第2讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1 已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
思路分析 方程f?x?＝b有三个不同的根→函数y＝f?x?的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象
答案 (3，＋∞)
解析 作出f(x)的图象如图所示，当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.
要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2
0.又m>0，解得m>3.
批注 正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．
例2 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2答案 {a|1解析 设y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0所以底数a的取值范围为{a|1方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f?x?方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1
B．2
C.
D.
思路分析 求|c|的最大值→考虑向量a，b，c的几何关系→通过几何意义观察|c|的最值
答案 C
解析 如图，
设＝a，＝b，＝c，
则＝a－c，＝b－c.
由题意知⊥，
∴O，A，C，B四点共圆．
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.
例4 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．
例5 已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标．
思路分析 △APF的周长最小→结合抛物线定义转化|PF|＝|PQ|→结合图形观察三边关系求最值
解 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为
(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周长最小时点P的坐标为.
批注 通过定义转化|PF|＝|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键．
几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.(共20张PPT)
思想方法
第3讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
√
解析 若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，
与题设矛盾，故q≠1.
又S3＋S6＝2S9，
①
根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
②
由①②可得S3＝2S6，
思路分析 求a→代入f(1)，f(a)求解→讨论a
解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以a＝1.
当－1规律方法
解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
解析 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
规律方法
圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
方法三 由参数变化引起的分类讨论
√
解析 函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点；
所以f(x)的最小值为
当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点.
综上，实数a的取值范围是(0，＋∞).
(2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围.
思路分析 求f′(x)→看f′(x)＝0的解和1的关系→讨论a
解 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞).
规律方法
含参数问题的求解要结合参数对题目结果的影响及参数的意义进行分类讨论.第5讲 客观题的解法
题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
例1 在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x
D．x2＝－4y
思路分析 动点P的轨迹方程→P点满足条件→直接将P点坐标代入化简即可
答案 A
解析 设P(x，y)，由题意得M(－1,2)，N(1,0)，O(0,0)，
＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)，＝(1－x，－y)，
因为|·|＝||，所以|1＋x|＝，
整理得y2＝4x.
直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
例2 (1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20
B．15
C．9
D．6
思路分析 ·的值→某种特殊情况下·的值→取?ABCD为矩形
答案 C
解析 若四边形ABCD为矩形，建系如图，由＝3，＝2，知M(6,3)，N(4,4)，所以＝(6,3)，＝(2，－1)，所以·＝6×2＋3×(－1)＝9.
(2)设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于________．
思路分析 直线PM，PN斜率之积→特殊情况下的kPM·kPN→取P点为椭圆短轴端点
答案 －
解析 取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)，
所以kPM·kPN＝×＝－.
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．
例3 (1)(2020·天津)函数y＝的图象大致为( )
思路分析 选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除
答案 A
解析 令f(x)＝，则f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数为奇函数，排除C，D.
又当x＝1时，f(1)＝＝2，排除B.
(2)已知椭圆C：＋＝1(b>0)，直线l：y＝mx＋1.若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．[1,4)
B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞)
D．(4，＋∞)
思路分析 求b的取值范围→取b的特殊值→特殊情况验证排除
答案 C
解析 注意到直线l恒过定点(0,1)，所以当b＝1时，直线l与椭圆C恒有公共点，排除D；若b＝4，则方程＋＝1不表示椭圆，排除B；若b>4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.
(3)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确的是( )
A．当x>0时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)
C．函数f(x)有2个零点
D．?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2
思路分析 观察选项，从易于判断真假的选项出发.
答案 BD
解析 对于C，当x<0时，令f(x)＝0?x＝－1，∴f(x)有3个零点分别为－1,0,1，故C错误；对于A，令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)为奇函数，∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A错误．∵A，C错误，且为多选题，故选BD.
排除法使用要点：,?1?从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,?2?当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值?例?法、验证法等常结合使用.
方法四 构造法
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．
例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π
B．4π
C．2π
D.π
思路分析 求球O体积→求球O半径→构造正方体(补形)
答案 D
解析 如图所示，构造棱长为的正方体PBJA－CDHG，显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球，从而体积为π.
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______________．
思路分析 解f?x?>0→利用函数单调性?结合已知含f?x?的不等关系?→构造函数
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝.
根据条件，g(x)为偶函数，
且x>0时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
g(－1)＝g(1)＝0.
∴当00，∴f(x)>0，
同理当x<－1时，g(x)<0，∴f(x)>0，
故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
方法五 估算法
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．
例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是( )
A．165
cm
B．175
cm
C．185
cm
D．190
cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
答案 B
解析 头顶至脖子下端的长度为26
cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42
cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178
cm，又由肚脐至足底的长度大于105
cm，可得头顶至肚脐的长度大于65
cm，则该人的身高大于170
cm，所以该人的身高在170
cm～178
cm之间，选B.
(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12
B．18
C．24
D．54
思路分析 V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算
答案 B
解析 等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以×9×4V三棱锥D－ABC<24.选B.
