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考前冲刺四 考前回归教材，成功赢得高考
解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误、审题或忽视隐含条件错误、运算错误、数学思想方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.
回扣一 集合、复数与常用逻辑用语
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg
x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg
x}——函数图象上的点集.
A.
?
B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3]
D.[－4，4]
答案 D
2.遇到A∩B＝?时，需注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况.
[回扣问题2] 已知集合A＝{x|x＜－3或x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________.
答案 (－∞，2)∪(6，＋∞)
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍.
[回扣问题3] 设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是( )
A.(－1，2]
B.(2，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，利用数轴可知a＞－1.
答案 D
4.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
答案 D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 A
6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要条件是B”说明“B是条件”且B推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”表明“A是条件”，A能推出B，但B不能推出A.
解析 因为函数f(x)的图象恒过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点?函数y＝2x(x≤0)的图象与直线y＝a无交点.数形结合可得a≤0或a＞1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a＞1.分析选项知，“a＜0”是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.
答案 A
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[回扣问题7] 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________.
回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
2.分段函数求解时，要尽量避免讨论；若不能避免分类讨论，分类时一定要理清层次，做到不重不漏.
答案 D
3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
答案 奇函数
4.记住周期函数的几个结论：
[回扣问题4] 已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2
021)＝( )
A.－1
B.1
C.0
D.2
0192
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2).又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，又当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2
021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝1.
答案 B
5.理清函数奇偶性的性质.
答案 (－2，0)∪(0，2)
6.图象变换的几个注意点.
(1)弄清平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.
[回扣问题6] 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
解析 由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上为减函数，则0
0，得x>1或x<－1.当x>1时，y＝loga(x－1)是减函数，易知D正确.
答案 D
7.准确理解基本初等函数的定义和性质.避免研究函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视对字母a的取值讨论或忽视ax>0，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件等错误的出现.
[回扣问题7] 若函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为________.
8.割裂图象与性质解题时致误，解有关抽象函数的问题时要抓住两点：一是会判断抽象函数的性质，常需判断其奇偶性、周期性与图象的对称性，为画函数的图象做准备；二是在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象与性质的应用.
[回扣问题8] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )
解析 因为对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，
画出函数f(x)在[0，2]上的图象与直线y＝x＋a，如图.
由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与f(x)＝x2的图象相切于点A，
由1＝1＋a，解得a＝0；
答案 D
9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.
[回扣问题9] 若函数f(x)＝ax－ln
x－1有零点，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，1]
10.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解失误.
答案 y＝－1
11.混淆“极值”与“最值”.函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得到的，它不一定是最值，而函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得到的，可能在极值点处取得，也可能在区间端点处取得.
[回扣问题11] 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
①f(b)＞f(a)＞f(c)；②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；④函数f(x)的最小值为f(d).
A.③
B.①②
C.③④
D.①④
解析 根据图象知，当x≤c时，f′(x)≥0.所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增.又a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故①不正确.因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且x＜c时，f′(x)＞0；c＜x＜e时，f′(x)＜0；x＞e时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，故②错误，③正确.当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)＞f(e)，所以④不正确.综上所述，叙述正确的是③.
答案 A
12.混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”.
(1)若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0)，若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0)；
(2)利用导数：求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)＜0，求函数f(x)的单调递增区间的方法是解不等式f′(x)＞0.解题时一定要弄清题意，勿因“＝”出错.
13.对于可导函数y＝f(x)，误以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.
[回扣问题13] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
答案 C
回扣三 三角函数与平面向量
1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定.
[回扣问题1] 已知角α的终边为射线y＝2x(x≥0)，则cos
2α＋cos
α＝________.
2.求三角函数值易忽视角的范围.对于角的范围限定可从以下两个方面考虑：①题目给定的角的范围；②利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免产生增根.
答案 B
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后再求解.
4.求三角函数周期错用对称中心与对称轴.因而求三角函数周期需掌握下面结论：
答案 C
6.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.并谨记在△ABC中，A>B?sin
A>sin
B.
答案 A
7.混淆向量共线与垂直的坐标表示.向量共线与向量垂直的坐标表示是两个极易混淆的运算，其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直顺序加”，即对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，而a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
[回扣问题7] (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________.
(2)已知向量a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量a＋λb与b垂直，那么|2a－λb|的值为________.
解析 (1)因为a＝(2，1)，b＝(x，－1)，所以a－b＝(2－x，2)，又a－b与b共线，所以2x＝－2＋x，解得x＝－2.
8.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择坐标运算与几何运算.
9.忽视向量夹角范围致误.涉及有关向量的夹角问题
10.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.
答案 直角三角形
回扣四 数列与不等式
1.已知数列的前n项和Sn求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
答案 D
3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.
答案 C
答案 23
5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等，切莫漏项或添项.
(1)解 因为点(an＋1，Sn)在直线y＝x－2上，
所以an＋1＝2＋Sn(n∈N
).①
当n≥2时，an＝2＋Sn－1.②
①－②，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，
即an＋1＝2an(n≥2).
当n＝1时，a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a2＝4，则a2＝2a1也满足上式.
综上，an＋1＝2an(n∈N
).
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n(n∈N
).
[回扣问题6] 若an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案 B
8.解形如ax2＋bx＋c>0的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0，a＝0进行讨论.
[回扣问题8] 设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
答案 9
答案 A
2.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件.
[回扣问题2] 已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n?γ，则下列判断一定正确的是( )
A.m∥γ，α⊥γ
B.n∥β，α⊥γ
C.β∥γ，α⊥γ
D.m⊥n，α⊥γ
解析 因为α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n?γ，所以α⊥γ成立，但m，γ可能相交，故A不正确；也有可能n?β，故B不正确；对于C，也有β与γ相交的可能，故C也不正确；对于D，因为α∩β＝m，n⊥α，所以m⊥n.
答案 D
3.处理球的切、接问题找不到着手点致误.
有关球外接于多面体的问题，求解的关键是抓住“接”的特点，寻找球的半径，经常会利用“优美的直角三角形”寻找几何体外接球的半径所满足的方程(组).遇到三条棱两两垂直时，常通过构造长方体，直接利用长方体的体对角线长为其外接球的直径，可加快求解速度.
答案 A
4.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.
答案 平面PAC⊥平面ABC
[回扣问题5] 如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
答案 A
6.利用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系.如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.
[回扣问题6] 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA是该四棱锥的高，PB与平面PAD所成的角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点.
(1)证明：PE⊥AF；
解 由题意可知，AD，AB，AP两两垂直，且∠BPA＝45°，所以AP＝AB.
以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
设BE＝a(a＞0).
(2)解 设AP＝AB＝2，则BC＝4，则D(4，0，0)，B(0，2，0)，E(a，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以n＝(2，1，4)为平面PDE的一个法向量.
由题意得，AF⊥PB.
又由(1)知AF⊥PE，PB∩PE＝P，
回扣六 平面解析几何
1.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为零的情况.
[回扣问题1] 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.
解析 当截距为零时，则直线方程为y＝5x，当截距不是零时，设直线方程为x＋y＝a，将P(1，5)坐标代入方程，得a＝6.∴所求方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0.
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
2.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为零.
[回扣问题2] a＝3是直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
3.直线与圆的位置关系理解不透致误.
答案 D
4.混淆过圆上一点的切线与过圆外一点的切线.过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点作圆的切线有两条.
答案 C
5.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的大小关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形.
答案 内切
7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
答案 1或16
8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.
答案 B
9.在抛物线中，点到焦点距离与到准线距离的转化是解决问题的突破口，注意定义的活用.
[问题回扣9] 已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
10.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.
回扣七 概率与统计
1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
[回扣问题1] 为了了解某校九年级1
600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图中的数据，可得下列结论错误的是( )
A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
解析 由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中点对应的数值，为27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为1
600×0.2＝320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为1
600×0.1＝160.因此选项D不正确.
答案 D
2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况.
答案 C
[回扣问题3] 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
答案 B
[回扣问题4] 某医疗研究所为了检验某种血清能否起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918.
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”的结论出错的可能性不超过( )
A.95%
B.5%
C.97.5%
D.2.5%
解析 因为观测值k≈3.918>3.841，所以对照题目中的附表，得P(K2≥k0)＝0.05＝5%.∴“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过5%.
答案 B
5.运用古典概型的概率计算失误，涉及古典概型的计算，需做到以下两点：
答案 B
6.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.
答案 A
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别.
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).
[回扣问题7] 端午节当天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅.小明从中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )
答案 B
8.混淆二项分布与超几何分布.求分布列时注意超几何分布和二项分布以及二者的均值和方差公式的区别，一定注意公式的适用条件.
[回扣问题8] 某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下.
社会实
践次数
[0，3)
[3，6)
[6，9)
[9，12)
[12，15)
[15，18]
男同学人数
7
15
11
12
2
1
女同学人数
5
13
20
9
3
2
将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.
