+sin 2α=1,
即 sin αcos α=cos 2α.
当 cos α=0 时,因为α∈(0,π),
π π
所以α= 2 ,则 tan (2 + 4 ) =1,
π
当 cos α≠0 时,tan α=1,因为α∈(0,π),所以α= 4 ,
π
则 tan (2 + 4 ) =-1.
π
综上 ,tan (2 + 4 )的值为 1 或-1.1口口囗囗口囗囗口
1.(2019日日日日日日日日,22)日日xoy日,日日日Cy=4X日日口口F,口
F口口口|口口口口C口A.B口口
(1)AF口口M口口口
(2)日日AOB日日日BOF日日3日,口日口
2、(2019日日日,22)日xOy日,日日日y=2pX(p>0)M(20),日百M口
口囗囗口A.B口口,口丨口囗囗口囗,AB=4
(1)口p口
日,AB日日日百C,百H日百C日百百y日,日12日日M百口
日口1,,2P口:P口口口口
1.自百百日百日口y2=4X,
口口F(1,0)
(1)口M(x,y),A(xO,yo)
日日MAF口口口,
+1 3
日X0=2×-1,y0=2y,
日日日y=2X-1
日日M日日日口y=2X-1
(2)A(X1y1),B(X2y2),AOF日BOF百日Sn,s2.日日AOB口口口日囗BOF日日口3日,
日口S1+S2=3s2,口S1=2s
1
y1>0,y2<0,S=,OF:y1,s2=OF.V2|=。OF.y2,y1=2y2
口ABX=ty+1(t>0),口
日y=4X日日,日xy-4ty-4=0,
日y1+y2=4,口
yy2=4,口
,
口囗口ly=2√2(X-1)
日日,y1<0,y2>0日,
口日口l:y=2√2(X-1).
日日,日日1日日口y=±V2(X-1)
2.日(1)日1日口M(20),口日|口口日X日日,AB=4,
日日日口囗日日(2,2),
日日日日日,4=2p2,日p=1
(2):日日日囗y=k(x-2)(k≠0),A(X1y1),B(X2,y2)
口口{
( 2)
口口x,ky2-2y-4k=0
yity2=-yyiya
+ 21
日C日AB日日,口yc
1
口囗口口日日y=
百12M日百1,日12日日日日y=3×2)
日日{
日日{
1
1
-x-2),

日日口P口口X=1口必备二 审题方法秘籍
审题是解题的基础 ,深入细致地审题是成功解题的前提 ,审题不仅存在于解题的开端 ,还贯穿于解题
的全过程和解后的反思回顾 .正确的审题要从多角度观察 ,由表及里 ,由条件到结论 ,由数式到图形 ,洞察
问题的实质 ,选择正确的解题方向 .事实上 ,很多考生往往对审题掉以轻心 ,或不知从何处入手 ,致使解题
错误而丢分 ,下面结合实例 ,教你正确的审题方法 ,帮你铺设一条 “审题路线”,攻克高考解答题 .
一审 审条件挖隐含
有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中 .审题时 ,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息 ,
解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误 .
典型例题
1- 4
例 1 (2018江苏扬州高三第一次模拟 )已知函数 f(x)=sin x-x+ 2 ,则关于 x的不等式 f(1-
x2)+f(5x-7)<0 的解集为 .
▲审题指导
sin(-x)=-sin x,
2-x= 1 f '(x)<0 f(1-x
2)<
2
-f(5x-7)=f(7-5x) 1-x2>7-5x
答案 (2,3)
ln2
解析 ∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数 ,∵f '(x)=cos x-1- x2 -2 ln 2,∴f '(x)<0,∴
函数 f(x)单调递减 ,则不等式 f(1-x2)+f(5x-7)<0 可化为 f(1-x 2)7-5x,解得 2不等式的解集为 (2,3).
跟踪集训
1.(2018苏北四市开学考试 ,14)已知 a,b,c,d R +3ln -3∈ 且满足 2 2 = 2 =1,则 (a-c) +(b-d) 的最小值
为 .
二审 审结论会转换
解决问题的最终目标是求出结果或证明结论 ,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思
考.审视结论 ,就是在结论的引导下 ,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律 .善于从结论中捕
捉解题信息 ,善于对结论进行转化 ,使之逐步靠近条件 ,从而发现和确定解题方向 .
典型例题
1
例 2 已知函数 f(x)=e x,x∈R.证明 :曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1有唯一的公共点 .2
▲审题指导
证明两曲线有
1
唯一公共点 函数 φ (x)=xe- 2x
2-x-1
有唯一一个零点
φ '(x)=ex-x-1 结论
x 1 1证明 曲线 y=e 与曲线 y= x2+x+1公共点的个数等价于函数 φ (x)=ex- x2-x-1零点的个数 .2 2
∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x存) 在零点 x=0.
又 φ '(x)=xe-x-1,令 h(x)= φ '(x)=xe-x-1,
x
则 h'(x)=e -1.
当 x<0时,h'(x)<0,
∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减 ;
当 x>0时,h'(x)>0,
∴φ'(x)在(0,+ ∞上)单调递增 .
∴φ'(x)在 x=0处有唯一的极小值 φ'(0)=0,
即 φ '(x在) R上的最小值为 φ '(0)=0.
∴φ'(x)≥0(当且仅当 x=0时 ,等号成立 ),
∴φ(x)在 R上是单调递增的 ,
∴φ(x)在 R上有唯一的零点 ,
1
故曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1有唯一的公共点 .
2
跟踪集训
2.(2019泰州期末 ,19)设 A,B 为函数 y=f(x)图象上相异两点 ,且点 A,B 的横坐标互为倒数 ,过点 A,B 分别
作函数 y=f(x)图象的切线 ,若这两条切线存在交点 ,则称这个交点为函数 f(x)的“优点”.
(1)若函数 f(x)= { ln ,0< < 1,
2 ,x > 1 不存在“优点” ,求实数 a的值 ;
(2)求函数 f(x)=x 2的“优点”的横坐标的取值范围 ;
(3)求证 :函数 f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限 .
三审 审结构定方案
数学问题中的条件和结论 ,大都是以数式的结构形式呈现的 .在这些问题的数式结构中 ,往往隐含
着某种特殊关系 ,认真审视数式的结构特征 ,对数式结构深入分析 ,加工转化 ,就可以找到解决问题的方
案.
典型例题
例 3 设数列 {an}(n=1,2,3, )的前 n项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列 .
(1)求数列 {an}的通项公式 ;
1 1
(2)记数列 { }的前 n项和为 Tn,求使得 |Tn-1|< 成立的 n的最小值 . 1 000
▲审题指导
(1)
(2)an=2n 1→ = 1→Tn=1- 1 1
2 2
→解不等式 |Tn-1|< n取 10
1 000
解析 (1)由已知 Sn=2an-a1,
得 Sn-1=2an-1-a1(n≥2),
所以 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即 an=2an-1(n≥2).
从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为 a1,a2+1,a3成等差数列 ,
即 a1+a3=2(a2+1),
所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2.
所以数列 {a n}是首项为 2,公比为 2的等比数列 .
故 an=2n.
(2) 1 1由(1)得 =
2
,

1
1 1 1 [1 -(
1 ) ] 1
所以 Tn=2+
2 2
2 2+ +2 = 1 =1-1 - 2 .
2
1 1 1
由|Tn-1|< ,得|1 - ,即 2n>1 000.1 000 2 -1|<1 000
因为 29=512<1 000<1 024=210,所以 n≥10.
1
所以使 |Tn-1|<1 000成立的 n的最小值为 10.
跟踪集训
1
3.(2019 ,19) {a } (na -2)a =(2a -1)a (n 2),b = -n(n N*江苏七大市三模 已知数列 n 满足 n-1 n n n-1 ≥ n ∈ ).
(1)若 a1=3,证明 :{b n}是等比数列 ;
(2)若存在 k∈N* , 1 , 1使得 ,
1
成等差数列 .
+1 +2
①求数列 {an}的通项公式 ;
1
②证明 :ln n+
2an>ln(n+1)-
1
2an+1.
四审 审图形抓特点
在不少数学高考试题中 ,问题的条件经常以图形的形式给出 ,或将条件隐含在图形中 ,因此在审题
时,要善于观察图形 ,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势 .抓住图形的特征 ,运用数
形结合的数学思想是破解考题的关键 .
典型例题

例 4 已知函数 f(x)=Asin( ω( x ∈+φR,) > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示 .
(1)求函数 f(x)的解析式 ;
π π
(2)求函数 g(x)=f ( - 12 ) -f ( + 12 )的单调递增区间 .
▲审题指导 第(1)问,由已知图象求出函数的周期 ,利用周期公式求得 ω的值 ,然后代入图中特殊
点的坐标求 A 和 φ的值 ;第 (2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将 g(x)的解析式化为
y=Asin( ωx+φ的)形式 ,再将 ωx+φ看作一个整体 ,利用 y=sin x的单调区间 ,通过解不等式求得结果 .
11π 5π
解析 (1)由题图知 ,周期 T=2( 12 - 12 )=π,
2π
所以 ω= =2,
5π
因为点 (
12 ,0)在函数图象上 ,
5π 5π
所以 Asin(2 ×12 + φ)=0,即 sin( 6 + φ)=0.
0< π 5π 5π 4π又因为 φ<2 ,所以 6 < 6 +φ<3 ,
5π π
从而 +φ=π即,φ=6 6 .
π
又点 (0,1)在函数图象上 ,所以 Asin6=1,解得 A=2.
π
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin (2 +
6) .
(2)g(x)=2sin[2 ( - π π π π
12 ) + 6] -2sin 2( + 12 ) +6
π
=2sin 2x-2sin(2 + 3 )
1 3
=2sin 2x-2( 2 sin2 +
√
2 cos2 )
=sin 2x-√3cos 2x
π
=2sin(2 - 3) .
π
由 2kπ- ≤2x-
π π
≤2kπ+,k∈Z, π 5π得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
2 3 2 12 12
所以函数 g(x) π 5π的单调递增区间是 [ -π
12 ,k π+ 12 ] ,k∈Z.
跟踪集训
4.已知函数 f(x)=sin( ωx+φ )(的ω图>象0)如图所示 ,则 f(2)= .
五审 审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息 ,往往也暗示着解决问题的方向 .在审题时 ,认真观察
分析图表、数据的特征和规律 ,常常可以找到解决问题的思路和方法 .
典型例题
例 5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表 ,设 aij(i,j∈N*)是这个三角形数表中
从上往下数第 i行 ,从左往右数第 j 个数 ,如 a42=8,若 aij=2 015,则 i+j= .
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24

▲审题指导 i是奇数 2 015位于奇数行
的位置 ,求出 i 判断这一行数的个数 求出 j 求出 i+j
答案 110
解析 由三角形数表可以看出 ,奇数行中的数都是奇数 ,偶数行中的数都是偶数 ,2 015=2 1×008-1,
所以 2 015为第 1 008个奇数 ,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数 ,且前 31个奇数行内奇数的总
31 1+31× 30 32× 31个数为 × 2 ×2=961,前 32个奇数行内奇数的总个数为 32×1+ 2 ×2=1 024,故 2 015在第 32
个奇数行内 ,所以 i=63,因为第 31个奇数行的最后一个奇数是 961 ×2-1=1 921,所以第 63行的第一个数
为 1 923,所以 2 015=1 923+2(j-1),故 j=47,从而 i+j=63+47=110.
跟踪集训

5.已知数列 {an},a 1n=2·( 3) ,把数列 {an}的各项排成三角形状 ,如图所示 ,记 A(m,n)表示第 m行,第 n列的
项,则 A(10,8)= .
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10

6.下表给出一个 “三角形数阵 ” .
1
4
1 1
2 4
3 3 3
4 8 16

已知每一列的数成等差数列 ,从第三行起 ,每一行的数成等比数列 ,每一行的公比都相等 .记第 i行第 j列
的数为 aij (i≥j,i,j∈N*).
(1)求 a83;
(2)试写出 aij 关于 i,j 的表达式 ;
(3)记第 n行的和为 An,求数列 {A n}的前 m项和 Bm的表达式 .
六审 审范围防易错
范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件 .审视范围要适时利
用相关量的约束条件 ,从整体上把握问题 .
典型例题
例 6 已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论 f(x)的单调性 ;
(2)当 f(x)有最大值 ,且最大值大于 2a-2时,求 a的取值范围 .
1
▲审题指导 (1)f(x)=ln x+a(1-x)→ f '(x)=
-a
结论
(2)由(1)中结论→ f(x)的最大值 ln a+a-1<0
g(a)=ln a+a-1
1
解析 (1)f(x)的定义域为 (0,+ ∞f),'(x)= -a.
若 a≤0,则 f '(x)>0,所以 f(x)在(0,+ ∞上)单调递增 .
1 1 1
若 a>0,则当 x∈(0, )时, f '(x)>0;当 x∈ ( , + ∞)时, f '(x)<0,所以 f(x)在(0, )上单调递增 ,在
1
( , + ∞)上单调递减 .
1
(2)由(1)知 ,当 a≤0时, f(x)在(0,+ ∞上)无最大值 ;当 a>0时 ,f(x)在 x= 处取得最大值 ,最大值为 f
( 1 1 ) =ln +a(1 -
1
) =-ln a+a-1.
1
因此 f ( ) >2a-2等价于 ln a+a-1<0.
1
令 g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)= +1>0,
则 g(a)在(0,+ ∞上)单调递增 ,又 g(1)=0,
于是 ,当 01时,g(a)>0.
因此 ,a的取值范围是 (0,1).
跟踪集训
7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查 (二),19)已知函数 f(x)=x 2+(2-a)x-aln x,其中 a∈R.
(1)如果曲线 y=f(x)在 x=1处的切线斜率为 1,求实数 a的值 ;

(2)若函数 f(x)的极小值不超过 2 ,求实数 a的最小值 ;
(3)对任意 x1∈ [1,2],总存在 x2∈[4,8],使得 f(x 1)=f(x 2)成立 ,求实数 a的取值范围 .
七审 审方法寻捷径
方法是解题的手段 ,数学思想方法是解决问题的主线 .选择适当的解题方法往往使问题的解决事半
功倍 .
典型例题
2 2 6
例 7 已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 F(-2,0),
√
离心率为 3 .
(1)求椭圆 C的标准方程 ;
(2)设 O为坐标原点 ,T为直线 x=-3上一点 ,过 F作 TF的垂线交椭圆于 P,Q两点 .当四边形 OPTQ
是平行四边形时 ,求四边形 OPTQ的面积 .
▲审题指导
(1)
(2)四边形 OPTQ
是平行四边形 S OPTQ=2S
1
△OPQ→S△OPQ=2 |OF||y1-y2|→ y1与 y2
的关系→联立直线 PQ的
方程与椭圆的方程
√6
解析 (1)由已知可得 = ,c=2,所以 a=√6. 3
2 2
由 a2

=b2+c2,得 b=√2,所以椭圆 C的标准方程是 6 + 2 =1.
(2)设 T点的坐标为 (-3,m),
-0
则直线 TF的斜率 kTF=-3 -(-2) =-m.
1
当 m≠0时,直线 PQ的斜率 kPQ= ,
则直线 PQ的方程是 x=my-2.
当 m=0时 ,直线 PQ的方程是 x=-2,
也满足方程 x=my-2.
= - 2,
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ的方程与椭圆 C的方程联立 ,得 { 2 2 消去 x,得(m2+3)y2-
6 + 2 = 1,
4my-2=0,
2 2 4 -2∴Δ=16m+8(m +3)>0,y1+y2= 2 ,y1+3 y2= 2+3 ,
则 x1+x2=m(y1+y2)-4= -12 2+3 .
因为四边形 OPTQ是平行四边形 ,
所以 = ,即 (x1,y1)=(-3-x 2,m-y2).
-12
1 + 2 = 2 +3 = -3,所以 { 4 解得 m=±1.
1 + 2 = 2+3 = m,
1
所以 S四边形 OPTQ=2S△OPQ=2×· |OF|·|y12 -y2|
4 2=2√( 2 +3 ) -4
-2
· 2 +3 =2√3.
跟踪集训
2 2 2
8.(2019 √南京、盐城二模 ,18)在平面直角坐标系 xOy中 ,已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且椭 2
圆 C短轴的一个端点到一个焦点的距离等于 √2.
(1)求椭圆 C的方程 ;
(2)设经过点 P(2,0)的直线 l交椭圆 C于 A,B 两点 ,点 Q(m,0).
①若对任意直线 l总存在点 Q,使得 QA=QB,求实数 m的取值范围 ;
②设点 F为椭圆 C的左焦点 ,若点 Q是△FAB 的外心 ,求实数 m的值 .
答案精解精析
一审 审条件挖隐含
跟踪集训
9
1.答案 (2-ln 3) 25
+3ln
解析 由 =1 可知点 (a,b)在曲线 y=x+3ln x 上,
- 3
由 2 =1 可知点 (c,d)在直线 y=2x+3 上 ,
作曲线 y=x+3ln x 与直线 y=2x+3 平行的切线 ,
设切点为 P(x0,x0+3ln x 0),
3 3
y'=1+ ,则 y' | = =1+ =2,所以 x0=3, 0 0
故切点为 P(3,3+3ln 3).
√( - ) 2 + (b-d)2的最小值为 P到直线 y=2x+3 的距离 ,
|6 -3 -3ln3+3 | 3(2 -ln3 )
即 5 =√ √5 ,
2 2 9(2 -ln3 )
2
则(a-c) +(b-d) 的最小值为 .
5
二审 审结论会转换
跟踪集训
1
2.解析 (1)由题意可知 , f '(x)=f ' ( )对任意 x∈(0,1)∪(1,+ ∞)恒成立 ,
不妨取 x∈ (0,1),
1 2 1
则 f '(x)= = =f ' (
)恒成立 ,
1
即 a= 2.
1
经验证 ,a= 2符合题意 .
2 1 1(2)设 A(t,t ),B( , 2) (t≠0 且 t≠±1),
因为 f '(x)=2x,
所以 A,B 两点处的切线方程分别为 y=2tx-t 2,y= 2x- 1 ,
2
2 1
令 2tx-t 2= x- 2,
1 1
解得 x= 2 ( + ) ,x∈(-∞,-1)∪ (1,+ ∞),
所以“优点”的横坐标的取值范围为 (-∞,-1)∪(1,+ ∞).
1
(3)证明 :设 A(t,ln t),B ( ,- ln ,)t∈(0,1),
1
因为 f '(x)= ,
1
所以 A,B 两点处的切线方程分别为 y= x+ln t-1,y=tx-ln t-1,
1
令 x +ln t-1=tx-ln t-1,
x= 2ln 解得 1 ,则 x>0,
-
1 2ln 2+1 2
所以 y= · 1 +ln t-1=
-1
- 2 - 1
(ln - 2 +1 ) ,

2
设 h(m)=ln m- -1 2 +1 ,m∈(0,1),
( 2 - 1)2
则 h'(m)= 2 2,则 h'(m)>0, ( +1 )
所以 h(m) 在 (0,1)上单调递增 ,
2
h(m) 2+1
2+1 1 2ln
因为 2 - 1 <0,所以 y= · 1 +ln t-1>0, -
所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数 ,即“优点”在第一象限 .
三审 审结构定方案
跟踪集训
1 2
3.解析 (1)证明 :由(na n-1 -2)a n=(2a n-1)a n-1 ,得 = +2-n, - 1
1 1
得 -n=2 [ - (n- 1)] ,即 b n=2b n-1 , -1
1 2
因为 a1=3, 所以 b 1= -1=- 3≠0, 1

因为 =2(n ≥2),
- 1
2
所以 {b n}是以 b 1=- 3为首项 ,2 为公比的等比数列 .
1
(2)①设 b 1= -1= λ,由(1)知,bn =2b n-1 (n≥2), 1
所以 bn=2b n-1 =2 2b n-2 = =2 n-1 b1,
1
即 -n= λ2·
n-1 ,

1
所以 k-1 =λ2· +k.
1 1 1
因为 , , 成等差数列 , +1 +2
所以 (λ2·k-1 +k)+( λ2·k+1 +k+2)=2( λ2·k+k+1),
所以λ2·k-1 =0, 所以λ=0,
1
所以 =n, 即 an=
1

.
1 1
②证明 :要证 ln n+ 2an>ln(n+1)- 2 an+1 ,
1 +1 1 1 +1
即证2(an+a n+1 )>ln ,即证 + +1>2ln .
+1 1 1 - 1 1
设 t= ,则 + +1=t-1+ =t- ,且 11
从而只需证 ,当 t>1 时,t- >2ln t.
1
设 f(x)=x- -2ln x(11 2 1 2
则 f '(x)=1+ 2 - = ( - 1) ,
则 f '(x)>0,
所以 f(x)在 (1,2]上单调递增 ,
1 1
所以 f(x)>f(1)=0, 即 x- >2ln x, 即 t- >2ln t,
所以原不等式得证 .
四审 审图形抓特点
跟踪集训
√2
4.答案 - 2
3 8 2π 3π 3π
解析 由三角函数的图象可得 4T=3-1=2, 所以最小正周期 T= 3= ,解得ω= 4 .又 f(1)=sin ( 4 +
π 3π π
φ) =1,解得φ=- 4+2k π,k∈Z,所以 f(x)=sin ( 4 x- 4 + 2kπ) ,k∈Z,
3π π 5π √2
则 f(2)=sin ( 2 - 4 ) =sin 4 =- 2 .
五审 审图表找规律
跟踪集训
1 53
5.答案 2×( 3)
解析 由题意知 :第一行共 1 项,第二行共 2 项,第三行共 3 项 , ,可以猜测第 n 行共 n 项 ,因为
9×(1+9 )
A(10,8) 是第十行第八列 ,故前九行的项数总和是 S9= =45, 再加上第十行的 8 项就是
2
1 53 1 53
A(10,8)=a 53= 2 ×( 3) ,故答案为 2×( 3 ) .
1 1
6.解析 (1)由题知 ,{a i1}成等差数列 ,因为 a11= 4 ,a21= 2,
1 1 1 3 3
所以公差 d= 4,a81= 4+(8-1) ×4=2. 又从第三行起 ,各行成等比数列 ,公比都相等 ,a31= 4,a32= 8,所以 ,每行
q= 1
2
的公比 2,
1 1
故 a83 =2×( 2) = 2.
1 1 1 -1 1 -1 1 +1
(2)由(1)知 ai1 = 4 +(i-1) 4 = 4,所以 aij =a i1·( 2 ) = 4·( 2 ) = · ( 2) .
1 1 2 1 - 1
(3)A n =a n1 [1 + 2 + ( 2) + + ( 2) ]
1 -1 1 +1
= [2 - ( ) ]= -n ( ) .
4 2 2 2
1 1 1 2 3
Bm = 2(1+2+ +m)- 2 ( 2 + 4 + 8 +

+ 2 ) .
1 2 3
设 Tm= 2+ 4 + 8+ + 2 ,①
1T = 1+ 2+ 3 + + 则2 m 4 8 16 2 +1 ,②
1 1 1 1 1 1 +2
由① -②,得2Tm= 2+ 4 + 8+ + 2 - 2 +1 =1- 2 - 2 +1 =1- 2 +1 ,
1 (1+ ) +2 (1+ ) +2
所以 Bm= 2· 2 - (1 - 2 +1 ) = 4 + 2 +1 -1.
六审 审范围防易错
跟踪集训
7.解析 因为 f(x)=x 2+(2-a)x-aln x,
f '(x)= ( +1)( 2 - )所以 ,x∈ (0,+∞).
(1)因为曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线斜率为 1,
3
所以 f '(1)=2(2-a)=1, 解得 a= 2.
(2)①当 a≤0 时, f '(x)>0 在(0,+∞)上恒成立 ,
所以 f(x)在 (0,+∞)上单调递增 ,
故函数 f(x)不存在极值 .

②当 a>0 时 ,令 f '(x)=0, 得 x= 2.
列表 :
a a a
x (0 , ) ( , + ∞)
2 2 2
f '(x) - 0 +
极小
f(x) ↘ ↗
值
2
则 f(x) min =f ( 2) =a- 4 -aln 2≤2 ,
1
因为 a>0, 所以 2- 4 -ln 2≤0.
1 1
令 g(a)= - -ln = +ln 2- -ln a,
2 4 2 2 4
1 1
则 g'(a)=- 4- ,当 a>0 时,g'(a)<0,
则 g(a)在(0,+∞)上单调递减 ,
又 g(2)=0, 所以需满足 g(a)≤g(2)=0, 则 a≥2,
则实数 a的最小值为 2.
(3)记 f(x)在[1,2] 上的值域为 A,在[4,8] 上的值域为 B.
“对任意 x1∈ [1,2],总存在 x2∈[4,8],使得 f(x 1)=f(x 2)成立”等价于“ A B” .
1 ①当2≤ 或2≥8,即 a≤2 或 a≥16 时 ,由(2)知 f(x)在[1,8] 上为单调函数 ,不合题意 ;

②当 1< 2≤2,即 2 B,不合题意 ;

③当 2< 2≤4,即 4A B { (2) ≥ (4),由 得
(1) ≤ (8),
{8- 2 - ln2≥24-4 -2 ln2,即 3- ≤80-8 -3 ln2,
16
≥
{ 2+ln2
,
解得 77
≤7+3ln2 ,
因为 04< 16 < 16所以 3 2+ln2 <8.
又因为 e>2.7, 计算得 e3>2 4,
7
则e2 >e 3>2 4,
7
即2>ln 2
4=4ln 2, 即 7>8ln 2,
亦即 21>24ln 2,
77
则7+3ln2 -8=
21 - 24ln2
7+3ln2 >0,
77
即7+3ln2 >8.
16
此时2+ln2 ≤a≤8.

