艺术生百分冲刺第二讲 复数的概念和运算

第二讲
复数的概念和运算
指数运算和对数运算
考纲要求
理解复数的概念，会进行复数的代数形式的四则运算，会进行指数运算和对数运算。
考点梳理
一、复数的概念及运算
1.复数的概念
形如的数叫做复数，其中
①a，b分别是它的实部和虚部．
②若，则为实数，
③若，则为虚数，
④若且，则为纯虚数．
⑤且
⑥与共轭?
以上
2.复数的几何意义
①复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
②复数
复数
③复数的模
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设则：
①加减法：
②乘法：
除法：
(2)复数加法的运算定律
实数范围内成立的运算定律在复数范围内都成立。
4.重要结论
①两个复数一般不能比较大小。
②
③
④
二、指数运算
1.根式
（1）根式的概念：如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N
)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做的次方根，其中n>1且n∈N
.式子叫做的次算数根，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写成
()．
③＝.
④当n为偶数时，
⑤当n为奇数时，
⑥负数没有偶次方根．
⑦零的任何次方根都是零．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
．
①
,
②
③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①aras＝
(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
三、对数运算
1．对数的定义：如果，那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(且)
①②
(2)换底公式：
①
,
(均大于零且不等于1)；
(3)对数的运算法则
如果且，，那么
①
②
③
典型例题
考点一
复数的概念和几何意义
例1在复平面内，复数对应的点位于第（
）象限
A.一　　
B.二　
C.三　
D.四
【变式练习】1.复数在复平面上对应的点位于第（
）象限
A.一　　
B.二　
C.三　
D.四
2.
设是复数，则下列命题中的假命题是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.若，则
D.
若，则
3.设复数，若为纯虚数，则实数a的值为________．
4
．如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是
A.A
B.B
C.C
D.D（　　）
5．设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为（　　）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
6．若
,则复数的模是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
7.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则________.
考点二
复数的运算
例2复数=
【变式练习】
8.复数等于（
）
A．
B．C．1D．
9.已知是纯虚数,是实数,那么等于(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知复数
，则
的值为（
）
A.5
B.
C.3
D.
11.已知是虚数单位,则（　　）
A．5-5i
B．7-5iC．5+5i
D．7+5i
12.复数为虚数单位),则
(
).（　　）
13.计算
(1)＋；
(2).
考点三
指数运算
例3
计算：
(1)
(2)
【变式练习】
14.下列计算正确的是（
）
12.化简：
15.计算
考点四
对数运算
例4
计算：
(2)设求
的值.
【变式练习】
16.计算：(lg
2)2＋lg
2·lg
50＋lg
25.
17.已知
求.
18.已知
过关检测三
1．复数等于(　　)
A.－i　　　　　　B.＋i
C．1－i　
D．1＋i
2．若，x，y∈R，则复数的模是(　　)
A．2　
B．3
C．4
　D．5
3．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|等于(　　)
A．25　
B.
C
.5　D.
4．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
5．
i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若，则z2＝________.
6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
7．复数z＝(i是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第______象限．
8.若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是(　　)
A．－3
B．－3或1
C．3或－1
D．1
9．计算：
(1)
(2)；
过关检测四
1．
2log510＋log50.25的值为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为(　　)
A.B．10C．20
D．100
3.设均为不等于1的正实数，则下列等式恒成立的是（
）
4.计算
(1)
(2)
(3)
5.解方程