(1)将频率视为概率，估计该校1
600名学生中“社会实践标兵”有多少人？
(2)从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表彰活动.
(i)设事件A为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；
(ii)用X表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
则X的分布列为
9.正态密度曲线具有对称性，注意X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5的灵活应用.
[回扣问题9] 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析 如图，由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
答案 CINCLUDEPICTURE"插页四.tif"
考前冲刺一 12类二级结论高效解题
高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.
结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】
设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
【训练1】
已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg
2)＋f＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 令g(x)＝ln(－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln
1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.
又lg
＝－lg
2，所以g(lg
2)＋g＝0，
所以f(lg
2)＋f＝g(lg
2)＋1＋g＋1＝2.
答案 D
结论2 函数周期性问题
已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.
常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
【例2】
(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＋f(2
020)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数
D.f(x＋4)为偶函数
解析 (1)因为f＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.
则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＋f(2
020)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
017)＋f(2
018)＋f(2
019)＋f(2
020)
＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2
020)＝0＋f(1)＝－1.
(2)法一 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
法二 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
答案 (1)B (2)ABC
【训练2】
奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).
故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.
答案 D
结论3 函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
【例3】
(1)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)的值为________.
(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(1，1)对称
B.f(x)是周期为4的函数
C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有<0，则f(x)在[－3，－2]上单调递增
D.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝ln
x＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)
解析 (1)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，
又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2
017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2
016)＋f(2
018)＝－f(2
014)＋f(2
014＋4)
＝－f(2
014)＋f(2
014)＝0，
所以f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)＝4.
(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由<0可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈
[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的是ABC.
答案 (1)4 (2)ABC
【训练3】
(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析 (1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，
将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.
(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又
f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.
答案 (1)A (2)3
结论4 两个经典不等式
(1)对数形式：x≥1＋ln
x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.
进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln
x(x>0，且x≠1).
【例4】
已知函数f(x)＝x－1－aln
x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)证明：对于任意正整数n，…
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
①若a≤0，因为f＝－＋aln
2<0，所以不满足题意.
②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.
因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
(2)证明 由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln
x>0.
令x＝1＋，得ln<.
从而ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1.
故…【训练4】
(1)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析 由
得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项D.
当x>0时，由经典不等式x>1＋ln
x(x>0)，
以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，
所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，排除A，C，易知B正确.
答案 B
(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点.
证明 令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R，则g′(x)＝ex－x－1，
由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)＝0.
所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.
结论5 三点共线的充要条件
设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.特别地，当P为线段AB的中点时，＝＋.
【例5】
在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF与CE交于点M，＝x＋y，则x－y等于( )
A.－
B.
C.－
D.
解析 因为＝2，所以＝，
所以＝x＋y＝x＋y.
由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①
因为＝3，所以＝，
所以＝x＋y＝x＋y.
由C，M，E三点共线得x＋y＝1.②
联立①②解得所以x－y＝－＝－.
答案 C
【训练5】
在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
INCLUDEPICTURE"L20.tif"
INCLUDEPICTURE
"L20.tif"
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MERGEFORMAT
由已知易得AB＝AT，
∴＝＝λ＋μ，
∴＝λ＋μ，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.
答案
结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
【例6】
P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析 由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.
答案 D
【训练6】
O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析 设BC的中点为M，则＝，
则有＝＋λ，即＝λ.
∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.
答案 C
结论7 与等差数列相关的结论
已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn.
(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.
(2)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(3)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
【例7】
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A.3
B.4
C.5
D.6
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
解析 (1)∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列也为等差数列.
∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.
经检验，m＝5符合题意.
(2)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
答案 (1)C (2)10
【训练7】
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝50，则S30＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
解析 (1)(S20－S10)－S10＝(S30－S20)－(S20－S10)，S30＝3S20－3S10＝3×50－3×20＝90.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
答案 (1)90 (2)5
结论8 与等比数列相关的结论
已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.
(1)数列也为等比数列，其公比为.
(2)公比q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N
).
(3)若等比数列的项数为2n(n∈N
)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
(4)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N
).
【例8】
(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A.2
B.
C.
D.3
解析 由已知＝3，得S6＝3S3且q≠－1，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3).化简得S9＝7S3，从而＝＝.
答案 B
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.
①求数列{an}的通项公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.
解 ①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.
故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由①及题意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.
【训练8】
已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5
B.或5
C.
D.
解析 设等比数列{an}的公比为q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
答案 C
结论9 多面体的外接球和内切球
(1)长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
【例9】
已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等).
依题意，＝，得x＝2，易得小三棱锥的高为.
设小球半径为r，则S底面·＝4×S底面·r(S底面为小三棱锥的底面积)，得r＝.
故小球的表面积S＝4πr2＝.
答案 C
【训练9】
(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )
A.
B.2
C.4
D.3
(2)已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为( )
A.64π
B.32π
C.16π
D.8π
解析 (1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.
(2)如图，取PA的中点O，则O为球心，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.
INCLUDEPICTURE"L24.tif"
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"L24.tif"
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答案 (1)A (2)A
结论10 焦点三角形的面积公式
(1)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan
，其中θ＝∠F1PF2.
(2)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2.
【例10】
如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
INCLUDEPICTURE"A82.TIF"
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"A82.TIF"
\
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A.
B.
C.
D.
解析 设双曲线C2的方程为eq
\f(x2,a)－eq
\f(y2,b)＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan
45°＝eq
\f(b,tan
45°)，即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
答案 D
【训练10】
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析 在焦点三角形PF1F2中，⊥，
所以∠F1PF2＝90°，
故S△PF1F2＝b2tan＝b2tan
45°＝9，则b＝3.
答案 3
结论11 圆锥曲线的切线问题
(1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.
(2)过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
(3)已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p≠0)和直线l：y0y＝p(x＋x0).
①当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线.
②当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.
【例11】
已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
解 联立方程得消去y，整理得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l与抛物线C相离.
由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.
【训练11】
(1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A.2x＋y－3＝0
B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0
D.4x＋y－3＝0
(2)设椭圆C：＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.
解析 (1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).
INCLUDEPICTURE"L25.tif"
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"L25.tif"
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MERGEFORMAT
又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
(2)由于点P在椭圆＋＝1上，
故切线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0
结论12 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
【例12】
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4
B.
C.5
D.6
解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
INCLUDEPICTURE"L26.tif"
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"L26.tif"
\
MERGEFORMAT
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos
θ＝＝，
∴sin2θ＝.
又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
答案 B
【训练12】
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析 法一 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二 由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin
30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D(共28张PPT)
考前冲刺三 多选题、开放探究型解答题突破
2020年新高考山东、海南卷及北京卷数学试题均出现了两种新题型：多选题与开放探究型解答题，体现了“破定势，考真功”的命题理念，为了使广大考生更快、更好地适应新高考的这种变化趋势，精选若干实例，供同学们学习体会.
类型一 多选题突破
多选题更能全面考查学生的知识、能力和数学核心素养，有利于选拔合格考生.
【例1】
关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|的下列结论，正确的是( )
答案 AD
点评 (1)本题利用函数的解析式研究函数的单一性质，将单调性、奇偶性、最值综合，并与函数的零点、图象交汇，全面考查三角函数的图象和性质，提高试题的选拔功能.
(2)对于多项选择题，根据给分标准，务必对各选项正确推断，才能得全分；把握不准的选项不能选，才能多得分.
【例2】
(2020·长沙雅礼中学检测)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列结论一定正确的是( )
A.a10＝0
B.S10最小
C.S7＝S12
D.S20＝0
答案 AC
【例3】
(2020·荆门模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是空间中任意一点，下列说法正确的是( )
答案 ACD
解析 根据题意作出图形，如图.
对于C，根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，四边形FBEA的面积最大，C正确.
对于D，由椭圆的定义，得△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，当AB过点E时取等号，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋AB－AE－BE≤4a，即当直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大.此时直线x＝m＝c＝1，但－1答案 AC
【例5】
(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且此曲线在x＝±1处的切线的斜率均为－1，则以下命题正确的是( )
又∵f(－2)＝(－2)3－4×(－2)＝0＝f(2)，
类型二 开放探究型解答题突破
开放探究型解答题：在给出的多个条件中，要求选择一个条件并进行解答，是一种开放性试题，这种试题条件不同，结论不同，但考查知识点相同，多在三角函数与解三角形和数列两块内容出现，难度较小.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
点评 对于此种形式的试题，我们只需在所给的条件中，选取一个感觉熟悉、容易解答的条件，再进行解答即可.切忌对每个条件解答一遍.
【例7】
(2020·济南质检)在①a4＝b4，②a2＋b5＝2，③S6＝246这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由.
