热点专练2 不等式
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a，b，c为实数，且a
A.ac2B.<
C.>
D.a2>ab>b2
解析 c＝0时，A不成立；
－＝>0，B错；
－＝＝<0，C错；
由aab>b2，D正确.
答案 D
2.已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )
A.2
B.－2
C.－
D.
解析 依题意，－1与－是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，且a<0，∴－1×＝
(－1)×，则a＝－2.
答案 B
3.若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A.2
B.
C.4
D.
解析 因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号).
又因为2a＋b＝4，
∴2≤4?0∴≥，故的最小值为(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).
答案 B
4.(2020·日照检测)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
解析 由题意得2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，∴1≥2，∴≥2x＋y，∴2－2≥2x＋y，∴x＋y≤－2.∴x＋y的最大值为－2.
答案 B
5.(2020·菏泽模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A.
B.
C.2
D.
解析 由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.
答案 C
6.(2020·滨州模拟)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为( )
A.2
B.2
C.4
D.4
解析 ∵x>0，y>0，∴>0.
∵x＋2y＝5，∴＝
＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，
即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.
∴的最小值为4.
答案 D
7.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A.16
B.9
C.4
D.2
解析 在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).由题意知2＋1≥5.所以a≥4.
答案 C
8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析 已知当x∈[1，5]时，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，则－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满足－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，则直线y＝ax＋b必过(1，5)，且与函数y＝f(x)的图象相切于点B.
易得此时b＝5－a，此时的直线方程为y＝ax＋5－a.由得x2＋(a－2)x＋5－a＝0.∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a＝－4或a＝4(舍去)，∴bmax＝5－(－4)＝9.故选A.
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·德州模拟)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是( )
A.若a>b，则acB.若aab>b2
C.若c>a>b>0，则>
D.若a>b，>，则a>0，b<0
解析 若c>0，则由a>b得ac>bc，A错；若aab，ab>b2，a2>ab>b2，B正确；若c>a>b>0，则c－b>c－a>0，∴>>0，∴>，C正确；若a>b，且a，b同号，则有<，因此由a>b，>得a>0，b<0，D正确.故选BCD.
答案 BCD
10.(2020·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤
B.(a＋b＋c2)≥3
C.＋＋≥2
D.a2＋b2＋c2≥1
解析 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，
∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C错误，B，D正确.故选BD.
答案 BD
11.(2020·济南一中期中)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最小值4
B.有最小值
C.＋有最大值
D.a2＋b2有最小值
解析 对于A，因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故A正确；对于B，因为a，b是正实数，所以有1＝a＋b≥2，即≤(当且仅当a＝b时取等号)，故B不正确；对于C，因为a，b是正实数，所以有≤＝，即＋≤(当且仅当a＝b时取等号)，故C正确；对于D，因为a，b是正实数，所以有≤，即a2＋b2≥(当且仅当a＝b时取等号)，故D正确.故选ACD.
答案 ACD
12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( )
A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4
B.若x<，则函数y＝2x＋的最大值为－1
C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1
D.函数y＝＋的最小值为9
解析 对于A，取x＝，y＝，可得2x＋2y＝3>4，A错误；对于B，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝<1，C错误；对于D，y＝＋＝(sin2x＋cos2x)＝＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当cos2x＝，sin2x＝时等号成立，D正确.故选BD.
答案 BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
答案
14.(2020·深圳统测)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)
解析 ∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴＋＝1，∴1＝＋≥2，∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4答案 8 (－4，2)
15.(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________.
解析 因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.故＋＋的最小值为4.
答案 4
16.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
解析 法一 由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号.所以x2＋y2的最小值为.
法二 设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.
由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥.
故x2＋y2的最小值为.
答案 热点专练5 数学文化
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·辽宁五校模拟)欧拉公式eπi＋1＝0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A中不含无理数的子集共有( )
A.8个
B.7个
C.4个
D.3个
解析 欧拉公式中数值组成的集合A中不是无理数的元素一共有3个，故共有23＝8(个)子集.故选A.
答案 A
2.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
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A.
B.
C.
D.
解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′.
由已知得h2＝ah′.
又∵h′2＝h2＋，∴h′2＝ah′＋a2，
∴－·－＝0，解得＝(负值舍去).