④当 4< 2 <8,即 877 77
a≤7+3ln2 < 7 =11<16,
则 8, 16 77综上 2+ln2 ≤a≤7+3ln2 .
七审 审方法寻捷径
跟踪集训
√2
8. (1) { = ,
= 1,
解析 由题意得 2 解得 {
= √2, = √2,
所以 b2=a 2-c 2=1,
2
所以椭圆 C 的方程为 +y 22 =1.
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-2),
代入椭圆 C的方程 ,消去 y,得(1+2k 2)x2-8k 2x+8k 2-2=0,
由Δ=64k 4-4(1+2k 2)(8k 2-2)>0 得-√2 √22 8 2 8 2- 2
设 A(x1,y1),B(x 2,y2),则有 x1+x 2= 2 ,x1x21+2 = 1+2 2.
2
①设 AB 的中点为 M(x ,y ), 1+ 2 4 2 0 0 则 x0= 2 = 1+2 2 ,y0=k(x 0-2)=- 1+2 2 .
当 k≠0 时,因为 QA=QB, 所以 QM⊥l,
2
- 2 - 0
即 kQM·k= 1+2 4 2 ·k=-1.
1+2 2 -m
2 2
解得 m= 1+2 2 .
2 2
当 k=0 时,可得 m=0, 符合 m= .
1+2 2
1 1
由 0≤k2= 2(1- )< 2,得 0≤m< 2.
②因为点 Q 为△FAB的外心 ,且 F(-1,0),所以 QA=QB=QF.
( + 1)2 = (x- m)2 + 2 ,
由{ 2 2
2 + = 1,
消去 y,得 x2-4mx-4m=0, 易知 x1,x2也是此方程的两个根 ,
所以 x1+x 2=4m,x 1x2=-4m.
8 2 8 2 - 2 8 2 8 2 -2
又因为 x1+x 2= 1+2 2 ,x1x2= 1+2 2,所以1+2 2=- 1+2 2,
2 1 2
2 1
解得 k = 8.所以 m= 1+2 2= 5.必备四 二级结论巧用
结论一 函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称 .
2.函数 f(x)为奇函数 ,且在 x=0处有定义 ,则 f(0)=0.
3.如果 f(x)为偶函数 ,那么 f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性 ,偶函数在对称的区间内有不同的单调性 .
跟踪集训
1.定义在 R上的奇函数 f(x)满足 :当 x≥0时 , f(x)=log 2(x+2)+(a-1)x+b(a,b 为常数 ),若 f(2)=-1,则 f(-6)的
值为 .
1
2.已知偶函数 f(x)在区间 [0,+ ∞上)单调递增 ,则满足 f(2x-1)3)的 x的取值范围是 .
3.(2019苏州 3月检测 )若函数 f(x)为定义在 R上的奇函数 ,当 x>0时, f(x)=xln x,则不等式 f(x)<-e 的解
集为 .
结论二 函数的单调性、极值与最值
1.函数的单调性
( 1 )-f( (1) x ,x ∈D,x ≠x , 2
)
1 2 1 2 >0(<0) y=f(x),x∈D 单调递增 (递减 ).
1 - 2
(2)复合函数的单调性 :“同增异减”;单调区间是定义域的子集 .
(3)f(x)在(a,b)上是增函数 f '(x)≥0在区间 (a,b)上恒成立 ; f(x)在(a,b)上是减函数 f '(x)≤0在区
间(a,b)上恒成立 .注意 :①等号不能少 ;②逆命题不成立 ;③单调区间不能用 “∪”连接 .
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间 f '(x)>0,x∈(a,b)有解 .
(5)存在 x1,x2∈D,x1≠x2, f(x 1)=f(x 2) y=f(x),x∈D不单调 .
2.函数的单调性与极值
(1)函数 f(x)有三个单调区间 f(x)有两个极值点 f '(x)=0 有两个不等实根 ;
(2)函数 f(x)在(a,b)上不单调 f(x)在(a,b)上有极值点 ,可求出 f(x)的极值点 x0∈ (a,b).
3.函数的最值
0∈D, f( 0 ) = M,
函数 f(x)在 D上的最大值为 M { 函数 f(x)在 D 上的最小值为
( ≤) , ∈ 恒成立 .
0 ∈D, f( 0 ) = m,
m {
( ≥) , ∈ 恒成立 .
跟踪集训
4.设 f(x)=4x 3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是 R上的单调增函数 ,则 m的值为 .
5.已知函数 f(x)=|x 2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是 0,则实数 a的取值范围是 .
(x < 0),
6.(2018南通泰州中学高三期初考试 )已知函数 f(x)= { 1( -3) + 4 ( 0)满足对任意 x ≠x
2,都有
≥
( 1 ) -f( 2 )<0成立 ,则 a的取值范围是 .
1 - 2
7. f(x)= {-
2 + ax(x ≤1),
已知函数 若存在 x1,x2∈R,且 x1≠x2,使得 f(x 1)=f(x 2)成立 ,则实数 a的取值范围2 -5 ( > 1),
是 .
结论三 抽象函数的周期性与单调性
1.函数的周期性
(1)若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数 ,2a是它的一个周期 .
(2)设 f(x)是 R上的偶函数 ,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称 ,则 f(x)是周期函数 ,2a是它的一个周期 .
(3)设 f(x)是 R上的奇函数 ,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称 ,则 f(x)是周期函数 ,4a是它的一个周期 .
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0) 、 f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k 为常数 )都表明函数 f(x)是周期为 2a的周期函数 .
2.函数图象的对称性
(1)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a对称 .
(2)若函数 f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x), 则 f(x)的图象关于点 (a,0)对称 .
+
(3)若函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=
2 对称 .
(4)若 f(x+a)+f(b-x)=c, 则函数 y=f(x)的图象关于点 ( + 2 , 2)对称 .
跟踪集训
8.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数 ,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)= .
9.若偶函数 f(x)的图象关于直线 x=2对称 ,且 f(3)=3,则 f(-1)= .
10.函数 f(x)对任意 x∈R都有 f(x+2)=f(-x) 成立 ,且函数 y=f(x-1)的图象关于点 (1,0)对称 , f(1)=4,则 f(2
016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .
结论四 函数零点
1.一元二次方程实根分布理论 :一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件 :开口方向、对
称轴、判别式、区间端点的函数值的符号 ;两个实根分布在两个不同区间上的条件 :开口方向、区间端
点的函数值的符号 .
2.函数有零点 (方程有解 )问题 ,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解 .
3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数求参数的值或范围 ,一般利用数形结合法求解 ,画
图形时尽量是动直线与定曲线的图形 .
跟踪集训
(3- ),0≤ ≤3,
11.(2018南京、盐城一模 )设函数 f(x)是偶函数 ,当 x≥0时 , f(x)= { - 3 + 1,x > 3, 若函数 y=f(x)-m 有
四个不同的零点 ,则实数 m的取值范围是 .
12.已知函数 f(x)=3 x-32x-m在 [-1,1]上有零点 ,则实数 m的取值范围是 .

13.已知函数 f(x)= {e ,x < 2,(1 - )( + ), 2(a为常数 ,e为自然对数的底数 )的图象在点 A(0,1)处的切线与该≥
函数的图象恰好有三个公共点 ,则实数 a的取值范围是 .
结论五 三角函数
n
π 2
1.sin( + ={( -1) sin ( = 2 ,∈ Z),2 α) n
( -1) 2 cos ( = 2 + 1, ∈Z).
n
π ( -1) 2 cos ( = 2 , ∈ Z),
2.cos( 2 + α)={ n+1
( -1) 2 sin ( = 2 + 1, ∈Z).
3.asin α+bcosα=√ 2 + 2 sin( α+ φ辅)助角 φ所在象限由点 (a,b)所在象限决定 ,tan φ= .
4.求三角函数在给定范围上的单调区间 :一般是求出所有的单调区间 ,再与给定区间取交集 .
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法 : f(a)≤ f(x), x成立等价于 f(a)是 f(x)的最小值 ,直线 x=a
是函数图象的一条对称轴 .
跟踪集训
π
cos( +α )sin( -π- )
14.已知角 α的始边为 x轴正半轴 ,终边上一点 P的坐标为 (-4,3),则 211π 9π 的值为 .
cos( 2 -α )sin( 2 +α)
15.设 α ,∈β[0, π且],满足 sin αcosβ-cos αsinβ=1则, sin(2 -αβ )+sin(-2αβ的)取值范围为 .
16.设 f(x)=sin 2x-√3cos xcos( +
π π
2 ) ,则 f(x)在[0, 2 ]上的单调增区间为 .
结论六 解三角形
1.sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C).
2.A>B sin A>sin B,cos A3.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
4.对锐角三角形的理解和应用 :三个角都是锐角的三角形 ;任意两个角的和是钝角的三角形 ;在锐
角三角形中 ,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值 ,任意两边的平方和大于第三边的平方 ,即
2 + 2 > 2,
sin A>cos B,sin A>cos C,{ 2 + 2 > 2,
2 + 2 > 2.
跟踪集训
17.在斜△ABC 中,若 tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,则 cos A= .
18.锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsin A.
(1)求 B的大小 ;
(2)求 cos A+sin C的取值范围 .
结论七 不等式
2 + 2+ 2
1. √ + ≤ √ ≤ 2 ≤ 2 (a,b>0).
2+ 2 + 2 1
2.(1)xy≤ 2 ;(2)xy≤ ( 2 ) ;(3)当 x>0时 ,x+ ≥2;
(4) x,y 当 同号时 , + ≥2;当 x,y异号时 , + ≤ -2.
3.不等式恒成立、有解问题 :二次不等式在 R上恒成立 ,利用判别式 ;若给定区间 ,则分离参数是常
用方法 .通过分离参数 ,不等式恒成立问题可以转化为 aaf(x)>0,x∈D恒成立 ,即为 f(x) min>0,x∈D.
跟踪集训
19.若在区间 [1,3]内,存在实数 x满足不等式 2x2+mx-1<0,则实数 m的取值范围是 .
20.不等式 a2+8b2≥λb(a+b对) 任意 a,b∈R恒成立 ,则实数 λ的取值范围为 .
21. 2 已知实数 x,y满足 x2+y2=1,则
+ +1的最小值为 .
22.若 a>0,b>0,且 2a+b=1,则 S=2√ -( 4a2+b2)的最大值是 .
结论八 平面向量
1.三点共线的判定
A,B,C 三点共线 , 共 线 ;向量 , , 中 ,A,B,C 三点共线 存在实数 α ,使β得
= α + β ,且 α+β=1.
2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设 O为△ABC 所在平面上一点 ,角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c,则

(1)O为△ABC 的外心 | | = | | = | | = 2sin =2sin =2sin .
(2)O为△ABC 的重心 + + = 0 .
(3)O为△ABC 的垂心 · = · = · .
(4)O为△ABC 的内心 a + b + c = 0 .
3.向量中线定理 :△ABC 中,点 D为 BC的中点 ,则 + = 2 .
4.||a|-|b|≤| |a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件 .
5.若 a,b都是非零向量 ,则 a∥b a=λb x1y2=x2y1 夹角等于 0°或 180° |a·b|=|a||b|.
6.若 a,b都是非零向量 ,则 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 夹角等于 90° |a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论 :当 a与 b同向共线时 ,a·b=|a|· |b|;当 a与 b反向共线时 ,a·b=-|a|·|b|;当 a与
b共线时 ,|a·b|=|a|· |b|;当 a与 b为任意向量时 ,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ≤||a|· |b|( θ为 a与 b的夹角 );a与
b { · = x1x2 + y1y2 > 0,的夹角为锐角的充要条件是 x1 y
a与 b的夹角为钝角的充要条件是
2 -x2 y1 ≠0.
{ · = x1 x2 + y1 y2 < 0,x1y2-x2y1 ≠0.
跟踪集训
23.已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点 ,点 O不在直线 l上,则使等式 x2 + x + = 0成立的实数 x
的取值集合为 .
24.P是△ABC 所在平面内一点 ,若 · = · = · ,则 P是△ABC的 .(填“外
心”“重心”“内心”“垂心”中的一种 )
25.已知 A,B,C 1是平面上不共线的三点 ,O为平面 ABC 内任一点 ,动点 P满足 = 3[( 1-λ ) + ( 1 -
λ ) + ( 1 +2λ ) ] , λ∈R,则点 P的轨迹一定经过 △ABC 的 .(填“外心”“重心”“内
心”“垂心”中的一种 )
结论九 等差数列
1.在等差数列 {an}中,ap=q,aq=p(p≠q) ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
2.若 Sm,S2m,S3m分别为 {an}的前 m项,前 2m项 ,前 3m项的和 ,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列 .
3.若等差数列 {an}的项数为 2m,公差为 d,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶,则所有项

奇
之和 S 2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md, = . +1
偶
4.若等差数列 {an}的项数为 2m-1,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶,则所有项之和

奇
S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S =a , =

偶 m -1 .
偶
跟踪集训
26.等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 S10=20,S20=50,则 S30= .
27.一个等差数列的前 12项和为 354,前 12项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27,则该数列的
公差为 .
结论十 等比数列
1.等比数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为 0,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列 .
2.S m nm+n=Sm+q Sn=Sn+q Sm.
3.在有限等比数列 {an}中,公比为 q,所有奇数项之和为 S奇,所有偶数项之和为 S偶.若 n为偶数 ,则
S偶=qS奇;若 n为奇数 ,则 S奇=a1+qS偶.
4.如果数列 {an}是等差数列 ,那么数列 { }( 总有意义 )必是等比数列 .如果数列 {an}是等比数列 ,
那么数列 {log a|an|}(a>0,且 a≠1)必是等差数列 .
跟踪集训
28.在等比数列 {an}中,若 S10=10,S20=30,则 S30= .
29.数列 {an}中, 2 +1=4an,a1=1,an>0,则 an= .
30.等比数列 {an}共有奇数项 ,所有奇数项和 S奇=255,所有偶数项和 S偶=-126,末项是 192,则首项
a1= .
结论十一 直线与圆
1.阿波罗尼斯圆 :若点 A,B 是定点 ,M是动点 ,且 MA=kMB,k>0,k ≠1,则动点 M的轨迹是圆 (阿波罗
尼斯圆 ).
2.定点 A 到动直线 l的距离等于定长的直线 l 是以 A 为圆心 ,定长为半径的圆的切线 .
3.以 AB 为直径的圆经过点 C(异于 A,B),则 AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解 .
4.对角互补的四边形有外接圆 .
5.以 A(x 1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为 (x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.
6.过圆 (x-a)2+(y-b)2=r2上一点 (x0,y0)的切线方程为 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的
两条切线 .
7.过圆内一定点的弦长最长的有 1条 ,是过该点的直径 ,最短的弦有 1条,是垂直于过该点直径的弦 .
跟踪集训
31.若 A(1,1),B(3,4),且点 A和 B到直线 l的距离都等于 1,则这样的直线 l 有 条.
32.已知圆 M:(x-1) 2+(y-1)2=4,直线 l:x+y-6=0,A 为直线 l上一点 .若圆 M 上存在两点 B,C,使得
∠BAC=6°0 ,则点 A 横坐标的取值范围是 .
4 1
33.在平面四边形 ABCD 中 ,∠BAD=90°,AB=2,AD=1. 若 · + · = · ,则 CB+ CD的最3 2
小值为 .
结论十二 圆锥曲线
1.椭圆中的常用结论 :(1)焦点弦长公式 :左焦点弦 AB=2a+e(x1+x2),右焦点弦 AB=2a-e(x 1+x2);
(2) 2
2
通径长为 ;


(3)焦点三角形的面积 S=b2tan ;
2
2 2
(4) A,B C: 若 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点 ,P为椭圆 C上任意一点 ,则
2
kPAkPB=- 2.
2
2.双曲线中焦点三角形的面积 S= .
tan 2
3.
2 2
若点 M(x 0,y0)在曲线 2±2=1 , M
0x 0y上 则过 的切线方程为 2± 2 =1.
4.过抛物线 y2=2px(p>0)焦点的弦 AB 有如下结论 :
2
(1)x x = A· B ;(2)yA· yB=-p2;(3)|AB|= 2 2 (α是直线 AB 的倾斜角 ).4 sin α
跟踪集训
34.设 P是有公共焦点 F1,F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点 ,且 PF1⊥PF2,椭圆 C1的离心率为 e1,双
曲线 C2的离心率为 e2,若 e2=3e1,则 e1= .
2 2
35.已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0),M,N 是椭圆上关于原点对称的两点 ,P是椭圆上任意一点 ,且直线 PM,PN
的斜率分别为 k1,k2(k √
3
1k2≠0),若椭圆的离心率为 ,则|k1|+|k2|的最小值为 .
2
36.设 F为抛物线 C:y2=3x的焦点 ,过 F且倾斜角为 30°的直线交 C于 A,B 两点 ,O为坐标原点 ,则
△OAB 的面积为 .
答案精解精析
结论一 函数的奇偶性
跟踪集训
1.答案 4
解析 由已知得 f(0)=0=1+b,∴b=-1,又 f(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴ f(x)=log 2(x+2)-x-1(x≥0),∴ f(-6)=-
f(6)=-3+6+1=4.
2. 1 2答案 (
3 ,3 )
1 1
解析 由 f(x)是偶函数知 f(x)=f(-x)=f(|x|), 则 f(2x-1)1 1 2 1 2
得|2x-1|<3 ,解得 3 3.答案 (-∞,-e)
解析 ∵函数 f(x)为定义在 R上的奇函数 ,
∴当 x=0时, f(0)=0,不满足不等式 f(x)<-e.
当 x≠0时,设 x<0,则-x>0,
∵当 x>0时, f(x)=xln x,
∴f(-x)=-xln(-x),
∵函数 f(x)是奇函数 ,∴ f(x)=-f(-x)=xln(-x),
f(x)= { ln ,> 0,则 ln(- ), < 0.
当 x>0时 , f '(x)=ln x+x 1·
=ln x+1,
令 f '(x)=0,得 x=1e,
1 1
当 0 时, f '(x)>0,
e e
1 1
∴函数 f(x)在(0,
e)上递减 ,在 ( e , + ∞)上递增 ,
再由函数 f(x)是奇函数 ,画出函数 f(x)的图象 ,如图 :
x=1 , f( 1当 e时取到极小值 e) =
1ln1e e =-
1
e>-e,
∴不等式 f(x)<-e 在(0,+ ∞上)无解 .
∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式 f(x)<-e 的解集是 (-∞,-e).
结论二 函数的单调性、
极值与最值
跟踪集训
4.答案 6
解析 由 f(x)=4x 3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是 R上的单调增函数 ,得 f '(x)=12x 2+2mx+m-3≥0在 R上
恒成立 ,则 4m2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故 m=6.
5.答案 (-∞,-5]
解析 易知 f(2)=0,则要使 f(x),x∈ [-3,3]的最大值是 0,只需 f(x)≤0,x∈ [-3,3]恒成立 ,则-a|x-2|≥ |x2-
4|,x∈ [-3,3],-a≥|x+2|max=5,所以 a≤-5,实数 a的取值范围是 (-∞,-5].
1
6.答案 (0, 4]
0 < < 1,
( 1 ) -f( 2 ) 1
解析 由对任意 x1≠x2都有 <0成立 ,知 f(x)是减函数 ,于是 { - 3 < 0, . 1 - 所以 0 0
4
≥ (a-3) ×0 + 4a,
7.答案 (-∞ ,4)
解析 由 x1≠x2,x1,x2∈R, f(x 1)=f(x 2),得 f(x)在 R上不单调 .若 f(x)在 R上单调 ,只能单调递增 ,此时

2 ≥1,
{ > 0,
-1 + ≤2 -5,
解得 a≥4,故函数不单调时实数 a的取值范围是 a<4.
结论三 抽象函数的
周期性与单调性
跟踪集训
8.答案 1
解析 因为 f(x)为 R上的奇函数 ,所以 f(-x)=-f(x), f(0)=0.因为 f(x+2)为偶函数 ,所以 f(x+2)=f(-x+2), 所
以 f(x+4)=f(-x)=-f(x), 所以 f(x+8)=f(x), 即函数 f(x)的周期为 8,故 f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
9.答案 3
解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2对称 ,
所以 f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x),
又 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=f(4+x),
则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
10.答案 4
解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于点 (1,0)对称 ,所以 f(x)是 R上的奇函数 ,所以 f(x)=-f(-x). 因为
f(x+2)=f(-x), 所以 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故 f(x)的周期为 4.所以 f(2
017)=f(504 4×+1)=f(1)=4,又因为 f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以
f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四 函数零点
跟踪集训
9
11.答案 [1, 4)
解析 画出当 x≥0时 f(x)的图象 ,根据偶函数的图象关于 y轴对称可得 x<0时的图象 ,如图 ,由图象可
9
得 m∈ [1, 4) .
1
12.答案 [ -6, 4]
1 1 1
解析 令 3x=t,t∈[3 ,3] ,则函数 f(x)=3
x-32x-m在[-1,1]上有零点 m=-t 2+t在 t∈ [3 ,3]内有解 ,则 m∈ [-6, 4] .
13.答案 [-5,-2√2-2)
解析 曲线 f(x)在点 (0,1)处的切线方程为 y=x+1,该切线与 f(x)的图象恰有三个公共点 ,则该切线与
f(x)=(1-x)(a+x),x ≥2的图象有两个不同的交点 ,即关于 x的方程 x+1=(1-x)(a+x),x∈ [2,+ ∞有)两个不等
= 2 -4(1 -a) > 0,
, x2根 整理得 +ax+1-a=0,x∈ [2,+ ∞有)两个不等根 ,所以 { - 2 > 2,
4 + 2 + 1- ≥0,
解得 -5≤a<-2√2-2.
结论五 三角函数
跟踪集训
3
14.答案 -4
3
解析 由已知得 ,tan α=-4,
π
cos( 2 +α )sin( -π- )
则
cos( 11π-α )sin( 9π+α)
2 2
-sin 2= α3π π
cos( 2 -α )sin( 2 +α)
-sin 2α -sin 2α 3
= π = =tan α=- .
-cos( -α )cos -sin cos 42
15.答案 [-1,1]
π π π
解析 由 sin α cosβ-cos α sinβ =sin(-βα)=1, ∈α[0,,βπ得],α-β=,所以 α=β+,β=-α,所以 sin(2 -α2 2 2
β )+sin(-2αβ )=si(n + π
2) +sin(
π
2 -β)=cos α +cosβ =cosβ +co(s +
π
2 ) =cos β-sin
π
β=√2cos( + 4) ,由
α ,∈β[0, π ], πα=得ββ+∈[0, π π π 3π
2 2 ] ,则 β+∈ [4 4 , 4 ] ,
π √2 √2
则 cos( + 4 )∈ [- 2 , 2 ],
π
所以√2cos( + 4)∈[-1,1].
π
16.答案 [0, 3]
1 -cos2 3 1 1 π 1 π π π
解析 f(x)= 2 +√3cos xsin x=
√ sin 2x- cos 2x+ =sin(2 - )+ ,由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+2 2 2 6 2 2 6 2 ,k∈Z得
k -ππ ≤x≤k ππ+,k∈Z,与 [0, π π
6 3 2 ]取交集得所求递增区间是 [0, 3] .
结论六 解三角形
跟踪集训
√217.答案 2
解析 设 tan A=k,k>0,则 tan B=2k,tan C=3k,由
tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C得 6k=6k3,解得 k=1,
π √2
则 tan A=1,则 A=4 ,cos A= 2 .
18.解析 (1)由 a=2bsin A 得 sin A=2sin Bsin A, 1因为 sin A≠0,所以 sin B=2,又 B是锐角 ,则 B=
π
6 .
π √3 3 π
(2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sin( + 6 ) = 2 sin A+2 cos A=√3·sin( + 3) ,又由△ABC 为
0 < < π2 , π π
锐角三角形得 { 5π π则
0 < = -A < , 3
6 2
π ( 2π 5π则 A+ ∈3 3 , 6 ) ,
π 3 3
√3sin( + )
√
∈( , ) ,
3 2 2
3 3
即 cos A+sin C √的取值范围是 ( 2 , 2) .
结论七 不等式
跟踪集训
19.答案 m<-1
1 1
解析 由题意知 ,不等式 m< -2x(x∈ [1,3]),易知函数 y= -2x,x∈[1,3]单调递减 ,则 ymax=-1,∴m<-1,即实
数 m的取值范围是 m<-1.
20.答案 [-8,4]
解析 由题意知 a2-λab+(-8λ )2b≥0对任意 a∈R恒成立 ,则Δ=λ2b2-4(8-λ )2b≤0,即 λ2+4λ-32≤0,解得 -
8≤λ≤4.即实数 λ的取值范围是 [-8,4].
21.答案 -√2-1
+ 2 2+ 2 1 2
解析 因为 2xy=(x+y) 2-(x 2+y2)=(x+y) 2-1=(x+y+1)·(x+y-1),又( ) ≤ = ,所以 =x+y-1≥-2 2 2 + +1
2
√ 2( 2 + 2 ) -1=-√2-1,当且仅当 x=y 时取等号 .故 + +1的最小值为 -√2-1.
√2- 1
22.答案 2
(2 )2+ 2 2 + 1 1
解析 由√ ≥ ≥√2 · , 得√2 ≤ ,且 4a2+b2≥ ,所以 S=2√ -( 4a2+b2)=√2·√2 - 2 2 2 2
(4a2
2 1 1 2 -1
+b2) √≤ 2 -2,当且仅当 2a=b=
√
2时取等号 ,即 S的最大值为 2 .
结论八 平面向量
跟踪集训
23.答案 {-1}
解析 ∵ = - ,
∴x2 + x + - = 0 ,
即 = - x2 + ( 1 -x) .
∵点 A,B,C 都在直线 l上 ,点 O不在 l上 ,
∴-x2+(1-x)=1,
即 x=0(舍去 )或 x=-1,
∴x的取值集合为 {-1}.
24.答案 垂心
解析 由 · = · ,可 得 · ( - ) =0,即 · = 0,∴ ⊥ ,同 理可证
⊥ , ⊥ ,∴ P是△ABC 的垂心 .
25.答案 重心
解析 取 AB 的中点 D,则 2 = + ,
= 1∵ [( 1-λ ) + ( 1 -λ ) + ( 1 +2λ ) ] ,
3
1∴ = [2 (1-λ ) + (1+2λ )
2(1 - ) 1+2 ]= + . 3 3 3
2(1 - )+1+2 ∵ 3 3 =1,
∴P,C,D三点共线 ,
∴点 P的轨迹一定经过 △ABC 的重心 .
结论九 等差数列
跟踪集训
26.答案 90
解析 (S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),则 S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.
27.答案 5
解析 设该等差数列的前 12项中奇数项的和为 S奇,偶数项的和为 S偶,公差为 d.
+ = 354,
奇 偶
由已知条件 ,得 { ∶ = 32 ∶27,
偶 奇
= 192,
偶
解得 { = 162.
奇
192 -162
又 S偶-S奇=6d,所以 d= 6 =5.
结论十 等比数列
跟踪集训
28.答案 70
解析 解法一 :∵S10=a1+a2+ +a10,
S 10 10 10 1020-S10=a11+a12+ +a20=a1q +a2q + +a10q =q S10,
S30-S20=a21+a22+ +a30=a1q20+a2q20+ +a10q20=q20S10,
∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列 ,公比为 q10,
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20).
∵S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10(S30-30),∴S30=70.
解法二 :∵S10=10,S20=30,
∴S20=S10+a11+a12+ +a20
=S10+a q101 +a 10 102q + +a10q
=S10+q10S10=10(1+q10)=30,
∴q10=2,
∴S30=S20+a21+a22+ +a30
=S10+q10S +q2010 S10
=10(1+q10+q20)
=70.
-2
29. 22-(
1 )
答案 2
解析 对于 2 +1=4an,等号两边取以 2为底的对数得 ,2log2an+1=log2an+2.
令 bn=log2an,则 2bn+1=bn+2,
即 2(bn+1-2)=bn-2.
1
令 Cn=bn-2,则 Cn+1=2Cn,
∵a1=1,∴b1=0,C1=-2,
∴{C n}是首项为 -2, 1公比为 2的等比数列 ,
1 -1 1 -2
∴Cn=-2( 2) =-( 2) ,
1 -2 1
-2
∴bn=2-( ) ,an=22-( 2 )2 .
30.答案 3
解析 等比数列 {an}共有 2k+1(k∈N*)项,则 a2k+1=192,则 S奇=a1+a3+ +a2k-
+a =1
2 2
1 2k+1 (a2+a4+ 1 +a2k)+a2k+1= S偶+a2k+1=-
126 +192=255,解得 q=-2, S - -192×(-2)而
奇=
1 2 +1
2 =
1
2 =255,解1- 1-( -2)
得 a1=3.
结论十一 直线与圆
跟踪集训
31.答案 4
解析 由题意可得直线 l与圆 A:(x-1) 2+(y-1)2=1和圆 B:(x-3) 2+(y-4)2=1都相切 ,又 AB=√13>2,则圆 A
和圆 B相外离 ,所以两圆有 4条公切线 ,即直线 l有 4条.
32.答案 [1,5]
解析 由题意可得过点 A作圆 M 的两条切线 ,则两切线之间的夹角大于等于 60°,连接 CM,则 CM与
一条切线的夹角大于等于 30°,又圆 M 的半径为 2,设 A(x,6-x),则 MA=√ ( -1 )2 + (5 -x) 2≤4,解得
1≤x≤5.
√2633.答案 2
解析 以点 A 为坐标原点 ,AB 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系 ,则 B(2,0),D(0,1),设 C(x,y),由
· + · = 4 · 3 得 2x-2(x-2)=
4 (x2-2x+y23 ),化简得 (x-1)
2+y2=4,取 E(5,0),可以验证对圆 (x-
2 1 1 1 1 √261) +y2=4上任意一点 C都有 CB=2CE,则 CB+2CD=2(CE+CD)≥2DE= 2 ,当点 C在线段 DE与圆的交
1 √26
点处时取等号 ,故 CB+2CD的最小值为 2 .
结论十二 圆锥曲线
跟踪集训
34. √
5
答案
3
解析 设椭圆的长、短半轴分别为 a1,b1,双曲线的实、虚半轴分别为 a2,b2,因为点 P是椭圆与双曲线
的一个交点 ,
2
2
则由焦点三角形的面积得 1 tan 45°=
2 ,即 2 = 2 ,
tan45 ° 1 2
3 1
由 e2=3e1得 = ,即 a2= a1,又由 21 = 2 2得 2
2 2 2
1 -c =c - 2 ,即 2-c
2=c2-1 2 ,10 2 =2c2, e = =√5则 1 .
1 1 1 2 1 3 9 9 1 3
35.答案 1
解析 设 P(x0,y0),M(x 1,y1),N(-x 1,-y1),
0 - 1 0 + 1 20 - 21 2 2 - 2 3 1
则 k1k2= - · + = 2 - 2 =- 2=- 2 =-1+4 =-4,0 1 0 1 0 1
所以 |k1|+|k2|≥2√| 1 2 |=1,
当且仅当 |k1|=|k2|=
1
2时取等号 ,
所以 |k1|+|k2|的最小值为 1.
36. 9答案 4
3
解析 由已知得焦点坐标为 F( 4 ,0) ,
3 3
因此直线 AB √的方程为 y= 3 ( - 4) ,即 4x-4√3y-3=0.
解法一 :与抛物线方程联立 ,消去 x得 4y2-12√3y-9=0,
9
则 yA+yB=3√3,yAyB=- ,4
故|yA-yB|=√ ( + )2 -4 =6.
因此 S△OAB=1 1 3 9|OF||yA -yB2 |=2×4×6=4.
21 9
解法二 :与抛物线方程联立 ,消去 y得 x2- 2 x+16 =0,
21
故 xA+xB= 2 .
21 3
根据抛物线的定义有 |AB|=x A+xB+p= + =12,2 2
又原点到直线 AB 的距离
|- 3| 3
d= = ,
√42+( -4√3) 2
8
1 9
因此 S△OAB=2|AB|·d=4.
2 3
解法三 :∵|AB|=sin 2 =α sin 230 =12,°
原点到直线 AB 的距离
3
d=|OF|·sin 30°=8,
∴S 1 1 3 9△OAB=
2|AB|·d=2×12×8=4 .第 16讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
1.(2018 江苏淮安淮海中学高三模拟 )已知集合 A={-2,0,1},B={ |x2>1}, 则 A∩B= .
2.(2019 泰州中学、宜兴中学检测 ,6)命题“ x∈R,使得λx2-λx+1<0 成立”为假命题 ,则λ的取值范围
是 .
3.方程 |log 2x|+x-2=0 的解的个数为 .
2 2
4.(2019 江苏七大市三模 ,8)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) 的右准线与两条渐近线

