(共18张PPT)
培优点16 非线性回归问题
专题五 概率与统计
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义.
例 二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
使用年数x
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z＝ln
y
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高.
又z＝ln
y，
即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为1.46万元.
(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7
118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年.
参考数据：
即e－0.36x＋3.62≥0.711
8＝eln
0.711
8≈e－0.34时，
则有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，
因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.
能力
提升
非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图.
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.
(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程.
(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.
跟踪演练
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
解 由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值为
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
解 根据(2)的结果知，年利润z的预报值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.培优点17 概率与统计的创新题型
概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．
例 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
成交额(百亿元)
9
12
17
21
27
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2016年为x＝1,2017年为x＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
②已知每个订单由k(k≥2，k∈N
)件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W的总数量为Y，假设p＝－，q＝，求E(Y)取最大值时正整数k的值．
附：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
＝＝，＝－.
解 (1)由已知可得
＝＝3，
＝＝17.2，
iyi＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55.
所以＝＝＝＝4.5，
所以＝－＝17.2－4.5×3＝3.7，
所以＝4.5x＋3.7.
当x＝6时，＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，
所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元．
(2)①由题意知，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－p)(1－q)，
P(X＝1)＝(1－p)q＋(1－q)p，
P(X＝2)＝pq.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(1－p)(1－q)
(1－p)q＋(1－q)p
pq
E(X)＝0×(1－p)(1－q)＋(p＋q－2pq)＋2pq＝p＋q.
②因为Y＝kX，所以E(Y)＝kE(X)＝k(p＋q)
＝k＝2sin
－.
令t＝∈，
设f(t)＝2sin
πt－πt，则E(Y)＝f(t)．
因为f′(t)＝2πcos
πt－π＝2π，且πt∈，所以，当t∈时，f′(t)>0，
所以f(t)在区间上单调递增；
当t∈时，f′(t)<0，
所以f(t)在区间上单调递减，
所以，当t＝时，f(t)max＝－，
即E(Y)取最大值时，正整数k的值为3.
概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型．
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．
(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表示Pn；
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
(1)解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以P1＝.
棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以P2＝＋＝.
棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n－2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为Pn－2；
②棋子先跳到第n－1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为Pn－1.
故Pn＝Pn－2＋Pn－1(2≤n≤99，n∈N
)．
棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为P98，所以P100＝P98.
(2)证明 由(1)知，当2≤n≤99时，
Pn＝Pn－2＋Pn－1，
所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)．
又因为P1－P0＝－，
所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－，公比为－的等比数列．
(3)解 由(2)知，
Pn－Pn－1＝－n－1＝n.
所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0
＝99＋98＋…＋＋1
＝＋1
＝.
所以玩该游戏获胜的概率为.培优点16 非线性回归问题
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用．其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义．
例 二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
使用年数x
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z＝ln
y
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于x的回归方程，并预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为多少；(，小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7
118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．
参考公式：＝＝，
＝－，r＝.
参考数据：
iyi＝187.4，izi＝47.64，＝139，
＝4.18，＝13.96，
＝1.53，ln
1.46≈0.38，ln
0.711
8≈－0.34.
解 (1)由题意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，
＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，
又izi＝47.64，＝4.18，
＝1.53，
∴r＝＝－≈－0.99，
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．
(2)＝＝－≈－0.36，
∴＝－
＝2＋0.36×4.5＝3.62，
∴z与x的线性回归方程是＝－0.36x＋3.62，
又z＝ln
y，
∴y关于x的回归方程是＝e－0.36x＋3.62.
令x＝9，得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，
∵ln
1.46≈0.38，∴≈1.46.
即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时售价约为1.46万元．
(3)当≥0.711
8，
即e－0.36x＋3.62≥0.711
8＝eln
0.711
8≈e－0.34时，
则有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，
因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．
非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．
(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)的数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·
(yi－)
(wi－)·
(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
注：表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，＝＋x与＝＋
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y之间的关系为＝0.2y－x，根据(2)的结果回答下列问题．
①当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
解 (1)由散点图可以判断，＝＋
适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程模型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值为
＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值为＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2×(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12，所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．(共16张PPT)
培优点17 概率与统计的创新题型
专题五 概率与统计
概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要.
例 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱.
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
成交额(百亿元)
9
12
17
21
27
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2016年为x＝1,2017年为x＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
解 由已知可得
所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元.
(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
解 由题意知，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－p)(1－q)，
P(X＝1)＝(1－p)q＋(1－q)p，
P(X＝2)＝pq.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(1－p)(1－q)
(1－p)q＋(1－q)p
pq
E(X)＝0×(1－p)(1－q)＋(p＋q－2pq)＋2pq＝p＋q.
解 因为Y＝kX，所以E(Y)＝kE(X)＝k(p＋q)
设f(t)＝2sin
πt－πt，则E(Y)＝f(t).
即E(Y)取最大值时，正整数k的值为3.
能力
提升
概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型.
跟踪演练
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6).
(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表示Pn；
解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；
证明 由(1)知，当2≤n≤99时，
(3)求玩该游戏获胜的概率.
解 由(2)知，
所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0