故选C.
答案 C
3.(2020·成都模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )
A.15
B.16
C.18
D.21
解析 设得到橘子最少的人的橘子个数为a1.由题意，得5a1＋×3＝60，解得a1＝6.所以得到橘子最多的人所得橘子的个数为a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.故选C.
答案 C
4.(2020·广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
解析 根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数.数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数.则可以表示2×1＝2个两位数，则一共可以表示14＋2＝16个两位数，故选D.
答案 D
5.(2020·青岛调研)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示).从图中的八卦中随机选取一卦，则卦中恰有两个“”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为.
答案 C
6.(2020·新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
解析 示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面所成角为40°.故选B.
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答案 B
7.(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是( )
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A.165
cm
B.175
cm
C.185
cm
D.190
cm
解析 依题意可知＝，＝，
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(1)腿长为105
cm，即CD>105，
AC＝CD>64.890，
AD＝AC＋CD>64.890＋105＝169.890，
所以AD>169.890.
(2)头顶至脖子下端的长度为26
cm，即AB<26，
BC＝<42.071，
AC＝AB＋BC<68.071，
CD＝<110.147，
AD＝AC＋CD<68.071＋110.147＝178.218，
综上，169.890答案 B
8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为( )
INCLUDEPICTURE"a98.TIF"
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A.
B.
C.
D.2
解析 设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以离心率e＝＝＝.
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A.f(x)＝ln
x
B.f(x)＝x2＋2x－3
C.f(x)＝
D.f(x)＝x＋
解析 对于A，由于x>x－1≥ln
x，所以ln
x＝x无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于B，令x2＋2x－3＝x，得x2＋x－3＝0，因为Δ＝1－4×(－3)>0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，从而该函数为“不动点”函数；对于D，令x＋＝x，得＝0，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选BC.
答案 BC
10.(2020·济南模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域有着显著成就，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f(x)＝关于f(x)，下列说法正确的是( )
A.?x∈R，f(f(x))＝1
B.函数f(x)是偶函数
C.对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
D.存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形
解析 ?x∈R，f(x)∈{0，1}，∴f(f(x))＝1，A正确；
f(－x)＝＝＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，B正确；
f(x＋T)＝＝＝f(x)，C正确；
易知A，B(0，1)，C三点所连线构成等边三角形，D正确.故选ABCD.
答案 ABCD
11.(2020·重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体：
INCLUDEPICTURE"W17.TIF"
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图1是底面直径和高均为1的圆锥；
图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图3是底面边长和高均为1的正四棱锥；
图4是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积不相等的是( )
A.图1
B.图2
C.图3
D.图4
解析 由题意可知，几何体Γ是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的点的横坐标为x2.由f(x)＝x2，可得f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以曲线C在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，所以x＝y，x2＝，所以几何体Γ在等高处的横截面面积S＝πx－πx＝π·.图1中的圆锥高为1，底面半径为，易知该圆锥可由直线y＝2x＋1绕y轴旋转得到，其横截面面积S′＝πx2＝π·，所以几何体Γ和图1中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，同理可知几何体Γ和图2，3，4中的几何体的体积均不相等，故选BCD.
答案 BCD
12.(2020·枣庄模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A.C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D.在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
解析 设点P(x，y)，则＝＝.化简、整理，得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，A错误.当D(－6，0)，E(－12，0)时，＝，B正确.cos
∠APO＝，cos
∠BPO＝，要证射线PO为∠APB的平分线，只需证明cos
∠APO＝cos
∠BPO，
即证＝.
又|PB|＝2|PA|，化简、整理，即证|PO|2＝2|AP|2－8.因为|PO|2＝x2＋y2，2|AP|2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，所以cos
∠APO＝cos
∠BPO，C正确.设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得eq
\r(x＋y)＝2eq
\r(（x0＋2）2＋y)，整理，得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在C上，所以满足x＋y＋8x0＝0.联立方程解得x0＝2，y0无实数解，D错误.故选BC.
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是________步.
解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，
设其内切圆半径为r，
则有×(8＋15＋17)r＝×8×15(等积法).
解得r＝3，故其直径为6步.
