艺术生百分冲刺第三讲 直线方程与线性规划

第三讲
直线方程与线性规划
考纲要求
1.理解直线的斜率会求直线方程。
2.会判断两直线的位置关系，会求距离。
3.会求线性约束条件下的最优解。
考点梳理
一、直线方程
1．直线的倾斜角与斜率
①当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．
当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
③斜率，
若直线则，斜率不存在．
2．直线方程的五种基本形式
名称
方程
适用范围
点斜式
不含直线
斜截式
不含垂直于
x轴的直线
两点式
不含直线
和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系
内的直线都适用
3．平面上两直线的位置关系
包括平行、相交、重合三种情况．
直线
方程
4.重要公式
（1）已知两点
①
②
③
④的中点)
(2)点到直线的距离：平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
(3)两平行线间的距离两平行线则与之间的距离
二
线性规划
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)对于直线和点
①若点在直线上
②若点在直线的一侧
③若点在直线的另一侧
(2)画不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．
(3)不等式组所表示的平面区域为各个不等式所表示的平面区域的公共部分（交集）
2．线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足___________的解(x，y)．
(5)可行域：所有________组成的集合．
(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．
3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)作出目标函数的等值线．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．
4．常见代数式的几何意义主要有以下几点：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
考点一
直线的斜率和方程
例1
设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：
(1)直线的斜率为1；
(2)直线在轴上的截距为－3.
【变式训练】
1.求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
2．(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知直线的方向向量与向量＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为(　　)
A．x－2y－1＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0
D．x＋2y－3＝0
4．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
考点二
两直线位置关系
例2　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．
　
【变式训练】
3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
4.P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1)
D．(2,1)或(－1,2)
5.
(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
7．已知2x＋y＋5＝0，则的最小值是________.
考点三
线性规划
例3．若点在不等式所表示的平面区域内，则的取值范围是(
)
【变式练习】
8．不等式在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　)
9．下面给出的四个点中，位于
表示的平面区域内的点是(　　)
A．(0,2)
B．(－2,0)
C．(0，－2)
D．(2,0)
例4设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　　)
A．3，－11
B．－3，－11
C．11，－3
D．11,3
【变式训练】
10．设变量x，y满足约束条件
则的最大值(　　)
A．0
B．2
C．4
D．6
11．若x，y满足约束条件则的取值范围________．
12.．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（
）
A．7B．5C．4D．3
考点四
非线性规划
例5
已知
求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝的范围．
13.在平面直角坐标系中，M为不等式组
所表示的区域上一动点，则的最小值为________.
过关检测五
1．
(教材改编题)直线(为常数)的倾斜角为(　　)
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
2．过点，的直线的斜率为1，则
A.
B.
C．1
D．2
3．若A(－2,3)，B(3，－2)，三点共线，则的值为(　　)
A.
B．
C．－2
D．2
4．已知直线，，则“a＝－1”是“的”(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．直线在轴和轴上的截距相等，则的值是(　　)
A．1
B．－1
C．－2或－1
D．－2或1
6．过点)且方向向量为的直线方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
7．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0
(
)
A．平行
B．垂直
C．重合
D．关于直线y＝－x对称
8．过两直线与的交点，且与点的距离为的直线的方程为________．
9．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
10.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
过关检测六
1.(教材改编题)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(　　)
2.设满足约束条件
则的最小值是(
)
A.-7
B.-6
C.-5
D.-3
3.
设变量满足约束条件则目标函数的最小值为(
)
A.－7
B.－4
C.1
D.2
4.已知
(1)设，求的最大值；
(2)设，求的最小值；
(3)设，求的取值范围．