设Sn为等差数列{an}的前n项和，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b3＝－9，b6＝243.是否存在k，使得Sk>Sk－1且Sk＋1(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 选条件①，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，
∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.
又a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27，∴d＝a5－a4＝－28，
∴a1＝27－3×(－28)＝111，∴an＝－28n＋139.
选条件②，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.
∵a2＋b5＝2，∴a2＝2－b5＝83.
∴存在k＝4，使得Sk>Sk－1且Sk＋1选条件③，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，
∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.(共33张PPT)
考前冲刺二 压轴小题“瓶颈”突破
“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个台阶？新高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第8，11，12，15，16题中有较大收获，分析近年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”，迈进双一流.
A.1
B.2
C.3
D.5
(2)(2020·石家庄调研)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)＞0的解集为________.
(2)因为函数f(x－2)是奇函数，所以函数f(x－2)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)的图象关于点(－2，0)对称.又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，－2)上也单调递减，由f(3－x)＞0＝f(－2)，得3－x＜－2，∴x＞5.∴不等式f(3－x)＞0的解集为(5，＋∞).
答案 (1)C (2)(5，＋∞)
探究提高 1.利用图象法求函数f(x)的零点个数时，直接画函数f(x)的图象较困难，可以将解析式变形，将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略
(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.
(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.
压轴热点2 三角函数与正(余)弦定理
【例2】
(1)已知函数f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx(ω>0)，若x＝x0是函数f(x)的一条对称轴，且tan
ωx0＝3，则点(a，b)所在的直线为( )
所以点(a，b)在直线x－3y＝0上.
探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键在于灵活利用三角恒等变换公式将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0，A>0)的形式，进一步讨论函数的单调性、对称性、周期、零点等.
2.解三角形的关键是活用正弦、余弦定理实施边角的转化，在求三角形面积的取值时，常把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决.
答案 C
压轴热点3 空间位置关系与计算
【例3】
(1)(多选题)如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中正确的是( )
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.恒有BD∥平面A′EF
C.三棱锥A′－EFD的体积有最大值
D.异面直线A′F与DE不可能垂直
(2)(2020·江南名校联考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________，
CE和该截面所成角的正弦值为________.
解析 (1)因为A′D＝A′E，△ABC是正三角形，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；因为BD∥EF，所以恒有BD∥平面A′EF，故B正确；三棱锥A′－FED的底面积是定值，体积由高即点A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－FED的体积有最大值，故C正确；因为DE⊥平面A′FG，故A′F⊥DE，故D错误.
(2)如图所示，设CD，BC的中点分别为H，G，连接HE，HG，GE，HF，ME，NH.
易证ME∥NH，ME＝NH，所以四边形MEHN是平行四边形，所以MN∥HE.
易知四边形EFHG为矩形，因为MN?平面EFHG，HE?平面EFHG，所以MN∥平面EFHG，
连接AC，交HG于点I，易知CI⊥HG，平面EFHG⊥平面ABCD，平面EFHG∩平面ABCD＝HG，所以CI⊥平面EFHG，连接EI，
因为EI?平面EFHG，所以CI⊥EI，所以∠CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.
探究提高 1.在折叠过程中，△A′DE的边长不变，BC∥平面A′DE及A′G⊥DE的关系保持不变，抓住不变性，明确几何量之间的关系是解题的关键.
2.第(2)题利用线面平行的判定，确定所求截面为矩形EFHG，这是求解的关键，第二个空在前面的基础上，运用线面、线线、面面垂直作出线面角，使考题的功能最大化，进一步考查学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.
A.EF∥平面A′BC
B.异面直线CD与A′B所成的角为90°
C.异面直线EF与A′C所成的角为60°
D.直线A′C与平面BCD所成的角为30°
答案 (1)ABD (2)14π
答案 (1)B (2)B
作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.
由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2.
所以|PF2|＝|PF1|－2.则|PA|＋|PF2|＝|PA|＋|PF1|－2≥|AF1|－2，
当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立.
答案 [1，e2－2]
探究提高 1.利用导数研究函数的单调性、极值，一定注意字母参数取值的影响，重视分类讨论思想.
2.利用导数解零点或不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.
解析 设F(x)＝f(x)sin
2x，则F′(x)＝f′(x)sin
2x＋2f(x)cos
2x.(共57张PPT)
考前冲刺一 12类二级结论高效解题
高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.
结论1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
答案 2
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 D
结论2 函数周期性问题
已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.
常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
A.－2
B.－1
C.0
D.1
(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数
D.f(x＋4)为偶函数
则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＋f(2
020)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
017)＋f(2
018)＋f(2
019)＋f(2
020)
＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2
020)＝0＋f(1)＝－1.
(2)法一 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
法二 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
答案 (1)B (2)ABC
【训练2】
奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
解析 由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).
故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.
答案 D
结论3 函数的对称性
【例3】
(1)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)的值为________.
(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(1，1)对称
B.f(x)是周期为4的函数
解析 (1)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，
又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2
017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2
016)＋f(2
018)＝－f(2
014)＋f(2
014＋4)
＝－f(2
014)＋f(2
014)＝0，
所以f(2
016)＋f(2
017)＋f(2
018)＝4.
答案 (1)4 (2)ABC
【训练3】
(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析 (1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，
将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.
(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.
答案 (1)A (2)3
结论4 两个经典不等式
(1)对数形式：x≥1＋ln
x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.
进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln
x(x>0，且x≠1).
【例4】
已知函数f(x)＝x－1－aln
x.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.
因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
答案 B
结论5 三点共线的充要条件
解析 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案 D
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案 C
结论7 与等差数列相关的结论
【例7】
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
答案 (1)C (2)10
【训练7】
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝50，则S30＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
解析 (1)(S20－S10)－S10＝(S30－S20)－(S20－S10)，S30＝3S20－3S10＝3×50－3×20＝90.
答案 (1)90 (2)5
结论8 与等比数列相关的结论
答案 B
答案 C
结论9 多面体的外接球和内切球
答案 C
【训练9】
(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )
答案 (1)A (2)A
结论10 焦点三角形的面积公式
答案 D
答案 3
结论11 圆锥曲线的切线问题
【例11】
已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
【训练11】
(1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
解析 (1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0
结论12 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
【例12】
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
答案 B
【训练12】
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
答案 D考前冲刺二 压轴小题“瓶颈”突破
“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个台阶？新高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第8，11，12，15，16题中有较大收获，分析近年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”，迈进双一流.
压轴热点1 函数的图象、性质及其应用
【例1】
(1)(2020·江南名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－ln
x＋ln
，则函数g(x)＝f(x)－sin
x的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.5
(2)(2020·石家庄调研)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)＞0的解集为________.
解析 (1)函数g(x)的零点个数，即函数y＝f(x)的图象与y＝sin
x的图象交点个数.当x＞0时，f(x)＝x－ln
x＋ln
，则f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝.易知当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时，f(x)取得最小值，且最小值为f＝1.函数y＝sin
x在x＝处取得最大值1，所以当x＞0时，f(x)的图象与y＝sin
x的图象有且只有一个交点.由f(x)和y＝sin
x均为奇函数，可得当x＜0时，f(x)的图象与y＝sin
x的图象的交点也有且只有一个，为点.又两函数的图象均过原点，因此函数y＝f(x)与y＝sin
x的图象有3个交点，所以函数g(x)＝f(x)－sin
x的零点有3个.
(2)因为函数f(x－2)是奇函数，所以函数f(x－2)的图象关于点(0，0)对称，故f(x)的图象关于点(－2，0)对称.又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，－2)上也单调递减，由f(3－x)＞0＝f(－2)，得3－x＜－2，∴x＞5.∴不等式f(3－x)＞0的解集为(5，＋∞).
答案 (1)C (2)(5，＋∞)
探究提高 1.利用图象法求函数f(x)的零点个数时，直接画函数f(x)的图象较困难，可以将解析式变形，将函数零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略
(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法.
(2)熟练掌握与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.
【训练1】
(2020·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，在f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝x3－2x＋ex－，所以f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时取等号)，所以f(x)在R上单调递增.又f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且x∈R，∴f(x)是奇函数，由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a).所以2a2≤1－a，解之得－1≤a≤.
答案
压轴热点2 三角函数与正(余)弦定理
【例2】
(1)已知函数f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx(ω>0)，若x＝x0是函数f(x)的一条对称轴，且tan
ωx0＝3，则点(a，b)所在的直线为( )
A.x－3y＝0
B.x＋3y＝0
C.3x－y＝0
D.3x＋y＝0
(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝sin
Acos
C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.
解析 (1)f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＝sin
(ωx＋φ)，其中tan
φ＝.
∵x＝x0是函数f(x)的一条对称轴，
∴ωx0＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵tan
ωx0＝tan
＝tan＝＝，
从而＝3，得a－3b＝0，
所以点(a，b)在直线x－3y＝0上.