分别交于 A,B两点 .若△AOB 的面积为 ,则该双曲线的离心率为 .
4
5.在△ABC 中,∠A=45 °,∠C=105 °,BC=√2,则 AC= .
6.(2019 如皋检测 ,9)已知 f(x)=|log 3x|,若 a,b 满足 f(a-1)=f(2b-1), 且 a≠2b,则 a+b 的最小值
为 .
π
7.已知函数 f(x)=Asin( ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0, ω>0,0< φ<π)的图象如图所示 ,则 f ( 3) = .
8.(2019 天津理 ,14,5 分)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 √3,AD=5, ∠A=30 °,点 E在线段 CB的延长
线上 ,且 AE=BE,则 · = .
9.(2019 南京、盐城二模 ,11)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,0),B(5,0). 若圆 M:(x-4) 2+(y-
m) 2=4 上存在唯一点 P,使得直线 PA,PB在 y 轴上的截距之积为 5,则实数 m 的值为 .
10.(2019 镇江期末 ,16)如图 ,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 ,VD⊥平面 ABCD,过 AD 的平面
分别与 VB,VC 交于点 M,N.
证明 :(1)BC⊥平面 VCD;
(2)AD∥MN.
2 2 3
11.(2018 江苏南通高考冲刺 )如图 ,已知椭圆 E: 2+ 2 =1(a>b>0) 过点 D(1 , 2) ,且右焦点为 F(1,0),右顶点
为 A,过点 F的弦为 BC,直线 BA,直线 CA 分别交直线 l:x=m(m>2) 于 P,Q 两点 .
(1)求椭圆 E的方程 ;
(2)若 FP⊥FQ,求 m 的值 .
答案精解精析
1.答案 {-2}
解析 集合 B={x|x<-1 或 x>1}, 则 A∩B={-2}.
2.答案 [0,4]
解析 命题“ x∈R,使得λx2-λx+1<0 成立”为假命题 ,
则其否定“ x∈R,λx2-λx+1 ≥0 成立”为真命题 .
①当λ=0 时,1≥0 恒成立 ,即λ=0 满足题意 ;
> 0,
②当λ≠0 时,由题意有 { 2 解得 0<λ≤4. -4λ≤0,
综合①②得 :实数λ的取值范围是 [0,4].
3.答案 2
解析 在同一坐标系中作出函数 y=|log 2x|,y=2-x 的图象 (图略 ),由两图象有两个交点 ,可知方程
|log 2x|+x-2=0 有两个解 .
4.答案 2
2
2
x= , y=
= ,
解析 右准线方程为 与 x 联立得 { = ,

2 2
由对称性 ,不妨取 A( , ,-
) ,B( ) ,
1 2 2
∴△AOB 的面积为 2· · = 4 ,
∴e=2.
5.答案 1
1
sin √2×
解析 ∵∠A=45 °,∠C=105 °,∴∠B=30 °,∵BC=√2,∴由正弦定理得 2sin = sin ,AC= sin = √2 =1.
2
3
6.答案 2+√2
解析 因为 f(a-1)=f(2b-1),
所以 |log 3(a-1)|=|log 3(2b-1)|,
1
由于 a≠2b,所以 log 3(a-1)=-log 3(2b-1), 即 a-1= 2 - 1.
由题意得 { - 1 > 0,2 -1 > 0,
1 1 1 3 3
从而有 a+b= 2 - 1+b+1= 2 - 1+b- 2 + 2≥2+√2,
1 1 1+ √2
当且仅当 2 - 1=b- 2,即 b= 2 时取等号 .
7.答案 1
11π π 4 2π
解析 由图象可得 A=2, 最小正周期 T= ( 12 - 6 )×3=π= ω=2,
π π π π π 2π π
则 f ( 6 ) =2sin (2 ×6 + φ) =2,又 0< φ<π,所以φ= 6 ,故 f(x)=2sin (2 + 6 ) ,则 f( 3 ) =2sin ( 3 + 6 ) =1.
8.答案 -1
解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解 ;考查学生数形
结合思想的应用以及运算求解能力 ;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学生逻辑推理、直观想象
及数学运算的核心素养 .
解法一 :∵∠BAD=30 °,AD∥BC,
∴∠ABE=30 °,
又 EA=EB,∴∠EAB=30 °,
在△EAB中 ,AB=2 √3,∴EA=EB=2.
以 A 为坐标原点 ,AD 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 ,如图所示 .
则 A(0,0),D(5,0),E(1, √3),B(3,√3),
∴ = (2,- √3), = (1, √3),
∴ · = (2,- √3)·(1,√3)=-1.
解法二 :同解法一 ,得 AB=2 √3,
以 , 为 一 组基底 ,
则 = - ,
2
= + = - 5 ,
2
∴ · = ( - ) ·( - ) 5
= · - 2
2 2
+ · 5 -
2
5
7 2
= 5
· - 2 - 2 5
7 √3 2
= 5×5×2√3×2 -12- 5×25=-1.
9.答案 ±√21或±√3

解析 设点 P(x0,y0),则直线 PA 0的方程为 y= +1 (x+1), 令 x=0, 得 PA 在 y
0
轴上的截距为
0 +1
,
0
5
同理得 PB 0在 y 轴上的截距为 - - 5, 0
5 0 0
由截距之积为 5,得- 0 -5· +1 =5, 0
化简 ,得 (x 20-2) 2+ 0 =9(x 0≠-1,且 x0≠5),由题意得 P的轨迹应与圆 M 恰有一个公共点 .
①若两个圆相切 ,则圆心距等于半径之和或差 ,即√22 + 2 =5,解得 m= ±√21;或√22 + 2=1,无解 .
②若圆 M 经过 B点 (圆 M 不经过 A 点),解得 m= ±√3,此时 P点轨迹与圆 M 有一个公共点 .
10.证明 (1)在四棱锥 V-ABCD 中,
因为 VD⊥平面 ABCD,BC 平面 ABCD,所以 VD⊥BC.
因为底面 ABCD 是矩形 ,所以 BC⊥CD.
又 CD 平面 VCD,VD 平面 VCD,
CD∩VD=D,
所以 BC⊥平面 VCD.
(2)因为底面 ABCD 是矩形 ,所以 AD∥BC,
又 AD 平面 VBC,BC 平面 VBC,则有 AD∥平面 VBC,
又平面 ADNM ∩平面 VBC=MN,AD 平面 ADNM, 则 AD∥MN.
1 9 2 2
11.解析 (1)由题意得 2+ 4 2 =1,a
2-b 2=1,解得 a2=4,b 2=3,所以椭圆 E的方程为 4 + 3 =1.
0
2 2 = (x-1), 0 0 -1(2)设 B(x0,y0),则 BC:y= (x-1),与椭圆 E: 4 + 3 =1 联立得方程组 { 2 2 解得 x=x- 1 0,y=y 0或0
4 + 3 = 1,
8- 5
x= 0
-3 0 8- 5 0 - 3 0
5- 2 ,y= 5- 2 ,所以 C(0 0 5- 2 , ) . 0 5- 2 0
- 3 0
0 5 -2 0 3 0
所以 k 0ABkAC= ·8- 5 0 = ·0 - 2 -2 0 - 2 +2 = 0
5- 2 0
2
9(1 - 0 )
3 20 4 9
2 =0 - 4 20 - 4 =- 4.
显然 kAB=k AP,kAC=k AQ ,
9 1 1 - 2 - 2 - 2
所以 kAPkAQ=- 4,设 Q(m,y 1),则 kFQ= - 1= - 2· - 1= - 1kAQ ,同理 ,kFP= - 1kAP.
k k = ( - 2
2 2
所以 FP FQ - 1) kAPkAQ =-
9 - 2
4 ( - 1) =
- 2 2
-1,又 m>2, 所以 - 1= 3,所以 m=4.口21
口口囗囗囗
1.(2019日日日日日日日日日日日,17)日日,日日12日日,5日日口日口
日日ABCD日日口日日日百,日日日日口口口日EFG(日日日日日),口AB口口口日百X日,AB口
日日日y日日日日百日xoy(日日百).日日日日y=X+2x>0)日,口
日日日P日Ⅹ日口口,PO=-口口
(1)O日日口日口口M口口日OM,OM百口口
(2)日口DE日日Q,自Q日日,百PQ日日
C
B
2、(2018日日日日日日日(日日)20176百日,百口百“百日”
日日,日自日自.日日日日日8日,日10日,6日口
(1)日日日,日日日日0.5,日日日日04日,百百口百口口
日,百口
(2)日日,日日口,口口日X(X≥12)自,口口
5(X12)口囗囗口囗口口.口口囗口,口口口口口05口,口口囗口口囗囗口-18
( 102日口.口口
1口(1)M( ,OM2=×2+( +)=2×2+2+2222+2,口口口口2×2=
口OM口口口日口V2√2+2日口
(2)P日日y=x+百日口
口日1y=k( 2=)(k<0),

日日口{
1
2
4
口口口(1-k)Ⅹ2+X+1=0
口△=。k2-4(1-k)=0,口k=3口k=(口口)
日口口|口口囗y=-3( 2
日y=5,日x=-,DQ=6-=2(口口)
日日DQ=日古,古PQ百日
2.口(1)口口日日日日a0.5日,口囗口,
(10+0.5a8)6-04a)≥(10-8)×6,日日0≤a≤11,口囗a=11口,囗口10+11×0.5=155(),囗囗
日口口口口15.5口
(2)口,日Dy=8)6-05×(m-s(×12)=x8)6-1-1-34(x12)
10
1.8
5( 210)5
3
190x+1536
4
-20X+91
4( 7)( 13)
5( 10)
( 10)
日y=0,X=7()X=13,口120,日x>13日,y<0
日日X=13日,y日,日y=172
日:口口囗口囗囗13日日,口口口囗口,口口口囗口17.2日必备五 解题技法增分
技法一 特例法
在解填空题时 ,可以取一个 (或一些 )特殊数值 (或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊
数列、特殊图形等 )来确定其结果 ,这种方法称为特例法 .特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检
验,省去了推理论证及烦琐演算的过程 ,提高了解题的速度 .特例法是考试中解答选择题和填空题时经
常用到的一种方法 ,应用得当会有事半功倍的效果 .
典型例题
例 1 (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a,b,c成等差数列 ,则
cos +cos
1+cos cos = .
(2)AD,BE 是△ABC 的中线 ,若 | | = | |= 1 ,且 与 的 夹 角为 120 ,°则 · = .
4 2
答案 (1)5 (2)3
4 4
解析 (1)利用特例法 ,令 a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形 ,cos A= ,cos C=0,从而所求值为 .5 5
2√3 2
(2)易知等边三角形为符合题意的 △ABC 的一个特例 ,则 |AB|= 3 ,∴ · = | || |c os 60°=3.
【方法归纳】
当填空题已知条件中含有某些不确定的量 ,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答
案是一个定值时 ,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理 .
跟踪集训
1.求值 :cos2a+cos2(a+120°)+cos2(a+240°)= .
2.已知 m,n是直线 ,α ,β是,平γ面 ,给出下列命题 :①若 α⊥γ ,⊥βγ则,α∥β②;若 n⊥α ,⊥n β则,α∥β③;若α
内不共线的三点到 β的距离都相等 ,则 α∥β④;若 n α ,m α且, n∥β ,∥mβ则,α∥β⑤;若 m,n为异面直
线,n α ,∥nβ ,m β ,m∥α则,α∥β其.中正确的命题是 .(把你认为正确的命题序号都填上 )
2 2
3.如图 ,点 P为椭圆 25 + 9 =1上第一象限内的任意一点 ,过椭圆的右顶点 A、上顶点 B分别作 y轴、x轴
的平行线 ,它们相交于点 C,过点 P引 BC,AC 的平行线 ,分别交 AC 于点 N,交 BC于点 M,交 AB 于 D,E
两点 ,记矩形 PMCN 的面积为 S1,三角形 PDE的面积为 S2,则 S1∶S2= .
技法二 图解法
典型例题
例 2 (1)直线 y=x+m 与曲线 x=√1- 2有且仅有一个公共点 ,则 m的取值范围
是 .
2√ ,0≤x ≤1,
(2)(2019天津文改编 ,8,5分)已知函数 f(x)= { 1 若关于 x的方程 f(x)=- 14x+a(a∈R)恰有
,x > 1.
两个互异的实数解 ,则 a的取值范围为 .
5 9
答案 (1)-1解析 (1)作出曲线 x=√1- 2 ,如图所示 .由图形可得 ,当直线 y=x+m 在 b和 c之间 (不含 b,含 c)变化
时,满足题意 ,同时 ,当直线 y=x+m 在 a的位置时也满足题意 ,所以 m的取值范围是 -1(2)本题以分段函数和方程的解的个数为背景 ,考查函数图象的画法及应用 .
画出函数 y=f(x)的图象 ,如图 .
1 1
方程 f(x)=- x+a的解的个数 ,即为函数 y=f(x)的图象与直线 l:y=- x+a的公共点的个数 .4 4
1 9
当直线 l经过点 A时 ,有 2=- ×1+a,a= ;
4 4
当直线 l 1经过点 B时 ,有 1=-4×1+a,a=
5
4.
5 9
由图可知 ,a∈ [4 ,4 ]时 ,函数 y=f(x)的图象与 l恰有两个交点 .
1
另外 ,当直线 l 与曲线 y= ,x>1 相切时 ,恰有两个公共点 ,此时 a>0.
1
=
联立 {
, 1
1 得 =-
1x+a,
= - x + a, 44
1
即4x
2-ax+1=0,
1
由 Δ =2a-4×4×1=0,得 a=1(舍去负根 ).
5 9
综上 ,a∈[4 ,4]∪{1}.

1 2√ + (0 ≤ x≤1),
一题多解 令 g(x)=f(x)+ x={ 44 1 当 0≤x≤1时,g(x)=2√ +4为增函数 ,其值域为
+ 4 (x > 1),
9 1 1 1
[0, 4 ];当 x>1 时,g(x)= +4,对 g(x)求导得 g'(x)=- 2+4,令 g '(x)=0,得 x=2,当 x∈ (1,2)时 ,g'(x)<0,g(x)单调递
减,当 x∈ (2,+ ∞时),g'(x)>0,g(x)单调递增 ,∴当 x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数 g(x)的简图如图所示 :
1
方程 f(x)=- x+a恰有两个互异的实数解 ,即函数 y=g(x)的图象与直线 y=a有两个不同的交点 ,由图4
5 9
可知 ≤a≤4 4或 a=1满足条件 .
1 1 1
易错警示 本题入手时 ,容易分段研究方程 2√ = -4x+a(0≤x≤1)与 =-4x+a(x>1)的解 ,陷入相对复
杂的运算过程 .利用数形结合时 ,容易在区间的端点处出现误判 .
【方法归纳】
图解法实质上是数形结合思想在解题中的应用 ,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相
应的结论 ,这也是高考命题的热点 .准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间
的对应关系 ,利用几何图形中的相关结论求出结果 .
跟踪集训
4.(2019泰州期末 )在平面直角坐标系 xOy中,过圆 C1:(x-k) 2+(y+k-4) 2=1上任一点 P作圆 C2:x2+y2=1的
一条切线 ,切点为 Q,则当线段 PQ的长最小时 ,k= .
5.向量 = ( 2,2), = ( 2 ,0), = (√2cos α√,2sin α )则, 向量 , 的 夹角 β的取值范围是 .
6.(2019 , ≤ , 1南通、如皋二模 )定义 min{a,b}= { x 2 , > 已. 知函数 f(x)=e - ,g(x)=(x-1)(mx+2m -m-1),若
h(x)=min{f(x),g(x)} 恰好有 3个零点 ,则实数 m的取值范围是 .
技法三 等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉 ”将问题等价转化成便于解决的问题 ,从而得到正确的结果 .
典型例题
例 3 对任意的 |m|≤2,函数 f(x)=mx 2-2x+1-m恒负 ,则 x的取值范围为 .
√7 -1 √3+1
答案 ( 2 , 2 )
解析 对任意的 |m|≤2,有 mx2-2x+1-m<0恒成立 ,等价于 |m|≤2时,(x 2-1)m-2x+1<0 恒成立 .设
-(2) < 0, 2
g(m)=(x2-1)m-2x+1, g(m)<0 [-2,2] , { 即 {2 + 2x-3 > 0,则原问题转化为 在 上恒成立 则 (2)< 0, 解得2 2-2x-1 < 0,
√7-1 √3+1 √7- 13+1
2 2 从而实数 x的取值范围是 ( 2 , 2 ) .
【方法归纳】
在处理多元的数学问题时 ,我们可以选取其中的常量 (或参数 ),将其看做 “主元”,通过构造函数进
行求解 .运用转化方法解题 ,要注意转化的方向性 ,使转化的目的明确 ,使解题思路自然流畅 ,此外还要注
意转化前后的等价性 .
跟踪集训
7.无论 k为何实数 ,直线 y=kx+1与曲线 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点 ,则实数 a的取值范围
是 .
8.如图 ,在棱长为 2的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中,点 E,F分别是 AB,CD 的中点 ,点 G是 EF上的动点 ,记
△A1B1G,△C1D1G的面积分别为 S1,S2,则 S1+S2的最小值为 .
技法四 待定系数法
待定系数法是为确定变量间的函数关系 ,设出未知数 ,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方
法,其理论依据是多项式恒等 .多项式 f(x)≡g(x)的充要条件是 :对于一个任意的 a值 ,都有 f(a)≡g(a);或
者两个多项式各同类项的系数对应相等 .
典型例题
例 4 已知圆 M 的方程为 x2+(y-2)2=1,直线 l的方程为 x-2y=0,点 P在直线 l上 ,过 P点作圆 M的
切线 PA,PB,切点为 A,B.
(1)若 P点的坐标为 (2,1),过 P作直线与圆 M 交于 C,D两点 ,当 CD=√2时,求直线 CD的方程 ;
(2)求证 :经过 A,P,M 三点的圆必过定点 ,并求出所有定点的坐标 .
解析 (1)易知直线 CD的斜率 k存在 ,设直线 CD的方程为 y-1=k(x-2),即 kx-y+1-2k=0.由题知圆
√2, √2=| -2 -1|心 M(0,2)到直线 CD的距离为 所以 2,解得 k=-1或 k=-
1,故所求直线 CD的方程为 x+y-3=0或
2 2 √1+ 7
x+7y-9=0.
(2)证明 :设 P(2m,m),则 MP的中点 Q( , 2 + 1) .
因为 PA是圆 M的切线 ,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q为圆心 ,MQ 为半径的圆 ,故其方程为 (x-
2 2 2 2
m)2+( - -1) =m2

