2021届高三理科数学二轮复习专练：构造函数解决导数问题（WORD含解析）

《构造函数解决导数问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设是定义在的奇函数，其导函数为，当时，，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是定义在上的奇函数，且时，又，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的定义域为，为的导函数.若，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
9．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．(0，2020]
D．(1，2020]
10．奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
11．函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______．
14．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为____
15．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是________．
16．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为___
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）对于任意均有恒成立，求的取值范围.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，是方程的两个不同实根，证明：.
19．设函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，都有成立，试求的取值范围.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，且，求的最大值.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数，当且，求证：.
22．已知函数．
（1）若的极小值为，求实数的值；
（2）若，求证：．
《构造函数解决导数问题》专练解析
1.【解析】令，
所以，故在上单调递增，
又，所以当时，，即，
所以的解集为：，故选：D．
2.【解析】令，则，
∵，，∴，即，
∴在上是减函数，
∴可化为：
，
∴，即，解得，
所以不等式的解集为.故选：A
3.【解析】令，，
当时，，
所以在上为单调递减函数，
又是定义在的奇函数，所以为偶函数，
在上为单调递增函数，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递减函数，所以，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递增函数，所以，
综上所述：关于的不等式的解集为.
故选：B
4.【解析】令，则，
所以在R上单调递增．因为，所以不等式，可变形得，即，所以，解得．故选：D
5.【解析】由题可知，当时，
令，，
则，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，则，
所以，
得也是定义在上的奇函数，
所以在和上单调递增，
又，则，所以，
所以可知时，解得：或，
则，即，即，
所以的解集为：，
即的解集为.故选：D.
6.【解析】设，所以，
因为，所以，
所以在上单调递减，且，
又因为等价于，
所以解集为，故选：C.
7.【解析】设，则.
∵，∴，即函数在定义域上单调递减.
∵，∴，
∴不等式等价于，
即，解得.故不等式的解集为.故选A.
8.【解析】设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，故选：B．
9.【解析】构造，则
，
所以为单调递增函数，又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，
故选：A．
10.【解析】令，则，函数是定义域当(内的单调递减函数，由于关于的不等式可化为，即，则；而当时，，则关于的不等式可化为，即，也即可得，即．所以原不等式的解集，应选答案D．
11.【解析】设，则，
∵当时，恒成立，即，
∴，即在上单调递减.
又函数是奇函数，∴，
∴函数为偶函数，在上单调递增.
∵，∴.
∴当或时，；
当或时，.
不等式等价于或，∴或.
∴不等式的解集为.故选：A.
12.【解析】∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；，则在上恒成立；∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上为增函数；∴；∴；∴.
∴的取值范围是.故选：C.
13.【解析】因为，
所以，
令，则，所以为奇函数．
又因为当时，，
所以在上单调递减，即在上单调递减．而不等式
，所以，所以．故答案为：
14.【解析】和分别是定义在上的奇函数和偶函数
当时，
当时，，
令，则在上单调递减
，为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数在单调递增，
（2）（2）
图象如图，由图可知，的范围为
15.【解析】构造函数，则，依题意知，即在上是减函数.又因为，所以，所以的解为，即即的解为，所以的解为，即，即解集是.
16.【解析】设，不等式的解等价于不等式的解，因为，
所以在R上单调递增，又，
所以，所以，所以原不等式的解集为
17.【解析】（1），
时，，所以的单调增区间是；
时，令，解得（舍去），所以时，，
时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是；
（2）由可得，
只需证明当时，恒成立，等价于，
令，则，设，
对称轴，
故有.
记，，
所以在单调递增，且.故有，于是恒成立.
由此.
18.【解析】（1）解：因为，所以.
①当时，在上恒成立，故在上单调递减.
②当时，由得；由得.
即在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：因为，所以，，
即.
设，则，
故在上单调递减，在上单调递增.
由题意不妨设，欲证，只需证.
又，，在上单调递增.
故只需证.
因为，所以只需证对任意的恒成立即可，即.
整理得，
即.
设，，
则.
因为，所以，所以，所以在上单调递减，则.所以成立.
19.【解析】（1）函数的定义域为，
当
时，，所以函数
在
上单调递增；
当
时，当
时，
则
，函数单调递增，当时，
，函数单调递减，
所以时，函数在
单调递减，在上递增；
（2）由已知得，所以当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，所以函数在上的最大值为1，
依题意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，
令，则，有，
当时，，，，即在上单调递增，
当时，，，所以在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，
故，即实数a的取值范围是.
20.【解析】（1）由题意，，，
设，，
①当，即时，，，
在上单调递增；
②当，即或时，
i）当时，，，在上单调递增；
ii）当时，令，则或，
令，则；令，则或；
在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，在上递增；
当时，在上递减，
在和上递增；
（2）由（1）得当时，在上递增，不合题意；
，不妨设，
则在上递减，，是方程的两个不相等实数根，
，，
因为，所以或（舍去），
则
，，
令，则，，所以，在上递减，，
当时，取最大值．
21.【解析】（1）函数.
函数定义域为，
当时，可知，所以在单调递增；
当时，令，解得，
所以当时，；当时；
故此时单调增区间为；单调减区间为；
综上所述：当时在递增；
当时增区间为；减区间为.
（2）证明：将代入函数解析式可得，，定义域为，
要证，即证，
①当时，，，不等式显然成立，
②当时，，结合已知可得，，
于是转化为，即证，
令，则，
令，则，且在上单调递增，
∵，，存在使得，即，∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，故，得证.
22.【解析】（1）由题意，的定义域为，
且，
由得，由得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴的极小值为，
令，得，
∵，∴，解得．
（2）当时，，
设，
则，
则，
设，
则，
设，则，
由可得，由可得，
即在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
∴在上单调递增．
∵，，∴存在唯一的零点，且．
由，得，
当时，
，即，
当时，
，即，
∴
，
易得在区间上单调递减，故，
∴，即．
2
2