(2)因为cos
A＝sin
Acos
C，
所以bcos
A－sin
Ccos
A＝sin
Acos
C，
所以bcos
A＝sin(A＋C)，所以bcos
A＝sin
B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan
A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
答案 (1)A (2)3
探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键在于灵活利用三角恒等变换公式将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0，A>0)的形式，进一步讨论函数的单调性、对称性、周期、零点等.
2.解三角形的关键是活用正弦、余弦定理实施边角的转化，在求三角形面积的取值时，常把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决.
【训练2】
(2020·成都诊断)如图所示的是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为( )
A.π
B.
C.
D.
解析 由图象知，最小正周期T＝π－＝π，∴ω＝＝2.又是图象的“第一零点”.∴－×2＋φ＝0，则φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
把f(x)＝sin的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m＞0)个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，
因为所得图象关于直线x＝对称，
所以4×－4m＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得m＝π－kπ，k∈Z，
所以由m＞0，可得当k＝1时，m取得最小值，且最小值为.
答案 C
压轴热点3 空间位置关系与计算
【例3】
(1)(多选题)如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中正确的是( )
INCLUDEPICTURE"1S5.TIF"
INCLUDEPICTURE
"1S5.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.恒有BD∥平面A′EF
C.三棱锥A′－EFD的体积有最大值
D.异面直线A′F与DE不可能垂直
(2)(2020·江南名校联考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________，
CE和该截面所成角的正弦值为________.
解析 (1)因为A′D＝A′E，△ABC是正三角形，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；因为BD∥EF，所以恒有BD∥平面A′EF，故B正确；三棱锥A′－FED的底面积是定值，体积由高即点A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－FED的体积有最大值，故C正确；因为DE⊥平面A′FG，故A′F⊥DE，故D错误.
(2)如图所示，设CD，BC的中点分别为H，G，连接HE，HG，GE，HF，ME，NH.
INCLUDEPICTURE"1S6.TIF"
INCLUDEPICTURE
"1S6.TIF"
\
MERGEFORMAT
易证ME∥NH，ME＝NH，所以四边形MEHN是平行四边形，所以MN∥HE.
易知四边形EFHG为矩形，因为MN?平面EFHG，HE?平面EFHG，
所以MN∥平面EFHG，
所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG，平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG，易知EF＝，FH＝2，
所以截面EFHG的面积为2×＝2.
连接AC，交HG于点I，易知CI⊥HG，平面EFHG⊥平面ABCD，平面EFHG∩平面ABCD＝HG，
所以CI⊥平面EFHG，连接EI，
因为EI?平面EFHG，所以CI⊥EI，
所以∠CEI为直线CE和截面EFHG所成的角.
在Rt△CIE中，易知CE＝＝，CI＝AC＝＝，
所以sin∠CEI＝＝.
答案 (1)ABC (2)2
探究提高 1.在折叠过程中，△A′DE的边长不变，BC∥平面A′DE及A′G⊥DE的关系保持不变，抓住不变性，明确几何量之间的关系是解题的关键.
2.第(2)题利用线面平行的判定，确定所求截面为矩形EFHG，这是求解的关键，第二个空在前面的基础上，运用线面、线线、面面垂直作出线面角，使考题的功能最大化，进一步考查学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.
【训练3】
(1)(多选题)如图，平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，则四面体A′BCD中，下列结论正确的是( )
A.EF∥平面A′BC
B.异面直线CD与A′B所成的角为90°
C.异面直线EF与A′C所成的角为60°
D.直线A′C与平面BCD所成的角为30°
(2)(2020·河北名校调研)在三棱锥P－ABC中，若平面PBC⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，PB＝2，∠PBC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是________.
解析 (1)A选项：因为E，F分别为A′D和BD的中点，所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，A正确.B选项：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确.C选项：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM∥A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，因为CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′D，又A′D＝CD＝2，所以A′C＝2，所以EM＝，又EF＝1，FM＝＝，所以∠FEM＝90°，故C错误；D选项，连接A′F，因为A′B＝A′D，F为BD的中点，所以A′F⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以A′F⊥平面BCD，连接FC，∠A′CF为直线A′C与平面BCD所成的角，又A′C＝2，A′F＝＝，所以sin∠A′CF＝＝＝，所以∠A′CF＝30°，故D正确，故选ABD.
(2)在平面BCP中找一点Q，连接BQ，使得BQ为△BCP外接圆的直径，连接QC，则∠QCB＝90°，则QC⊥平面ABC，所以QC⊥AC，∠QCA＝90°.易知AB⊥平面PBC，则∠ABQ＝90°，连接AQ，设AQ的中点为O，则点O到A，B，C，Q四点的距离相等，故AQ为三棱锥P－ABC外接球的直径.易得PC＝，BQ＝＝，所以AQ2＝BQ2＋AB2＝14＝4R2(R为外接球的半径).故S外接球＝4πR2＝14π.
答案 (1)ABD (2)14π
压轴热点4 圆锥曲线及其性质
【例4】
(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
(2)(2020·成都七中检测)已知双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，
∵|AB|＝4，点A是圆与抛物线交点，由对称性设A(x1，2)，
则x1＝＝.
又|DE|＝2，且点D是准线与圆的交点，
∴D且|OD|＝|OA|.
从而＋(2)2＝＋()2，解得p＝4.
因此C的焦点到准线的距离是4.
(2)依题意，不妨设点M(x，y)在第一象限，
联立解得(其中c2＝a2＋b2)，
可知四边形MNPQ为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，·＝2，即2c2＝5ab.
又因为c2＝a2＋b2，
所以2(a2＋b2)＝5ab?2×－5×＋2＝0，
解得＝(＝2舍去).
故所求渐近线方程为y＝±x.
答案 (1)B (2)B
探究提高 1.与圆锥曲线方程相关的问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.
2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a，b，c满足的等量关系(不等关系)，然后把b用a，c表示，求的值(范围).
【训练4】
(1)(2020·太原检测)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，P为AB的中点，O为原点.若△OPF是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )
A.±
B.±
C.±2
D.±2
(2)已知双曲线C经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y＝x，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线C的方程为________，若P为该双曲线右支上一点，点A(6，8)，则当|PA|＋|PF2|取最小值时，点P的坐标为________.
解析 (1)因为c＝＝，所以右焦点F(，0).设直线l的方程为y＝k(x－)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋y＝1 ①,\f(x,4)＋y＝1 ②))
①－②得eq
\f(x－x,4)＋(y－y)＝0，
则＝－.
因为点P为AB中点，知x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
所以直线l的斜率k＝＝－＝－.
又△OPF是以OF为底边的等腰三角形，
所以x0＝，y0＝k(x0－)＝－k.
所以k＝－＝－，得k2＝，k＝±.
(2)由题意，可设双曲线C的方程为y2－3x2＝λ，将(2，3)代入，得32－3×22＝λ，得λ＝－3，故双曲线C的方程为x2－＝1.
作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.
由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2.
所以|PF2|＝|PF1|－2.
则|PA|＋|PF2|＝|PA|＋|PF1|－2≥|AF1|－2，
当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立.
由A(6，8)，F1(－2，0)，得直线AF1的方程为y＝x＋2，
由得2x2－4x－7＝0，解得x＝1±，
又点P在双曲线的右支上，
所以点P的坐标为.
答案 (1)A (2)x2－＝1
压轴热点5 导数及其应用
【例5】
(2020·合肥检测)已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________.
解析 函数g(x)＝a－x2
与h(x)＝2ln
x的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2ln
x在上有解，即－a＝2ln
x－x2在上有解.设f(x)＝2ln
x－x2，x∈，
则f′(x)＝.
∴f′(x)＝0在上有唯一的零点x＝1.
故f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减.
∴f(x)max＝f(1)＝－1，
又f＝－2－，f(e)＝2－e2，知f(e)＜f.
∴函数f(x)的值域为[2－e2，－1].
故方程－a＝2ln
x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，
∴实数a的取值范围是[1，e2－2].
答案 [1，e2－2]
探究提高 1.利用导数研究函数的单调性、极值，一定注意字母参数取值的影响，重视分类讨论思想.
2.利用导数解零点或不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.
【训练5】
(2020·佛山调研)已知f(x)是定义在上的奇函数，其导函数为f′(x)，f＝，且当x∈时，f′(x)sin
2x＋2f(x)cos
2x＞0.则不等式f(x)sin
2x＜1的解集为________.
解析 设F(x)＝f(x)sin
2x，
则F′(x)＝f′(x)sin
2x＋2f(x)cos
2x.
∵f(x)在上是奇函数，
∴F(－x)＝f(－x)sin(－2x)＝f(x)sin
2x＝F(x)，
故F(x)在定义域上是偶函数.
当x∈时，f′(x)sin
2x＋2f(x)cos
2x＞0，
∴F′(x)＞0，则F(x)在上单调递增.
