(共16张PPT)
类型三 用数学的语言表达世界——数学建模、数据分析
素养5 数学建模
数学建模是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.具体表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型.
【例5】
(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3
699块
B.3
474块
C.3
402块
D.3
339块
答案 C
【训练5】
(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
答案 ①130 ②15
素养6 数据分析
数据分析是对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识.
【例6】
(1)(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1
200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A.10名
B.18名
C.24名
D.32名
(2)(多选题)(2020·济南一预)下图为某省高考数学理科试卷近三年试题的难易程度的对比图(图中数据为相应难易程度的题目所占的分值).根据对比图，下列结论正确的有( )
A.近三年容易题分值逐年增加
B.近三年难题分值逐年减少
C.近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D.2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
答案 (1)B (2)AD
【训练6】
(2020·潍坊模拟)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
?
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
旧养殖法
?
?
新养殖法
?
?
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50
kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A的概率估计值为0.62.
(2)列联表如下：
?
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50
kg之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55
kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.(共10张PPT)
类型二 用数学的思维分析世界——逻辑推理、数学运算
素养3 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.具体表现：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流.
【例3】
(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
答案 ABD
【训练3】
甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.
答案 D
素养4 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.具体表现：
(1)理解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序.
【训练4】
(2020·武汉模拟)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.
证明 (1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，
即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.类型三 用数学的语言表达世界——数学建模、数据分析
素养5 数学建模
数学建模是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.具体表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型.
【例5】
(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
INCLUDEPICTURE"20KT28.TIF"
INCLUDEPICTURE
"20KT28.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.3
699块
B.3
474块
C.3
402块
D.3
339块
解析 设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3
402(块).
答案 C
【训练5】
(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
答案 ①130 ②15
素养6 数据分析
数据分析是对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识.
【例6】
(1)(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1
200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A.10名
B.18名
C.24名
D.32名
(2)(多选题)(2020·济南一预)下图为某省高考数学理科试卷近三年试题的难易程度的对比图(图中数据为相应难易程度的题目所占的分值).根据对比图，下列结论正确的有( )
A.近三年容易题分值逐年增加
B.近三年难题分值逐年减少
C.近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D.2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
解析 (1)由题意知超市第二天能完成1
200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1
600－1
200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B.
(2)根据对比图可得这三年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，A正确；这三年难题分值分别为34，46，12，并不是逐年减少，B不正确；2016年中档题分值为76，占比最高，C不正确；2018年容易题与中档题的分值之和占总分的×100%＝92%>90%，D正确.故选AD.
答案 (1)B (2)AD
【训练6】
(2020·潍坊模拟)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50
kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50
kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A的概率估计值为0.62.
(2)列联表如下：
箱产量<50
kg
箱产量≥50
kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2＝≈15.705>6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50
kg之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55
kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.INCLUDEPICTURE"插页一.tif"
类型一 用数学的眼光观察世界——数学抽象、直观想象
素养1 数学抽象
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.
【例1】
(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是__________.
解析 －表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强.
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.
答案 ①②③
【训练1】
如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
INCLUDEPICTURE"W1.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W1.TIF"
\
MERGEFORMAT
解析 建立如图的平面直角坐标系，则P(cos
x，sin
x)，P′(cos(π－x)，sin(π－x))，
INCLUDEPICTURE"W3.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W3.TIF"
\
MERGEFORMAT
即P′(－cos
x，sin
x)，
∴－＝(cos
x，sin
x)－(－cos
x，sin
x)＝(2cos
x，0)，
∴f(x)＝|－|＝2|cos
x|.故选A.
答案 A
素养2 直观想象
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，构建数学问题的直观模型解决问题.
【例2】
(多选题)(2020·海南新高考诊断)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则( )
INCLUDEPICTURE"W4.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W4.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.m＝
B.直线A1E与直线C1F共面
C.m＝
D.直线A1E与直线C1F异面
解析 连接EF，AC，A1C1，C1D，DF，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，所以直线A1E与直线C1F共面.因为AB1∥C1D，所以异面直线AB1与C1F所成的角为∠DC1F.设AA1＝，则AB＝AA1＝2，DF＝，C1F＝，C1D＝.在△DC1F中，由余弦定理，得m＝cos
∠DC1F＝＝.故选BC.
INCLUDEPICTURE"W5.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W5.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 BC
【训练2】
(2020·新高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A.(－2，6)
B.(－6，2)
C.(－2，4)
D.(－4，6)
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故选A.
INCLUDEPICTURE"20KT48.TIF"
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"20KT48.TIF"
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MERGEFORMAT
答案 A(共11张PPT)
类型一 用数学的眼光观察世界——数学抽象、直观想象
素养1 数学抽象
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是__________.
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.
答案 ①②③
解析 建立如图的平面直角坐标系，则P(cos
x，sin
x)，P′(cos(π－x)，sin(π－x))，即P′(－cos
x，sin
x)，
素养2 直观想象
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，构建数学问题的直观模型解决问题.
答案 BC
A.(－2，6)
B.(－6，2)
C.(－2，4)
D.(－4，6)
答案 A类型二 用数学的思维分析世界——逻辑推理、数学运算
素养3 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.具体表现：(1)发现和提出命题；(2)掌握推理的基本形式和规则；(3)探索和表述论证的过程；(4)构建命题体系；(5)表达与交流.
【例3】
(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A.a2＋b2≥
B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2
D.＋≤
解析 因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B，2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确.
综上可知，正确的选项为ABD.
答案 ABD
【训练3】
甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.
答案 D
素养4 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.具体表现：(1)理解运算对象；(2)掌握运算法则；(3)探究运算思想；(4)设计运算程序.
【例4】
(2020·浙江卷)已知tan
θ＝2，则cos
2θ＝________，tan＝__________.
解析 由题意，cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
tan＝＝＝＝.
答案 －
【训练4】
(2020·武汉模拟)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
INCLUDEPICTURE"53.tif"
INCLUDEPICTURE
"53.tif"
\
MERGEFORMAT
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.
证明 (1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，
则有y＝eq
\f(y1x1x2,x)＝＝－2，
因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上.
(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为
N1(＋a，2)，N2(－＋a，－2)，
则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