估算法使用要点：?1?使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值?例?法结合起来使用.
?2?使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.(共18张PPT)
思想方法
第2讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
思路分析 方程f(x)＝b有三个不同的根→函数y＝f(x)的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象
(3，＋∞)
解析 作出f(x)的图象如图所示，
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.
要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
批注
正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势.
例2 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2{a|1解析 设y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系中作出它们的图象，
如图所示.
若0所以底数a的取值范围为{a|1规律方法
方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f(x)向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
√
思路分析 求|c|的最大值→考虑向量a，b，c的几何关系→通过几何意义观察|c|的最值
解析 如图，
∴O，A，C，B四点共圆.
例4 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
规律方法
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
例5 已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标.
思路分析 △APF的周长最小→结合抛物线定义转化|PF|＝|PQ|→结合图形观察三边关系求最值
方法三 几何动态问题中的数形结合
解 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，
设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.
则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
批注
通过定义转化|PF|＝|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键.
规律方法
几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.(共22张PPT)
思想方法
第4讲 转化与化归思想
思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.
方法一 特殊与一般的转化
√
又过A，B的切线互相垂直，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
√
解析 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，
规律方法
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.
例2 (1)由命题“存在x0∈R，使
－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是
A.(－∞，1)
B.(－∞，2)
C.1
D.2
方法二 命题的等价转化
√
思路分析 命题：存在x0∈R，使
－m≤0是假命题→任意x∈R，
e|x－1|－m>0是真命题→m解析 由命题“存在x0∈R，使
－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，
可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
思路分析 g(x)在(t，3)上总不为单调函数→先看g(x)在(t，3)上单调的条件→补集法求m的取值范围
(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋
x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是____________.
解析 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，
或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
即m≥－5；
规律方法
根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集.
例3 (2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则
A.ln(y－x＋1)>0
B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0
D.ln|x－y|<0
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
√
解析 ∵2x－2y<3－x－3－y，
∴2x－3－x<2y－3－y.
∴x1，
∴ln(y－x＋1)>ln
1＝0.
令g′(x)>0，解得0令g′(x)<0，解得x>1.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.
思路分析 g(x)的极值→ln
x证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，
即ln
x－(x＋1)≤－2?ln
x≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1).
规律方法
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.(共21张PPT)
思想方法
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.
第1讲 函数与方程思想
思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
方法一 运用函数相关概念的本质解题
思路分析 先求出f(x)＝ax是减函数时a的范围→满足－0＋3a≥a0时a的范围→取交集
√
解析 ∵函数f(x)是R上的减函数，
批注
在函数的第一段中，虽然没有x＝0，但当x＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f(0)，这是解题的一个易忽视点.究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体.
规律方法
解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视.
函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题.
方法二 利用函数性质求解方程问题
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则
A.a>2b
B.a<2b
C.a>b2
D.a√
解析 由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，
∴2a＋log2a<22b＋log22b，
即f(a)(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2
020(x－1)＝－1，(y－1)3＋2
020(y－1)＝1，则x＋y＝_____.
思路分析 观察两方程形式特征→借助函数f(t)＝t3＋2
020t的单调性、奇偶性→f(x－1)＝f(1－y)→求出x＋y
2
解析 令f(t)＝t3＋2
020t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.
由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，
可得x－1＝1－y，∴x＋y＝2.
批注
通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系.
规律方法
函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题.
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.
例3 求使不等式2x－1>m(x2－1)对于|m|≤2的一切实数m都成立的x的取值范围.
思路分析 恒成立问题→函数最值问题→构造关于m的一次函数
方法三 构造函数解决一些数学问题
解 构造函数f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，m∈[－2,2]，
例4 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值.
思路分析 求VP－AEF的最值→用θ表示VP－AEF，构造函数→求函数的最值
解 因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
而AF?平面PAC，所以BC⊥AF.
又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，
所以AF⊥平面PBC，
而EF?平面PBC，所以AF⊥EF.
所以EF是AE在平面PBC内的射影.
因为AE⊥PB，所以EF⊥PB，
又AE∩EF＝E，AE，EF?平面AEF，
所以PB⊥平面AEF，所以PE⊥平面AEF.
在Rt△PAB中，因为AP＝AB＝2，AE⊥PB，
批注
θ的变化是由AC，BC的变化引起的.三棱锥P－AEF的高PE为定值，只要S△AEF最大即可.
规律方法
在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.第4讲 转化与化归思想
思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．
方法一 特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．
例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为( )
A．x2＋y2＝9
B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5
D．x2＋y2＝4
答案 B
解析 因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，
所以＝，解得a＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2,0)，
所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝2，
所以两条切线的交点坐标为(2，)，
又过A，B的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D.
思路分析 求→考虑正三角形ABC的情况
答案 A
解析 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos
A＝cos
C＝，代入所求式子，得＝＝.