答案 6
14.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为1、2、3、4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为1和2的座位；
乙：我不坐座号为1和4的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座号为2的座位，我就不坐座号为1的座位.
那么坐的座号为3的座位上的是________.
解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为1的座位，那么只有丁坐座号为1的座位，这样乙就坐座号为2的座位，易知丙只能坐座号为3的座位，则甲坐座号为4的座位.
答案 丙
15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R(x)＝
若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg
20)＝________.
解析 由函数的最小正周期为1可得f＋f(lg
20)＝f＋f(lg
2＋1)＝f＋f(lg
2)＝＋0＝.
答案
16.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.
解析 设圆锥的底面半径为r，则
V＝πr2h≈l2h＝(2πr)2h，得π≈.
答案 (共22张PPT)
热点专练3 平面向量
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos
〈a，a＋b〉＝( )
答案 D
3.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.a＋2b
B.2a＋b
C.a－2b
D.2a－b
答案 D
4.(2020·石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影为( )
答案 B
答案 C
答案 D
答案 B
8.(2020·青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
解析 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·青岛质检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b|
B.a⊥c
C.b∥c
D.θ＝135°
答案 BD
答案 ABD
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
答案 AD
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.(共26张PPT)
热点专练4 排列、组合、二项式定理
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
答案 C
答案 B
3.(2020·广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A.36
B.24
C.72
D.144
答案 C
A.5
B.10
C.15
D.20
答案 C
5.(2020·湖南师大附中模拟)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )
A.40种
B.60种
C.100种
D.120种
答案 B
6.(x2－ax＋2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 A
7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐，即今美育；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( )
A.18种
B.36种
C.72种
D.144种
解析 由题意分析“射”和“御”排或不排在最后分两种情况讨论.
答案 B
8.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
A.12
B.24
C.16
D.32
解析 由题意可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法.综上，计数法共有8＋12＋8＋4＝32(种).
答案 D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·石家庄一模)下列四个命题为真命题的是( )
答案 BCD
A.若a＝1，则展开式中的常数项为15
B.若a＝2，则展开式中各项系数之和为1
C.若展开式中的常数项为60，则a＝2
D.若展开式中各项系数之和为64，则a＝2
答案 AB
11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )
A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案
答案 BCD
A.n＝5
B.M＝25
C.N＝25
D.二项展开式中xy的系数为270
答案 ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·漳州适应性测试)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.
解析 令x＝1，则(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝63＋a0.
令x＝0，则a0＝1，所以(1＋m)6＝64，则m＝1或m＝－3.
答案 1或－3
14.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
答案 36
15.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有________种不同的安排方法.(用数字作答)(本小题第一空2分，第二空3分)
答案 12 10
答案 18(共30张PPT)
热点专练5 数学文化
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·辽宁五校模拟)欧拉公式eπi＋1＝0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A中不含无理数的子集共有( )
A.8个
B.7个
C.4个
D.3个
解析 欧拉公式中数值组成的集合A中不是无理数的元素一共有3个，故共有23＝8(个)子集.故选A.
答案 A
2.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
答案 C
3.(2020·成都模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )
A.15
B.16
C.18
D.21
答案 C
4.(2020·广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
解析 根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数.数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数.则可以表示2×1＝2个两位数，则一共可以表示14＋2＝16个两位数，故选D.
答案 D
答案 C
6.(2020·新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
解析 示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面所成角为40°.故选B.
答案 B
A.165
cm
B.175
cm
C.185
cm
D.190
cm
答案 B
8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为( )
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
答案 BC
A.?x∈R，f(f(x))＝1
B.函数f(x)是偶函数
C.对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
D.存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形
答案 ABCD
11.(2020·重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体：
图1是底面直径和高均为1的圆锥；
图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图3是底面边长和高均为1的正四棱锥；
图4是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积不相等的是( )
A.图1
B.图2
C.图3
D.图4
答案 BCD
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是________步.
答案 6
14.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为1、2、3、4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为1和2的座位；
乙：我不坐座号为1和4的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座号为2的座位，我就不坐座号为1的座位.
那么坐的座号为3的座位上的是________.
解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为1的座位，那么只有丁坐座号为1的座位，这样乙就坐座号为2的座位，易知丙只能坐座号为3的座位，则甲坐座号为4的座位.