2 +( 2 -1) ,化简得 x
2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m的恒等式 ,故{ + -2y = 0,2 + -2 = 0,
4
= 0, = 5 ,解得 { = 2或{ 2 所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点 (0,2) (
4 2
或 5 ,5) . = 5 .
【方法归纳】
待定系数法解题的基本步骤 :
第一步 :确定含有待定系数的式子 ;
第二步 :根据恒等的条件 ,列出一组含待定系数的方程 ;
第三步 :解方程 (组)或者消去待定系数 ,得到结果 .
跟踪集训
9.已知二次函数 f(x)的图象与 x轴的两交点坐标为 (2,0),(5,0),且 f(0)=10,则 f(x)的解析式
为 .
5
10. √已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,其离心率为 3 ,短轴的端点是 B1,B2,点 M(2,0)是 x轴上的
一定点 ,且 MB 1⊥MB 2.
(1)求椭圆 C的方程 ;
(2)设过点 M 且斜率不为 0的直线交椭圆 C于 A,B 两点 .试问 x轴上是否存在定点 P,使直线 PA与 PB
的斜率互为相反数 若存在 ,求出点 P的坐标 ;若不存在 ,说明理由 .
技法五 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法 .通过引入新的变量 ,可以把分散的条件联系起来 ,使隐含的
条件显露出来 ,或者变为熟悉的形式 ,简化计算或证明 .换元的实质是转化 ,关键是构造元和设元 ,理论依
据是等量代换 ,目的是变换研究对象 ,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化 .换元法经常用于三角
函数的化简求值、复合函数解析式的求解等 .
典型例题
例 5 已知函数 f(x)=x 2,g(x)=aln x+bx(a>0).设 G(x)=f(x)+2-g(x) 有两个零点 x1,x2,且 x1,x0,x2成等
差数列 ,试探究 G'(x0)的符号 .
2
解析 因为 G(x)=x +2-aln x-bx 有两个零点 x1,x2,
21 + 2-aln 1 -b 1 = 0,所以 {
2 2 + 2-aln 2 -b 2 = 0,
两式相减得 22 - 21 -a(ln x2-ln x1)-b(x 2-x1)=0,
x (ln 2 - ln )即 2+x1-b= 1 ,2- 1
G'(x )=2x - 于是 0 0 -b=(x1 +x -b)-
2
2
0 1+ 2
= (ln 2 -ln 1 ) - 2
2 - 1 1+ 2
2( - )
=
- [ln
2 - 2 1 + ]2 1 1 1 2
2(
2- 1)
= [ln 2 - 1 - 1+ 2 ] .2 1 1 1
①当 01,
1
2( -1)
且 G'(x0)= - [ln - 1+ ].2 1
2( -1)
设 u(t)=ln t- (t>1),1+
1 4 (1 - 2)
则 u'(t)= -
(1+ )2
= 2 >0, (1+ )
u(t)=ln t-2( -1)则 1+ 在 (1,+ ∞上)为增函数 ,
2( -1)
而 u(1)=0,所以 u(t)>0,即 ln t- 1+ >0.
又因为 a>0,x2-x1>0,所以 G'(x0)>0.
②当 00.
综上所述 ,G'(x0)的符号为正 .
【方法归纳】
本题涉及两个变量 x1,x2,在解题时利用换元法简化过程 ,然后构造函数 ,再利用导数法 ,结合函数单
2
调性进行符号的判断 .本题把式子 看成一个整体 ,用变量 t去代替它 ,从而达到化二元为一元的目的 ,同1
时使本来零乱、分散的问题得到简化 .这种技巧在解题时非常重要 ,需要灵活运用 .
跟踪集训
11.若 f(ln x)=3x+4,则 f(x)的表达式为 .
22
12. x x已知函数 f(x)=4 ,g(x)=2 ,则方程 f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)= 9的解为 .
13.y=sin xcos x+sin x+cos x的最大值是 .
技法六 构造法
用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型 ,从而简化推导与运算过程 .构造法是
建立在观察联想、分析综合的基础上的 ,首先应观察题目 ,观察已知条件形式上的特点 ,然后联想、类
比已学过的知识及各种数学结构、数学模型 ,深刻了解问题及问题的背景 (几何背景、代数背景 ),通过
构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题 .
典型例题
例 6 在四面体 ABCD 中 ,若 AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2 √5,则该四面体的体积
V= .
答案 8
解析 构造如图所示的长方体 ,并且满足 AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2 √5.
设 AP=p,AQ=q,AR=r,
则 p2+q2=AB 2=13,r2+p2=AD 2=20,q2+r2=AC2=25.
由上述三式得 p2+q2+r2=29,于是 r=4,q=3,p=2.
1 1
故 V=V 长方体 -4VC-AQB=2×3×4-4×3×4×2×2×3=8.
【方法归纳】
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用 ,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造
的方向 .一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题 .在立体几何中 ,补形
构造是最常用的解题技巧 .通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解 ,如将三棱
锥补成长方体等 .
跟踪集训
( -) ( )
14.设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R,若对任意 b>a>0, - <1恒成立 ,则 m的取值范围为 .
15.(2018 2南通高三第二次调研 )已知 a为常数 ,函数 f(x)=
- 2 - 1- 2的最小值为 -3,则 a的所有值√ √
为 .
技法七 逆向思维法
解数学问题时 ,一般总是从正面入手进行思考 .但时常会遇到从正面入手较复杂或不易解决的情况 ,
这时若灵活运用逆向思维来分析解题 ,则能使问题得到非常简捷的解决 ,起到事半功倍之效 .
典型例题
例 7 已知二次函数 f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间 [-1,1]内至少存在一个数 c,使 f(c)>0,则实数 p
的取值范围是 .
3
答案 ( -3, 2)
解析 若 f(x)在[-1,1]上不存在使 f(c)>0的数 c,则 f(x)在[-1,1]内小于等于 0,又 Δ =362p≥0,故 f(-
3
1)≤0且 f(1)≤0,因此若要满足题意 ,则只需 f(-1)>0 或 f(1)>0即可 ,由 f(1)>0,得 2p2+3p-9<0,即 -31 3
f(-1)>0,得 2p2-p-1<0,即-2【方法归纳】
直接利用二次函数在区间 [-1,1]上的图象特征求至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,这个问题似乎无从
下手 ,困难较大 .若用逆向思维利用补集思想求解 ,则很直观简捷 .
跟踪集训
16.已知集合 A={x|x 2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}, 若 A∩B≠ ,则实数 m的取值范围
是 .
技法八 分离参数法
分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法 ,通过分离参数将问题转化为相应函数的
最值或范围问题 ,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程 .该方法也适用于含参方程有解、无解等问
题.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况 .
典型例题
例 8 已知函数 f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中 a,x∈R.
(1)求过点 (2,0)和函数 y=f(x)图象相切的直线方程 ;
(2)若对任意 x∈R,有 f(x)≥g(x)恒成立 ,求 a的取值范围 ;
(3)若存在唯一的整数 x0,使得 f(x 0)解析 (1)设切点为 (x0,y0), f '(x)=ex(3x+1),则切线斜率为 e 0(3x0+1),
所以切线方程为 y-y0=e 0 (3x0+1)(x-x 0),
因为切线过点 (2,0),
所以 -e 0 (3x0-2)=e 0 (3x0+1)(2-x0),
8
化简得 3 20 -8x0=0,解得 x0=0或 x0=3,
当 x0=0时 ,切线方程为 y=x-2,
8 8 8
当 x0= 时,切线方程为 y=9e33 x-18e3.
(2)由题意 ,对任意 x∈R有 ex(3x-2)≥a(x-2)恒成立 ,

①当 x (- ,2) ,a e (3x -2) e (3x - 2)∈ ∞ 时 ≥
- 2 a≥ [ -2 ] ,max
e (3x -2) e (3 2 -8x)
令 F(x)= ,则 F'(x)=
-2 ( -2) 2
,
令 F'(x)=0,得 x=0,
x (-∞ ,0) 0 (0,2)
F'(x) + 0 -
F(x) 单调递增 极大值 单调递减
Fmax(x)=F(0)=1,故此时 a≥1,
②当 x=2时 ,恒成立 ,故此时 a∈R.
e (3x - 2) e (3x -2)
③当 x∈(2,+ ∞时),a≤
-2 a≤[ -2 ] ,min
令 F'(x)=0 x=83,
8 8 8
x (2, ) ( , + ∞)
3 3 3
F'(x) - 0 +
F(x) 单调递减 极小值 单调递增
8 8 8
Fmin(x)=F( ) =9e3 ,故此时 a≤9e33 .
8
综上 ,1≤a≤9e3 .
(3)因为 f(x)8
由(2)知 a∈(-∞ ,1∪) (9e3,+∞ ),
e (3x -2)
令 F(x)= -2 ,则
8 8 8
x (-∞ ,0) 0 (0,2) (2, ) ( , + ∞ )
3 3 3
F'(x) + 0 - - 0 +
单调递 极大 单调递单调递 极小
F(x) 单调递增
增 值 减 减 值
当 x∈ (-∞ ,2时) ,存在唯一的整数 x0使得 f(x 0)e (3x - 2)
等价于存在唯一的整数 x0使得 a< 成立 ,
-2
因为 F(0)=1最大 ,F(-1)= 53e ,F(1)=-e,
5
所以当 a<3e时,至少有两个整数成立 ,
5
所以 a∈[3e ,1) .
当 x∈ (2,+ ∞时),存在唯一的整数 x0使得 f(x 0)e (3x - 2)
等价于存在唯一的整数 x0使得 a> -2 成立 ,
8 8
因为 F( 3 ) =9e
3 3 4 4最小 ,且 F(3)=7e ,F(4)=5e ,所以当 a>5e 时 ,至少有两个整数成立 ,
所以当 a≤7e3时,没有整数成立 ,所以 a∈ (7e3,5e4],
5
综上 ,a∈[3e ,1)∪ (7e
3,5e4].
【方法归纳】
对于求不等式成立时参数范围的问题 ,在可能的情况下把参数分离出来 ,使不等式一端是含有参数
的不等式 ,另一端是一个区间上的具体的函数 .但要注意分离参数法不是万能的 ,如果分离参数后 ,得出
的函数解析式较为复杂 ,性质很难研究 ,那么就不要使用分离参数法 .
跟踪集训
17.若不等式 2xln x≥ -x2+ax-3恒成立 ,则实数 a的取值范围为 .
1 4
18.已知函数 f(x)= x3-x23 -3x+3,直线 l:9x+2y+c=0,当 x∈ [-2,2]时,函数 f(x)的图象恒在直线 l下方 ,则 c的
取值范围是 .
技法九 整体代换法
整体代换法是根据式子的结构特征 ,在求值过程中 ,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个
整体来处理 ,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法 .利用该种方法求值 ,可以避免烦
琐的计算 .该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算 .
典型例题
例 9 在等比数列 {an}中,公比 q=2,前 87项和 S87=140,则 a3+a6+a9+ +a87= .
答案 80
解析 设 b1=a1+a4+a7+ +a85,b2=a2+a5+a8+ +a86,b3=a3+a6+a9+ +a87,
因为 b1q=b2,b2q=b3,且 b1+b2+b3=140,
所以 b1(1+q+q2)=140,而 1+q+q2=7,
所以 b1=20,则 b3=q2b1=4×20=80.
【方法归纳】
整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征 ,确定已知和所求之间的关系 .
跟踪集训
1 1 1 1 7
19.设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 a2a4a6a8=120,且 9 4 6 + + +8 2 6 8 2 4 8 =60 ,则 S 的值2 4 6
为 .
20.在正项等比数列 {an}中,a4+a3-2a2-2a1=6,则 a5+a6的最小值为 .
技法十 判别式法
判别式法就是利用一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有解的充要条件 (判别式 Δ=b2-4ac≥0)求解 .
典型例题
例 10 已知 α , β为,任γ意三角形的三个内角 ,求证 :
x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcosβ+2zxcosγ.
2 2 2
证明 设 f(x)=x +y +z -(2xycos α+2yzcosβ+2zxcosγ)
=x2-2(ycos α+zcosγ )x+2y+z2-2yzcos β,
因为 Δ =4(ycosα +zcos 2γ)-4(y2+z2-2yzcos β)
=-4(ysin α-zsin γ2)≤0,
所以 f(x)≥0,即 x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcosβ+2zxcosγ.
【方法归纳】
判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具 ,是不等式之间相互转化的重要桥梁 ,运用判别
式法证明不等式有两种途径 :(1)构造一元二次方程 ,然后利用 Δ≥0来证明 ;(2)构造恒大于 (或小于 )零的
一元二次函数 ,然后利用 Δ≤0来证明 .
跟踪集训
2 2+4x -7
21.函数 y=
2 +2x+3 的值域为 .
22.设 a1,d为实数 ,首项为 a1,公差为 d的等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,满足 S5S6+15=0,则 d的取值范
围是 .
23.给定两个长度为 1的平面向量 和 , 它 们 的夹角为 120°.如图所示 ,点 C在以 O为圆心的 上 运
动,若 = x + y , 其 中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是 .
技法十一 归纳法
归纳法的过程可概括为
从具体问
题出发 观察、分析、
比较、联想 归纳、类比 提出结论
发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明 .
典型例题
1 3 1 1 5 1 1 1 7
例 11 (2018江苏沭阳调研 )观察下列式子 :1+22<2,1+22 +32<3 ,1+2 2 +32+4 2<4, ,据其中规律 ,可以
1 1 1 1
猜想出 :1+ 2+ 2+ 2 + +2 3 4 10 2< .
19
答案 10
解析 由已知中的不等式 :
1 3 2×2-1 1 1 5 2×3-1 1 1 1 7 2×4-1
1+ < = ,1+ + < = ,1+ +
22 2 2 22 32 3 3 22 32
+ 2 < = , ,4 4 4
我们可以推断出 :不等式右边分式的分母与左边最后一项分母的底数相等 ,分子是分母的 2倍减 1,
即
1+ 1 12+ 2+
1
2+ +
1 <2 -12 ,∴1+
1 1 1 1 2× 10-1
2+ 2 + 2+ + 2 < =
19 , 19故答案为 .
2 3 4 2 3 4 10 10 10 10
【方法归纳】
归纳问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理 .观察数字特点 ,找出等式左右两侧的规律及符号可解 .
(2)与不等式有关的推理 .观察每个不等式的特点 ,注意是纵向看 ,找到规律后可解 .
(3)与数列有关的推理 .通常是先求出几个特殊项 ,采用不完全归纳法 ,找出数列的项与项数的关系 ,
列出即可 .
(4)与图形变化有关的推理 .合理利用特殊图形归纳推理得出结论 ,并用赋值检验法验证其真伪性 .
跟踪集训
1-
24.(2018江苏如皋调研 )已知函数 f0(x)= ,设 fn+1e (x)为 fn(x)的导函数 , f1(x)=[f 0(x)]'= e ,
-2
f2(x)=[f 1(x)]'= e , ,根据以上结果 ,推断 f2 017(x)= .
25.某种平面分形图如图所示 ,一级分形图是由一点出发的三条线段 ,长度均为 1,两两夹角为 120°组成
1
的;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的 3的线段 ,且这两条线段与
原线段两两夹角为 120 °; ,依此规律得到 n级分形图 .
(1)n级分形图中共有 条线段 ;
(2)n级分形图中所有线段长度之和为 .
技法十二 等积转化法
等积转化法是通过变换几何体的底面 ,利用几何体 (主要是三棱锥 )体积的不同表达形式求解相关
问题的方法 .其主要用于立体几何中求解点到面的距离 .
典型例题
例 12 如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD是边长为 2的正三角形 ,且与底面垂直 ,底面 ABCD
是∠ABC=60 °的菱形 ,M 为 PC的中点 .
(1)求证 :PC⊥AD;
(2)求点 D到平面 PAM 的距离 .
解析 (1)证明 :如图 ,取 AD 的中点 O,连接 OP,OC,AC,
△PAD,△ACD 均为正三角形 ,所以 OC⊥AD,OP⊥AD.
又 OC∩OP=O,所以 AD⊥平面 POC,
又 PC 平面 POC,所以 PC⊥AD.
(2)点 D到平面 PAM 的距离即点 D到平面 PAC的距离 ,由 (1)可知 ,PO⊥AD,又平面 PAD⊥平面
ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO 平面 PAD,所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO为三棱锥 P-ACD的
高.
在 Rt△POC中,PO=OC=√3,PC=√6,在△PAC中 ,PA=AC=2,PC=√6,边 PC上的高
2
AM=√ 2 2=√ 2 √6-P 2 - ( ) =√
10 ,
2 2
PAC S =1 1 √10 √15所以△ 的面积 △PAC 2PC·AM= 2×√6×2 = 2 .
设点 D到平面 PAC的距离为 h,因为 VD-PAC=V P-ACD ,
1 1
所以 S△PAC·h= S△ACD·PO,3 3
1 1 √15 1 2√15
又 S△ACD= ×2×√3=√3,所以 × ×h= × 3× 3,解得 h= .2 3 2 3 √ √ 5
故点 D 2√15到平面 PAM 的距离为 5 .
【方法归纳】
等积变换法求解点到平面的距离 ,关键是选择合适的底面 ,选择的底面应具备两个特征 :一是底面
的形状规则 ,面积可求 ;二是底面上的高比较明显 ,即线面垂直比较明显 .
跟踪集训
26.如图所示 ,四边形 ABCD 是正方形 ,PA⊥平面 ABCD,E,F 分别是 AC,PC的中点 ,PA=2,AB=1,则三棱
锥 C-PED的体积为 .
27.如图所示 ,已知正方形 ADEF与梯形 ABCD 所在的平面互相垂
直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= 1
2CD=1.
(1)当点 M 为 ED的中点时 ,求证 :AM∥平面 BEC;
(2)求点 D到平面 BEC的距离 .
答案精解精析
技法一 特例法
跟踪集训
3
1.答案 2
3
解析 题目中“求值”二字暗示答案为一定值 ,于是不妨令 a=0 ,°得结果为 2.
2.答案 ②
解析 依题意可取特殊模型正方体 AC1(如图 ),在正方体 AC1中逐一判断各命题 ,易得正确的命题是 ②.
3.答案 1
9 9 6 6 1 6 6
解析 不妨取点 P(4, 15) ,则可计算 S =(3 - 5)×(5-4)=5,易求得 PD=2,PE= ,所以 S25 =2×2×5 =5,所以
S1∶S2=1.
技法二 图解法
跟踪集训
4.答案 2
解析 如图 ,因为 PQ为圆 C2的切线 ,所以 PQ⊥C2Q,由勾股定理 ,得 |PQ|=√ | 2 | 2-1,要使 |PQ|最小 ,则
|PC2|最小 ,
显然当点 P为 C1C2与圆 C1的交点时 ,|PC2|最小 ,
此时 ,|PC2|=|C1C2|-1,
|C1C2|=√ 2 + ( -k + 4) 2=√2( - 2) 2 + 8≥2√2.
当 k=2时 ,|C1C2|最小 ,同时 |PQ|最小 .
5.答案 105°≤β≤165°
解析 不妨令 O为坐标原点 .
∵ = ( 2 ,0), = ( 2,2),
∴B(2,0),C(2,2),
∵ = (√2cos α√,2sin α )∴, | |= √2,
∴点 A 在以点 C为圆心 ,√2为半径的圆上 .
∴当 OA 与圆 C相切时 ,向量 与 向 量 的 夹角 β取得最大值或最小值 .
设切点分别为点 A和点 A',连接 OC,OA,OA',如图 ,则 OC=2√2,AC⊥OA,
∵sin AOC= 1∠
= 2,
∴∠AOC=∠A'OC=30°,
∴∠AOB=∠A'Oy=15°,
∴当切点为点 A时,向量 与 向 量 的 夹角 β取得最小值 15°+90 °=105 ,°
当切点为点 A'时,向量 与 向 量 的 夹角 β取得最大值 180 °-15 =°165 .°
故答案为 105 °≤β≤165 .°
6. ( 1 √2, ) ( √
2
答案
e 2 ∪ 2 ,1)
1
解析 当 m<0时, f(x)=ex- 的图象在 x轴上方 ,无零点 ,
g(x)=(x-1)(mx+2m 2-m-1)至多有 2个零点 ,与题意不符 .
当 m>0时, f(x)=ex
1 1
- 的零点为 x=ln =-ln m,
1
g(x)=(x-1)(mx+2m 2-m-1)的零点为 x1=1,x2=1+ -2m.
(1) 1若 1+ -2m>1,则有 0 2
1 1 1 2
由图可知 ,要有 3个零点 ,需满足 -ln m<1,即 ln √
即 m>e,所以 e(2) 1+ 1 -2m<1, m>√2若 则有 ,画出两函数图象如图 .
2
1 1
由图可知 ,要有 3个零点 ,需满足 -ln m<1+ -2m,即 1+ -2m+ln m>0,
1
令 φ (m)=1 -2m+ln m, +
1 1
求导得 φ '(m)-= 2-2+ =
-2 2 +m -1
2 ,
对于函数 k(m)=-2m 2+m-1,Δ=-18=-7<0,所以 k(m)<0 恒成立 ,
1 2
即 φ '(m)<0恒成立 ,所以函数 φ (m)=1 + -2m+ln m在(
√
2 , + ∞)上是减函数 ,
又 φ (1)=0,
√2
所以当 m∈( 2 ,1)时, φ (m)>0,
√2
所以 1 √2 √2
综上可知 ,实数 m的取值范围是 (
e , 2 )∪( 2 ,1) .
技法三 等价转化法
跟踪集训
7.答案 [-1,3]
解析 题设条件等价于点 (0,1)在圆内或圆上 ,即等价于点 (0,1)到圆心 (a,0)的距离小于或等于圆的半径 ,
即√ 2 + 1≤√2 + 4,解得 -1≤a≤3.
8.答案 2√5
解析 设 EG=x,则 FG=2-x,0≤x≤2,
1 1
则 S1+S2= ×22 √
2 + 4+ ×22 √ (2-
2) + 4
=√ ( - 0) 2 + (0 -2) 2+√ ( - 2) 2 + (0 -2) 2,
在平面直角坐标系中 ,它表示 x轴上的点 P(x,0)到 M(0,2)与 N(2,2)两点的距离之和 ,而点 M关于 x轴的
对称点为 M'(0,-2),且当 P在直线 M'N 上时 ,PM+PN最小 ,为 2√5,则 S1+S2的最小值为 2√5.
技法四 待定系数法
跟踪集训
9.答案 f(x)=x 2-7x+10
解析 设二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a≠0).
∵二次函数 f(x)的图象与 x轴的两交点坐标为 (2,0),(5,0),且 f(0)=10,
4 + 2 + = 0, = 1,
∴{25 + 5 + = 0,∴{ = -7,
= 10, = 10,
∴f(x)=x 2-7x+10.
2 2
10.解析 (1)设椭圆的标准方程为 2 + 2=1(a>b>0),
∴ 1 = ( -2 , b ), 2 =(-2,-b),
∵ 1 ⊥ 2 ,∴ 1 · 2 =0,
解得 b2=4,
√ 2 - 2 2 √5
又 e= =√1- 2 = 3 ,
解得 a2=9,
2 2
故椭圆的标准方程为 9 + 4 =1.
(2)存在 .
2 2
假设存在满足条件的定点 P,其坐标为 (t,0),由题意可设直线 AB 的方程为 x=my+2,代入 9 + 4 =1,
整理得 (4m2+9)y2+16my-20=0,
y -16 20∴ 1+y2=4 2+9 ,y1·y2=- 4 2 +9 .
设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),

∵PA,PB 1所在直线斜率分别为 kPA= PB -t ,k =
2
1
,
2 -t
∴kPA+kPB=0 y1(x2-t)+y 2(x 1-t)=0 2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0 -40m-16m(2-t)=0.
9
上式对任意 m∈R恒成立 ,其充要条件为 -40m-16m(2-t)=0,解得 t=
2.
9
故存在满足条件的定点 P,其坐标为 ( 2 ,0) .
技法五 换元法
跟踪集训
11.答案 f(x)=3ex+4
解析 令 ln x=t,则 x=et, f(t)=3et+4,即 f(x)=3ex+4.
1
12.答案 x=log23或 x=log2
3
f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)= 22 , 4x+4-x-2(2x+2-x)=22解析 由 得 ,令 t=2x+2-x9 9 ,则 4
x+4-x=t2-2,故原方程可化为
2 10 t=-4 x -x 10 1 109t -18t-40=0,解得 t= 3或 3(舍去 ),则 2 +2 = , 2
x
3 即 +2 = 3 ,
1
解得 2x=3或 2x=3,
1
所以 x=log 23或 x=log2 .3
1
13.答案 +
2 √2
2
解析 设 sin x+cos x=t,则 t∈[- 2, 2], y= 1 1 2 1√ √ 则 max2 +t-2=2(t+1) -1,当 t=√2时,y取最大值 ,y =2+√2.
技法六 构造法
跟踪集训
14. [1答案 4 , + ∞)
( -) ( )
解析 对于任意的 b>a>0, <1恒成立 ,等价于 f(b)-b0), -
1
则 h(b)2+x=-( -
1 2 1 1 1
2) +4 (x>0),所以 m≥4,即实数 m的取值范围为 [ 4 , + ∞ ) .
1
15.答案 4,4
解析 构造平面向量的数量积 .
由函数解析式可得 a>0,a≠1,
√ 2 √ 2
f(x)= - +x 1 - - 1 ,令 m=(x,√1-
2 ),n=(√ - 2 ,x),则 |m|=1,|n|=√ ,设 m,n的夹角是 α ,∈α[0, π则],
2 1
x√ - 2 +x√1- 2=m·n=√ cos α∈[-√ ,√ ],当 0√
min= -1=-3,解得 a=4,适合 ;当 a>1时,
f(x) √ 2 1min=- -1=- 3,解得 a=4,适合 ,故 a的值为 4或 4.
技法七 逆向思维法
跟踪集训
16.答案 (-∞,-1]
解析 若 A∩B= ,则
①当 A= 时 ,有 Δ=-(4m)2 3-4(2m+6)<0,解得 -12
( -4 )2 -4(2m + 6) ≥0,
②当 A≠ 时,方程 x2 3-4mx+2m+6=0的两根 x1,x2均为非负数 ,则{ 1 + 2 = 4m ≥0, 解得 m≥ ,2
1 · 2 = 2m + 6 ≥0,
则当 A∩B= 时,m>-1,
故所求实数 m的取值范围为 (-∞,-1].
技法八 分离参数法
跟踪集训
17.答案 (-∞ ,4]
3
解析 已知条件可转化为 a≤2ln x+x+ 恒成立 .
3
设 f(x)=2ln x+x+ ,
f '(x)= ( +3)( -1)则 2 (x>0).
当 x∈(0,1)时, f '(x)<0,函数 f(x)单调递减 ;
当 x∈(1,+ ∞时), f '(x)>0,函数 f(x)单调递增 ,
所以 f(x) min=f(1)=4,所以 a≤4.
18.答案 (-∞,-6)
1
解析 根据题意知 x33 -x
2-3x+ 43<-
9
2x-

2在 x∈[-2,2]上恒成立 ,
1 3 2 3 4则-2>3x -x +2x+3,
1 3 4
设 g(x)=3x
3-x2+2 x+3,
3
则 g'(x)=x 2-2x+ ,2
因为 g'(x)>0恒成立 ,
所以 g(x)在[-2,2]上单调递增 ,
所以 g(x)max=g(2)=3,则 c<-6.
技法九 整体代换法
跟踪集训
63
19.答案
2
1 1 1 1
解析 4 +6 8 2 +6 8 2 4 +8 2 4 6

= 2

+ 4

+ 6
8 7
2 8 2 8
120 120 120 +120 =60 ,则 2(a +a )=14,即 a +a =7,
9( 2+ 8 ) 63
所以 S9= 2 = 2 .
20.答案 48
解析 设正项等比数列的公比为 q,q>0,则 a4+a3-2a2-2a1=(a2+a1)(q2-2)=6,
则 a 6 22+a1= 2 -2>0,q >0,
6 4 24 4
a5+a6=(a2+a 41)q = 2 -2=6(q
2-2)+ 2 -2+24≥12√(
2 -2)· 2 -2+24=48,当且仅当 q=2时取等号 ,故 a5+a6的最
小值是 48.
技法十 判别式法
跟踪集训
9
21.答案 [ - 2 ,2)
解析 已知函数式可变形为 yx2+2yx+3y=2x 2+4x-7,即(y-2)x 2+2(y-2)x+3y+7=0,
当 y≠2时,将上式视为关于 x的一元二次方程 ,
∵x∈R,∴Δ≥0,
即[2(y-2)] 2-4(y-2)(3y+7)≥0,
2+5y-18 0, 2(y-2)( + 9) 0, -9整理得 2y ≤ 因式分解得 ≤ 解得 ≤y<2(也可以依据二次函数 y=2x22 2 +5x-18在
x轴下方的图象求解 ).
当 y=2时 ,3 ×2+7≠0,不符合题意 ,应舍去 .
9
故函数的值域为 [ - 2 ,2) .
22.答案 (-∞,-2√2]∪ [2√2,+∞)
解析 因为 S5S6+15=0,
所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
化简得 2 21 +9da
2
1+10d +1=0.
因为 a1∈R,
所以 Δ =812d-8(10d2+1)≥0,
得 d≥2√2或 d≤-2√2.
23.答案 2
解析 因为 2 = (x + y ) 2, 所 以 x2+y2-xy=1.(*)
记 x+y=t,则 x=t-y,代入 (*),得(t-y) 2+y2-(t-y)y=1,化简得 3y2-3ty+t2-1=0,因为 Δ=-(3t)2-12(t2-1)≥0,所以
t2≤4,所以 x+y 的最大值是 2.
技法十一 归纳法
跟踪集训
2 017 -
24.答案 e
1×e -(x -2)e 3 - n-1 - 2 017-12 017 - 2 017 - 解析 f3(x)=[f 2(x)]'= = n(x)=(-1) 2 017(x)=(-1) = .
(e )2 e f e f e e

