培优点8 向量共线定理的应用
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
例1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵|3－－|＝0，∴3－－＝0，∴＋＝3.
设BC的中点为G，则＋＝2，
∴3＝2，即＝，
∴点M在线段AG上，且＝.
∴＝＝，易得＝＝，
∴＝·＝×＝，
即△ABM与△ABC的面积之比等于.
(2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 方法一 ∵B，P，N三点共线，
∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)，
∴－＝λ(－)，
∵λ>0，∴＝
＋.
∵＝，＝m＋，
∴＝m＋，
∴解得
方法二 ∵＝，＝m＋，
∴＝m＋.
∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.
例2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D
为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于( )
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
答案 A
解析 如图，设＝λ(λ>0)，
又＝＋＝＋，
∴＝λ＋λ＝λ＋λ.
又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，
∴λ＝，∴＝＋.
(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，
＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．
答案
解析 由D为BC的中点知，＝＋，
又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点，
故＝＝＋，
∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，
∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋
≥2＋＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
∴4x＋y的最小值为.
(1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y，
∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①
同理，＝2x＋y，
∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②
由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝.
2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，·＝6，·＝，则·的值为________．
答案
解析 ∵D为边BC上一点，可设＝λ，
∴＝＋B＝(1－λ)＋λ.
∴
①＋②得，9＋·＝，
∴·＝.
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
答案
解析 设＝a，＝b，则＝＋＋＝－a＋b＋b＝－a＋b.
设＝λ，则＝＋＝a＋λb.
因为＝ma＋nb，所以1－λ＝m，λ＝n，
消去λ得m＋n＝1，
＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，
当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立．
所以＋的最小值为.(共15张PPT)
培优点10 平面向量“奔驰定理”
专题二 三角函数与解三角形
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
A.14∶3
B.19∶4
C.24∶5
D.29∶6
√
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
√
解析 根据奔驰定理得，
S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴PQ∥AB，
能力
提升
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
跟踪演练
1
2
3
√
解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
1
2
3
√
1
2
3
1
2
3
1
2
3
又因为点P是△ABC的外心，
1
2
3培优点10 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
例 (1)已知点A，B，C，P在同一平面内，
＝，＝，
＝，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A．14∶3
B．19∶4
C．24∶5
D．29∶6
答案 B
解析 由＝，得－＝(－)，
整理得＝＋＝＋，
由＝，得＝(－)，
整理得＝－，∴－＝＋，
整理得4＋6＋9＝0，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，
∴＝－＝.
(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，
＝，
＝n，则n的值为________．
答案
解析 因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－，
＝?－＝(－)?
＝＋＝
－－，
＝n?－＝n(－)
?＝n＋(1－n)
，
因为P，O，Q三点共线，所以∥，
所以－(1－n)＝－n，解得n＝.
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
(1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(2)若O为△ABC的外心，则sin
2A·＋sin
2B·＋sin
2C·＝0.
(3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0.
备注：若O为△ABC的内心，则sin
A·＋sin
B·＋sin
C·＝0也对．
(4)若O为△ABC的垂心，则tan
A·＋tan
B·＋tan
C·＝0.
1．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1
B．3∶2
C．3∶1
D．5∶3
答案 C
解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，
即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，
整理得＝＋，故选A.
3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．
答案
解析 根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，
即＝2x＋2y，
平方得2＝4x22＋4y22＋8xy|
|·||·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
所以|
|＝||＝||，
且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，
(x＋y)2＝＋xy≤＋2，
解得0当且仅当x＝y＝时取等号．
所以(x＋y)max＝.培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
例 (1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13
B．15
C．19
D．21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
A＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，
·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立．
∴·的最大值等于13.
(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________．
答案 5－2
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，
设P(2cos
θ，2sin
θ)，
则·＝(2－2cos
θ，－2sin
θ)·(－1－2cos
θ，－2sin
θ)＝5－2cos
θ－4sin
θ＝5－2sin(θ＋φ)，
其中0φ＝<，所以0<φ<，
当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2.
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．
1．在△ABC中，若A＝120°，A·＝－1，则||的最小值是________．
答案
解析 由·＝－1，得||·||·cos
120°＝－1，即||·||＝2，
所以||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
当且仅当||＝||＝时等号成立，
所以||min
＝.
2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
答案
解析 因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以·＝||·||·cos
120°＝－，
解得||＝1.
因为，同向，且BC＝6，
所以＝，即λ＝.
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
则BO＝AB·cos
60°＝，AO＝AB·sin
60°＝.
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1,0)，且－≤a≤.
又D，
所以＝，＝，
所以·＝a2－a＋＝2＋.
所以当a＝时，·取得最小值.
3．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________．
答案 －
解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，
则a＋b＝(－1，m＋n)，
故|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，
即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤，
所以a·b＝－2＋mn≤－，
当且仅当m＝n＝时等号成立，
所以a·b的最大值为－.
4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________．
答案 2
解析 在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，
所以||·||·cos
A＝－1，
所以cos
A＝－，所以A＝120°，
以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0,0)，B(2,0)，D.
设M，－≤x≤，
因为＝，＝，
所以·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋
＝(x－1)2－.