答案 丙热点专练3 平面向量
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·泰安检测)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1).若∥，则实数m的值为( )
A.
B.－
C.－3
D.－
解析 易知＝(3，1)，且＝(2m，m＋1)，由∥，得2m＝3(m＋1)，∴m＝－3.
答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos
〈a，a＋b〉＝( )
A.－
B.－
C.
D.
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故选D.
答案 D
3.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.a＋2b
B.2a＋b
C.a－2b
D.2a－b
解析 由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°，故a·b＝|a||b|cos
θ＝.
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.故选D.
答案 D
4.(2020·石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影为( )
A.－
B.
C.2
D.
解析 因为(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cos
60°＝3，所以2a－b在a方向上的投影为＝.
答案 B
5.(2020·海南新高考诊断)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝( )
A.
B.
C.1
D.2
解析 法一 ∵＝2，∴－＝2(－)，
∴＝＋，
则·＝·
＝·＋2＝×3×2×＋×32
＝1，
故选C.
法二 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，
INCLUDEPICTURE"X1A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"X1A.TIF"
\
MERGEFORMAT
∵＝2，
∴＝＝(－4，)＝，
则D，
∴＝(3，0)，＝，则·＝3×＋0＝1，故选C.
答案 C
6.(2020·济南检测)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A.－
B.
C.
D.
解析 因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝，DF＝，所以·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos
120°＋||·||cos
60°＝.
答案 D
7.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A.－2
B.－
C.－
D.－1
解析 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).
INCLUDEPICTURE"C3.TIF"
INCLUDEPICTURE
"C3.TIF"
\
MERGEFORMAT
所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－.
当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值－.
答案 B
8.(2020·青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.1
B.2
C.
D.
解析 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，
INCLUDEPICTURE"A94.TIF"
INCLUDEPICTURE
"A94.TIF"
\
MERGEFORMAT
设＝c，＝a，＝b，
则＝a－c，＝b－c，
所以⊥.
又因为⊥，所以O，A，C，B四点共圆，
当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·青岛质检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b|
B.a⊥c
C.b∥c
D.θ＝135°
解析 根据题意，得a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，则a＝(－1，1)，b＝(2，0).对于A，|a|＝，|b|＝2，则|a|≠|b|，错误；对于B，a＝(－1，1)，c＝(1，1)，则a·c＝0，即a⊥c，正确；对于C，b＝(2，0)，c＝(1，1)，b∥c不成立，错误；对于D，a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cos
θ＝＝－，则θ＝135°，正确.故选BD.
答案 BD
10.(2020·沈阳一监)已知向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8).若点A，B，C是一个三角形的顶点，则实数t可以为( )
A.－2
B.
C.1
D.－1
解析 若点A，B，C是一个三角形的顶点，则A，B，C三点不共线，则向量，不共线.由于向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，因此＝－＝(－3，4)，＝－＝(t＋5，t－9).若A，B，C三点不共线，
则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1，故选ABD.
答案 ABD
11.(2020·深圳统测)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，所以||－|(－)＋(－)|＝0，即||＝|＋|，所以|－|＝|＋|，等式两边平方并化简得·＝0，所以⊥，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形式.故选AD.
答案 AD
12.(2020·聊城质检)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值可能是( )
A.＋2
B.＋1
C.－1
D.－2
解析 设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1].故选BC.
答案 BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
解析 将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
答案
14.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.
INCLUDEPICTURE"4S445.TIF"
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"4S445.TIF"
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MERGEFORMAT
解析 因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
答案
15.(2020·天津适应性测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE＝1，且·＝，则||＝________.若P是线段DE上的一个动点，则·的最小值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)
INCLUDEPICTURE"W13.TIF"
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"W13.TIF"
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MERGEFORMAT
解析 ∵AE＝1，∠BAC＝60°，
∴·＝||×1×cos
60°＝，解得||＝1.
设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(1－λ).
∴＝＋＝－2＋λ(－)
＝－(2＋λ)＋λAE，
＝＋＝－＋(1－λ)(－)
＝(λ－2)＋(1－λ).
∴·＝－(2＋λ)(1－λ)2＋λ(λ－2)2＋[λ(1－λ)－(λ2－4)]·＝λ2－λ.