25. 2答案 (1)3·2n-3 (2)9-9· ( 3)
解析 (1)由题图知 ,一级分形图中有 3=3 ×2-3条线段 ,二级分形图中有 9=3 ×22-3条线段 ,三级分形图中
有 21=3 23×-3条线段 ,按此规律得 n级分形图中的线段条数为 3·2n-3.
1
(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 3的线段 ,∴n级分形图中第 n级的 (最短的 )
2 -1 *
所有线段的长度和为 3· ( ) (n∈N ),∴n级分形图中所有线段的长度之和为3
2
2 03 ( 2
1 2 -1 1-( )
· 3) +3· ( 3) + +3· ( 3 ) =3·
3
2 =9-9·(
2
3) .1-
3
技法十二 等积转化法
跟踪集训
26. 1答案 6
解析 ∵PA⊥平面 ABCD,
∴PA是三棱锥 P-CED的高 .
∵四边形 ABCD 是正方形 ,E是 AC的中点 ,
∴△CED是等腰直角三角形 .
∵AB=1,∴CE=ED=√2 ,
2
S =1 1 √2 √2 1∴ △CED 2CE·ED=2×2 ×2 =4.
V 1 1 1 1∴ C-PED=V P-CED= ·S△CED·PA=3 3×4×2=6.
27.解析 (1)证明 :如图 ,取 EC的中点 N,连接 MN,BN.
在△EDC中,M,N 分别为 ED,EC的中点 ,
1
所以 MN∥CD,且 MN= 2CD.
又 AB∥CD,AB= 12 CD,
所以 MN∥AB,且 MN=AB.
所以四边形 ABNM 为平行四边形 ,所以 BN∥AM.
因为 BN 平面 BEC,且 AM 平面 BEC,
所以 AM∥平面 BEC.
(2)如图 ,连接 BD.
在正方形 ADEF 中,ED⊥AD,
因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,
所以 ED⊥平面 ABCD,而 BC 平面 ABCD,所以 ED⊥BC.
在直角梯形 ABCD 中 ,AB=AD=1,CD=2, 可得 BC=√2.
在△BCD 中,BD=BC=√2,CD=2,
所以 BD2+BC2=CD2,所以 BC⊥BD.
又 DE∩DB=D,所以 BC⊥平面 EDB.
又 BE 平面 EDB,所以 BC⊥BE.
设点 D到平面 BEC的距离为 d,
由 VD-BEC=VE-BCD ,
1 1
得 S△BEC·d= S△BCD3 3 ·ED,
即 S△BEC·d=S△BCD·ED.
在△EDB中,BE=√ 2 + D 2=√3,
1 1 √6
所以 S△BEC= ·BE·BC=2 2×√3×√2= 2 ,
=1 BD BC=1又 S△BCD · ·2 2×√2×√2=1,
√6 √6
所以
2 d=1×1,得 d= 3 ,
√6
于是点 D到平面 BEC的距离为 3 .填空题专练 (三)
1.(2018 江苏淮阴中学阶段检测 )设集合 A={1,2},B={x|x 2+2x+m=0,x ∈R},若 A∩B={1}, 则实数
m= .
2.(2018 南京高三学情调研 )若 (a+bi)(3-4i)=25 (a,b ∈R,i为虚数单位 ),则 a+b 的值为 .
3.(2018 江苏南通高三调研 )根据如图所示的伪代码 ,可知输出的结果 S为 .
S←1
i←1
While i ≤5
S←S+i
i←i+2
End While
Print S
4.(2018 江苏南京高三上学期期中考试 )从 1,2,3,4,5 这 5 个数中 ,随机抽取 2 个不同的数 ,则这 2 个数
的和为奇数的概率是 .
5.(2018 江苏泰州中学检测 )在某个样本容量为 300 的样本的频率分布直方图中 ,共有九个小长方形 .
1
若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的 5,则中间一组的频数为 .
6.(2018 江苏海安高级中学高三月考 )已知等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=7,S 6=63, 则
a7+a 8+a 9= .
2 2
7.(2018 苏北四市高三第一次调研 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 2- 2 =1(a>0,b>0) 的一条
渐近线方程为 x-2y=0, 则该双曲线的离心率为 .
8.若函数 f(x)=x 3+ax 2+3x-1(a>0) 在其定义域内为增函数 ,则实数 a的取值范围是 .
9.函数 f(x)=Asin( ωx+φ)(A>0, ω>0,0 ≤φ<2 π)在 R上的部分图象如图所示 ,则 f(2 017) 的值
为 .
15 3
10. ABC , AB=3,A=120 , ABC √在△ 中 已知 °且△ 的面积为 4 ,则 BC边的长为 .
|2 + 1|, < 1,
11.(2018 江苏丹阳中学等三校联考 )已知 m∈R,函数 f(x)= { g(x)=x 2-2x+2m-1, 若函
log2(x-1),x > 1,
数 y=f(g(x))-m 有 6 个零点 ,则实数 m 的取值范围是 .

12.已知正实数 a,b 满足 9a2+b 2=1, 则3 + 的最大值为 .
13.(2019 江苏高三第四次模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C经过 M(1,3),N(4,2),P(1,-7) 三点 ,且直
线 l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆 C的一条对称轴 ,过点 A(-6,a) 作圆 C的一条切线 ,切点为 B,则线段 AB 的长
度为 .
1
14.(2019 盐城、南京高三第一次模拟 )若数列 {an}满足 a1=0,a 4n-1 -a 4n-2 =a 4n-2 -a 4 4 +14n-3 =3, =4 -1 =4 2,
其中 n∈N *,且对任意 n∈N *都有 an答案精解精析
1.答案 -3
解析 由题意知 ,1∈B,且 2 B,所以 3+m=0,8+m ≠0,
所以 m=-3.
2.答案 7
25
解析 由题意得 a+bi= 3- 4i =3+4i, 则 a=3,b=4, 则 a+b=7.
3.答案 10
解析 执行循环得 S=2,i=3;S=5,i=5;S=10,i=7, 结束循环 ,输出 S=10.
3
4.答案 5
解析 从 1,2,3,4,5 这 5 个数中 ,随机抽取 2 个不同的数 ,有 10 种取法 ,其中这 2 个数的和为奇数的结
6 3
果有 1 和 2、1 和 4、3 和 2、3 和 4、5 和 2、5 和 4,共 6 种,则所求概率是 10= 5.
5.答案 50
解析 在频率分布直方图中 ,小长方形的面积等于该组数的频率 ,小长方形的面积之和为 1,设中间一个
1 1 1
小长方形的面积为 x,则 x= 5(1-x),解得 x= 6,所以中间一组的频数为 6×300=50.
6.答案 448
解析 由等比数列的性质可得 S3,S6-S3,S9-S6, 成等比数列 ,设其公比为 q(q≠0).又由题意可得
S3 =7,S 6-S
56
3=56, 所以 q= 7 =8,S 9-S6=a 7+a 8+a 9=56 ×8=448.
7. √5答案 2
2 2 1
解析 由双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 x-2y=0, 得 = 2 ,则该双曲线的离心率为
2
e= =√

1 + ( ) = √
5
2 .
8.答案 0解析 由题意可知 f '(x)=3x 2+2ax+3 ≥0 在 R上恒成立 ,∴Δ=4a 2-36≤0,∴a2≤9,∴0f '(x)=3x 2+6x+3=3(x+1) 2≥0(只有当 x=-1 时,f '(x) 才等于 0),因此 09. 5√3答案 2
π π
解析 由题图知 A=5,T=12, ∴ω= 6, f(x)=5sin ( 6 x + φ) (0≤φ<2 π).又当 x=5 时 , f(x)=0,
π
∴5sin ( 6×5 + φ) =0,
π
∴φ= 6 ,
π π
即 f(x)=5sin ( 6 x + 6) ,
π π
∴f(2 017)=5sin (336 π+ 3 ) =5sin 3 =
5√3
2 .
10.答案 7
1 3 3 15 3
解析 因为△ABC 的面积为 2 AB×ACsin 120 =
√
° 2×2×AC=
√
4 ,解得 AC=5. 由余弦定理得
BC2=AB 2+AC 2-2AB·ACcos 120 °=9+25+15=49, 所以 BC=7.
3
11.答案 (0 , 5)
解析 作出函数 f(x)的图象 ,如图 ,令 g(x)=t,y=f(t) 与 y=m 的图象最多有 3 个交点 ,由函数 y=f(g(x))-
- - 1 3
m 有 6 个零点 ,且每个 t 的值最多对应 2 个 x,所以 0g(1)=2m-2,m< 5,故
3
0√2
12.答案 12
( 3 1
2 9 2 2
解析 因为 + ) = ( 2 +
1 + 6 2 ) (9a
2+b 2)= 81 + + 54 6 2 2 + +18 ≥
81 2 2 54 6 3 1 2
2√ 2 · 2+2 √ · +18=18+36+18=72, 当且仅当 b=3a 时,取等号 ,所以 ( + ) ≥72.又 a,b 都是
3 1 1 1 √2 √2
正实数 ,所以 + ≥6√2,则3 + = 3+ 1≤6 2= 12 ,当且仅当 b=3a 时,取等号 ,即√ 3 + 的最大值为 12 .

13.答案 2√7
解析 设圆 C的方程为 x2+y 2+Dx+Ey+F=0, 因为圆 C经过 M,N,P 三点 ,所以
10 + + 3 + = 0, = -2,
{20 + 4 + 2 + = 0,解得 { = 4, 则圆 C:x2+y 2-2x+4y-20=0, 标准方程为 (x-1) 2+(y+2) 2=25, 由
50 + - 7 + = 0, = -20,
直线 l:x+ay-1=0 是圆 C的一条对称轴 ,得圆心 C(1,-2) 在直线 l 上 ,所以 1-2a-1=0, 则 a=0, 过点 A(-
6,0)作圆 C的一条切线 ,切点为 B,则 AB= √ 2 -2 5=√ 5-325=2 √7.
14.答案 8
1 1 1 1
解析 由题意可得 a4n+1 = 2 a4n = 4 a4n-1 = 4(a4n-2 +3)= 4(a4n-3 +6), 则数列 {an}中的最大项在 a4n-1 中取得 ,
1 1 2
且 a4n+1 -2= *4(a4n-3 -2),则 a4n-3 =2-2 ×4 - 1,a4n-1 =a 4n-3 +6=8- 4 - 1<8, 所以由 an≤m,n∈N 得 m≥8,即 m
的最小值为 8.1.(2018日口口口口)口f(×)=xe×日口口口口口口囗
2(2018日日日日日百日日日百)口y=X-2sinX口(0,T)日口口口口日口口
3(2018日口口口)口口f(x)=X332+m×口口口(0,3)口口口,口口m日口口口口口
4.(2019日,11)百f(x)={
-3xX≤a
f(),a百百a口
2 P 2
52019日口口口囗口,10)日口口fx)=2x2+4X3nx口囗[]a日口口日口口,口口t口
6.2019日口口,12)日口f(×)=(x+m)exx2-(m+1)口R口口口口口,口口ma口口口口
33-5c0s
7.日y=
sin2 (
(0,),日日a百日日日日
,口口口口囗口
8.(2019,14)x=2a2e+1x1xx2日日日,22,日日aaa
日口口
9(20180日日日日日日)日日日f(x)=hxax、9(x)=动a
(1)a=2日,日F(X)=f(×)-g(X)日(0,2]百口口
(2)口口口F(X)=fx×)-9(×)日口口
(3)f(x)-g(×)≤0日古,日a百口口
10.0o00 f(x)=2n X+ x-ax, aO R
(1)日a=3日,口口f(x)口口日;
(2)日fxX)Xx0自口y=g(),日y=f(x)g(X)(0,+)口口,X0口
(3)日日日日百y=f(X)日日日日百百百 口日口
1.口(-∞,-1)
日日f(x)=(1+×)ex,f(x)<0,日日口口囗囗(-∞,-1)
2.口囗
日日日日日y=1-2cosx>0,
1
日cos×5,日X口(0,m)
日日x(,亦
3.口(-9,3)
口口口囗口口f(x)=3x2-6X+m口(0,3)口囗口口口囗,口囗口囗口m=6x-3X2,x口(0,3),口m口(
9,3],口,口,日3,日口m(-9,3)
4.口口(-∞,1)
口口日口口口y=×33x口y=2X日口口口囗口口口,口口囗口口(0,0),(1,2)口(1,2).口口口
33x,x≤a.
囗口,口口口口-2a>2,口口a<-1.
2
5.口(0,1)日(2,3)
4x+3
口口fx)=x+4-2
,口口Ⅺ(0,1)(3,+),f(x)<0,日口f(x)日(0,1),(3,+
∞0)口日,x(1,3)日,fx)>0,口口f(x)(1,3)日口.口f(×)口[tt1],口口
tt1]口日口口囗,O0< R
1< 3
口{
01< 1<313< 1
(0,1)口(23)
6.口{-1}
口日日日口f(×)R口口口口口,日f(x)≥0日R日日日口,口f(x)=ex+(X+m)exx
(m+1)=(X+m+1)(eX-1)≥0R口口第 20讲 数列的综合应用
1.(2018 江苏高考信息预测 )“ab=4 ”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”
的 .(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件” )
2.(2018 南京师大附中高三模拟 )在数列 {an}中,若 a4=1,a 12=5,且任意连续三项的和都是 15,则 a2
018= .
3.(2019 扬州期中 ,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y2=2px(p>0) 上横坐标为 1 的点到焦点的距
离为 4,则该抛物线的准线方程为 .
- > 0,
+1
4.(2019 南通、如皋二模 ,8)已知实数 x,y 满足 { -3 ≤0, 则 z= 的取值范围是 .
+ - 4 ≤0,
5.(2019 (1 - )( + ) 连云港期中 ,5)已知函数 f(x)= 是奇函数 ,则 f(x)<0 的解集为 .
6.(2019 盐城期中 ,10)若函数 f(x)=|sin 3x|-m(00) 的等差数列 ,则
d= .
7.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 C1:x2+(y-1) 2=r 2(r>0) 上存在点 P,且点 P关于直线 x-y=0 的对称点 Q
在圆 C2:(x-2) 2+(y-1) 2=1 上,则 r 的取值范围是 .
8.(2019 海安期末 ,15)如图 ,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥PC,M 是 AB 的中点 ,点 D 在 PB上,MD∥平面 PAC,
平面 PAB⊥平面 PMC,△CPM 为锐角三角形 .求证 :
(1)D 是 PB的中点 ;
(2)平面 ABC⊥平面 PMC.
3
9.(2018 江苏天一中学高三上学期阶段检测 )已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1- (a∈R且 a≠0),求函数 f(x)的极
大值和极小值 .
答案精解精析
1.答案 必要不充分条件
2 1
解析 若直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行 ,则- =- 且 1≠ ,即 ab=4, 且 a≠1,所以填“必要不
2
充分条件” .
2.答案 9
解析 由任意连续三项的和都是 15 得 an+a n+1 +a n+2 =a n+1 +a n+2 +a n+3 ,则
an=a n+3 ,a12=a 3=5,a 2+a 3+a 4=15, 则 a2=9,a 2 018 =a 3×672+2 =a 2=9.
3.答案 x=-3

解析 抛物线 y2=2px(p>0) 的准线方程为 x=- 2 ,由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相
等,得 1+ 2=4,解得 p=6, 所以准线方程为 x=-3.
2
4.答案 [3 , + ∞)
解析 不等式组表示的平面区域如图 ,
+1 -(- 1)
z= = - 0 ,可看成是平面区域内任一点 P(x,y)与点 Q(0,-1) 的连线的斜率 ,由图可知 ,直线 AQ 的斜率最
小,z无最大值 . 1- (- 1) 2易得点 A 的坐标为 (3,1),k AQ= 3- 0 = 3,
+1 2
所以 z= 的取值范围是 [ , + ∞) .
3
5.答案 {x|x>1 或-1解析 因为函数 f(x)是奇函数 ,
所以 f(-x)+f(x)=0,
(1+ )( - )+ (1- )( + ) 所以 =0, -
整理得 a-x+ax-x 2=a+x-ax-x 2,
即(1-a)x=0, 所以 a=1.
则 f(x)= (1- )( 1+ ) <0,
( - 1)( +1)
即 >0,
等价于 { ( - 1)( + 1) > 0,或
> 0
{( - 1)( + 1) < 0, < 0,
解得 x>1 或-1故 f(x)<0 的解集为 {x|x>1 或-1一题多解 观察发现 1 是函数 f(x)的零点 ,因为函数为奇函数 ,所以 -1 是零点 ,从而得到 a=1, 解不等式
(1- )(1+ ) ( 1- )( 1+ )
<0,可以采用数轴标根法 . <0 x(x-1)(x+1)>0, 如图 ,得到 x>1 或-1集为 {x|x>1 或 -1π
6.答案 6
解析 画出 y=|sin 3x|,y=m(0由题意知两图象交点的正的横坐标成等差数列 ,
依次设为 x1,x2,x3, ,
π
由函数图象的对称性得 x1+x 2= 6×2,①
π
x2+x 3= 3×2,②
π π
②-①得 2d= 3 ,故公差 d= 6 .
7.答案 [√2-1,√2+1]
解析 圆 C2:(x-2) 2+(y-1) 2=1 关于直线 x-y=0 的对称圆 C3:(x-1) 2+(y-2) 2=1, 则圆 C3与圆 C1有公共点 ,
则|r-1| ≤C1C3=√2≤r+1, 解得√2-1≤r≤√2+1.
8.证明 (1)在三棱锥 P-ABC 中,因为 MD∥平面 PAC,平面 PAB∩平面 PAC=PA,MD 平面 PAB,
所以 MD ∥PA.
在△PAB中 ,因为 M 是 AB 的中点 ,所以 D 是 PB的中点 .
(2)在三棱锥 P-ABC 中,因为△CPM 为锐角三角形 ,
所以在△CPM 中,可作 CN 垂直于 PM 于点 N,如图 ,
因为平面 PAB⊥平面 PMC,平面 PAB∩平面PMC=PM,CN 平面 PMC,
所以 CN⊥平面 PAB.
因为 AB 平面 PAB,所以 CN⊥AB.
又因为 AB⊥PC,CN∩PC=C,CN,PC 平面 PMC,
所以 AB⊥平面 PMC.
因为 AB 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 PMC.
9.解析 由题设知 a≠0, f '(x)=3ax 2-6x=3ax ( - 2
) ,
2
令 f '(x)=0 得 x=0 或 .
当 a>0 时,随着 x的变化 , f '(x) 与 f(x)的变化情况如下 :
(-
x 2 2 2∞,0 0 (0 , ) ( , + ∞)
a a a
)
f
'(x + 0 - 0 +
)
极 极
f(x
↗ 大 ↘ 小 ↗
)
值 值
3
∴f(x)极大值=f(0)=1- ,
f(x)极小值 =f ( 2 4 3 ) =- 2 - +1;
当 a<0 时,随着 x的变化 , f '(x) 与 f(x)的变化情况如下 :
x 2 2 2( -∞,) ( ,0) 0 (0,+∞)
a a a
f
- 0 + 0 -
'(x)
极 极
f(x) ↘ 小 ↗ 大 ↘
值 值
3
∴f(x)极大值=f(0)=1- ,
2 4 3
f(x)极小值 =f ( ) =- 2 - +1,
3
综上 , f(x) 极大值=f(0)=1- ,
2 4 3
f(x) 极小值=f ( ) =- 2 - +1.第 9讲 立体几何的综合问题
1.(2019 扬州中学检测 ,4)“x<0 ”是“ ln(x+1)<0 ”的 条件 .(填“充分不必要”“必要不
充分”“充要”或“既不充分又不必要” )
2.若存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立 ,则实数 b 的取值范围是 .
3.(2018 苏州学业阳光指标调研 )如图 ,两座建筑物 AB,CD 的高度分别是 9 m 和 15 m,从建筑物 AB 的
顶部 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD=45 °,则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD=
m.
- 2 + 4 ≥0,
4.(2019 南通通州、海门联考 ,7)已知实数 x,y 满足 {3 - - 3 ≤0, 则 z=2x+y 的最大值为 .
≥0,
5.(2019 南京、盐城二模 ,12)已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 ,点 P在 DA 的延长线上 ,且
满足 ( + ) · = 4 √2.若 AD= √2,则 · 的 值为 .
6.(2019 南京金陵中学检测 ,16)如图 ,在三棱锥 A-BCD 中 ,E,F分别为棱 BC,CD 上的点 ,且 BD∥平面 AEF.
(1)求证 :EF∥平面 ABD;
(2)若 BD⊥CD,AE⊥平面 BCD,求证 :平面 AEF⊥平面 ACD.
7.(2019 苏州 3 月检测 ,15)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边 ,已知 b 2+c 2=a 2+bc.
(1)求角 A 的大小 ;
2 2 (2)若 2sin +2sin =1, 判断△ABC 的形状 .
2 2
答案精解精析
1.答案 必要不充分
解析 ln(x+1)<0 等价于 -1“x<0 ” / “-1∴“x<0 ”是“ ln(x+1)<0 ”的必要不充分条件 .
3
2.答案 (-∞,0)∪ ( 4 , + ∞)
3
解析 Δ=(-4b) 2-12b>0 b<0 或 b> 4.
3.答案 18
9 6
解析 过点 A 作 CD 的垂线 AE,垂足是 E,设∠EAD= α,∠EAC=β,BD=x, 则 tan α= ,tan β= ,tan 45 °
9 6
tan +tan +
=tan( α+β)= = 1- tan tan 54 =1,解得 x=18( 舍负 ),即 BD=18 m. 1-
2
4.答案 7
解析 作出不等式组表示的可行域 ,如图所示 :
- 2 + 4 = 0,
联立 {3 - - 3 = 0 得 A(2,3),
由题意得 ,当直线 y=-2x+z 经过点 A(2,3)时,直线的纵截距 z最大 ,zmax =2 ×2+3=7, 所以 z=2x+y 的最大
值为 7.
5.答案 2
解析 如图 ,由 AD⊥BC,得 · = · = 0,
因为 ( + ) · = 4 √2,所以 (2 + + ) · = 4 √2,
所以 · = 2 √2,即| | ·| | co s 0=2 √2,所以 | | = 2 ,
所以 · = ( + ) ·( + ) = 2 + · = 2 + | | ·| |c o s π= 2 -| | ·| | = | | 2- | | 2= 4 -
2=2.
6.证明 (1)因为 BD∥平面 AEF,且 BD 平面 BCD,平面 AEF∩平面BCD=EF,
所以 BD∥EF.
因为 BD 平面 ABD,EF 平面 ABD,
所以 EF∥平面 ABD.
(2)因为 AE⊥平面 BCD,CD 平面 BCD,
所以 AE⊥CD.
因为 BD⊥CD,BD∥EF,
所以 CD⊥EF,
又 AE∩EF=E,AE 平面 AEF,EF 平面 AEF,
所以 CD⊥平面 AEF.
又 CD 平面 ACD,
所以平面 AEF⊥平面 ACD.
2+ 2 2 1 1
7.思路分析 (1)b 2+c 2=a 2+bc b2+c 2-a2=bc - 2 = 2,结合余弦定理知 cos A= 2,可求出角 A 的大
小;
π 2π
(2)用半角公式对 2sin 2 2 +2sin
2
2 =1 进行变形 ,得到 cos B+cos C=1, 又由 (1)的结论知 ,A= 3,B+C= 3 ,与
cos B+cos C=1 联立可求得 B,C的值 ,由角判断△ABC 的形状 .
解析 (1)在△ABC 中,b 2+c 2-a 2=2bccos A,
又 b2+c 2=a 2+bc,
1 π
∴cos A= 2,∴A= 3.

(2)∵2sin 2 22 +2sin 2=1,
∴1-cos B+1-cos C=1,
2π 2π 2π
∴cos B+cos C=1, 即 cos B+cos ( - B) =1, 即 cos B+cos cos B+sin sin B=1,
3 3 3
√3 π
即 2 sin B+
1
2cos B=1, ∴sin ( + 6) =1,
π π
∵01.一元二次不等式 -2x 2-x+6 ≥0 的解集为 .
2.(2019 姜堰中学、淮阴中学期中 ,6)已知角α的终边经过点 (-2,1),则 tan( π-α)的值为 .
3.已知 y=f(x) 是 R上的奇函数 ,且 x>0 时 , f(x)=1, 则不等式 f(x 2-x)π π
4.将函数 y=2sin 3x 的图象向左平移 个单位长度得到 y=f(x) 的图象 ,则 f (
12 3) 的值为 .
π
5.已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+ φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为 3的交点 ,则φ的值
是 .
2
6. f(x)= { - 2x,x≥0,已知函数 - 2 -2x,x < 0,则不等式 f(x)>f(-x) 的解集为 .
2π
7.(2019 连云港期中 ,12)在三角形 ABC 中,AB=3,AC=1,A= ,AD 是∠A 的平分线 ,则 · = 3 .
8.在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边 ,已知 a,b 是方程 x2-2√3x+3=0 的两个根 ,且
2sin(A+B)- √3=0,则 c= .
9. 1若不等式 ax 2+5x-2>0 的解集是 { |2 < x < 2} .
(1)求实数 a的值 ;
(2)求不等式 ax2-5x+a 2-1>0 的解集 .
答案精解精析
3
1.答案 [ -2,
2]
3
解析 不等式 -2x 2-x+6 ≥0 化为 2x2+x-6 ≤0,即(2x-3)(x+2) ≤0,解得 -2≤x≤ ,所以原不等式的解集为
2
[ -2, 32] .
2. 1答案 2
1 1
解析 因为角α的终边经过点 (-2,1), 所以 tan(π-α)=-tan α=- = .
- 2 2
3.答案 (0,1)
解析 因为 y=f(x) 是 R上的奇函数 ,所以 f(0)=0, 且 x>0 时 , f(x)=1, 则 x<0 时, f(x)=-1, 不等式 f(x 2-
x)4.答案 -√2
π π
解析 y=f(x)=2sin [3 ( + 12 )] =2sin (3 + 4) ,
π π π π
则 f ( 3 ) =2sin (3 ×3 + 4 ) =-2sin 4 =- √2.
π
5.答案 6
π 1 2π 1 2π 5π π
解析 由题意知两图象的一个交点的坐标是 ( 3 , 2) ,则 sin ( 3 + φ) = 2,又 0≤φ<π,所以 3 +φ= 6 ,则φ= 6.
6.答案 (-2,0)∪(2,+ ∞)
解析 当 x>0 时, f(x)>f(-x) x2-2x>-x 2+2x,∴x>2 或 x<0,又 x>0, ∴x>2;
当 x<0 时, f(x)>f(-x) -x 2-2x>x 2+2x,∴-2综上 , f(x)>f(-x) 的解集为 (-2,0)∪(2,+ ∞).
9
7.答案 8

解析 如图所示 ,∵AD 是∠BAC 的平分线 ,∴ = = 3,
∴ = + = + 3 4 = +
3
4( - ) =
1
4 +
3
4 ,
1 3 1 3 9 3 2π 9
∴ · = ( 4 + 4 ) · = 4
2 + 4 · = 4+ 4×3×1×cos 3 = 8 .
2π
一题多解 ∵AD 为∠A 的平分线 ,A= 3 ,
π
∴∠BAD= ∠CAD= 3,
∵S△ABD +S△ACD =S△ABC,
1
∴2AB
1
·ADsin ∠BAD+ 2AC·ADsin ∠CAD=
1
2AB·AC·sin∠BAC,
3
∴3AD+AD=3, ∴AD= 4,
3 π 9
∴ · = 3 ××cos = .
4 3 8
8.答案 √3
解析 由 a,b 是方程 x2-2√3x+3=0 的两个根 ,得 a+b=2 √3,ab=3, 由 2sin(A+B)- √3=0,得
√3 π
sin(A+B)=sin C= 2 .又△ABC 是锐角三角形 ,故 C=
2
3 ,则 c =a
2+b 2-2abcos C=(a+b) 2-3ab=12-9=3, 则
c=√3.
1 1 2
9.解析 (1)由题意知 a<0, 且方程 ax2+5x-2=0 的两个根为 2,2,所以2×2=- ,解得 a=-2.
(2)由(1)知原不等式为 -2x 2-5x+3>0, 即 2x2
1
+5x-3<0, 解得 -30 的解集为
1
( - 3, 2) .第 13讲 函数的图象与性质
1.已知集合 A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x ∈R},则 A∩B= .
2.(2019 启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考 ,6)若“ |x-a|≤1”是“ x≤2”的充分不必要条件 ,则
实数 a 的取值范围为 .
12
3.(2018 东台创新中学月考 )已知α的终边经过点 P(-x,-6), 且 sin α=- 13 ,则实数 x= .
2 2
4.(2019 常州期末 ,7)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0) 的离心率为 2,直线 x+y+2=0 经过双曲线 C的焦
点,则双曲线 C的渐近线方程为 .