因为F＝fsin
＝×＝1.
又F(x)在上是偶函数，且在上递增.
∴f(x)sin
2x＜1?F(x)＜F.
∴|x|＜，解之得－＜x＜，所以x∈.
答案 考前冲刺四 考前回归教材，成功赢得高考
解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误、审题或忽视隐含条件错误、运算错误、数学思想方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.
INCLUDEPICTURE"回扣溯源查缺补漏.TIF"
回扣一 集合、复数与常用逻辑用语
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg
x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg
x}——函数图象上的点集.
[回扣问题1] 已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A.?
B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3]
D.[－4，4]
解析 由曲线方程，知M＝＝[－4，4]，
又N＝＝R，∴M∩N＝[－4，4].
答案 D
2.遇到A∩B＝?时，需注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况.
[回扣问题2] 已知集合A＝{x|x＜－3或x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________.
解析 当B＝?时，有m＋1＞2m－1，则m＜2.当B≠?时，有或解得m＞6.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞).
答案 (－∞，2)∪(6，＋∞)
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍.
[回扣问题3] 设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是( )
A.(－1，2]
B.(2，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，利用数轴可知a＞－1.
答案 D
4.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
[回扣问题4] 设i为虚数单位，z＝2＋，则|z|＝( )
A.1
B.
C.
D.
解析 z＝2＋＝＝＝，
∴|z|＝＝.
答案 D
5.复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)；当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同.
[回扣问题5] 在复平面内，复数z＝的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 z＝＝＝＝1－i，所以＝1＋i，故在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限.
答案 A
6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要条件是B”说明“B是条件”且B推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”表明“A是条件”，A能推出B，但B不能推出A.
[回扣问题6] 函数f(x)＝有且只有一个零点的一个充分不必要条件是( )
A.a＜0
B.0＜a＜
C.＜a＜1
D.a≤0或a＞1
解析 因为函数f(x)的图象恒过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点?函数y＝2x(x≤0)的图象与直线y＝a无交点.数形结合可得a≤0或a＞1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a＞1.分析选项知，“a＜0”是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.
答案 A
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[回扣问题7] 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________.
解析 如果在[－1，1]内没有值满足f(c)>0，
则??p≤－3或p≥.
取补集，得p的取值范围是.
答案
回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题1] 函数f(x)＝lg(1－x)＋
的定义域是________.
解析 由题意，得∴－≤x<1.
答案
2.分段函数求解时，要尽量避免讨论；若不能避免分类讨论，分类时一定要理清层次，做到不重不漏.
[回扣问题2] 设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－6)＞f(x)的x的取值范围是( )
A.(－2，3)
B.(－∞，－2)∪(，＋∞)
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－)∪(3，＋∞)
解析 易知当x＞0时，函数f(x)＝－4－x＋5是单调递增函数，且f(x)＞4；当x≤0时，f(x)＝4.由f(x2－6)＞f(x)，得或解得x＞3或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(3，＋∞).
答案 D
3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
[回扣问题3] 函数f(x)＝的奇偶性是________.
解析 由1－x2>0且|x－2|－2≠0，知f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则f(x)＝，
又f(－x)＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
答案 奇函数
4.记住周期函数的几个结论：
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
(1)函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
(2)若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－(a≠0)成立，则T＝2a；
(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.
[回扣问题4] 已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2
021)＝( )
A.－1
B.1
C.0
D.2
0192
解析 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2).又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，又当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2
021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝1.
答案 B
5.理清函数奇偶性的性质.
(1)f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)；
(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.
[回扣问题5] 已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________.
解析 因为当x>0时，h(x)＝
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即
解得－2综上，所求实数t的取值范围为(－2，0)∪(0，2).
答案 (－2，0)∪(0，2)
6.图象变换的几个注意点.
(1)弄清平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.
[回扣问题6] 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
解析 由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上为减函数，则00，得x>1或x<－1.当x>1时，y＝loga(x－1)是减函数，易知D正确.
答案 D
7.准确理解基本初等函数的定义和性质.避免研究函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视对字母a的取值讨论或忽视ax>0，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件等错误的出现.
[回扣问题7] 若函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为________.
解析 当0＜a＜1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上单调递减，
故f(x)max＝f(0)＝a0－1＝0.
这与已知条件函数f(x)的值域是[0，2]相矛盾.
当a＞1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上单调递增，
又函数f(x)的定义域和值域都是[0，2].
所以解得a＝，所以实数a的值为.
答案
8.割裂图象与性质解题时致误，解有关抽象函数的问题时要抓住两点：一是会判断抽象函数的性质，常需判断其奇偶性、周期性与图象的对称性，为画函数的图象做准备；二是在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象与性质的应用.
[回扣问题8] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )
A.0
B.0或
C.－或－
D.0或－
解析 因为对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，
画出函数f(x)在[0，2]上的图象与直线y＝x＋a，如图.
由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与f(x)＝x2的图象相切于点A，
由1＝1＋a，解得a＝0；
由x2＝x＋a得x2－x－a＝0，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.
综上所述，实数a的值是0或－.
答案 D
9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.
[回扣问题9] 若函数f(x)＝ax－ln
x－1有零点，则实数a的取值范围是________.
解析 令f(x)＝ax－ln
x－1＝0，则a＝(x>0)，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
由g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝1，则a≤1.
答案 (－∞，1]
10.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解失误.
[回扣问题10] 函数f(x)＝－2的图象在x＝1处的切线方程为________.
解析 由f(x)＝－2，得f′(x)＝ex－1－.∴f(1)＝－1，f′(1)＝0，故f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－1.
答案 y＝－1
11.混淆“极值”与“最值”.函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得到的，它不一定是最值，而函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得到的，可能在极值点处取得，也可能在区间端点处取得.
[回扣问题11] 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
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①f(b)＞f(a)＞f(c)；②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；
③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；④函数f(x)的最小值为f(d).
A.③
B.①②
C.③④
D.①④
解析 根据图象知，当x≤c时，f′(x)≥0.所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增.又a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故①不正确.因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且x＜c时，f′(x)＞0；c＜x＜e时，f′(x)＜0；x＞e时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，故②错误，③正确.当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)＞f(e)，所以④不正确.综上所述，叙述正确的是③.
答案 A
12.混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”.
(1)若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0)，若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0)；
(2)利用导数：求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)＜0，求函数f(x)的单调递增区间的方法是解不等式f′(x)＞0.解题时一定要弄清题意，勿因“＝”出错.
[回扣问题12] 已知函数f(x)＝aln
x＋x2＋(a＋1)x＋1.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－ln
x＋x2＋1(x＞0)，
则f′(x)＝－＋x＝，由
解得x＞1.所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
(2)因为f(x)＝aln
x＋x2＋(a＋1)x＋1，
所以f′(x)＝＋x＋a＋1＝＝，
又函数f(x)＝aln
x＋x2＋(a＋1)x＋1在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，
则x＋a≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以a≥0.
故实数a的取值范围是[0，＋∞).
13.对于可导函数y＝f(x)，误以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.
[回扣问题13] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
解析 ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去.
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
答案 C
回扣三 三角函数与平面向量
1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定.
[回扣问题1] 已知角α的终边为射线y＝2x(x≥0)，则cos
2α＋cos
α＝________.
解析 ∵α的终边为射线y＝2x(x≥0)，
不妨在射线上取点P(1，2)，则cos
α＝，
∴cos
2α＋cos
α＝2cos2α－1＋cos
α＝2×－1＋＝.
答案
2.求三角函数值易忽视角的范围.对于角的范围限定可从以下两个方面考虑：①题目给定的角的范围；②利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免产生增根.
[回扣问题2] 设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为( )
A.
B.
C.－
D.或
解析 因为α为锐角，所以0＜α＜，则＜α＋＜.
设β＝α＋，由cos＝－，得sin
β＝.sin
2β＝2sin
βcos
β＝－，cos
2β＝2cos2β－1＝－，所以sin＝sin＝sin＝sin
2βcos
－cos
2βsin
＝.
答案 B
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后再求解.
[回扣问题3] 函数y＝sin的单调递减区间是________.
解析 y＝－sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.
答案 (k∈Z)
4.求三角函数周期错用对称中心与对称轴.因而求三角函数周期需掌握下面结论：
①若对称中心到相邻对称轴之间的距离为d，则周期T＝4d；②若相邻两条对称轴之间的距离为d1，则周期T＝2d1；③若相邻两对称中心之间的距离为d2，则周期T＝2d2；④若相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为d3，则T＝d3.
[回扣问题4] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且图象上有一个最低点M.则f(x)＝________.
解析 由函数f(x)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，可知函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，所以ω＝＝2.又函数f(x)图象上有一个最低点M，|φ|＜，所以A＝3，2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z).由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝3sin.
答案 3sin
5.三角函数图象变换中，注意由y＝sin
ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ，另外要弄清楚平移的方向.