当λ＝时，·有最小值，为－.
答案 1 －
16.(2020·浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________.
解析 设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，
则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y).
由2e1－e2＝(2－x，－y)，
故|2e1－e2|＝≤，得(x－2)2＋y2≤2.
又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，
化简，得4x≥3，即x≥，因此≤x≤1.
cos2θ＝
＝
＝＝
＝＝＝－，
当x＝时，cos2θ有最小值，为＝.
答案 热点专练4 排列、组合、二项式定理
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
解析 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.故选C.
答案 C
2.在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为( )
A.7x6
B.－7x
C.x
D.－x7
解析 由二项式系数的性质，知n＝8，
则Tr＋1＝C()8－r＝Cx，
∴展开式中第4项T4＝Cx＝－7x.
答案 B
3.(2020·广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A.36
B.24
C.72
D.144
解析 根据题意，把3位女生中的2位捆绑在一起看成一个整体，并和剩下的1位女生插入到由2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有AAA＝72种.故选C.
答案 C
4.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析 法一 ∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二 当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.故选C.
答案 C
5.(2020·湖南师大附中模拟)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )
A.40种
B.60种
C.100种
D.120种
解析 根据题意，首先从5人中抽取2人在星期五参加活动，有C种情况.再从剩下的3人中，抽取2人安排在星期六、星期日参加活动，有A种情况.则由分步乘法计数原理，可得不同的选派方法共有CA＝60(种).故选B.
答案 B
6.(x2－ax＋2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 (x2－ax＋2y)5＝[(x2－ax)＋2y]5的展开式的通项Tr＋1＝C·(x2－ax)5－r·(2y)r＝C·2r·(x2－ax)5－r·yr.当r＝2时，C·2r·(x2－ax)5－r·yr＝C·22·(x2－ax)3·y2＝40x3(x－a)3y2，且(x－a)3的展开式中x2项的系数为C(－a)1＝－3a.依题意有40×(－3a)＝240，解得a＝－2.
答案 A
7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐，即今美育；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( )
A.18种
B.36种
C.72种
D.144种
解析 由题意分析“射”和“御”排或不排在最后分两种情况讨论.
①当“射”或“御”排在最后时，“射”和“御”有2种排法，即A种，余下三种才能共有A种排法，故此时共有AA＝12(种)排法；
②当“射”和“御”均不在最后时，“射”和“御”共有3×2＝6(种)排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置排最后的两个基本才能，有A种排法，故共有6×2×A＝24(种)排法.综合①②得，“六艺”讲座不同的排课顺序共有36种.
答案 B
8.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为( )
INCLUDEPICTURE"W14.TIF"
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\
MERGEFORMAT
A.12
B.24
C.16
D.32
解析 由题意可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法.综上，计数法共有8＋12＋8＋4＝32(种).
答案 D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·石家庄一模)下列四个命题为真命题的是( )
A.C＝162
700
B.C＋C＝C
C.C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝254
D.(1＋2x)10的展开式中二项式系数最大的项是·(4x)5
解析 C＝C＝＝161
700，A错误；
由组合数的性质C＋C＝C，知C＋C＝C，B正确；
C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝28－C－C＝256－2＝254，C正确；
(1＋2x)10的展开式中二项式系数最大的项是·(2x)5＝·(4x)5，D正确.故选BCD.
答案 BCD
10.(2020·北京模拟)已知二项式，则下列说法正确的是( )
A.若a＝1，则展开式中的常数项为15
B.若a＝2，则展开式中各项系数之和为1
C.若展开式中的常数项为60，则a＝2
D.若展开式中各项系数之和为64，则a＝2
解析 因为的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ca6－kx6－k·(－1)kx－＝Ca6－k(－1)kx6－k，令6－k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项为Ca6－4(－1)4＝15a2，若a＝1，则展开式中的常数项为15，A正确；若展开式中的常数项为60，则15a2＝60，得a＝±2，C不正确；若a＝2，则展开式中各项系数之和为(a－1)6＝1，B正确；若展开式中各项系数之和为64，即(a－1)6＝64，得a＝－1或a＝3，D不正确.故选AB.
