(共15张PPT)
培优点13 数列中的奇、偶项问题
专题三 数 列
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.
解 因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，
即a2n＋1－a2n－1＝2，
又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，
所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N
.
(2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n.
解 对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0，
当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，
即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以
T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
能力
提升
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题.
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
跟踪演练
1
2
3
1.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于
A.200
B.－200
C.400
D.－400
√
解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)
＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
1
2
3
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·
(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________.
(－1,3)
1
2
3
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1).
因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，
所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0.
①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，
解得1－2n
因为对任意的正奇数n都成立，取n＝1时，
可得－1②当n是正偶数时，化为[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0，
解得－1－2n1
2
3
因为对任意的正偶数n都成立，取n＝2时，
可得－5所以实数p的取值范围是(－1,3).
1
2
3
1
2
3
因为bn＝a2n＋a2n－1，
1
2
3
1
2
3
(2)求数列{an}的通项公式；
所以an＝
1
2
3
(3)求Sn.
解 因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
所以Sn＝培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．
例 (1)在数列{an}中，a1＝1,
an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式．
解 设f(x)＝x＋1，
令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，
∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点，
∴an＋1－2＝(an－2)，
∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，
∴an－2＝－1×n－1，
∴an＝2－n－1，n∈N
.
(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式．
解 由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2，
＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1，
解得an＝＋2＝，n∈N
.
(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列．
(2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·.
1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式．
解 设f(x)＝－x－2，
由f(x)＝x，得x＝－.
∴an＋1＋＝－，
又a1＝4，
∴是以为首项，以－为公比的等比数列，
∴an＋＝×n－1，
∴an＝－＋·n－1，n∈N
.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解 解方程x＝，
化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
令＝c·，
由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，
∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1，
∴an＝.
3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N
)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式．
解 由已知得an＋1＝，
由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝.
所以＝＝·，
所以数列是首项为－2，公比为的等比数列，
所以＝－2×n－1＝－，
解得an＝.故bn＝＝，n∈N
.培优点13 数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．
例 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N
.
(1)令bn＝a2n－1，判断{bn}是否为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n.
解 (1)因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，
即a2n＋1－a2n－1＝2，
又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，
所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N
.
(2)对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，
当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0，
即＝，所以a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列；
当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以
T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋
＝n2＋1－，n∈N
.
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
A．200
B．－200
C．400
D．－400
答案 B
解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)．
因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，
所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0.
①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，
解得1－2n因为对任意的正奇数n都成立，取n＝1时，
可得－1②当n是正偶数时，化为[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0，
解得－1－2n因为对任意的正偶数n都成立，取n＝2时，
可得－5联立解得－1所以实数p的取值范围是(－1,3)．
3．在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N
.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn.
解 (1)因为an·an＋1＝n，
所以an＋1·an＋2＝n＋1，
所以＝，即an＋2＝an.
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以＝＝＝，
所以数列{bn}是公比为的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝×n－1＝，n∈N
.
(2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，
所以a2n－1＝n－1，a2n＝n，
所以an＝
(3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，
又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－，
所以Sn＝(共14张PPT)
培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式
专题三 数 列
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.
能力
提升
(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点.数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列.
跟踪演练
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又a1＝4，
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化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
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