[回扣问题5] 设ω＞0，函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
解析 将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度，得y＝2cos＝2cos的图象，由已知得y＝2cos的图象与y＝2sin＝2sin＝2cos的图象重合，
则ωx＋－ω＝2kπ＋ωx－(k∈Z)，解得ω＝－10k，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值为.
答案 C
6.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.并谨记在△ABC中，A>B?sin
A>sin
B.
[回扣问题6] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin
Bcos
C＋csin
Bcos
A＝b，且a＞b，则B＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 由asin
Bcos
C＋csin
Bcos
A＝b及正弦定理，可得sin
Asin
Bcos
C＋sin
C
sin
Bcos
A＝sin
B，即sin
B(sin
Acos
C＋sin
Ccos
A)＝sin
B，则sin
Bsin(A＋C)＝sin
B，因为sin
B≠0，所以sin(A＋C)＝，即sin
B＝.因为a＞b，所以A＞B，可知B为锐角，故B＝.
答案 A
7.混淆向量共线与垂直的坐标表示.向量共线与向量垂直的坐标表示是两个极易混淆的运算，其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直顺序加”，即对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，而a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
[回扣问题7] (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________.
(2)已知向量a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量a＋λb与b垂直，那么|2a－λb|的值为________.
解析 (1)因为a＝(2，1)，b＝(x，－1)，
所以a－b＝(2－x，2)，
又a－b与b共线，所以2x＝－2＋x，解得x＝－2.
(2)由题意知a＋λb＝(4，3)＋λ(－2，1)＝(4－2λ，3＋λ)，因为向量a＋λb与b垂直，所以(a＋λb)·b＝0，即(4－2λ，3＋λ)·(－2，1)＝0?(4－2λ)·(－2)＋(3＋λ)·1＝0，解得λ＝1，所以2a－λb＝(8，6)－(－2，1)＝(10，5)，于是|2a－λb|＝＝5.
答案 (1)－2 (2)5
8.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择坐标运算与几何运算.
[回扣问题8] 已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则·(＋)的取值范围是( )
A.[0，12]
B.
C.[0，6]
D.[0，3]
解析 如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(1，)，C(2，0)，设P(x，y)，因为||＝，所以P点轨迹为(x－2)2＋y2＝3，
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令则＝(－1－cos
θ，－sin
θ)，
＝(－2－cos
θ，－sin
θ)，
＝(－cos
θ，－sin
θ)，
则·(＋)＝6＋6＝6＋6cos，
由－6≤6cos≤6，得0≤6＋6cos≤12.
答案 A
9.忽视向量夹角范围致误.涉及有关向量的夹角问题
要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线.这类问题有下列两个常见结论：①向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且向量a，b不共线；②向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且向量a，b不共线.
[回扣问题9] 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)，那么向量a与向量b的夹角的最大值为________.
解析 由|ka＋b|＝|a－kb|，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，则k2＋2ka·b＋1＝3(1－2ka·b＋k2)，即a·b＝.因为k＞0，所以a·b＝≥×2×＝，当且仅当k＝1时等号成立.所以cos〈a，b〉＝≥，则〈a，b〉∈，即向量a与b的夹角的最大值为.
答案
10.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.
[回扣问题10] 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________________________________________.
解析 ∵|－|＝|＋－2|，
∴||＝|＋|，即|－|＝|＋|.
故以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形.
因此△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
答案 直角三角形
回扣四 数列与不等式
1.已知数列的前n项和Sn求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
[回扣问题1] 数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为________.
解析 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋1，两式相减，得an＝2，即an＝2n＋1(n≥2).又n＝1时，a1＝3，则a1＝6不符合上式.所以an＝
答案 an＝
2.忽视两个“中项”的区别.等差数列a，A，b的等差中项A＝与a，b之间没有符号的制约，但等比数列a，G，b的等比中项G＝±(a，b同号且a，b不为0).
[回扣问题2] 若a，b，c三个数成等比数列，且a＋b＋c＝m(m＞0)，则b的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.[－m，0)∪
解析 设公比为q，则b＝m，即b＝.当q＞0时，0＜b≤(当q＝1时，取“＝”)；当q＜0时，－m≤b＜0(当q＝－1时，取“＝”).所以b的取值范围是[－m，0)∪.
答案 D
3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.
[回扣问题3] 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则等比数列{an}的公比q的值为( )
A.1
B.1或
C.
D.±
解析 因为7S2＝4S4，所以3S2＝3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.因为a1＋a2≠0，所以q2＝.因为{an}为正项等比数列，所以q＞0，所以q＝.
答案 C
4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N
的限制，类似地，在等比数列中，＝q(常数且q≠0)，忽视n≥2，n∈N
的条件限制.
[回扣问题4] 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.
解析 ∵a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，
∴数列{an}从第2项起是公差为的等差数列，
∴S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9
＝1＋8a2＋×＝23.
答案 23
5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等，切莫漏项或添项.
[回扣问题5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，点(an＋1，Sn)在直线y＝x－2上(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.
(1)解 因为点(an＋1，Sn)在直线y＝x－2上，
所以an＋1＝2＋Sn(n∈N
).①
当n≥2时，an＝2＋Sn－1.②
①－②，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，
即an＋1＝2an(n≥2).
当n＝1时，a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a2＝4，则a2＝2a1也满足上式.
综上，an＋1＝2an(n∈N
).
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n(n∈N
).
(2)证明 由(1)得an＝2n(n∈N
)，因为bn＝，
所以bn＝＝，
所以Tn＝＝.
因为0＜≤＝，
所以－≤－＜0，
所以≤1－＜1，所以≤Tn＜.
6.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n为奇数、偶数；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式时，要注意对n的讨论.
[回扣问题6] 若an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
解析 bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1).
当n为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×＝－n.
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n.
故Tn＝
答案
7.运用不等式性质要注意适用的条件，不可扩大范围，如a＞b?/
＜.
[回扣问题7] 已知下列四个结论：①a＞b?ac＞bc；②a＞b?＜；③a＞b＞0，c＞d＞0?＞；④a＞b＞0，c＜0?ac＜bc.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于①，当c＝0时，ac＝bc，所以①不正确；对于②，当a＞0＞b时，＞，所以②不正确；对于③，由于c＞d＞0，则＞＞0，又a＞b＞0，所以＞＞0，③正确；对于④，因为幂函数y＝xc(c＜0)在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，所以ac＜bc，④正确.故正确的个数为2.
答案 B
8.解形如ax2＋bx＋c>0的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0，a＝0进行讨论.
[回扣问题8] 设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，
当a≠0时，需满足
解得0所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件.
答案 C
9.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值.
[回扣问题9] 已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________.
解析 由ab－b＋1＝0，得a＝，又a＞0，b＞0，得b＞1.所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9.当且仅当＝4(b－1)，即a＝，b＝时取等号，故＋4b的最小值是9.
答案 9
回扣五 立体几何
1.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
[回扣问题1] 已知在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为( )
A.(5＋)π
B.(4＋)π
C.(5＋2)π
D.(3＋)π
解析 因为在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，如图所示.所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.
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答案 A
2.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件.
[回扣问题2] 已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n?γ，则下列判断一定正确的是( )
A.m∥γ，α⊥γ
B.n∥β，α⊥γ
C.β∥γ，α⊥γ
D.m⊥n，α⊥γ
解析 因为α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n?γ，所以α⊥γ成立，但m，γ可能相交，故A不正确；也有可能n?β，故B不正确；对于C，也有β与γ相交的可能，故C也不正确；对于D，因为α∩β＝m，n⊥α，所以m⊥n.
答案 D
3.处理球的切、接问题找不到着手点致误.
有关球外接于多面体的问题，求解的关键是抓住“接”的特点，寻找球的半径，经常会利用“优美的直角三角形”寻找几何体外接球的半径所满足的方程(组).遇到三条棱两两垂直时，常通过构造长方体，直接利用长方体的体对角线长为其外接球的直径，可加快求解速度.
[回扣问题3] 已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，D是PB的中点，且CD＝，则球O的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析 如图所示，由PA＝AC＝2，CP＝2，得AP⊥AC.连接AD.由D是PB的中点及PA＝AB＝PB＝2，可求得AD＝.又CD＝，可知AD⊥AC，又AD∩AP＝A，所以AC⊥平面PAB.以△PAB为底面，AC为侧棱将三棱锥P－ABC补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距离d＝AC＝1.由正弦定理得△PAB的外接圆半径r＝＝，所以球O的半径R＝＝.所以球O的表面积S＝4πR2＝.
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答案 A
4.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.
[回扣问题4] 如图(1)所示，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，将其以△ABC为底面折成如图(2)所示的三棱锥P－ABC，则平面PAC与平面ABC的位置关系是________.