答案 AB
11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )
A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案
解析 若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，A不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按2∶1∶1∶1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有CA＝240(种)，B正确；若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有CA＝60(种)，C正确；若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有AA＝12(种)，D正确.故选BCD.
答案 BCD
12.(2020·济南检测)设(＋3)n的二项展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－2N＝960，则下列结论中正确的是( )
A.n＝5
B.M＝25
C.N＝25
D.二项展开式中xy的系数为270
解析 根据题意，令x＝1，y＝1，得M＝4n，∵N＝2n，∴M－2N＝4n－2·2n＝(2n)2－2·2n＝960，∴2n＝32，∴n＝5.∴M＝45，N＝25，(＋3)5的二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cx(3y)k＝C·3k·x·y(k＝0，1，2，3，4，5)，令＝1，＝1，得k＝3，∴二项展开式中xy的系数为C×33＝10×27＝270.故选ACD.
答案 ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(2020·漳州适应性测试)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.
解析 令x＝1，则(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝63＋a0.
令x＝0，则a0＝1，所以(1＋m)6＝64，则m＝1或m＝－3.
答案 1或－3
14.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
解析 将4名同学分成人数为2，1，1的3组有C＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种.
答案 36
15.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有________种不同的安排方法.(用数字作答)(本小题第一空2分，第二空3分)
解析 若有2架飞往不同目的地的飞机要从4条不同跑道同时起飞，有A＝12种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有A－A＝10种不同的安排方法.
答案 12 10
16.(2020·青岛质检)已知a∈N，二项式的展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有________个.
解析 二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(a＋1)r·x6－2r.令6－2r＝2，得r＝2，可得展开式中含有x2项的系数为C(a＋1)2＝15(a＋1)2≤240，解得－5≤a≤3.因为a∈N，所以a的取值为0，1，2，3，即A＝{0，1，2，3}，则由集合A中的元素构成的无重复数字的三位数共AA＝3×3×2＝18(个).
答案 18(共24张PPT)
热点专练1 集合、复数、常用逻辑用语
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝( )
A.{x|2＜x≤3}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4}
D.{x|1＜x＜4}
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N
，y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.故选C.
答案 C
3.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
答案 B
4.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝( )
A.1＋2i
B.－2＋i
C.1－2i
D.－2－i
解析 z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.
答案 B
答案 D
A.1－i
B.1＋i
C.－i
D.i
6.(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
解析 法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.
故选D.
答案 D
7.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
8.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin
α＝sin(2nπ＋β)＝sin
β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin
α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin
β.充分性成立.
(2)若sin
α＝sin
β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，
故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
必要性成立.
故应为充分必要条件.故选C.
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则集合N可能为( )
A.{1，2，3，4，5}
B.{4，5，6}
C.{4，5}
D.{3，4，5}
解析 由集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}.故选BC.
答案 BC
10.已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}.若N?M，则实数a的值可能为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 ABC
答案 ABC
12.(2020·德州二模)下列命题中是真命题的是( )
A.已知非零向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B.若命题p：?x∈(0，＋∞)，x－1>ln
x，则p的否定为?x0∈(0，＋∞)，x0－1≤ln
x0
C.在△ABC中，“sin
A＋cos
A＝sin
B＋cos
B”是“A＝B”的充要条件
D.若定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，则y＝f(f(x))也是奇函数
答案 ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
答案 [2，3]
15.(2020·石家庄模拟)已知集合A＝{x|2x2－x－1<0}，B＝{x|a答案 －2 3
解析 法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，INCLUDEPICTURE"插页二.tif"
热点专练1 集合、复数、常用逻辑用语
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝( )
A.{x|2＜x≤3}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4}
D.{x|1＜x＜4}
解析 A∪B＝∪＝.故选C.
答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N
，y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.故选C.
答案 C
3.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，所以a＝－2.故选B.
答案 B
4.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝( )
A.1＋2i
B.－2＋i
C.1－2i
D.－2－i
解析 z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.
答案 B
5.(2020·全国Ⅲ卷)若
(1＋i)＝1－i，则z＝( )
A.1－i
B.1＋i
C.－i
D.i
解析 因为＝＝＝－i，所以z＝i.故选D.
答案 D
6.(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A.0
B.1
C.
D.2
解析 法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.
故选D.
