(共25张PPT)
培优点20 抛物线的焦点弦问题
专题六 解析几何
直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目.
√
解析 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵M(1,4)，∴y1＋y2＝8，
∴kAB＝2，
代入y2＝2px，
得y2－py－p2＝0，
∴y1＋y2＝p＝8.
√
解析 不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝2m，|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
例2 已知抛物线C：y2＝8x，P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求△PMN的面积S的最小值.
因为y0≠y1，所以化简可得y0y1＝－16.
所以点M到直线PN的距离为
当且仅当y0＝4时，“＝”成立，
此时，△PMN的面积S取得最小值，为64.
能力
提升
设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
跟踪演练
1
2
3
4
√
1
2
3
4
方法一 联立直线方程与抛物线方程，
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析 记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则
1
2
3
4
√
1
2
3
4
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，
由题意可知直线AB的斜率一定存在，
所以设直线方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
代入抛物线方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得k＝2，故选D.
4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积为S1，S2.?
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
1
2
3
4
抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
1
2
3
4
1
2
3
4
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0，
与抛物线方程y2＝4x联立可得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设C(x3，y3)，由重心坐标公式可得，
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4(共17张PPT)
培优点18 隐圆问题
专题六 解析几何
隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题.
例1 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是
A.7
B.6
C.5
D.4
解析 如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，
所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，
由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，
√
所以m的最大值是6.
解析 由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，
则由|PA|＝2|PB|，得
√
(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
解析 如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，
过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，
能力
提升
发现隐圆的方法
(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.
(2)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.
(4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆.
跟踪演练
1
2
3
4
√
1
2
3
4
∴a2＋4≤8，∴－2≤a≤2.
1
2
3
4
(－∞，－2)∪(0，＋∞)
1
2
3
4
所以点M在以O为圆心，半径为2的圆上.
因为当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，
解得a<－2或a>0，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
1
2
3
4
1
2
3
4
解析 由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，
故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化简得(x－6)2＋y2＝36，
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，
4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0,2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，
可得x2＋(y－1)2＝4，
∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，
1
2
3
4
[0,3]
故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，培优点20 抛物线的焦点弦问题
直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．
例1 (1)(2020·石家庄模拟)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C′，若CC′的中点为M(1,4)，则p等于( )
A．4
B．8
C．4
D．8
答案 B
解析 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵M(1,4)，∴y1＋y2＝8，
又C，F，
∴kAB＝2，
∴直线AB：y＝2，
代入y2＝2px，
得y2－py－p2＝0，
∴y1＋y2＝p＝8.
(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4
B.
C．5
D．6
答案 B
解析 不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝2m，|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos
θ＝＝，所以tan
θ＝2.
则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.
由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式得|AB|＝＝.
例2 已知抛物线C：y2＝8x，P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求△PMN的面积S的最小值．
解 由题意知F(2,0)，设P(x0，y0)(y0>0)，M，
N，切线l的方程为x－x0＝t(y－y0)，
则＝，＝，
由M，F，P三点共线，可知∥，
即y0－y1＝0，
因为y0≠y1，所以化简可得y0y1＝－16.
由可得y2－8ty＋8ty0－8x0＝0，
因为直线l与抛物线相切，故Δ＝64t2－32ty0＋4y＝0，故t＝.
所以直线PN的方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y0x＋4y－4y0－＝0，
所以点M到直线PN的距离为
d＝，
将y1＝－代入可得
d＝＝，
联立消去x可得，
y0y2＋32y－y－32y0＝0，
所以y0＋y2＝－，y2＝－－y0，
|PN|＝|y0－y2|＝＝，
故S＝d|PN|
＝××
＝3＝3
≥3＝64，
当且仅当y0＝4时，“＝”成立，
此时，△PMN的面积S取得最小值，为64.
设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)＋＝.
(3)|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．
1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°
的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由已知得焦点为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程，
化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为d＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·d＝.
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°
的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则
cos∠ABB1＝＝
＝，
即cos
60°＝＝，
得＝.
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k等于( )
A.
B.
C.
D．2
答案 D
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，
由题意可知直线AB的斜率一定存在，
所以设直线方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
代入抛物线方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－16，
因为∠AMB＝90°，所以M·M＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，
解得k＝2，故选D.
4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解 (1)由题意可得＝1，则p＝2,2p＝4，
抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0，
与抛物线方程y2＝4x联立可得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
故x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
y1y2＝－×＝－4，
设C(x3，y3)，由重心坐标公式可得，
xG＝＝，
yG＝＝，
令yG＝0可得，y3＝－，则x3＝＝，
即xG＝＝，
由斜率公式可得，kAC＝＝＝，
直线AC的方程为y－y3＝(x－x3)，
令y＝0，可得xQ＝x3＋＝＋＝－，
故S1＝×(xG－xF)×y1＝××y1＝×，
且S2＝×(xQ－xG)×(－y3)
＝－，
由y3＝－，代入上式可得S2＝，
由y1＋y2＝，y1y2＝－4可得
y1－＝，则k＝，
则＝＝
＝2－
≥2－
＝1＋，
当且仅当y－8＝，即y＝8＋4，y1＝＋时等号成立，此时k＝＝，xG＝＝2，
则点G的坐标为(2,0)．培优点18 隐圆问题
隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
例1 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是( )
A．7
B．6
C．5
D．4
答案 B
解析 如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|PO|＝|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.
