艺术生百分冲刺第一讲 平面向量

基础计算
第一讲
平面向量
考纲要求
1.理解向量的有关概念。
2.会进行向量的线性运算。理解共线的充要条件。
3.理解平面向量基本定理，会进行向量分解。
4.理解向量的数量积，并会应用求向量的模和夹角。会判定两个向量垂直。
考点梳理
一、向量的有关概念
向量
既有大小又有方向的量叫做向量，
模
向量的大小叫做模，记作
零
向量
长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
单位
向量
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
平行
向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量平行．
相等
向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
相反
向量
与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
夹角
①②范围
坐标
二、向量的运算
设：夹角为
向量表示
坐标表示
加法
1.三角形法则
2.平行四边形法则
减法
1.三角形法则
数乘
方向：的正负确定
大小：
数积
三、向量的应用
向量表示
坐标表示
坐标
,则
模
夹角
平行
垂直
投影
在的投影=
四、有关定理和结论。
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数使得
．
我们把不共线的向量叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)向量的运算满足如下运算律。
①加法交换律：,
加法结合律
②数乘结合律：
数乘第一分配律：
数乘第二分配律：
③数量积交换律：
数乘结合律：
分配律
(3)若平面内三点共线，O为平面内任意一点，则且
(4)三角形ABC中，点D位BC边的中点，
则：
(5)若P为△ABC的重心，
则：
记录空间
典型例题
考点一
平面向量的概念，线性运算
例1
给出下列命题：
①零向量的模等于0，没有方向;
②若两个非零向量共线，则其方向相同或相反;
③
④共线向量定理中，当时，则实数不唯一.
其中正确的是(
)
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
【变式训练】1.已知下列命题:
①互为相反向量的两个向量的和为零;
②与任何向量共线;
③所有的单位向量都是相等的向量;
④共线向量都在同一条直线上.
其中真命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
例2如图，正六边形中，
【变式训练】2.设为平行四边形的对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则
3.化简：(1)
(2)
。
4．若，，则的坐标是(　　)
A．
B．
C．
D．
考点二
向量的共线和分解
例3
如图，在平行四边形中，对角线与交于点，
则=__________.
【变式训练】5.在中，
若点D满足则
例4
设两个非零向量与不共线．
①若
,求证：三点共线；
②试确定实数，使和共线.
【变式训练】
6.已知是所在平面内的一点，若其中,则点一定在(
)
A.的内部
B.边所在直线上
C.边所在直线上
D.边所在直线上
7.已知向量若为实数，，则(
)
A.
B.
C.1
D.2
8.已知点，，则与向量同方向的单位向量为(　　)
考点三
数量积的运算
例5
已知顶点的坐标分别
(1)若求的值。
(2)若是钝角，求的取值范围。
(3)若,求的值。
【变式练习】9.已知
(1)求
(2)求与的夹角
(3)求在方向上的投影。
10．已知向量，，若，则λ等于(　　)
　
　
11.已知点、、、，则向量在方向上的投影为(　　)
12.若非零向量满足＝，则与夹角的余弦值为__．
13.已知单位向量的夹角为，则
.
14.
已知是单位向量，若向量，满足,则的最大值为（
）
考点四
平面向量的应用
例6
在四边形中，，，则该四边形的面积为(
)
【变式练习】15.在平行四边形中，，,为的中点.若则的长为______.
16．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
17.已知正方形的边长为1，点是边上的动点.则的值为________，的最大值为________.
18.在中，，，,则△ABC的面积是(
)
过关检测一
1.
下列关于向量的叙述不正确的是(
)
A.向量的相反向量是
B.模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的.
C.若四点在同一条直线上，且AB=CD,则.
D.若向量与满足关系，则与共线.
2.已知向量不共线，且,，若与共线反向，则实数的值为(
)
A.1
B.
C.1或
D.或
3.设向量，，则向量为(　　)
A．　B．
C．　
D．
4.已知向量
,若,则实数等于(
)
A．
B.
C.
或
D.0
5.(20142.任意四边形中，分别是的中点，则________(用向量表示)．
6.如图，向量在一条直线上，
且则_______.(用表示)
7.已知．
(1)若三点共线，求a，b的关系式；
(2)若，求点的坐标．
过关检测二
1.(思考)给出下列结论：
①向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量；
②两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量；
③由a·b=0可得a=0或b=0；
④(a·b)c=a(b·c).
其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
2.设向量满足，，则(　)
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，向量，且，则实数等于(
)
A.9
B.4
C.0
D.-4
4.已知向量满足，且,则与的夹角为(
)
5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，则这个三角形是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
6.已知平面向量的夹角为120°，|,,则与的夹角是_______.
7．设向量，，，若，则＝________.
8.已知等边三角形的边长为1，设.
则=__________.