设f(x)＝(x－1)2－，因为x∈，
所以当x＝－时，f(x)取得最大值2.培优点11 向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝2－2.
变式：a·b＝－，a·b＝－.
如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2.
例 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
·＝4，
·＝－1，则·的值为________．
答案
解析 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，有·＝2－2＝9n2－m2＝4，
·＝2－2＝n2－m2＝－1.
联立解得n2＝，m2＝.
因此·＝2－2＝4n2－m2＝.
即·＝.
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，
·的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]．
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )
A．∠ABC＝90°
B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC
D．AC＝BC
答案 D
解析 如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.
根据向量的极化恒等式，
有·＝2－2，·＝2－2.
又·≥·，则|
|≥||恒成立，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.
2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
答案 2
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则·＝2－.
因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以·的最大值为2.(共18张PPT)
培优点8 向量共线定理的应用
专题二 三角函数与解三角形
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁.
√
解析 方法一 ∵B，P，N三点共线，
√
能力
提升
(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置.
跟踪演练
1
2
3
√
1
2
3
∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，
①
∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，
②
1
2
3
1
2
3
1
2
3(共18张PPT)
培优点9 平面向量数量积的最值问题
专题二 三角函数与解三角形
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化.
√
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
能力
提升
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
跟踪演练
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
1
2
3
4
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
1
2
3
4
1
2
3
4
3.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b
的最大值为________.
1
2
3
4
解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，
则a＋b＝(－1，m＋n)，
1
2
3
4
2
1
2
3
4
以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
1
2
3
4培优点7 三角函数中的范围、最值问题
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．
例1 (1)若函数y＝sin2x＋acos
x＋a－在上的最大值是1，则实数a的值为________．
答案
解析 y＝1－cos2x＋acos
x＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cos
x≤1.
①若>1，即a>2，则当cos
x＝1时，
ymax＝a＋a－＝1?a＝<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，
则当cos
x＝时，ymax＝＋a－＝1，
∴a＝或a＝－4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，则当cos
x＝0时，
ymax＝a－＝1?a＝>0(舍去)．
综上可得，a＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos
C＋b＝0，则tan
B的最大值是________．
答案
解析 在△ABC中，因为3acos
C＋b＝0，
所以C为钝角，
由正弦定理得3sin
Acos
C＋sin(A＋C)＝0，
3sin
Acos
C＋sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝0，
所以4sin
Acos
C＝－cos
A·sin
C，
即tan
C＝－4tan
A.
因为tan
A>0，
所以tan
B＝－tan(A＋C)＝－
＝＝＝
≤＝，
当且仅当tan
A＝时取等号，故tan
B的最大值是.
例2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos
x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 f(x)＝cos
x向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象，再将各点横坐标变为原来的(ω>0)得g(x)＝cos，
当x∈时，ωx－∈，
又此时g(x)的值域为，
∴0≤－≤，∴≤ω≤.
(2)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案
解析 方法一 将f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象，该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此－2φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝－－(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小正值为.
方法二 将f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象，令2x－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋＋φ(k∈Z)，此即为g(x)的对称轴方程，
又g(x)的图象关于y轴对称，所以有＋＋φ＝0，k∈Z，于是φ＝－－(k∈Z)，故当k＝－1时，φ取最小正值.
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f?＝0，则ω的最小值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 A
解析 函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
2．若函数f(x)＝2sin
x＋cos
x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin
2α的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan
φ＝，且φ∈，由－＋2kπ≤x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，得－－φ＋2kπ≤x≤－φ＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，增区间为，所以αmax＝－φ，所以当α取最大值时，sin
2α＝sin
2＝sin
2φ＝＝＝.
3．已知函数f(x)＝2sin中x在任意的个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．
答案 [10π，＋∞)
解析 由题意得T＝≤，∴ω≥10π，
∵ω>0，∴ω≥10π.
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________．
答案
解析 令ωx＋＝kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴解得≤ω<4，
令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴－＋≤x≤＋，k∈Z，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴?，
∴?0<ω≤，
综上得ω的取值范围是≤ω≤.(共21张PPT)
培优点7 三角函数中的范围、最值问题
专题二 三角函数与解三角形
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos
C＋b＝0，
则tan
B的最大值是________.
解析 在△ABC中，因为3acos
C＋b＝0，
所以C为钝角，
由正弦定理得3sin
Acos
C＋sin(A＋C)＝0，
3sin
Acos
C＋sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝0，
所以4sin
Acos
C＝－cos
A·sin
C，
即tan
C＝－4tan
A.
因为tan
A>0，
√
此即为g(x)的对称轴方程，
能力
提升
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等.
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象.
跟踪演练
1
2
3
4
√
2.若函数f(x)＝2sin
x＋cos
x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin
2α
的值等于
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
[10π，＋∞)
∴ω≥10π，
∵ω>0，∴ω≥10π.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4(共10张PPT)
培优点11 向量极化恒等式
专题二 三角函数与解三角形
解析 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，
的取值范围是________.
[0,2]
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，
当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，
能力
提升
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.
跟踪演练
1
2
√
1
2
解析 如图所示，取AB的中点E，
取BC的中点D，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.
根据向量的极化恒等式，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.
1
2
2
1
2
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
