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规范答题1 函数与导数
专题一 函数与导数
命题分析
函数与导数问题高考中一般作为压轴题，考查函数的单调性、不等式证明、恒成立问题及零点问题等.
典例 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
步骤要点
(1)灵活变形：根据已知条件对要证(求)不等式(或方程)的结构进行变形，进行拆分或分离成适当形式，构造函数.
(2)看性质：通过求导讨论等确定函数的单调性、最值等性质.
(3)得结论：通过函数性质(或函数大致图象)求(证)得最后结论.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，
1分
令g(x)＝ex＋2x－1，由于g′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
3分
规范解答
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；
5分
故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
10分
则h′(x)＝ex－x－1，
令φ(x)＝ex－x－1(x≥0)，则φ′(x)＝ex－1≥0，
阅卷细则
(1)求出f′(x)即得1分；
(2)构造函数g(x)得1分，g′(x)没有分解因式扣1分；
(3)讨论时正确写出参数范围即得1分；
(4)使用分离参数法酌情给分；
(5)计算正确没有最后结论扣1分.规范答题1 函数与导数
[命题分析]
函数与导数问题高考中一般作为压轴题，考查函数的单调性、不等式证明、恒成立问题及零点问题等.
典例 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围.
步骤要点
规范解答
阅卷细则
(1)灵活变形：根据已知条件对要证(求)不等式(或方程)的结构进行变形，进行拆分或分离成适当形式，构造函数.
(2)看性质：通过求导讨论等确定函数的单调性、最值等性质.
(3)得结论：通过函数性质(或函数大致图象)求(证)得最后结论.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，
f′(x)＝ex＋2x－1，1分
令g(x)＝ex＋2x－1，由于g′(x)＝ex＋2>0，
故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，
故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.3分
(2)由f(x)≥x3＋1得，
ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0.
①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；5分
②当x>0时，分离参数a得，a≥－，
记g(x)＝－，
g′(x)＝－，7分
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，
则h′(x)＝ex－x－1，
令φ(x)＝ex－x－1(x≥0)，则φ′(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，
故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，
由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立，
故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；10分
因此，g(x)max＝g(2)＝，
综上可得，实数a的取值范围.12分
(1)求出f′(x)即得1分；
(2)构造函数g(x)得1分，g′(x)没有分解因式扣1分；
(3)讨论时正确写出参数范围即得1分；
(4)使用分离参数法酌情给分；
(5)计算正确没有最后结论扣1分.