5.若函数 f(x)=2 x+ 2 是偶函数 ,则实数 a等于 .
≥ + 1,
1 +26.(2019 徐州检测 ,8)已知 x,y 满足约束条件 { ≤- 2 x + 4,则 z= 的取值范围为 .
≥1,
7.(2019 江苏 ,9,5 分)如图 ,长方体 ABCD-A 1B1C1D1的体积是 120,E 为 CC1的中点 ,则三棱锥 E-BCD 的
体积是 .
8.(2019 如皋期末 ,12)如图 ,在四边形 ABCD 中 ,已知 AB=2,CD 与以 AB 为直径的半圆 O 相切于点 D,且
BC∥AD,若 · = -1, 则 · = .
答案精解精析
1.答案 {1,6}
解析 ∵A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x ∈R},集合 A 中大于 0 的元素为 1,6,∴A∩B={1,6}.
2.答案 (-∞,1]
解析 因为 |x-a| ≤1,所以 a-1≤x≤1+a, 由于“ |x-a|≤1”是“ x≤2”的充分不必要条件 ,所以 a+1 ≤2,则 a
≤1.
5
3.答案 ±2
sin = - 6
12 25 5
解析 α 2+36 =- 13 ,解得 x
2= ,x=± .
√ 4 2
4.答案 y=±√3x
解析 直线 x+y+2=0 与 x 轴的交点为 (-2,0),因为双曲线的焦点在 x 轴上 ,直线 x+y+2=0 经过双曲线
C的焦点 ,所以 c=2,

又离心率 e= =2,
所以 a=1,b= √ 2 - 2=√3,
所以双曲线 C的渐近线方程为

y=± x=±√3x.
5.答案 1
1
解析 函数 f(x)=2 x+ 2 是 R上的偶函数 ,则 f(-1)=f(1), 即2+2a=2+ 2 ,解得 a=1.
6. [6 ,3答案 7 2 ]
解析 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示 .
+2 - (- 2)
z= = - 0 ,等价于可行域内任一点 P(x,y)与点 D(-2,0) 连线的斜率的倒数 .
7
易得 A(1,2),C (1 ,2 ) ,
2 7 6 3
所以 kDA = 3 ,kDC= 6 ,所以斜率倒数的范围为 [ 7 , 2] ,
z= +2 6 3所以 的取值范围为 [ ,
7 2].
7.答案 10
解析 因为长方体的体积是 120,所以 2S△BCD·CC1=120,
1 1 1 1
则 S△BCD·CC1=60. 所以 VE-BCD= 3S△BCD·EC= 3·S△BCD·2CC1= 6×60=10.
3
8.答案 2
解析 因为 · = -1, 所以 ( + ) · = -1, 所以 · + · = -1, 因为 AB 为直径 ,BC∥AD,所以 BD
⊥BC,所以 · = 0, 所以 · = -1,
所以 | | ·| | cos(π-∠ABD)=-1,
可得 |
π
| =1, 在 Rt△ABD 中,易得 AD= √3,∠OBD= 3,
π
又 OB=OD, 所以△OBD 为等边三角形 ,所以∠BOD= 3 ,
π
所以∠ADO= ,
6
所以 · = | |
π 3 3
·| | cos 6 =√3 1
√
× ×2 = 2.第 10讲 直线与圆
1.(2019 淮安五校联考 ,6)已知直线 l 1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0, 若 l 1∥l 2,则 a= .
2.(2019 苏州 3 月检测 ,6)命题“存在 x∈R,使 x2+ax-4a<0 ”为假命题 ,则实数 a的取值范围
是 .
3.(2018 课标全国Ⅱ理改编 ,10,5 分 )若 f(x)=cos x-sin x 在 [-a,a] 是减函数 ,则 a的最大值是 .
4.(2019 苏锡常镇四市教学情况调查一 )已知圆柱的轴截面的对角线长为 2,则这个圆柱的侧面积的最大
值为 .
5.(2019 扬州中学检测 ,9)抛物线 y=x 2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包含三角形
内部和边界 ).若点 P(x,y)是区域 D 内任意一点 ,则 x+2y 的取值范围是 .
5 3
6.在平行四边形 ABCD 中, = ( 2 ,0) , = ( 2 ,2) ,则平行四边形 ABCD 的面积为 .
π
7.(2019 苏锡常镇四市教学情况调查一 ,10)设定义在区间 (0 , 2)上的函数 y=3 √3sin x 的图象与 y=3cos
2x+2 的图象交于点 P,则点 P到 x 轴的距离为 .
8.(2018 扬州中学第一学期阶段性测试 )已知点 E是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 .若 · = -2, 则
· = .
9.在△ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 csin B=bcos C=3.
(1)求边长 b;
21
(2)若△ABC 的面积为 2 ,求边长 c.
10.(2019 南京三模 ,16)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD ∥BC,AB=1,BC=2, ∠ABC=60 °.
(1)求证 :平面 PAC⊥平面 PAB;
(2)设平面 PBC∩平面 PAD=l, 求证 :BC∥l.
答案精解精析
1.答案 -1
1 - 2
解析 因为 l1∥l2,根据 l 2的方程知 ,斜率必定存在 ,所以 k1=k 2,即 - =- ,∴a=-1 或 a=3,经检验 ,当 a=3
3
时两条直线重合 ,所以 a=-1.
2.答案 [-16,0]
解析 命题“存在 x∈R,使 x2+ax-4a<0 ”为假命题 ,即 x∈R,x2+ax-4a ≥0 恒成立 ,则Δ≤0,即 a2+16a
≤0,解得 -16≤a≤0.故实数 a 的取值范围是 [-16,0].
π
3.答案 4
解析 本题主要考查三角函数的图象和性质 .
π
f(x)=cos x-sin x= √2cos( + 4) ,
π π
由题意得 a>0, 故-a+ 4< 4 ,
π
因为 f(x)= √2cos ( + 4 )在[-a,a] 是减函数 ,
π
- +
4 ≥0,
所以 π
+ 4 ≤π,
{ > 0,
π
解得 0π
所以 a 的最大值是 4 .
易错警示 本题易忽略 a>0, 导致 a 的范围扩大而失分 .
4.答案 2π
解析 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,那么 4r 2+h 2=4,
2
4 2 +
圆柱的侧面积为 2πrh≤π·2 =2 π(当且仅当 h=2r 时取等号 ).
5.答案 [ -2, 12]
解析 ∵y=x 2,∴y'=2x,y'| x=1 =2,而当 x=1 时,y=1, 即切点为 (1,1),∴切线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0,
1
切线与两坐标轴围成的三角形区域如图 .令 u=x+2y, 由图知 ,直线 u=x+2y 经过 A( 2 ,0)时 ,u 取得最大值 ,
1 1
即 umax = 2;直线 u=x+2y 经过 B(0,-1) 时,u 取得最小值 ,即 umin =-2, 故 x+2y 的取值范围是 [ - 2, 2] .
6.答案 5
5
15
3 · 4 3 4 1解析 ∵ = ( ,0) , = ( ,2) ,∴cos∠BAD= = 5 5 = .∴sin∠BAD= ,S△BAD = ×| ||
4 5
| × = .∴平行
2 2 | | | | × 5 5 2 5 22 2
5
四边形 ABCD 的面积为 2×2 =5.故答案为 5.
7.答案 3
√3
解析 3√3sin x=3cos 2x+2=3(1-2sin 2x)+2 6sin 2x+3 √3sin x-5=0, ∵sin x∈(0,1),∴sin x p= 3 ,
∴yp =3√3sin x p=3.
8.答案 3
1解析 ∵ · = ( +
1
) ·( - ) = | | 2- | | 2 =
1
- | |2 2 2 2 =-2, ∴| | = 2 . ∴ · = ( +
1 ) ·( - 1 ) = 3 | |2 = 3 2 2 4 .
9.解析 (1)由正弦定理 ,得 sin Csin B=sin Bcos C, 又 sin B≠0,所以 sin C=cos C. 所以 C=45 °.又 bcos
C=3,所以 b=3 √2.
1 21
(2)因为 S△ABC= 2 acsin B= 2 ,csin B=3, 所以 a=7.
由余弦定理 ,可得 c2=a 2+b 2-2abcos C=49+18-2 ×7×3√2
√2
×2 =25, 所以 c=5.
10.证明 (1)因为 PA⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD,
所以 PA⊥AC.
在△ABC 中,AB=1,BC=2, ∠ABC=60 °,由余弦定理 ,
得 AC= √ 2 + B 2 - 2AB·BCcos∠ =
√12 + 22 -2×1×2cos60°=√3.
因为 12+(√3)2=2 2,即 AB2+AC 2=BC 2,所以 AC⊥AB.
又 PA∩AB=A,PA 平面 PAB,AB 平面 PAB,所以 AC⊥平面 PAB.
又 AC 平面 PAC,所以平面 PAC⊥平面 PAB.
(2)因为 BC∥AD,AD 平面 PAD,BC 平面 PAD,
所以 BC∥平面 PAD.
又因为 BC 平面 PBC,且平面 PBC∩平面 PAD=l,
所以 BC∥l.第 4讲 解三角形
1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中 ,5)已知向量 a=(1,2),b=(m-1,m),且 a∥b,则 m= .
2.(2019课标全国Ⅰ文改编 ,11,5分 )△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-bsin B=4csin
C,cos A=- 1, 则 = .
4
3.(2019苏州期末 ,5)已知 3sin( α-π )=cosα则, tan( -πα的)值是 .
4.(2018江苏南京多校段考 )已知角 θ的顶点与原点重合 ,始边与 x轴的正半轴重合 ,终边过点 (1,2),则 tan
2θ= .
5.(2018江苏泰州中学月考 )将 y=sin 2x的图象向右平移 φ个单位长度 (φ>0使), 得平移后的图象仍过点
π √3
( 3 , 2 ) ,则 φ的最小值为 .
6.(2019南师大附中期中 ,7)函数 f(x)=Asin( ωx+( φ )> 0, > 0,- π π2 < φ< 2 )的部分图象如图所示 ,则函数
的解析式为 .
7.如图 ,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2, = 2 , 若 · = -3 , 则 · = .
8.(2019扬州期中 ,12)在△ABC 中,AH 是边 BC上的高 ,点 G是△ABC 的重心 ,若△ABC 的面积为
√6+1,AC=√5,tan C=2,则( + ) ·( + )= .
9.(2018常州学业检测 )已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin B+√3bcos A=√3c.
(1)求角 B的大小 ;
7√3
(2)若△ABC 的面积为 4 ,b=√43,a>c,求 a,c.
答案精解精析
1.答案 2
解析 ∵a∥b,∴1·m-2·(m-1)=0,解得 m=2.
2.答案 6
解析 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用 ;考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力 ;考查的核心
素养是数学运算与逻辑推理 .
2+ 2- 2 -3 2 1
由正弦定理及 asin A-bsin B=4csin C得 a2-b2=4c2,由余弦定理可得 cos A= = =- .所以 =6.2 2 4
1
3.答案
3
解析 3sin( -πα)=cosα化为 -3sin α =cosα得, tan 1α=- 3,
故 tan( -απ )-=tan 1α=3.
4
4.答案 -3
2tan 4
解析 由题意可得 tan θ =则2, tan 2θ=1-tan 2 =-θ 3.
π
5.答案
6
解析 将 y=sin 2x的图象向右平移 φ个单位长度 ( φ >0得),到 y=sin(2x-2φ的)图象 ,所得图象仍过点 ( π,√33 2 ) ,
sin( 2π √3 π则
3 -2φ)= 2 ,则 φ的最小值为 6 .
π
6.答案 f(x)=2sin (2 -
3 )
3 5π
解析 由题图可得 :A=2,且 T= -( -
π 2π
) ,解得 T=π又,ω >0则, =π解,得 ω=2则, f(x)=2sin(2x+ φ ),4 12 3
π 2π 2π
因为函数图象过点 ( - ,0) ,所以 2sin( - + φ)=0,即- +φ=
5π
π+2kπ∈(kZ),解得 φ= +2kπ (∈k Z),
3 3 3 3
π π
又-2 <φ<2 ,
π π
则 φ=-
3 ,所以 f(x)=2sin (2 - 3) .
3
7.答案 2
1
解析 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2, = 2 , 则 = + = + 2 , = -
2 = -
1 2
,则 · = ( + ) · ( - ) = - 3 2 3 3,
2
即 2 -
2
1
· - 2 = -3 ,3 3 2
2 2 1
即 ×9- · - × 1 3 3 2 6=-3,
3
解得 · = 2.
8.答案 1
解析 在 Rt△AHC 中,tan C=2,AC=√5,
{ = 2 ,所以 2 + H 2 = 5,解得 AH=2,HC=1,
故△AHC 的面积为 1,
又△ABC 的面积为√6+1,
所以△ABH 的面积为 √6,所以 BH=√6.
延长 BG交 AC 于点 D,因为 G为△ABC 的重心 ,所以 D 为 AC 的中点 ,以 H为原点建立平面直角坐标系 ,
如图 .
则 H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(-√6,0),
1
由中点坐标公式 ,得 D( 2 ,1) ,设 G(x,y),
2
由 = ,得3
2 1
(x+√6,y)=3×( 2 + √6,1) ,
所以 x=1-√63 ,y=
2
3,所以 G(
1-√6 2
3 , 3) .
则 + = (0,-2)+(1+√6,0)=(1+√6,-2),
-1-2√6 2 2+ √6 2 1-√6 4 + = ( 3 ,- 3 ) +( 3 ,- 3) =( 3 ,- 3) ,
所以 ( + ) · ( + ) =(1+√6,-2) (
1-√6 4 1-6 8
·
3 ,- 3) = + =1.3 3
9.解析 (1)由 asin B+√3bcos A=√3c,
结合正弦定理得 sin Asin B+√3sin Bcos A=√3sin C,
所以 sin Asin B+√3sin Bcos A=√3sin(A+B)=√3(sin Acos B+sin Bcos A),
即 sin Asin B=√3sin Acos B.
又 A∈(0, π ),
所以 sin A≠0,
π
所以 tan B=√3.又 B∈(0, π所)以, B= .
3
(2)由 S△ABC=12acsin B,B=
π, √3 7√33 得 4 ac= 4 ,即 ac=7.
2 2
由 b =(a+c) -2ac-2accos B,
得(√43)2=(a+c)2-2ac-ac,
所以 a+c=8.又 a>c,
所以 a=7,c=1.1.、(2019百,6)日口日口
27-1口口口口口2,口口口m口口口
2(2019日口口口,8)口口口y2=2pX(p>0)口日口日日口X2y2=1口口口口口口,口
3
3.(2019日,9日日,-2=1(a>0,b>0)日x-2y=0,日日日日日日日日
4.(2019,8)口口口
5.、(2019日,7)百口
=1口口囗囗囗,口囗囗囗囗囗囗囗口|口囗囗口口口A.B
168
日日,口AB囗
6.(2019日日口日日日口,9)口日C: 对+7=1(a>b>0)日口百日日A,日口日口BAB=√13,口口
√5
7(2018日日日日(1)日日日3-1日日日日4,日日日日日日口日日
8(2018口口口(2)口口口口XOy口,口口x2-2=1口口口口口,口口囗口口口
3
9(2018)日日yx+2日日日日7-1(a0,b>0)日日日日日,
10(2019日日日日日日日日日,17)日,日日日日日Xoy,日+=1(a>b>0)日口
日日F,日口A,日日日口B
2
(1)口口日,AF口口日,百百口
(2)日ABF日C日y=X,日日日口口e口口
11(2017日日百)日,F1,F20日日日C,+=1(a>b>0)日口,AC日
日,B日口AF2日C口口口口,口F1AF2=60
(1)日口口C日日囗囗;
(2)口AF1B口口口口40√3,ab口口
1.口囗6
日日日日a2=2b=m,e=2,0日c=(2a)=4a=8=a2+b=2+m,aam=6
2.口口√
日日百口口,C=√2,
日日-z2口口p=V2
3.口口
日日日日日771日日日日日y=±水
1
√ +
2
√3
日口口e:

4口y2=12X
口囗日口口口,c=√5+4=3,口口口口口口F(3,0
日日日日日日日日(3,0),日日2=3,日日p=6,
=12X
5.4
口口口a=4b=2√2,c= =2√6,
口口口囗,口口口囗口:X=2√6
168
1,口日y=±2,
口|AB|=4.
6.口2×-3y-2√5=0
+ =13
√5
2.03=
口a=3b=2,c=√5,
日日日口口口(V5,0)
日口口口口口AB囗囗口口
日口1日口口2x-3y-2√5=0
口口口口口
1口口口囗囗4,口2c=4,C=2.口囗a=4-3=1.囗囗囗囗口口口囗囗囗口口口
2×二
8.口囗
口口口日口口口囗囗口xOy口,口口×2-=1口囗囗口口:X=,口口1口口口囗囗囗口口口口
日口y2=2X
9.囗√2
日日日y=x+2日日囗

1口口囗囗囗囗口口,口-=1.口囗囗囗口口囗囗
e
1+(3)=v2
10.日(1)日日日,+=1(a>b>0)百口日口口
1
日a=2c
√z
√2
口口C=√2,a2=8,b2=a2-c2=6
日口口口口口
=1.
(2)口A(a,O),F(-C,0),
日日日ABF日日百百C日日日y=×日
日日C(2,2)
日日A(a0),B(0,b),
日日日AB口y2=2( 2)
日日CAB日口,口

口口口b(ac)+b2=ac
口(b-c)(a+b)=0.第 1练
1.【选做题】 A.选修 4—2:矩阵与变换
3 1
(2019 江苏 ,21A,10 分)已知矩阵 A= [2 2] .
(1)求 A2;
(2)求矩阵 A 的特征值 .
B.选修 4—4:坐标系与参数方程
π
(2019 南京三模 ,21B)在极坐标系中 ,直线 l 的极坐标方程为ρ cos ( + 3 ) =1,以极点 O 为坐标原点 ,极
= cos + 2,
轴 Ox 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 ,曲线 C的参数方程为 { = sin -1 (其中α为参
数,r>0), 若直线 l 与曲线 C相交于 A,B 两点 ,且 AB=3, 求 r 的值 .
C.选修 4—5:不等式选讲
(2019 常州期末 ,21C)已知 a>0,b>0, 求证 :a+b+1 ≥√ + √ +√ .
2.(2019 扬州中学检测 ,22)在长方体 ABCD-A 1B1C1D 1中 ,AB=4,AD=2,AA 1=2,F 是棱 BC的中点 ,点
1
E在棱 C1D 1上,且 D1E= 3EC1.求直线 EF与平面 D 1AC 所成角的正弦值 .
3.(2019 苏州期初 ,23)设 f(n)=(a+b) n (n≥2,n∈N *),若在 f(n)的展开式中 ,存在连续的三项的二项式系
数依次成等差数列 ,则称 f(n)具有性质 P.
(1)求证 : f(7)具有性质 P;
(2)若存在 n≤2 018, 使得 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值 .
答案精解精析
1.A.解析 本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识 ,考查运算求解能力 .
3 1
(1)因为 A= [2 2] ,
2 3 1 3 1所以 A = [2 2] [2 2]
= [ 3× 3+1×2 3× 1+1×2 11 52× 3+2 2 1+2 ] = [ 10 6] . ×2 × ×2
(2)矩阵 A 的特征多项式为
-3
f(λ)= | - 1 2- 2 -2 |=λ-5λ+4.
令 f(λ)=0,解得 A 的特征值λ1=1, λ2=4.
B.解析 直线 l 的直角坐标方程为 x-√3y-2=0.
曲线 C的普通方程为 (x-2) 2+(y+1) 2=r 2.
|2+ √3- 2| 3
圆心 C(2,-1) √到直线 l 的距离 d=
√1+3 = 2 ,
r= √ 2
2
所以 + ( ) =√3. 2
C.证明 因为 a>0,b>0,
所以 a+b ≥2√ ,a +1 ≥2√ ,b+1 ≥2√ ,
三式相加 ,得 2(a+b+1) ≥2√ + 2√ +2 √ ,
所以 a+b+1 ≥√ + √ +√ .
2.解析 分别以 DA,DC,DD 1所在直线为 x 轴,y轴 ,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则由
已知得 A(2,0,0),C(0,4,0),D 1(0,0,2),E(0,1,2),F(1,4,0),
· D A = 0 ,
所以 1 A = (2 ,
1
0 ,-2), 1 C = (0,4,-2), = (1,3,-2). 设平面 D 1AC 的法向量为 n=(x,y,z), 由{ 解得
· D 1 C = 0 ,
= , E F · 1 14
{ = 2 ,取 y=1, 则 n=(2,1,2). 因为 | |= √14,|n|=3,
√
·n =1, 所以 cos< ,n >= =|E F || | √14 =×3 42 ,因为
cos< ,n >>0, 所以< ,n > 是锐角 ,且是直线 EF与平面 D 1AC 所成角的余角 ,所以直线 EF与平面
D 1AC √14所成角的正弦值为 42 .
3.解析 (1)证明 : f(7)=(a+b) 7的展开式中第 2,3,4 项的二项式系数分别为 C17 =7, C27 =21, C37 =35, ∵
C1 2 37 ,C7 ,C7成等差数列 ,∴f(7)具有性质 P.
(2)假设 f(n)具有性质 P,则一定存在 k∈N *,1≤k≤n-1,
使得C - 1 +1 ,C ,C 成等差数列 ,
∴2C = C -1 + C +1 .
! ! !
∴2× = ( - 1)!( - +1)!+ !( - )! ( +1)!( - - 1)! .
化简可得 4k 2-4nk+n 2-n-2=0.
∴(2k-n) 2=n+2.
∵k,n∈N *,∴n+2 是完全平方数 .
∵n≤2 018,44 2<2 020<45 2,
∴n 的最大值为 44 2-2=1 934.
此时 k=989 或 k=945.第 23讲 与几何相关的应用题
1. 若曲线 y=x 3+ax 在原点处的切线方程是 2x-y=0, 则实数 a= .
2
2.(2019 如皋期末 ,5)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 3 -y
2=1 的左准线与抛物线 y2=mx 的准线
重合 ,则 m 的值为 .
1
3.已知向量 a=(3,1),b= ( - 1, 2) ,若 a+ λb 与 a垂直 ,则λ等于 .
- + 1 ≥0,
4.(2019 连云港期中 ,8)已知实数 x,y 满足 { + -3 ≥0,则当 2x-y 取得最小值时 ,x2+y 2的值为 .
3 - -3 ≤0,
5.(2019 无锡期末 ,10)设公差不为零的等差数列 {an}满足 a3=7,且 a1-1,a 2-1,a 4-1 成等比数列 ,则 a10 等
于 .
6.函数 f(x)=Asin(2x+ φ)(A,φ∈R)的部分图象如图所示 ,则 f(0)= .
37.(2019 南通基地学校 3 月联考 ,12)已知函数 f(x)= { - 3mx- m,x ≤0,ln - , > 0 有三个不同的零点 ,则实数 m 的取
值范围是 .
4 3
8.(2019 泰州中学 3 月检测 ,13)已知△ABC 的面积为√2+1,且满足 tan + tan =1,则 AC 的最小值
为 .
9.(2018 常州教育学会学业水平检测 )已知△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边 ,√3bsin
C=ccos B+c.
(1)求角 B;
1 1
(2)若 b 2=ac,求tan + tan 的值 .
答案精解精析
1.答案 2
解析 因为 y'=3x 2+a,所以在原点处的导数即为在该点处的切线的斜率 ,即 k=y'| x=0 =3×0+a=2, 解得
a=2.
2.答案 6
2
解析 由 3 -y
2=1, 可得 a2=3,b 2=1,
∴c=2,
3
∴双曲线的左准线为 x=- 2 ,又抛物线 y
2=mx 的准线为 x=- 4 ,
3
∴- 2 =-