答案 D
7.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.故选A.
答案 A
8.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin
α＝sin(2nπ＋β)＝
sin
β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin
α＝sin[(2n＋1)π－β]＝
sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin
β.
充分性成立.
(2)若sin
α＝sin
β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，
故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
必要性成立.
故应为充分必要条件.故选C.
答案 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则集合N可能为( )
A.{1，2，3，4，5}
B.{4，5，6}
C.{4，5}
D.{3，4，5}
解析 由集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}.故选BC.
答案 BC
10.已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}.若N?M，则实数a的值可能为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 ∵集合M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，N＝{x|ax＝1}，
∴当a＝0时，N＝?，N?M成立；
当a≠0时，N＝，
∵N?M，∴＝－1或＝1，解得a＝－1或a＝1.
综上，实数a的值可能为1，－1，0.故选ABC.
答案 ABC
11.(2020·青岛模拟)已知复数z的共轭复数为，且－2＝，则下列说法正确的是( )
A.z＝1－2i
B.＝1＋2i
C.|z|＝
D.z在复平面内对应的点在第一象限
解析 由－2＝可得z(－2)＝3＋4i.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)(x－yi－2)＝3＋4i，整理得x2＋y2－2x－2yi＝3＋4i，所以得则z＝1－2i，＝1＋2i，|z|＝，z在复平面内对应的点在第四象限.故选ABC.
答案 ABC
12.(2020·德州二模)下列命题中是真命题的是( )
A.已知非零向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B.若命题p：?x∈(0，＋∞)，x－1>ln
x，则p的否定为?x0∈(0，＋∞)，
x0－1≤ln
x0
C.在△ABC中，“sin
A＋cos
A＝sin
B＋cos
B”是“A＝B”的充要条件
D.若定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，则y＝f(f(x))也是奇函数
解析 对于A，|a＋b|＝|a－b|?|a＋b|2＝|a－b|2?a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b?a·b＝0，所以a⊥b，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对于C，sin
A＋cos
A＝sin
B＋cos
B?2sin
A·
cos
A＝2sin
B·cos
B?sin
2A＝sin
2B，又0<2A＋2B<2π，所以A＋B＝或A＝B，显然不是充要条件，故C错误；对于D，设函数F(x)＝f(f(x))，其定义域为R，关于原点对称，且F(－x)＝f(f(－x))＝f(－f(x))＝－F(x)，所以F(x)为奇函数，故D正确.故选ABD.
答案 ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 由(x－a)(x－a＋2)≤0得，a－2≤x≤a.根据“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，可知[1，2]?[a－2，a]，所以且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得2≤a≤3.故所求实数a的取值范围是[2，3].
答案 [2，3]
14.(2020·大连检测)若“?x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.
解析 “?x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，即“?x∈，使得λ>2x＋成立”是假命题.又x∈，当x＝时，2x＋取最小值2，故实数λ的取值范围为(－∞，2].
答案 (－∞，2]
15.(2020·石家庄模拟)已知集合A＝{x|2x2－x－1<0}，B＝{x|a解析 A＝{x|2x2－x－1<0}＝，因为B＝{x|a?RA＝∪[1，＋∞)，(?RA)∩B＝{x|1≤x<3}，如图所示，所以b＝3.
答案 －2 3
16.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
解析 法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，
所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝＝2.
法二 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.
由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，易知?OACB为菱形，可得BA＝2OAsin
60°＝2.故|z1－z2|＝||＝2.
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答案 2(共22张PPT)
热点专练2 不等式
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a，b，c为实数，且a答案 D
答案 B
答案 B
4.(2020·日照检测)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是( )
A.－4
B.－2
C.2
D.4
答案 B
5.(2020·菏泽模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
答案 C
答案 D
A.16
B.9
C.4
D.2
答案 C
8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析 已知当x∈[1，5]时，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，则－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满足－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，则直线y＝ax＋b必过(1，5)，且与函数y＝f(x)的图象相切于点B.
答案 A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.(2020·德州模拟)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是( )
答案 BCD
10.(2020·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
答案 BD
11.(2020·济南一中期中)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
答案 ACD
12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( )
答案 BD
14.(2020·深圳统测)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)
答案 8 (－4，2)
答案 4
16.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.