2021届高三理科数学二轮复习专练：参变分离法解决导数问题（Word含解析）

2021届高三一轮复习题型专题训练
《参变分离法解决导数问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若函数在上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数为增函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．若对任意，恒成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，对于，且，恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是___
14．已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围______.
15．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________．
16．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为_______
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，，实数的取值范围．
21．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
22．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，，都有，求实数的取值范围.
《参变分离法解决导数问题》解析
1.【解析】由题意可知，存在，使得，则.
，则，
当时，，所以，函数在区间上单调递增，则，，因此，实数的取值范围是.
故选：B.
2.【解析】∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，故选：A.
3.【解析】由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.故选：B
4.【解析】由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，故选：A.
5.【解析】当时，，则，
所以，函数在上单调递增，，
由题意可知，使得，即，
令，其中，则，，令，得，
列表如下：
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数的最大值为，，
又，，因此，实数的取值范围是.故选：C.
6.【解析】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，
故关于x的方程有两个不同的解，
令，则，当时，
，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当时，；当时，，
且，故，
即.故选：B.
7.【解析】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，
则对任意的恒成立，，
令，其中，则.
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为，.
因此，实数的取值范围是.故选：D.
8.【解析】由，当时，，令，则，由，得；由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.当时，，，，；
当时，，令，则，所以.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
9.【解析】∵函数为增函数，
∴，化为，
令，则，
当时，，当时，，
可得时，函数取得极大值即最大值，，
∴.∴a的取值范围是.故选：A.
10.【解析】设，则对任意恒成立，
设，则，且，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
所以的最小值为，即的最小值为，
所以.故选：C．
11.【解析】由对任意，不等式恒成立，
得对任意恒成立，
即对任意恒成立．
因为，所以．
令，则，
显然当时，，单调递减；
当时，单调递增．
所以，故，解得．
或：令，则由知，不等式可化为，故当时，恒成立，
即当时，恒成立．
令，则，
显然当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，故，解得．故选：C.
12.【解析】不妨设，由可得，
即．设函数，则函数在上单调递减，可知，即有，而函数在单调递增，，可知实数.故选：D.
13.【解析】当时，，显然恒成立，此时；
当时，等价于；
当，等价于.
构造函数，求导得，
当时，，此时函数单调递减，且，只需，即可满足恒成立；
当时，，此时函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以在上的最小值为，只需，即可满足恒成立.综上，实数需满足，即.故答案为：.
14.【解析】因为，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立.
令，则只需即可，
则，再令，
则，所以在上单调递增，
因为，，
所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
即，
设，则，
所以函数在上单调递增，因为，
所以，即，，
所以，则有，
所以实数的取值范围为.
15.【解析】由题意，不等式可化为，
当时，恒成立；
当时，不等式可化为，
令，，则，
求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
综上所述，实数a的取值范围是.
16.【解析】由于函数，
恒成立，即有为上的增函数，
对于任意的，，不等式恒成立，
在，恒成立，
，，在，恒成立．
设，，，
则，，
当，时，．
在，上是增函数，（4）．
综上知符合条件的的取值范围是．
17.【解析】（1）
，，
令，则或，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
（2）原不等式化为：在上恒成立，
设，，
，令，则，
所以在上单调递增，，所以，
则函数在上单调递增，且，.
18.【解析】（1），
令，得，令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，，
，令，，
，所以在单调递增，即，
在上恒有恒成立，
所以在单调递增，所以，所以.
19.【解析】（1）函数的定义域为，
当时，，，
当，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故当时，取极大值，无极小值．
（2），由可得
则原问题等价于在上恒成立，
令，求导得
令，求导得
在是减函数，，
据此可得成立，
在是减函数，，
，即,参数的取值范围是
20.【解析】（1），
令，得，．
当时，恒成立，且仅在时取等号，故在上单调递减；
当时，在区间和上，在区间上，所以的单调递减区间为，，的单调递增区间为；
当时，在区间
，上，在区间上．
所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（2）当时，由题意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
设，则，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，，
∴实数的取值范围是．
21.【解析】（1）时，，∴，
∴，又，
∴在点处的切线斜率，
∴所求切线方程为，即.
（2）∵，，∴，
∴，，∴，
依题意，，令，.
由，得.∴时，，∴在上为增函数.
∴.∴.
22.【解析】（1）当时，，
则，
所以曲线在处的切线斜率为，
又，
因此曲线在处的切线方程为，
即；
（2）因为，，都有，
所以在上单调递增，因此在上恒成立；
因为，
因此只需在上恒成立；
即在上恒成立，令，，
则，
令，，
则，
因为，所以，即在上恒成立，
所以在上单调递增，因此，
所以在上恒成立，
因此在上单调递增，所以；
，
所以，因此只需，即实数的取值范围是.
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