4 ,解得 m=6.
3.答案 4
1 1
解析 由条件可得 a+λb= (3 - , 1 + 2λ) ,又(a+ λb)⊥a,所以 3(3-λ)+1+ 2λ=0,解得λ=4.
4.答案 5
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示 ,
令 z=2x-y, 当直线 z=2x-y 过点 B(1,2)时 ,z取得最小值 ,此时 x2+y 2的值为 5.
5.答案 21
解析 依题意 ,有(a2-1) 2=(a 1-1)(a 4-1),即(7-d-1) 2=(7-2d-1)(7+d-1),
即(6-d) 2=(6-2d)(6+d),
整理得 3d 2-6d=0. 因为 d 不为 0,所以 d=2, 则 a10=a 3+7d=7+14=21.
6.答案 -1
解析 由图象可知 ,A=2,
π π π π
且 sin (2 ×3 + φ) =1, 解得φ的一个值为 - 6,即函数解析式可以是 f(x)=2sin (2 - 6 ) ,故 f(0)=2sin ( - 6) =-
1.
1
7.答案 ( 4 , + ∞)
解析 对于 f(x)=ln x-m,x>0, 无论 m 取何值总有且只有一个零点 ,所以 x≤0 时, f(x)=x 3-3mx-m 必有两
个零点 ,此时 f '(x)=3x 2-3m, 显然 m 0 ( - ) > 0,≤ 时不成立 ,那么必须满足 { √ 即 {- √ + 3m√ - m > 0,
( 0) < 0, - < 0,
解得 m> 1,即 m 1∈ ( , + ∞) .
4 4
8.答案 2√3
解析 解法一 :化切为弦 ,消元搭桥 .
4 3 4cos 3cos
因为 tan + tan =1,所以 sin + sin =1,
去分母并利用 sin C=sin Acos B+sin Bcos A,
得 cos Asin B+3sin C=sin Asin B,
由正弦定理得 bcos A+3c=bsin A,
sin - cos
则 c= 3 ,
1
所以 S△ABC= 2 bcsin A
1 sin - cos
= 2 b· 3 ·sin A= √2+1,
2 6 (√2+1 ) 12 (√2+1 ) 12 ( 2+1 ) 12 ( 2+1 )所以 b = sin (sin -cos )= 1- cos2 - sin2 =
√ √
≥ 1+ 2 =12, π √
1 -√2sin(2 + )4
π 3π 5π
故当 2A+ 4 = 2 ,即 A= 8 时取“ =”,AC 的最小值为 2√3.
解法二 :选择主元 ,按序消角 .
将 tan B= tan +tan 4 3代入 + =1,
tan tan - 1 tan tan
4 3( tan tan - 1)
得tan + tan +tan =1,
tan 2 A- tan
解得 tan C= 3tan 2A - tan +4 ,
设 tan A=x,
2
则 tan C= - x3 2 , - x+4
1 1 sin sin
因为 S ABC= absin C= b2△ · =√2+1, 2 2 sin
sin
所以 b2=2( √2+1) ·sin sin
=2( √2+1) (
1 1
·
tan + tan ) ,
1 1 1 3 2 - x+4 3( 2+1 ) -1 2
因为 2 2tan + tan = + 2 - x = 2 - x =3 ( + -1 - 2)≥3(2√2-2)=6( √2-1),当且仅当 2x =(x-1) 时取“ =”.
所以 b2≥2(√2+1) ×6(√2-1)=12, 故 AC 的最小值为 2√3.
9.解析 (1)√3bsin C=cos B+c 由正弦定理得 √3sin Bsin C=cos Bsin C+sin C, 因为 0π 1 π π 5π π π π
C>0,所以√3sin B-cos B=1, 所以 sin( - 6) = 2 ,由 0(2)因为 b 2=ac,
由正弦定理得 sin2 B=sin Asin C,
1 1 cos cos
tan + tan = sin + sin
cos sin +sin cos sin ( + )
= sin sin = sin sin
sin (π- ) sin
= sin sin = sin sin ,
1 1 sin 1 1 2√3
所以 tan + tan = sin 2B= sin = √3 = 3 .
21(2019日日日,6)日fx日日日日百日日日日日百古y=4sn(2 23)日日日,日
f(-)口口口
2.(2019日日日日3日日日,9)日日日q日日日日P(1,2),日口f(x)=sin(x+q)(>0)百日
日日日日口口口日日3,f(n2)日日
32019口口日日日日日日日,8)日f(×)=cos( 2)(>0)口口口口口口X=-口口,口a
4(2019口口口口口口,7)口口f()=Asin(ωx+φ)A>0,(>0,q口口日日日口口口,口q
5(2019日日日日日日,11)日日日f(x)=sin( =),日o>0.日日日fx)[0,2日日2口口
日,d百百日
6(2018日日日日)日日口f(x)=cos(2X+φ)(0≤q日日日日百日,q=
7.口日口日fx)=2sn(x+q)(0>0).f(3)=0,f(2)=2,自d日日百日
8(2018日日日日日日)日日日日古日Xoy日,日y=sin(2 +)日日日日口口q
(0< 2)日日,日日日日日口,口q口口口
9.(2018自)日日1(x)=25n(0x+甲)( >0,2T
7TU
(1)口口f(x)口日口;
6
71
(2)口f(
日-0<一,cosd
10(2019日0日,16)口日fx)4 an x sin(2-X)c0s( 3)-3
(1)口f(×)口口口口
(2)f(x)【-a,d0百日百日
1.口囗4
T
日自日,日y=4sn(2 23)日日日日日百:百百f(×)百口
日f(x)=4sn(2 +33)=4sm2x
日f(a)=4si2-4
√10
2.口口
10
口囗口口口口snq=0甲=口03A,(1)=sn(+)=方x(-2
√10
3
2
3.口囗
日百百日日日f×)=cos( 23)(>0)日百日日日日X=2日口,
π
日日f(2)=cos(2-3)
T TU
日日23=k(k日2) 0=2k+3(k日2)
4.口囗
日百口口口A=1,
4ππ
T
口T=2T,=1
日X=,f(x)=1,□sin(+q)=1
口2+q=2kπ+,k口Z,
口q2kπ+,k口z,
|pk<2,
T
日q
5.口囗
TT ]
2TU
5π
T
日日日f(×)=0,日×3+(日2),日口口口口X1=37×2=32xX3=37,口日
5π
t 322s 2TT
54
8TU
>2π
3
6.囗
T
口日口日口f(×)=cos(2X+φ)0<φf(x)=cos2( +12)+甲]=cos(2 ++q)日,日日日日日日口日,日;+甲=2+kTkz,口
q=+kπk日z0≤q≤π,日口q
7.口口3
口口口口口f(x)=2si(ωx+q)(0>0),f(2)=0,f()=2,口口日口口0口口日口,口口口口口
Tt TU
2TU
2 TT
日日日口日4×(
,口
3
2 TT
8.口囗
日日日y=sn(2 +)日日日日日φ(0< )日自自,百口口口
y=sn2(223+3=sn(2 23)日,日日日日,日-2q+3=kk口z,=6
T
日2日0<9<2,日甲=6
9.口(1)f(×)日日口口口日口T,口=
日口T=T
2π
日T=2(00>0),口日=2
口口f(x)=2sin(2X+q)
口口日(12,2)日日口口口口第 11讲 圆锥曲线的基本问题
1.(2019 海安期末 ,2)命题“ x>1,x 2>1 ”的否定为 .
2.(2019 南京、盐城二模 ,9)已知正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等 ,高为√2,则该正四棱锥的表面积
为 .
2
3.(2019 江苏 ,7,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x2- 2 =1(b>0) 经过点 (3,4),则该双曲线的渐近
线方程是 .
4.(2019 扬州期末 ,7)若直线 l 1:x-2y+4=0 与 l2:mx-4y+3=0 平行 ,则两平行直线 l1,l2间的距离
为 .
2 ≤ ≤4,
5.(2018 南京高三年级学情调研 )已知实数 x,y 满足条件 { ≥3, 则 z=3x-2y 的最大值为 .
+ ≤8,
π 7
6.(2018 盐城时杨中学高三月考 )已知 02x 的值为 .
7.(2018 南京、盐城高三模拟 )如图 ,在△ABC 中,边 BC的四等分点依次为 D,E,F.若 · = 2, · = 5,
则 AE的长为 .
8.(2019 江苏七大市三模 ,12)如图 ,有一壁画 ,最高点 A 处离地面 6 m,最低点 B 处离地面 3.5 m. 若从离
地面高 2 m 的 C处观赏它 ,则离墙 m 时,视角θ最大.
9.(2018 苏北四市高三调研 )如图 ,在直三棱柱 ABC-A 1B1C1中,∠ABC=90 °,AB=AA 1,M,N 分别是
AC,B1C1的中点 .
求证 :(1)MN ∥平面 ABB1A1;
(2)AN ⊥A1B.
答案精解精析
1.答案 x0>1, 20≤1
解析 将全称量词“对任意”改为特称量词“存在” ,并且否定结论即可 .
2.答案 4√3+4
解析 设棱长为 2x(x>0), 则斜高为√3x,所以 (√2)2+x 2=(√3x)2,解得 x=1,所以棱长为 2,表面积为 S=4+4
1
×2×2×2sin 60 °=4 √3+4.
3.答案 y=±√2x
解析 本题主要考查双曲线渐近线方程 ,考查了运算求解能力 ,考查的核心素养是数学运算 .
2 16
由双曲线 x2- 2 =1(b>0) 经过点 (3,4),得 9- 2=1,
解得 b= ±√2,又 b>0, 所以 b=√2,
易知双曲线的焦点在 x轴上 ,

故双曲线的渐近线方程为 y=± x= ±√2x.
4. √
5
答案 2
1
解析 因为两直线平行 ,所以 4 = 2,解得 m=2, 经检验 ,符合题意 .在直线 x-2y+4=0 上取一点 (0,2),该点到
l :2x-4y+3=0 d= |0- 8+3 |
5
= √ , l ,l √
5
直线 2 的距离为 2 即两平行直线 1 2间的距离为 2 .
√22+ (- 4)2
5.答案 6
解析 约束条件对应的平面区域是以点 (2,6),(4,4),(4,3),(2,3) 为顶点的四边形 ,目标函数 z=3x-2y 在点
(4,3)处取得最大值 ,最大值为 6.
215
6.答案 169
π 7
解析 因为 0所以 sin x>cos x>0.
7
联立 sin x-cos x= 13和 sin
2x+cos 2x=1,
sin x= 12解得 13 ,cos x=
5
13 .
12 5 25 215
所以 4sin xcos x-cos 2x=4 ×13×13 - 169 = 169 .
7.答案 √6
解析 由 · = ( - 2 ) ·( + 2 )= | |2 -4| |2 =2, · = ( - )· ( + )= | |2 -| |2 =5,解
得| |= 1,| |= √6.
8.答案 √6
解析 过点 C作 AB 的垂线 ,垂足为点 D,设 CD=x m,x>0,
tan ACD= 4,tan BCD= 1.5则 ∠ ∠ ,
4 1 .5 2 .5
-
所以 tan θ=tan( ∠ACD-∠BCD)=
2.5 2.5 6
4 1 .5= 6 = 6≤2 6,当且仅当 x= ,即 x= √6时取等号 . 1+ · 1+ 2 + √
故离墙√6 m 时,视角θ最大.
9.证明 (1)取 AB 的中点 P,连接 PM,PB 1.
因为 M,P 分别是 AC,AB 的中点 ,
1
所以 PM∥BC,且 PM= 2 BC.
在直三棱柱 ABC-A 1B1C1中,
BC∥B1C1,BC=B 1C1 ,
又因为 N 是 B1C1的中点 ,
所以 PM∥B1N,且 PM=B 1N,
所以四边形 PMNB 1是平行四边形 ,
所以 MN ∥PB1.
而 MN 平面 ABB1A1,PB1 平面 ABB 1A1,
所以 MN ∥平面ABB1A1.
(2)因为三棱柱 ABC-A 1 B1C1为直三棱柱 ,
所以 BB1⊥平面 A1B1C1.
又因为 BB1 平面 ABB1A1,
所以平面 ABB1A1⊥平面 A1B1C1.
又因为∠ABC=90 °,所以 B1C1⊥B1A1.
又因为平面 ABB1A1∩平面 A1B1C1=B 1A1,B1C1 平面 A1B1C1,
所以 B1C1⊥平面 ABB 1A1.
又因为 A1B 平面 ABB 1A1,
所以 B1C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1B.
连接 AB1 ,
因为在平行四边形 ABB1A1中,AB=AA 1 ,
所以 AB1⊥A1B.
又因为 NB1∩AB1=B 1,且 AB1,NB1 平面 AB1N,
所以 A1B⊥平面 AB1N.而 AN 平面 AB1N,
所以 A1B⊥AN,即 AN⊥A1B.第 21讲 函数应用题
1.(2018 江苏南京多校高三段考 )已知集合 A={-1,2,2m-1}, 集合 B={2,m 2},若 B A,则实数
m= .
2.(2019 南京、盐城二模 ,6)等差数列 {an }中,a4=10, 前 12 项的和 S12=90, 则 a18的值为 .
π
3.已知向量 a=(cos x,sin x),b=( √2,√2),a·b=
8,则 cos ( -
5 4) = .
4.若 f(x)=x 2-2x-4ln x, 则 f '(x)>0 的解集为 .
1 -
5.(2019 海安第一学期期中 ,12)已知函数 f(x)=log 2 - 1 (k∈R)为奇函数 ,则不等式 f(x)<1 的解集
为 .
6.(2019 苏州期末 ,9)如图 ,某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体 ,该正三
棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆 ,与底面相对的顶点在半球面上 ,则被挖去的正三棱锥的体积
为 .
π
7.(2019 徐州期中 ,8)已知函数 f(x)=2sin (2 - 3 ) ,若 f(x 1)·f(x 2)=-4, 且 x1,x2∈[-π,π],则 x1 -x 2的最大值
为 .
8.(2018 江苏南通海安高级中学高三阶段检测 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,若点 (m,n)在圆 x2+y 2=4 外,
2 2
则直线 mx+ny=4 与椭圆 5 + 4 =1 的公共点的个数为 .
9.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒 ,现准备在该厂附近建一职工宿舍 ,并对宿舍进行防辐射处理 ,防辐
射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关 .若建造宿舍的所有费用 p(万元 )和宿舍与工厂的距离 x(km) 的关

系为 p= 3 +5(0≤x≤8),当距离为 1 km 时,测算宿舍建造费用为 100 万元 .为了交通方便 ,工厂与宿舍之间
还要修一条道路 ,已知购置修路设备需 5 万元 ,铺设路面每千米成本为 6 万元 ,设 f(x)为建造宿舍与修路费
用之和 .
(1)求 f(x)的表达式 ;
(2)宿舍应建在离工厂多远处 ,可使总费用 f(x)最小 并求最小值 .
答案精解精析
1.答案 1
解析 由题意知 m 2=2m-1, 所以 m=1.
2.答案 -4
= + 3d = 10,
解析 依题意 ,得{ 4 1 1 2 = 12 1 + 66d = 90,
1 = 13,
解得 { = - 1, 所以 a18=13+17 ×(-1)=-4.

S = 1
+ 12
一题多解 12 2 ×12=90,
∴a1+a 12=15,
∴a4+a 9=15, 又 a4=10, ∴a9=5,∴a9 -a4=5d=-5, ∴d=-1,
∴a18=a 4+14d=10-14=-4.
4
3.答案 5
π 8 π 4
解析 因为 a·b= √2cos x+ √2sin x=2cos ( - ) = ,所以 cos( -4 5 4 ) = . 5
4.答案 (2,+∞)
4 2( - 2)( +1)
解析 f(x)定义域为 (0,+ ∞),又由 f '(x)=2x-2- = >0, 解得 x<-1 或 x>2,所以 f '(x)>0 的解集为
(2,+∞).
5.答案 (-∞,-1)∪(3,+ ∞)
1-
解析 ∵f(x)=log 2 -1 ,
1+
∴f(-x)=log 2 - - 1 ,
∵f(x)为奇函数 ,∴f(-x)=-f(x),
1+ 1- 1+ - 1
∴log 2 2- - 1 =-log - 1 ,即 - - 1 = 1- ,
∴1-k 2x2=1-x 2,∴k2=1, 则 k= ±1.
1 -
检验 :当 k=1 时, f(x)=log 2 - 1,不符合题意 ,舍去 ,
+1
∴k=-1, ∴f(x)=log 2 - 1 .
+1
由 f(x)<1 得 log 2 - 1 <1=log 22,
+1
∴0< - 1 <2,
+1
①由 >0 得 x>1 或 x<-1.
-1
+1 +1 3 -
②由 -1 <2 得 -1 -2= -1 <0,
解得 x>3 或 x<1,
故不等式 f(x)<1 的解集为 (-∞,-1)∪(3,+∞).
6.答案 2√3
解析 底面正三角形的边长为 2×2×cos 30 °=2 √3,
1 1
底面正三角形的面积 S=2×2√3×2√3sin 60 °=3 √3,三棱锥的高 h=2, 则正三棱锥的体积 V= 3×3√3×
2=2 √3.
3π
7.答案 2
π π
解析 f(x 1)·f(x 2)=2sin (2 1 - 3) ·2sin (2 2 - 3) =-4,
π π
即 sin (2 1 - 3 )·sin (2 2 - 3 ) =-1.
π π 1 π π
不妨令 sin (2 1- 3 ) =1,sin (2 2 - 3) =-1, 则 x1= 2 (2 π+ 2 + 3 ) ,k∈Z,
π π
x 12= 2 (2 π- 2 + 3) ,n∈Z,
1 1 1
则 x1-x 2= 2(2kπ-2n π+π)= 2[2π(k-n)+ π]= 2(2m π+π),m,n,k 都是整数 ,
因为 x1,x2∈[-π,π],
所以 x1-x 2∈ [-2π,2π],
3π
所以 x1-x
1
2的最大值为 2(2π+π)= 2 .
8.答案 2
4
解析 由点 (m,n)在圆 x2+y 2=4 外,得 m 2+n 2>4,则圆心 (0,0)到直线 mx+ny=4 的距离 d= 2 2<2=r,√ +
2 2
所以直线 mx+ny=4 与圆 x2+y 2=4 , 相交 而该圆在椭圆 5 + 4 =1 内,所以直线与椭圆也相交 ,即直线与椭
圆的公共点的个数为 2.

9.解析 (1)根据题意得 100= 3 1+5 , ×
∴k=800,
800
∴f(x)= 3 +5+5+6x,0 ≤x≤8.
(2)f(x)= 8003 +5+2(3x+5)-5 ≥80-5,
800
当且仅当 3 +5=2(3x+5), 即 x=5 时, f(x)最小 ,最小值为 75.
答:宿舍应建在离工厂 5 km 处可使总费用 f(x)最小 ,为 75 万元 .第 3练
1.【选做题】 A.选修 4—2:矩阵与变换
1 0
(2019 江都中学、华罗庚中学等 13 校联考 ,21A)求曲线 |x|+|y|=1 在矩阵 M= [
1]对应的变换作用0 3
下得到的曲线所围成的图形的面积 .
B.选修 4—4:坐标系与参数方程
π
(2019 苏锡常镇四市教学情况调查一 ,21B)在极坐标系中 ,已知直线 l:ρsin( - 3) =0,在直角坐标系 (原
1
= + ,
点与极点重合 ,x 轴正方向为极轴的正方向 )中,曲线 C的参数方程为 { 4 1 (t 为参数 ),设 l与 C交
= - 4
于 A,B 两点 ,求 AB 的长 .
C.选修 4—5:不等式选讲
(2019 江苏 ,21C,10 分)设 x∈R,解不等式 |x|+|2x-1|>2.
1
2.(2019 海安高级中学期中 ,22)若 (√ + 2 4 ) 的展开式中前三项的系数成等差数列 ,求: √
(1)展开式中所有 x 的有理项 ;
(2)展开式中系数的最大项 .
3.(2019 无锡期末 ,24)已知数列 {an}满足 a
2
1= 3,
1 = 2 - -1 - 1 (n≥2). -1 - 1
(1)求数列 {an }的通项公式 ;
+3 1
(2)设数列 {an }的前 n 项和为 Sn,用数学归纳法证明 :Sn答案精解精析
1 0
1.A.解析 设点 (x0,y0)为曲线 |x|+|y|=1 上的任意一点 ,在矩阵 M= [ 1]对应的变换作用下得到的点
0 3
1 0 0 ' 0 = x',为(x',y'),则 [ 1] [ ]= [
0 0 '
] ,所以 {
0 = 3y '.
3
1 0
所以曲线 |x|+|y|=1 在矩阵 M= [ 1]对应的变换作用下得到的曲线为 |x|+3|y|=1, 所围成的图形为菱
0 3
1 2 2
形,其面积为 2×2×3= 3.
π
B.解析 直线ρsin ( - 3 ) =0 的直角坐标方程为 y=√3x.
1
= + 4 ,曲线 { 1 的普通方程为 y2-x 2=1.
= - 4
√2 √6 √2 √6
易得直线与曲线的交点为 A( 2 , 2 )和 B( - 2 ,- 2 ) .
∴AB= √2 + 6=2 √2.
C.解析 当 x<0 时,原不等式可化为 -x+1-2x>2, 解得 x<- 13 ;
1
当 0≤x≤2时,原不等式可化为 x+1-2x>2, 即 x<-1, 无解 ;
1
当 x> 2时 ,原不等式可化为 x+2x-1>2, 解得 x>1.
1
综上 ,原不等式的解集为 { |x< - 3或 x > 1} .
1 1
2.解析 易求得展开式中前三项的系数为 1,2 C
1
,4 C
2
.
1
根据题意得 2× C1 =1+
1
C2 , 2 4
解得 n=8.
(1)展开式的通项为
1 1 16 - 3
Tr+1 = C (√ )8-r ( ) = ( ) C 8 2 4
4
√ 2 8
,
要求 r 的有理项 ,则 r为 4 的倍数 ,
又 0≤r≤8,
∴r=0,4,8.
1 0 16 - 3×0
故有理项为 T 01= ( 2 ) C8
4 =x 4,
1 4 16 - 3×4 35
T5= ( ) C48 4 = x, 2 8
1 8 16 - 3×8 1
T9= ( 82) C8
4 = 256 2 .
(2)设展开式中 Tr+1 项的系数最大 ,
1 1 +1
则( 2) C

8≥( 2) C
+1
8 ,
1 -1
且( ) C
1
≥( ) C -12 8 2 8 .
解得 r=2 或 r=3.
1 2 16- 3×2 5 1 3 16 -3×3
故展开式中系数最大的项为 T3= ( ) C22 8
4 =7 2和 T4= ( 32) C8
4 =
7
7 4 .
1 2-
3.解析 (1)当 n≥2 时,由 = - 1 ,
-1 - 1 -1
1 1-
得 = - 1
1
+ , -1 - 1 - 1 - 1 -1
1 1
∴ -1- - 1 - 1=-1.
1
∴{ - 1}是首项为 -3,公差为 -1 的等差数列 .
1
∴ -1=-n-2,
+1
∴an= +2(n∈N
* ).
2 3
(2)证明 :①当 n=1 时,左边=S 1=a 1= 3,右边= 2-ln 2,
3
∵e3>16 3ln e>4ln 2 ln 2< ,
4
3 3 3 3 2
∴2-ln 2> 2- 4= 4> 3,
∴命题成立;
②假设当 n=k(k ≥1,k∈N *)时成立 ,
+3 1
即 Sk则当 n=k+1 时,S +3 1 +2k+1 =S k+a k+1 S <(k+1)-ln ( +1)+3
1
要证 k+1 + , 2 2
k-ln +3+ 1+ +2
( +1)+3
只要证 2 2 +3<(k+1)-ln 2 +
1
2,
+4 1 1 1
只要证 ln +3< +3,即证 ln (1 + +3) < +3.
设函数 F(x)=ln(1+x)-x(x>0),
1
∴F'(x)= - 1+ -1= 1+ ,
∵x>0, ∴F'(x)<0,
∴函数F(x)在(0,+∞)上为减函数 ,
∴F(x)1 1
∴ln (1 + +3) < +3,也就是说 ,当 n=k+1 时命题也成立 .
+3 1
综上所述 ,Sn1.在△ABC 中,a=8,B=60 °,C=75 °,则 b= .
π
cos ,0 < x ≤2,
2.(2019 南通期末三县联考 ,8)已知函数 f(x)的周期为 4,且当 x∈ (0,4]时 , f(x)= { 2 则
3
log2 ( - 2) ,2 < x≤4.
1
f[ ( - 2)] 的值为 .
2 2
3.(2019 天一中学 4 月检测 ,6)已知双曲线 4 - 2 =1 的一条渐近线上的一点 P 到双曲线中心的距离为 3,
则点 P到 y 轴的距离为 .
4.(2018 江苏南通高考冲刺 )已知两点 A(3, 2) 和 B(-1,4) 到直线 x+ay+1=0 的距离相等 ,则实数
a= .
π
5.当 x∈(0 , 2 )时,函数 y=sin x+ √3cos x 的值域为 .