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
方法二 命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．
例2 (1)由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．1
D．2
思路分析 命题：存在x0∈R，使－m≤0是假命题→任意x∈R，e|x－1|－m>0是真命题→m答案 C
解析 由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
思路分析 g?x?在?t，3?上总不为单调函数→先看g?x?在?t，3?上单调的条件→补集法求m的取值范围
答案
解析 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，
或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，
即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
方法三 函数、方程、不等式之间的转化
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集．
例3 (2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0
B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 ∵2x－2y<3－x－3－y，
∴2x－3－x<2y－3－y.
∵y＝2x－3－x＝2x－x在R上单调递增，
∴x1，
∴ln(y－x＋1)>ln
1＝0.
例4 已知函数f(x)＝eln
x，g(x)＝f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值；
(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N
)．
思路分析 g?x?的极值→ln
x解 ∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝ln
x－(x＋1)，
∴g′(x)＝－1(x>0)．
令g′(x)>0，解得0令g′(x)<0，解得x>1.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.
(2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，
即ln
x－(x＋1)≤－2?ln
x≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)．
取t＝(n∈N
)时，
则>ln＝ln，
∴1>ln
2，>ln
，>ln
，…，>ln，
∴叠加得1＋＋＋…＋>ln
＝ln(n＋1)．
即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N
)．
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值?值域?问题，从而求出参变量的范围.第3讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
例1 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，
与题设矛盾，故q≠1.
又S3＋S6＝2S9，①
根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②
由①②可得S3＝2S6，
∴q3＝＝－，∴q＝－.
(2)已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的取值集合是________．
思路分析 求a→代入f?1?，f?a?求解→讨论a
答案
解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以a＝1.
当－1所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝，
因为－1则实数a的取值集合为.
解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则＝________.
思路分析 求→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论Rt△PF1F2的直角顶点
答案 或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.
综上知，＝或2.
圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．
例3 (1)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln
，函数在内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)的最小值为
f?＝1－ln
－2a＝1＋ln
a－2a.
令g(a)＝1＋ln
a－2a(a>0)，则g′(a)＝－2，
当a∈时，g(a)单调递增，当a∈时，g(a)单调递减，
所以g(a)max＝g＝－ln
2<0，
所以f(x)的最小值f?<0，
当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．
综上，实数a的取值范围是(0，＋∞)．
(2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
思路分析 求f′?x?→看f′?x?＝0的解和1的关系→讨论a
解 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1，
若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
含参数问题的求解要结合参数对题目结果的影响及参数的意义进行分类讨论.(共32张PPT)
思想方法
第5讲 客观题的解法
思想概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
方法四
方法五
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法.
方法一 直接法
思路分析 动点P的轨迹方程→P点满足条件→直接将P点坐标代入化简即可
√
解析 设P(x，y)，由题意得M(－1,2)，N(1,0)，O(0,0)，
整理得y2＝4x.
规律方法
直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.
方法二 特例法
√
解析 若四边形ABCD为矩形，建系如图，
思路分析 直线PM，PN斜率之积→特殊情况下的kPM·kPN→取P点为椭圆短轴端点
规律方法
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项.
方法三 排除法
√
思路分析 选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除
所以函数为奇函数，排除C，D.
思路分析 求b的取值范围→取b的特殊值→特殊情况验证排除
√
解析 注意到直线l恒过定点(0,1)，所以当b＝1时，直线l与椭圆C恒有公共点，排除D；
若b>4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.
(3)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列说法正确的是
A.当x>0时，f(x)＝ex(1－x)
B.f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)
C.函数f(x)有2个零点
D.?x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2
√
√
思路分析 观察选项，从易于判断真假的选项出发.
解析 对于C，当x<0时，令f(x)＝0?x＝－1，
∴f(x)有3个零点分别为－1,0,1，故C错误；
对于A，令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝e－x(1－x)，又f(x)为奇函数，
∴－f(x)＝e－x(1－x)，∴f(x)＝e－x(x－1)，故A错误.
∵A，C错误，且为多选题，故选BD.
规律方法
排除法使用要点：
(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.
(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.
方法四 构造法
√
思路分析 求球O体积→求球O半径→构造正方体(补形)
显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球，
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__________________.
思路分析 解f(x)>0→利用函数单调性(结合已知含f(x)的不等关系)→构造函数
(－∞，－1)∪(0,1)
根据条件，g(x)为偶函数，
且x>0时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
g(－1)＝g(1)＝0.
∴当00，∴f(x)>0，
同理当x<－1时，g(x)<0，∴f(x)>0，
故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).
规律方法
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷.
方法五 估算法
且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是
A.165
cm
B.175
cm
C.185
cm
D.190
cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
√
解析 头顶至脖子下端的长度为26
cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42
cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178
cm，又由肚脐至足底的长度大于105
cm，可得头顶至肚脐的长度大于65
cm，则该人的身高大于170
cm，所以该人的身高在170
cm～178
cm之间，选B.
思路分析 V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算
√
所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，
规律方法
估算法使用要点：(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.