解析 设AC的中点为O，连接BO，PO(图略).由题意知，PA＝PB＝PC＝，易得PO⊥AC，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，则PO⊥OB.因为AC∩OB＝O，AC?平面ABC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC.又PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
答案 平面PAC⊥平面ABC
5.混淆空间角的取值范围致误，两条异面直线所成角α∈，直线与平面所成的角θ∈.
[回扣问题5] 如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )
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"A85.TIF"
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A.
B.
C.
D.
解析 如图，取AB中点G，连接EG，CG.
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"A86.TIF"
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∵E为AD的中点，∴EG∥BD.
∴∠GEC或其补角为CE与BD所成的角.
设AB＝1，
则EG＝BD＝，CE＝CG＝.
∴cos∠GEC＝＝＝.
答案 A
6.利用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系.如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.
[回扣问题6] 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA是该四棱锥的高，PB与平面PAD所成的角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点.
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(1)证明：PE⊥AF；
(2)若BC＝2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D－PE－B的余弦值.
解 由题意可知，AD，AB，AP两两垂直，且∠BPA＝45°，所以AP＝AB.
以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
设BE＝a(a＞0).
(1)证明 设AP＝AB＝b，则A(0，0，0)，B(0，b，0)，E(a，b，0)，P(0，0，b)，F，
所以＝(a，b，－b)，＝.
由·＝a×0＋b×＋(－b)×＝0，可知⊥，所以PE⊥AF.
(2)解 设AP＝AB＝2，则BC＝4，则D(4，0，0)，B(0，2，0)，E(a，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，
所以＝(0，2，0)，＝(a，2，－2)，＝(0，1，1).
由＝，得＝，解得a＝3，所以E(3，2，0).
设平面PDE的法向量为n＝(x，y，z)，
易知＝(4，0，－2)，＝(1，－2，0)，
由得令y＝1，得x＝2，z＝4，所以n＝(2，1，4)为平面PDE的一个法向量.
由题意得，AF⊥PB.
又由(1)知AF⊥PE，PB∩PE＝P，
所以AF⊥平面PBC，
即为平面PBC的一个法向量.
设二面角D－PE－B的平面角为θ，由图可知θ为钝角，
所以cos
θ＝－＝－＝－，
故二面角D－PE－B的余弦值为－.
回扣六 平面解析几何
1.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为零的情况.
[回扣问题1] 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.
解析 当截距为零时，则直线方程为y＝5x，当截距不是零时，设直线方程为x＋y＝a，将P(1，5)坐标代入方程，得a＝6.∴所求方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0.
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
2.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为零.
[回扣问题2] a＝3是直线ax＋2y＋3a＝0和3x＋(a－1)y＝a－7平行的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a＝1时，显然两条直线不平行，
当a≠1时，由＝，得a＝3或a＝－2，
当a＝－2时，＝＝，两条直线重合，
∴a＝3是两直线平行的充要条件.
答案 C
3.直线与圆的位置关系理解不透致误.
[回扣问题3] 过点P(－，－1)的直线l与圆O：x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意作出如图所示的示意图，过P点作圆的切线PA，PB，连接OP，显然，直线PA的倾斜角为0，又|OP|＝＝2，|PA|＝，|OA|＝1，因此∠OPA＝.由对称性知，直线PB的倾斜角为.由直线l与圆O有公共点，并结合图形知直线l的倾斜角的取值范围是.
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MERGEFORMAT
答案 D
4.混淆过圆上一点的切线与过圆外一点的切线.过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点作圆的切线有两条.
[回扣问题4] 直线l是圆x2＋y2＝4在点(－，1)处的切线，P是圆x2－4x＋y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.2
解析 依题意知，圆x2＋y2＝4在点(－，1)处的切线的斜率为－＝，所以切线方程为y－1＝(x＋)，即直线l：x－y＋4＝0.易知圆x2－4x＋y2＝0的半径为2，其圆心(2，0)到直线l的距离d＝＝＋2，所以点P到直线l的距离的最小值为d－2＝.
答案 C
5.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的大小关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形.
[回扣问题5] 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为________.
解析 设线段PF1的中点为P0，双曲线的右焦点为F2，则|OP0|＝|PF2|，
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|OP0|＝|PF1|－a＝R－r，因此两圆内切.
答案 内切
6.混淆椭圆与双曲线标准方程中a，b，c三者之间的关系.椭圆中的关系式是c2＝a2－b2，双曲线中的关系式是c2＝a2＋b2，可以联系标准方程进行记忆，即关系式中的符号“＋”“－”与标准方程中的“＋”“－”形成相反的对应关系.另外，离心率的记忆也存在相似的规律：椭圆中e＝＝，双曲线中e＝＝.
[回扣问题6] (2020·宜昌一中第二次月考)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上的一点，且满足·＝0，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析 设点M(x0，y0)，由·＝0，
得(x0＋c)·(x0－c)＋y＝0，即x＋y＝c2. ①
因为点M在椭圆C上，所以eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1. ②
由①②及a2－b2＝c2，解得x＝.
由椭圆的性质可知0≤x≤a2，
即解得所以c2≥b2.
又b2＝a2－c2，所以c2≥a2－c2，即2c2≥a2，
解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.
答案 D
7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
[回扣问题7] 已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率等于，则m＝________.
解析 当焦点在x轴上，则a＝2，c＝，
∴＝，则m＝1.
当焦点在y轴上，则a＝，c＝，
∴＝，则m＝16.
答案 1或16
8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.
[问题回扣8] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x≤－)
B.－＝1(x≥)
C.－＝1
D.－＝1
解析 设动圆M的半径为r，由已知得，圆C1与圆C2的半径均为，|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2.因为点C1(－4，0)，C2(4，0)，则|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|.根据双曲线的定义可知，动圆圆心M的轨迹是以
C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支.因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，于是动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥).
答案 B
9.在抛物线中，点到焦点距离与到准线距离的转化是解决问题的突破口，注意定义的活用.
[问题回扣9] 已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
答案 6
10.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.
[回扣问题10] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点
F(－2，0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在曲线x2＋2y＝2上，求m的值.
解 (1)由题意得，＝，c＝2，则a＝2，b＝＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
由Δ＝96－8m2＞0，解得－2＜m＜2，
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为点M(x0，y0)在曲线x2＋2y＝2上，
所以＋2×＝2，解得m＝或m＝－3.
经检验，所求m的值为或－3.
回扣七 概率与统计
1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
[回扣问题1] 为了了解某校九年级1
600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图中的数据，可得下列结论错误的是( )
A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320
D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
解析 由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中点对应的数值，为27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.04×5＝0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为
1
600×0.2＝320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.02×5＝0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为1
600×0.1＝160.因此选项D不正确.
答案 D
2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况.
[回扣问题2] 甲、乙两队准备进行一场篮球比赛，根据以往的经验知甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析 设事件M为“这次比赛乙队不输”，事件A为“这次比赛乙队获胜”，事件B为“这次比赛甲、乙两队打平”，所以P(B)＝，P(A)＝1－－＝，所以这次比赛乙队不输的概率P(M)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案 C
3.混淆直线方程y＝ax＋b与回归直线＝x＋系数及斜率与截距的含义导致回归分析中失误.
[回扣问题3] 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得线性回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－
.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )
A.11.4万元
B.11.8万元
C.12.0万元
D.12.2万元
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴
＝8－0.76×10＝0.4，
∴线性回归方程
＝0.76x＋0.4，
∴当x＝15时，
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
答案 B
4.在独立性检验中，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.
[回扣问题4] 某医疗研究所为了检验某种血清能否起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918.
附表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”的结论出错的可能性不超过( )
A.95%
B.5%
C.97.5%
D.2.5%
解析 因为观测值k≈3.918>3.841，所以对照题目中的附表，得P(K2≥k0)＝0.05＝5%.∴“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过5%.
答案 B
5.运用古典概型的概率计算失误，涉及古典概型的计算，需做到以下两点：
一是理解古典概型的两个特征：①试验中所有可能出现的基本事件为有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
二是掌握古典概型的概率计算公式P(A)＝.
[回扣问题5] 2019年5月22日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名学生均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 设事件M为“恰有一个地方未被选中”，4名学生选取的旅游地方的所有情况有44＝256(种)，恰有一个地方未被选中的情况共有CC·A＝144(种)，所以恰有一个地方未被选中的概率P(M)＝＝.
答案 B
6.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.
[回扣问题6] 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )
A.－56
B.－35
C.35
D.56
解析 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，故n＝8，所以Tr＋1＝Cx8－r
(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故含x2项的系数是(－1)3C＝－56.
答案 A
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别.
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).
[回扣问题7] 端午节当天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅.小明从中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意，设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”.则P(A)＝eq
\f(C＋C,C)＝，P(AB)＝eq
\f(C,C)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
答案 B
8.混淆二项分布与超几何分布.求分布列时注意超几何分布和二项分布以及二者的均值和方差公式的区别，一定注意公式的适用条件.