6.曲线 y= +2在点 (-1,-1) 处的切线方程为 .
7.(2019 海安中学检测 ,10)已知数列 {an}和{b n},其中 an=n 2(n∈N *),{b n }的项是互不相等的正整数 ,若对于
n N *
lg (
, {b } a {a } b , 1 4 9 16 )任意 ∈ 数列 n 中的第 n项等于 n 中的第 n项 则 = .lg ( 1 2 3 4)
8.(2019 常州期末 ,12)平面内不共线的三点 O,A,B 满足 | |= 1 ,| | = 2 , 点 C为线段 AB 的中点 ,∠AOB
的平分线交线段 AB 于点 D,若 | | = √3,则 | | = .
2
9.(2018 南京第一学期期中 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形 ,AC与 BD 交于点 O,PC⊥
底面 ABCD,E 为 PB上一点 ,G为 PO 的中点 .
(1)若 PD∥平面ACE,求证 :E为 PB的中点 ;
(2)若 AB=√2PC,求证 :CG⊥平面 PBD.
2 210.(2019 如皋期末 ,18) 1如图 ,已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0) 的离心率为 ,右准线方程为 x=4,A,B 分别是 2
椭圆 C的左 ,右顶点 ,过右焦点 F且斜率为 k(k>0) 的直线 l 与椭圆 C相交于 M,N 两点 .
(1)求椭圆 C 的标准方程 ;
3
(2)记△AFM,△BFN 的面积分别为 S1,S2, 1若 = 2,求 k 的值 ; 2
(3)设线段 MN 的中点为 D,直线 OD 与右准线相交于点 E,记直线 AM,BN,FE 的斜率分别为 k1,k2,k3,求
k2·(k 1-k 3 )的值 .
答案精解精析
1.答案 4√6
8sin60 °
解析 A=180 °-60°-75°=45 °,由正弦定理得 sin = sin ,∴b= =4 √6. sin45 °
2.答案 0
1 1 7 7 3
解析 由题意得 f( - 2) =f (4 - 2) =f ( 2) =log 2( 2 - 2) =log 2 2=1,
1 π
∴f [ ( - =0.
2)] =f(1)=cos 2
3.答案 √6
2-
2
解析 双曲线 4 2 =1 的渐近线为
√2
y=±2 x,
由对称性 , √2不妨设 P( 0 , 2 0) (x0>0), 则 PO=
√6
2 x0,
√6
∴2 x0=3,∴x0=√6,
∴P到 y 轴的距离为 √6.
2
4.答案 2 或- 3
|4+2 | |4 |
解析 由题意可得 = ,
√1+ 2 √1+ 2
则 4+2a=4a 或 4+2a=-4a,
2
解得 a=2 或 a=- 3.
5.答案 (1,2]
π
解析 y=sin x+ √3cos x=2sin ( + 3 ) ,
π
∵x∈(0 , 2 ) ,
π π 5π
∴x+ 3∈( 3 , 6 ) ,∴16.答案 y=2x+1
2
解析 y'= 2,所以 k=y'| x=-1 =2,故切线方程为 y+1=2(x+1), 即 y=2x+1. ( +2)
7.答案 2
解析 对于任意 n∈N * ,{bn}中的第 an项等于 {an}中的第 bn项,
则 = =(b n)2,则 b1 =a 1=1,b 4=(b 2)2,b9=(b 3)2,b16 =(b 4)2,
所以 b1b 4b9b 16=(b 1b2b 3b4)2,
lg ( 1 4 9 16 )= lg ( 1 2 3 )
2
4 = 2lg ( 1 2 3 4 )所以 lg ( 1 2 3 4 ) lg ( 1 2 3 4) lg ( 1 =2. 2 3 4 )
2
8.答案 3
解析 如图 ,∵点C为线段 AB 的中点 ,
∴ = 12( + ) ,
则 2
1
= ( 2 + 2
1 3
4 + 2 · ) = 4(1+4+2 ×1×2×cos ∠AOB)= 4,
1
解得 cos ∠AOB=- 2,∴∠AOB=120 °,
由余弦定理可得 AB2=OA 2+OB 2-2OA ·OBcos 120 °=7,则 AB=√7,
√3
在△AOB 中,由正弦定理得 sin = ,故 sin A= 7. sin ∠ √
在△AOD , 中 由正弦定理得 sin = , sin ∠
√7 2
∵AD= 3 = 3 ,∠AOD=60 °,∴| | = 3.
9.证明 (1) 如图 ,连接 OE.
因为 PD∥平面 ACE,PD 平面 PBD,
平面 PBD∩平面ACE=OE,
所以 PD∥OE.
由四边形 ABCD 是正方形知 O 为 BD 的中点 ,
所以 E为 PB的中点 .
(2)在四棱锥 P-ABCD 中,AB= √2PC,
因为四边形 ABCD 是正方形 ,
所以 AC= √2AB=2OC, 则 AB= √2OC,
所以 PC=OC.
又 G为 PO 的中点 ,
所以 CG⊥PO.
因为 PC⊥底面 ABCD,BD 底面 ABCD,
所以 PC⊥BD.
易知 AC⊥BD,
又 AC,PC 平面 PAC,AC∩PC=C,
所以 BD⊥平面 PAC,
因为 CG 平面 PAC,所以 BD⊥CG.
因为 PO,BD 平面 PBD,PO∩BD=O,
所以 CG⊥平面 PBD.
1 2
10.解析 (1)设椭圆的焦距为 2c(c>0). 依题意 ,得 = ,且 =4, 解得 a=2,c=1. 所以 b 2 2 2 =a -c
2=3.
2 2
所以椭圆 C的标准方程为 4 + 3 =1.
(2)设点 M(x 1,y1)(x1>0,y 1>0),N(x 2,y2).
1
1 3 2·A|F | · 1|| 3= , = , | 1 |
1
由 得 整理可得 = ,所以 2 1 2 | | 2 = 2 . 2
2·B|F | · 2|| 2
{1- 2 = 2( 1 - 1), { 2 = 3-2 ,所以 1- 2 = 2
即
1, 2 = - 2 1 .
又点 M,N 在椭圆 C上,
2 21 + 14 3 = 1,
所以 { 2 2
(3- 2 1 ) (- 2 1 )
4 + 3 = 1,
7
1 = 4 ,
解得 {
3√51 = 8 .
3√5
√5
所以直线 l 的斜率 k= 87 = .
- 1 24
(3)依题意 ,直线 l 的方程为 y=k(x-1).
= ( - 1),
联立 { 2 2
4 + 3 = 1,
整理得 (4k 2+3)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,
8 2 4 2 - 12
所以 x1+x 2= 4 2+3 ,x1x2= 4 2+3 .
+ 4 2
故 x = 1 2D 2 = 4 2 +3 ,
yD=k(x D-1)=-
3
4 2+3 ,
3
所以直线 OD 的方程为 y=- 4 x,
3 3
令 x=4, 得 yE=- ,即 E(4 ,- ) .
3
-
k = =- 1所以 3 4- 1 .
1
所以 k2·(k1-k 3)=k 2·( 1 + )
2 1= 1 ·(2 -2 1+2 + )
( 2 - 1) ( 1 - 1) 1= -2 ·[2 1 +2 + ]
=
2 ( 1 - 1)( 2 -1)+ ( 2 -1 )( 1+2 )
( 1+2 )( 2 - 2)
2 [ 1 2 -( 1 + 2 )+1 ]+ 1 2 - 1+2 = 2
- 2
1 2 -2 1+2 2 - 4
2
= [ 1
2 -( 1 + 2 )+1 ]+ 1 2 - ( 1+ 2 )- 2+3 2
1 2 -2 ( 1+ 2 )- 4+4 2
2 4
2- 12 8 2 4 2 - 12 8 2
( 4 2 +3 -4 2 +3 +1)+ 4 2+3 -4 2 +3 - 2+3 2= 4 2 - 12 8 2
4 2 +3 -2·4 2+3 - 4+4 2
21 2 +18 7 2 +6
3 2 - 2 3( - )
= 4 +3
2 2
28 2 +24 =
4 +3 3
7 2 +6 = .
4 42 - 4( 4 2+3 2 - )4 2 +3第 14讲 函数的零点问题
1.设 x0是函数 f(x)=3 x+3x-8 的一个零点 ,且 x0∈(k,k+1),k ∈Z,则 k= .
2 2
2.(2019 扬州中学检测 ,5)双曲线 16 - 9 =1 的两条渐近线的方程为 .
3.(2018 江苏如皋高三上学期调研 )一个封闭的正三棱柱容器 ,高为 3,内装水若干 (如图甲 ,底面处于水平
状态 ),将容器放倒 (如图乙 ,一个侧面处于水平状态 ),这时水面与各棱交点 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点 ,
则图甲中水面的高度为 .
4.(2019 江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考 ,11)已知点 A(1,1),B(1,3), 若圆 C:(x-a) 2+(y+a-
2)2=4 上存在点 P使得 PB2=PA 2+32, 则实数 a 的取值范围是 .
π 4 π
5.设α为锐角,若 cos( + 6 ) = 5 ,则 sin (2 + 12) 的值为 .
6.(2019 南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考 ,14)在平面四边形 ABCD 中 ,已知△ABC 的面
1 1
积是△ACD 的面积的 3 倍,若存在正实数 x,y 使得 = ( -3) + ( 1 - ) 成 立 ,则 x+y 的最小值
为 .
7.(2019 苏州期初考试 ,16)如图 ,已知矩形 CDEF和直角梯形 ABCD,AB∥CD,∠ADC=90 °,DE=DA,M 为
AE的中点 .
证明 :(1)AC∥平面DMF;
(2)BE⊥DM.
2 2 1 √3
8.(2018 苏锡常镇四市高三情况调研 )已知椭圆 C: 2+ 2 =1(a>b>0) 经过点 (√3,2) ,(1 , 2 ) ,点 A 是椭圆的
下顶点 .
(1)求椭圆 C 的标准方程 ;
(2)过点 A 且互相垂直的两直线 l 1,l2与直线 y=x 分别相交于 E,F两点 ,若 OE=OF, 求直线 l 1的斜率 .
答案精解精析
1.答案 1
解析 因为 f(1)=3+3-8<0, f(2)=3 2+6-8>0, 且函数 f(x)=3 x+3x-8 单调递增 ,所以 x0∈ (1,2),即 k=1.
3
2.答案 y=±4 x
解析 ∵a=4,b=3, 焦点在 x 轴上 ,
3
∴渐近线方程为 y=±4x.
2 2
一题多解 求双曲线的渐近线方程也可以直接写成 16 - 9 =0,化简即得双曲线的渐近线方程 .
3. 9答案 4
3
解析 因为 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点 ,所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1的体积 V=S 四边形 EFCB×3= 4S△ABC×
9 9 9 9
3= 4S△ABC,设图甲中水面的高度为 h,则 S△ABC·h= 4S△ABC,所以 h= 4 ,故答案为 4.
4.答案 [6,10]
解析 设 P(x,y),∵PB2-PA 2=32, ∴(x-1) 2+(y-3) 2-[(x-1) 2+(y-1) 2]=32, ∴y=-6, ∴P在直线 y=-6 上,∵P在
圆 C:(x-a) 2+(y+a-2) 2=4 上,∴☉C 与直线 y=-6 有交点 .∵圆C:(x-a) 2+(y+a-2) 2=4 的圆心为 C(a,-
a+2),r=2, ∴☉C与直线 y=-6 有交点的充要条件是 -8≤-a+2 ≤-4,故 6≤a≤10.
17 2
5. √答案 50
π π 7 π 24 π
解析 由条件可得 cos(2 + ) =2cos 2( + ) -1= ,sin (2 + ) = ,所以 sin(2 +3 6 25 3 25 12 ) =sin [(2 +
π π √2 24 7 17√2
3) - 4 ]= 2 ×( 25 - 25 ) = 50 .
6. 2+ √3答案 5
解析 如图 ,分别过点 B,D 作 BG⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为 G,F,
∵S△ABC=3S △ACD ,∴BG=3DF,
易得△BGE与△DFE相似 ,
= 3∴ 3 1 = 1,∴ = 4 + 4 ,
1
又∵ = (1 - ) + (
1 - 3) ,
1 1 3 1
∴1- =3 ( -3) ,即 + =10,
1 3 1 1 3 4+2 3 2+ 3
∴x+y= 10 (x+y) (
√ √
+ ) = 10 (4 + + )≥ 10 = 5 ,
3+ √3 √3+1
当且仅当 x= 10 ,y= 10 时 ,取“=”.
7.证明 (1)如图 ,连接 CE,交 DF 于点 G,连接 MG.
∵在矩形 CDEF中 ,DF∩EC=G,
∴G为 EC的中点 ,
又∵M 为 AE的中点 ,
∴MG 为△EAC的中位线 ,
∴MG∥AC,
∵AC 平面 DMF,MG 平面 DMF,
∴AC∥平面 DMF.
(2)在矩形 CDEF中,CD⊥ED,
∵∠ADC=90 °,
∴CD⊥AD,
∵AB∥CD,∴AB⊥ED,AB⊥AD.
∵AD∩ED=D,AD 平面 ADE,ED 平面 ADE,
∴AB⊥平面 ADE,
∵MD 平面 ADE,
∴MD ⊥AB,
∵DE=DA,M 为 AE的中点 ,
∴MD ⊥AE,
∵AB∩AE=A,AB 平面 ABE,AE 平面 ABE,
∴MD ⊥平面 ABE.
∵BE 平面 ABE,
∴BE⊥DM.
3 1 1 1
2 + 4 2 = 1, 2 = , 28.解析 (1) 4 = 4,由题意得 { 1 3 解得 { 1 即{
+ = 1,
2 = 1,
2 4 2 2 = 1,
2
所以椭圆 C 的标准方程为 +y 2=1.
4
(2)由题意知 A(0,-1), 直线 l 1,l2的斜率存在且不为零 ,设 l 1:y=k 1x-1, y=x { = 与直线 联立有 1 x-1, = , 得
1 1
E( 1 - 1 , 1 - 1) ,
1
易得直线 l2:y=- x-1,同理 ,F 1
( 1 , 11 1 ) ,
- - 1 -1
-1
1
1
因为 OE=OF,所以 | - 1| = 1
1
| 1 | ,
- - 11
1 1 1
① -1= 1 ,k1+ =0 无实数解 ; 1 - - 1 11
1 1 1
② 1 2 1 1 -1=- 1 ,k - =2, -2k -1=0, 解得 k =1 ±√2. 1 - -1 1
1
1
综上所得 ,直线 l1的斜率为 1±√2.日(口)
1.口口ABC囗,口A,B,C口口口口囗口a,b,C,COSB
sin
(1)日c=2a,口
sin
(2)CB=-,sinA口
2、(2019日)日,日日口ABCA1B1C1日,AB=ACA1C口BC1AB1BC1,D,E口日口
AB1,BC囗口口
日日:(1)DE日ACC1A1
(2)AE日日日BCC1B1
3.(2018)口百,百口口口口
日,,1.,古O
日日日日ABC卣BC日百Ao日日180°百2.日6百百日
10cm,口囗BAO=0,0<<-,日口口口口scm
1)S日口6日口口
4.口日日口口口口日XOy日,口日A(-3,4),B(9,0),C,D百口日OA,OB百百,口口
AC=BD
(1)AC=4,口口日CD日口口;
(2)口:OCD日日日日日(口口口O)
1.口(1)口口:口ABC口
口口c0SB≈
2+2234
2 5
口口C=2a,(+ 2.
2
3√5
-20
,口
Sin
sin
sin 3√5
日口
口口日:口cosB=,B口(O,r),
口口sinB=√1cos2B
6
8
日日c=2a,日日日日sinC=2sinA,日 o sin C=2sin(B+C)=cosC+=sinC,
2√5
口-sinC=2cosC.口口口sin2C+ COS 20=1.sinC>0.口口sinC=
sin 3√5
口口
sin 10
(2)日日CosB=
口囗cos2B=2cos2B-1
3
日0B日囗sin2B=2 sin bcos B=2×=×==
口口C-B=:口C=B+
T
口日A=T-(B+C=-2B,
3πt
日日sinA=sn(4-2B)
3TU
T
=sin-cos 2B-cos -sin 2B
2
2431√2
2550
2.日(1)日日A1B,日日ABCA1B1C1日,日AA1BB百口口口
日D日AB1,D百BA1日日
日BA1C口,DE囗口口BA1口BC口口口,口DEA1C
日日日DE 口ACC1A1,A1C 囗ACC1A1,口 DEU UU ACO1A1
(2)(1)DEA1C,口AC口BC1,
日口BC1日DE.
日BC1AB1,AB10DE=D,AB1,DE ADE,BC1古ADE
日AE 口口ADE,口口AE囗BC1
日口ABC口,AB=ACE口BC口口
口口AE囗BC
日口BC1∩BC=BBC1,BC 日BCC1B1,
日囗AE口BCC1B
3.日(1)AoBC日D,0OEAB,日日E,AOE日,AE=10c0s
,AB=2AE=20cosθ,口ABD日,BD= AB. sinθ=20cosθsinθ,
囗S=-2π20 sin e cos20cosθ=
400πsin6cos2(0< x
(2)日日口口,口(1)口
S=400π sin e cos20=400π(sine-in3()
口f(x)=x×3(0口f(x)=13x2,
口f'(×)=13×2=0ax23
口X(0,2)日,f(x)>0,
日X(。,1)口,f(×)<0,
自fxX)百日日(0,2)日日日自,百(=,1)百日日第 7讲 不等式的恒成立与存在性问题
1.在△ABC 中,已知 C=120 °,sin B=2sin A, 且△ABC 的面积为 2√3,则 AB 的长为 .
2.(2019 扬州中学检测 ,5)已知向量 = ( k ,12), = ( 4 ,5), = ( 10,k), 当 A,B,C 三点共线时 ,实数 k 的值
为 .
π π
3.已知函数 y=3sin (2 +
4 ) ,x∈[0 , 2]的单调增区间为 [0,m], 则实数 m 的值为 .
+8
4.已知正数 x,y 满足 x+2y=2, 则 的最小值为 .
5.(2019 如皋一模 ,7)已知变量 x,y 满足约束条件 |2x+y-2| ≤1,x≥0,y≥0,则 x-2y+1 的最大值为 .
sin2
6.(2019 扬州中学检测 ,8)已知 tan(α+β)=1,tan( α-β)=2, 则 的值为 .
cos2
π
7.(2019 南京、盐城二模 ,8)若函数 f(x)=2sin( ωx+φ)(ω>0,0< φ<π)的图象经过点 ( 6 ,2) ,且相邻两条对
π π
称轴间的距离为 2,则 f ( 4)的值为 .
8.若不等式 mx 2-2x+1-m<0 对满足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立 ,则实数 x的取值范围是 .
9.(2019 南通基地学校 3 月联考 ,10)如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 A(√3,1)在以原点 O 为圆心的圆
上.已知圆 O 与 y 轴正半轴的交点为 P,延长 AP 至点 B,使得∠AOB=90 °,则 · = .
10.(2018 江苏泰州中学月考 )已知函数 f(x)=x 2-(a+1)x+b.
(1)若 f(x)<0 的解集为 (-1,3), 求 a,b 的值 ;
(2)当 a=1 时,若对任意 x∈R, f(x)≥0 恒成立 ,求实数 b 的取值范围 ;
(3)当 b=a 时,解关于 x 的不等式 f(x)<0( 结果用 a 表示 ).
答案精解精析
1.答案 2√7
1 3
解析 因为 sin B=2sin A, √所以由正弦定理 ,得 b=2a, 所以 S= 2absin 120 °=
2
2 a =2 √3,解得 a=2,b=4, 则
AB=c= √ 2 + 2 - 2abcos =
√4 + 16- 2×2×4cos120°=2√7.
2.答案 -2 或 11
解析 由题意可得 = ( 4 -k,-7), = (6,k-5), 由于 和 共 线 ,故有 (4-k)(k-5)+42=0, 解得 k=11 或
k=-2.
π
3.答案 8
π π π 3π π 3π π
解析 由 2kπ- 2≤2x+ 4≤2kπ+ 2 ,k∈Z 得 kπ- 8 ≤x≤kπ+ 8 ,k∈Z,当 k=0 时,一个递增区间是 [ - 8 , 8 ],则
π
m= 8.
4.答案 9
解析 因为 x,y 为正数 ,且 x+2y=2,
+8 = ( 1 8 8 8 √ + ) ( 2 + y) = 2 + +5 ≥2 2 · +5=9, 当且仅当 x=4y=
4
3时等号成立 ,
+8
所以 的最小值为 9.

5. 5答案 2
解析 ∵|2x+y-2| ≤1,
2 + -1 ≥0,
∴{2 + -3 ≤0,
2 + -1 ≥0,
{ 2 + -3 ≤0,作出 ≥0, 表示的平面区域 ,如图 .
≥0
易得直线 2x+y-3=0 与 x 3轴的交点为 A( 2 ,0) .设 t=x-2y+1,
当直线 t=x-2y+1 经过 A 点时 ,t 3取最大值 ,tmax = -0+1=
5.
2 2
5
故 x-2y+1 的最大值为 2.
6.答案 1
解析 ∵tan(α+β)=1,tan( α-β)=2,
sin2 = sin [( + )+ ( - )]∴cos2 cos [( + ) -( - )]
sin ( + )cos ( - )+cos ( + )sin ( - )
=
cos ( + )cos ( - )+sin ( + )sin ( - )
tan ( + ) +tan ( - ) 1+2
= 1+tan ( + ) tan ( - )= 1+2 =1.
7.答案 √3
π 2π π
解析 因为相邻两条对称轴间的距离为 2,所以 T= =π,所以ω=2, 由函数图象经过点 ( 6 ,2) ,得
π π π
2sin (2 ×6 + φ) =2,从而 3+φ= 2 +2k π,k∈Z,
π
因为 0<φ<π,所以φ= 6 ,
π
所以 f(x)=2sin (2 + 6) ,
π π π π
所以 f ( 4) =2sin (2 ×4 + 6 ) =2cos 6 =√3.
8.答案 ( - 1+ √7 , 1+ √3
2 2 )
解析 已知不等式可以化为 (x2-1)m+1-2x<0. 设 f(m)=(x 2-1)m+1-2x, 这是一个关于 m 的一次函数 (或
(2) = 2( 2- 1) + 1- 2x < 0,
常数函数 ),要使 f(m)<0 在-2≤m≤2 时恒成立 ,其等价条件是 { 整理得
(-2) = -2( 2 -1) + 1-2x < 0,
2 2 -2x- 1 < 0, - 1+ √7 0, 2 2 2 2
) .
9.答案 2
2
解析 由题意可知圆的半径为 r=√(√3) + 1=2,则 P(0,2),由∠AOB=90 °可得 · = 0 , 故
· = ( + ) · = · + · = ( 0 ,2) ·(√3,1)=2.
10.解析 (1)因为 f(x)=x 2 -(a+1)x+b<0 的解集为 (-1,3),
所以 x2-(a+1)x+b=0 的两个根为 -1 和 3,
(- 1)2- (a + 1)(- 1) + b = 0,
所以 { 2 解得 a=1,b=-3. 3 - (a + 1) 3·+ b = 0,
(2)当 a=1 时, f(x)=x 2-2x+b,
因为对任意 x∈R, f(x)≥0 恒成立 ,
所以Δ=(-2) 2-4b ≤0,
解得 b≥1,
所以实数 b 的取值范围是 [1,+ ∞).
(3)当 b=a 时, f(x)<0,
即 x2-(a+1)x+a<0,
即(x-1)(x-a)<0.
当 a<1 时,a当 a=1 时,x∈ ;
当 a>1 时,1综上 ,当 a<1 时,不等式 f(x)<0 的解集为 {x|a当 a=1 时,不等式 f(x)<0 的解集为 ;
当 a>1 时,不等式 f(x)<0 的解集为 {x|11(2019日日日日日日日)ABC日,日AC=3c0sB=14,A=
(1)AB口口
(2)口cos( 2)日口
2、(2019日)日,日 P-ABCD,口口,AD口BC,AD=2BC,口BAD=口
BPA=90°,口APB自口ABCD,MPD口口口
日日:(1)CM囗囗日PAB;
(2)PB囗PD
3.(2018百)日口口m百百S口
日日日日日d日日日,口百日日日m=k×(k日日日k>0),日日,口日日口日日日A日10
km日日日日B,口口B日百百日日A日日日A(0日口口口”口“日日口口口日B日口口口口”囗口m1m2,口m1日口A“口口
(1)P日A日日15km,日PAB=60,A=2,自自P日日日日日日B日日A日
日日日日” 口口日;
(2)日日日B日2km日日日日(日日)日B日日A百“日口”,口A口
4.(2018日日日)日,XOy百,口c:

=1(a>b>0)百百百口口
口F1,F2,口P(3,1)口口口,PFF2日口口口2y
(1)日口C百口口
日日日F1QF2=,QF1QF2日日
(2)日y=x+k日日日C口AB日日,日AB百百百百百百,k口口
1.口口(ABC日,口日c0sB=y
日口0口口sinB=√1c0sB=3
14
日日口A+B+C=πt,
日日sinC=sin[T-(A+B
√21
sin(A+ B)=sin ( -=sin BcoS -+coS Bsin

日口AB=
sin C=2
(2)日日A+B+C=T,
日cosC=cos[π(A+B)=
T
T27
COS(A+B=-COs ( a=sin Bsin--COS BCOS
T3√21
口日cos( 2)
6/COS Ccos -+sin csin
6
14
2.口(1)AP口口口H,口口BH,HM,口口,
日口H,M日AP,DP百口
1
口HM=-AD囗HMAD
日日 AD UBC U AD=2BC,口HM=BC日HM囗BC,
日口CM口BH
日口CM 口口 PAB BH 口PAB
口口CM口口囗PAB
(2)口口BAD=90°,BAAD
口囗囗囗APB囗囗囗ABCD,AD 口囗ABCD,口囗APB∩口囗ABCD=AB,口囗AD囗囗囗APB
日日PB 日PAB,PBAD
日口口BPA=90°,PB日PA
日日PA∩AD=A,PA,AD 日PAD,
日口PB口口PAD
日口PD 口口PAD,口口PB囗PD
3口口口囗A囗B囗囗囗口口口S1km2S2km2,P口A囗B囗囗口口口囗d1kmd2km
口S2=入S1(0
m2=k,k囗囗口k>0
(1)□PAB口,AB=10,PA=15,□PAB=
60
1
囗囗囗, 2=PB2=AB2+PA22 ABPAcOS60°=102+1522×10×15×=175
口 =PA2=225
日mm2=k7k7k7k7-kS1(可可
1
口入
225, 3=175口口
口mm2=ks1(
日口kS1>0,口口m1>m2,日口口P口口口口日口囗口囗BA“口口口”口
(2)A,ABX自,口,A(0,0),B(10,0),口P(x,y),
D mi口口口口,口(×-10)2+y2口口(1-入)x2+(1-)y2-20x+100<0,
10√
口口( 2)+y2<(
10
日日日B日日A“日百日日口日”日日日C(1.52o1sin( 叶+)=sn2x口口
1
2.日日tan( 2
口tan(2 2)口
3(2019日口口日,10)日囗cos4asin4a=,a(0,。),口cos(2 +。)=
T√2
4(2019,9)日sin( +)=4口sn(6X)+sin(2×)日
5.00 0,U X-y
√10
6.(2019日日日日日日日日13日日日,9)日日cos( +)=-1o,0(0,),口sin(2
7.(2018日日日日日口)日日日日日日XOy日,日日A(cosa,sina),B(cos阝,sin阝)口口
y=√3X+√2口口口,tan(a+β)口口
8、(2019日口日,9)cosa=2cos( +),tan( +。)
9.(2019日日日,15)日aABC日,nA=3,A口(2,
(1)口sin2A口口
(2)日snB=3,cosC口口
10.(2018日日口)日日Xoy日,口a百百O,口X口口口
口口,口囗囗口口口O口口口口PQ.口口P囗囗囗口037
3√3
日Q日日百口
(1)口cos2a口口
(2)日20-阝日日
1.口囗
4
日日口sin( +
口c0s2( 2)=12sn2( +)=12
口cos(2 +n)
7
口-sin2x
d sin 2x
25
2.口口
tan -11
1
口口tan(
口tanX=-,tan2x
1+tan 2
tan2 -11
U tan(2
1+tan2 7
√15+2
3.口囗
oo cos a-sin a =(cosx-sin a)(cosa +siru )=co'sa-sin a=cosa
日自a(0,),日200(0,π),
口口sin2a+1cos2a=
3
2TU
2T2
1.√5√3√15+2
口口cos(2 +)=cos2acos2sin20sin
6
3+√
4.口口
4
STU
T
口口sin(-×)=sin[T(a+×)
sin( + -
sIn(
-2X)=sn[
+2×)
=cos(+2X)=cos2(。+×)
=12sin(6+X)=124)=4
5π
+√2
日日sn(。×)+sin(-2×)
口囗口 tan tan y=2 SIn Xsin y=2 Cos XCos y=,cos(xy)= cos XCos y+ sIn Xsin y=+2=2,日
T
0