(2)在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________．
答案
解析 由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，
则由|PA|＝2|PB|，得
＝2，
即2＋y2＝，
因此圆2＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点，即
≤，解得－≤m≤1.
故m的取值范围为.
例2 (1)在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是( )
A．[0，]
B．[－5，1]
C．[－，]
D．[－2,0]
答案 B
解析 设P(x，y)，由·≤20可得
(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
联立解得或
结合图形(图略)可知－5≤x≤1.
(2)已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足·－2λ＋1＝0的点P恰有两个，则实数λ的取值范围是________．
答案
解析 如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则·－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有满足·－2λ＋1＝0的点P在以O为圆心，为半径的圆上．过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，所以|OM|<≤|OA|，即<≤1，解得<λ≤.
发现隐圆的方法
(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆．
(2)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．
(3)两定点A，B，动点P满足·＝λ，确定隐圆．
(4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆．
1．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为( )
A．[0，]
B．[－5，1]
C．[－，]
D．[－2,2]
答案 D
解析 由题意可知四边形PAOB为正方形，|OP|＝，
∴点P在以O为圆心，以为半径的圆上，
又P也在圆M上，∴|OM|≤2，
∴a2＋4≤8，∴－2≤a≤2.
2．已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且|AB|＝2，M为弦AB的中点，C(2，a)，D(2，a＋2)．当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为__________________．
答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析 由题意得|OM|＝＝2，所以点M在以O为圆心，半径为2的圆上．设CD的中点为N，则N(2，a＋1)，且|CD|＝2.因为当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，所以以O为圆心，半径为2的圆与以N(2，a＋1)为圆心，半径为1的圆外离，所以>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是______________．
答案
解析 由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，
则由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，
故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化简得(x－6)2＋y2＝36，
所以满足|PA|＝|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0,2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,3]
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，
可得x2＋(y－1)2＝4，
∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，
故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3.培优点19 离心率范围的求法
圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
例 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.
B.
C．2
D.
答案 B
解析 方法一 由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①
又|PF1|＝4|PF2|，②
故联立①②，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2，
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
当cos∠F1PF2＝－1时，解得e＝，
即e的最大值为，故选B.
方法二 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，
∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，
∵|F1F2|＝2c，∴a＋a≥2c，
∴≤，即双曲线的离心率e的最大值为.
(2)已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若∠F1PF2＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
答案
解析 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，∠F1PF2最大．
∵存在点P为椭圆上的一点，使得∠F1PF2＝120°，
∴在△P0F1F2中，∠F1P0F2≥120°，
∴在Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥60°，
∴≥，即≥3，即≥，∴≤e<1.
(3)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B
，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若<|k|<，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
解析 设F(c,0)，将x＝c代入椭圆的方程，
可得＋＝1，解得y＝±，∴B，
又∵A(－a,0)，∴直线AB的斜率为
k＝＝±＝±＝±(1－e)．
∵<|k|<，0解得∴椭圆C的离心率的取值范围是.
求离心率范围的常用方法
(1)利用椭圆、双曲线中a，b，c某个量的取值范围确定e；构造a，b，c的齐次不等式确定e.
(2)利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等)建立不等式(不等式组)，确定e.
1．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，
因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，
所以点A的坐标为，
又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
2．已知中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝5.若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是( )
A.
B.
C．(2,3)
D.
答案 C
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝5知，
2a－5＝2c?e1＝＝.
设双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，
同理，可得e2＝.
由e1＝∈知，2c∈，
故e2＝∈(2,3)．
3．已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A，B，若∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
答案
解析 设Q是椭圆的短轴的一个端点，则∠AQB≥∠APB＝120°，于是∠AQO≥60°，∴a≥b，即a2≥3(a2－c2)，∴≥，又04．(2020·济宁模拟)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q的坐标为且满足|F2Q|>|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|<|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是________________．
答案
解析 将x＝c代入双曲线的方程，得
y＝±b＝±，所以A，
由|F2Q|>|F2A|，得>，所以2<，
所以e＝＝<＝.
因为|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|≥2a＋|F2Q|，
又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|<|F1F2|成立，所以2a＋|F2Q|<|F1F2|，
即2a＋<×2c，解得e>，
又e>1，所以培优点19 离心率范围的求法
专题六 解析几何
圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
√
解析 方法一 由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
①
又|PF1|＝4|PF2|，
②
在△PF1F2中，由余弦定理，
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
方法二 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，
解析 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，∠F1PF2最大.
∵存在点P为椭圆上的一点，使得∠F1PF2＝120°，
∴在△P0F1F2中，∠F1P0F2≥120°，
∴在Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥60°，
解析 设F(c,0)，将x＝c代入椭圆的方程，
又∵A(－a,0)，∴直线AB的斜率为
能力
提升
求离心率范围的常用方法
(1)利用椭圆、双曲线中a，b，c某个量的取值范围确定e；构造a，b，c的齐次不等式确定e.
(2)利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等)建立不等式(不等式组)，确定e.
跟踪演练
1
2
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4
√
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3
4
根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
1
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√
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4
由|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝5知，
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解析 设Q是椭圆的短轴的一个端点，则∠AQB≥∠APB＝120°，
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解析 将x＝c代入双曲线的方程，得
因为|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|≥2a＋|F2Q|，
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