[回扣问题8] 某中学用简单随机抽样的方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下.
社会实践次数
[0，3)
[3，6)
[6，9)
[9，12)
[12，15)
[15，18]
男同学人数
7
15
11
12
2
1
女同学人数
5
13
20
9
3
2
将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”.
(1)将频率视为概率，估计该校1
600名学生中“社会实践标兵”有多少人？
(2)从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4名同学参加社会实践表彰活动.
(i)设事件A为“抽取的4名同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；
(ii)用X表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解 (1)样本中社会实践次数不低于12的学生有2＋1＋3＋2＝8(人)，
所以该校1
600名学生中“社会实践标兵”约有1
600×＝128(人).
(2)8名“社会实践标兵”，其中男同学3人，女同学5人.
(i)设为“抽取的4名同学全是女同学”，
所以P()＝eq
\f(C,C)＝，
所以P(A)＝1－P()＝1－＝.
(ii)由题意知：X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
法一 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
法二 因为X服从超几何分布H(8，3，4)，所以E(X)＝＝.
9.正态密度曲线具有对称性，注意X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5的灵活应用.
[回扣问题9] 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析 如图，由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
INCLUDEPICTURE"S41.tif"
INCLUDEPICTURE
"S41.tif"
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由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
答案 C考前冲刺三 多选题、开放探究型解答题
突破
2020年新高考山东、海南卷及北京卷数学试题均出现了两种新题型：多选题与开放探究型解答题，体现了“破定势，考真功”的命题理念，为了使广大考生更快、更好地适应新高考的这种变化趋势，精选若干实例，供同学们学习体会.
类型一 多选题突破
多选题更能全面考查学生的知识、能力和数学核心素养，有利于选拔合格考生.
【例1】
关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|的下列结论，正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间单调递增
C.f(x)在[－π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，又x∈R，∴f(x)为偶函数，故A正确；当x＋sin
x＝2sin
x，∴f(x)在单调递减，故B不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故C不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin
x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.故选AD.
答案 AD
点评 (1)本题利用函数的解析式研究函数的单一性质，将单调性、奇偶性、最值综合，并与函数的零点、图象交汇，全面考查三角函数的图象和性质，提高试题的选拔功能.
(2)对于多项选择题，根据给分标准，务必对各选项正确推断，才能得全分；把握不准的选项不能选，才能多得分.
【例2】
(2020·长沙雅礼中学检测)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列结论一定正确的是( )
A.a10＝0
B.S10最小
C.S7＝S12
D.S20＝0
解析 设数列{an}的公差为d，又a1＋5a3＝S8，所以a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，则a1＝－9d.所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，所以a10＝0，故A一定正确.Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，所以S10＝－45d，不一定最小，故B不一定正确；由Sn＝(n2－19n)的对称性知S7＝S12，故C一定正确，S20＝10d，不一定等于0，故D不一定正确.一定正确为AC.
答案 AC
【例3】
(2020·荆门模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是空间中任意一点，下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE"W101.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W101.TIF"
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MERGEFORMAT
A.若点P为棱CC1的中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为
B.若点P在线段A1B上运动，则AP＋PD1的最小值为
C.若点P在半圆弧CD上运动，当三棱锥P－ABC的体积最大时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为2π
D.若过点P的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面的面积的最大值为
解析 对于A，如图(1)，连接AP，BP.由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成的角.在Rt△ABP中，AB＝1，BP＝＝，则tan
∠BAP＝＝，A正确.对于B，如图(2)，将三角形AA1B与四边形A1BCD1沿A1B展开到同一个平面上，连接AD1.由图可知，线段AD1的长度即为AP＋PD1的最小值.在△AA1D1中，利用余弦定理，得AD1＝，B错误.对于C，如图(3)，当P为半圆弧CD的中点时，三棱锥P－ABC的体积最大.连接AC，此时，三棱锥P－ABC的外接球球心是AC的中点O，连接OP，半径OP的长为，所以球的表面积为4π×＝2π，C正确.对于D，如图(4)，点P，R，Q分别在棱A1D1，A1B1，AA1上，连接QP，QR，PR.平面α与正方体的每条棱所成的角都相等，只需与过同一顶点的三条棱所成的角都相等，即A1P＝A1R＝A1Q，则平面PQR与正方体过点A1的三条棱所成的角相等.若点E，F，G，H，M，N分别为棱D1C1，B1C1，BB1，AB，AD，DD1的中点，连接EF，FG，GH，MH，MN，NE，可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形，因为正方体的棱长为1，所以正六边形EFGHMN的边长为，可得此正六边形的面积为，为截面的最大面积，D正确.故选ACD.
答案 ACD
【例4】
(2020·湖北联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F，E，直线x＝m(－1A.当m＝0时，△FAB的面积为
B.不存在m使△FAB为直角三角形
C.存在m使四边形FBEA的面积最大
D.存在m使△FAB的周长最大
解析 根据题意作出图形，如图.
INCLUDEPICTURE"W103.TIF"
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"W103.TIF"
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MERGEFORMAT
对于A，由题意，得a＝2，b＝，则c＝1.当m＝0时，S△FAB＝×2bc＝×2×1＝，A正确.对于B，当m＝0时，可以得出∠AFE＝，当m＝1时，∠AFE<，则存在m使△FAB为直角三角形，B错误；对于C，根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，四边形FBEA的面积最大，C正确.对于D，由椭圆的定义，得△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，当AB过点E时取等号，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋AB－AE－BE≤4a，即当直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大.此时直线x＝m＝c＝1，但－1答案 AC
【例5】
(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且此曲线在x＝±1处的切线的斜率均为－1，则以下命题正确的是( )
A.f(x)＝x3－4x，x∈[－2，2]
B.f(x)的极值点有且仅有一个
C.f(x)的极大值为
D.f(x)的最大值与最小值之和等于零
解析 ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意可得解得
∴f(x)＝x3－4x，f′(x)＝3x2－4，x∈[－2，2].
令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2，2].
当－2≤x<－或0，
当－∴函数f(x)有两个极值点，且函数f(x)的极大值为f＝，极小值为f＝－.
又∵f(－2)＝(－2)3－4×(－2)＝0＝f(2)，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－，
∴函数f(x)的最大值与最小值之和等于零.故选ACD.
答案 ACD
类型二 开放探究型解答题突破
开放探究型解答题：在给出的多个条件中，要求选择一个条件并进行解答，是一种开放性试题，这种试题条件不同，结论不同，但考查知识点相同，多在三角函数与解三角形和数列两块内容出现，难度较小.
【例6】
(2020·衡水中学调考改编)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos
B＝bsin
A，
③sin
B＋cos
B＝这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解决问题.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 若选择①b2＋ac＝a2＋c2.
由余弦定理，得cos
B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝.
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin
C＝sin
＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝.
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝.
若选择②acos
B＝bsin
A.
由正弦定理，得sin
Acos
B＝sin
Bsin
A.
因为sin
A≠0，所以sin
B＝cos
B.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝.
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin
C＝sin
＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝.
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝.
若选择③sin
B＋cos
B＝，
则sin＝，所以sin＝1.
因为B∈(0，π)，所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝.
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin
C＝sin
＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝.
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝.
点评 对于此种形式的试题，我们只需在所给的条件中，选取一个感觉熟悉、容易解答的条件，再进行解答即可.切忌对每个条件解答一遍.
【例7】
(2020·济南质检)在①a4＝b4，②a2＋b5＝2，③S6＝246这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由.
设Sn为等差数列{an}的前n项和，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b3＝－9，b6＝243.是否存在k，使得Sk>Sk－1且Sk＋1(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解 选条件①，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，
∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.
又a5＝b1＝－1，a4＝b4＝27，
∴d＝a5－a4＝－28，
∴a1＝27－3×(－28)＝111，∴an＝－28n＋139.
由Sk>Sk－1且Sk＋1即
解得∴存在k＝4，使得Sk>Sk－1且Sk＋1选条件②，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.
∵a2＋b5＝2，∴a2＝2－b5＝83.
又a5＝b1＝－1，∴d＝＝－28，
∴a1＝83－(－28)＝111，∴an＝－28n＋139.
由Sk>Sk－1且Sk＋1即
解得∴存在k＝4，使得Sk>Sk－1且Sk＋1选条件③，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，等差数列{an}的公差为d.
由b3＝－9，b6＝b3·q3＝－9×q3＝243，得q＝－3.
又b3＝b1q2＝b1×(－3)2＝－9，
∴b1＝－1，故bn＝－(－3)n－1.
又a5＝b1＝－1，S6＝246，即
解得∴an＝－28n＋139.
由Sk>Sk－1且Sk＋1即
解得∴存在k＝4，使得Sk>Sk－1且Sk＋1