第02讲
函数的奇偶性单调性周期性综合
A组
一、选择题
1．（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则．故选B．
2．（2018年全国卷Ⅱ理科）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（
）
A．
B．0
C．2
D．50
【答案】C
【解析】是定义域为的奇函数，且
；是周期函数，且一个周期为4
，
，故选C．
3．(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.
4．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故选A.
5．定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（
）
A.336
B.337
C.1676
D.2017
【答案】B
【解析】[]
函数的周期,所以，，，，，即，，所以，故选B.
6．已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，
则（
）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】B
【解析】
是定义在上的周期为的奇函数，所以，故选B.
7．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（
）
A．10个
B．9个
C．8个
D．1个
【答案】A
【解析】
作图如下，由图可得函数的图象与函数的图象的交点共有，故选A.
8．已知函数的定义域为.当时，
；当
时，；当时，
，则=（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．2
【答案】D
【解析】
因为当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．
9．已知定义在上的函数满足，，则（
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
10．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，的周期为，因此
，故选A．
11．定义在上的函数满足时，，则的值为（
）
A.-2
B.0
C.2
D.8
【答案】A
【解析】由已知可得的周期，故选A.
12．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
当时,,所以选A.
13．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．-12
B．-16
C．-20
D．0
【答案】A
【解析】
，，又，所以.
14．已知定义在上的奇函数满足，且，则（
）
A．0
B．-1
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
因为，则，所以函数的周期为．，，则，又函数为奇函数且，所以，，所以，选B．
二、填空题
15．（2019全国Ⅱ理）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】
【解析】，得，.
16．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
【答案】1
【解析】
在条件中，令，得，
，又令，
得，
17．定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是
.
【答案】或
【解析】
由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，∵，∴，∴，即，解得.
18．已知是定义在R上的函数，且满足：，，则的值为
；
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，
于是，
所以，故是以8为周期的周期函数，
从而；
19．对于函数,给出下列命题：①
在同一直角坐标系中,
函数与的图象关于直线对称；
②若,则函数的图象关于直线对称；
③若,则函数是周期函数；
④若,则函数的图象关于对称.
其中所有正确命题的序号是
．
【答案】③④
【解析】
很明显①不满足题意；②不满足题意；③由可得知周期为的周期函数；④由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意．故③④正确．
20．（2019北京理）设函数
(a为常数)，若为奇函数,则a=______；
若是上的增函数，则a的取值范围是
________.
【答案】
【解析】①根据题意，函数，?
若为奇函数，则，即
，所以对恒成立.又，所以.?
②函数，导数.
若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a≤0，即a的取值范围为.
21．有下列4个命题:
①若函数定义域为R,则是奇函数;
②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于对称;
③已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;
④若是定义在R上的奇函数,
也是奇函数,则是以4为周期的周期函数．
其中,正确命题是
（把所有正确结论的序号都填上）．
【答案】①④
【解析】
①所以函数是是奇函数，②若图像关于对称则应有，由可得所以不一定成立，③值的取法应该是任意的，④因为是定义在R上的奇函数,
也是奇函数,
所以由可得，将代入可得即，所以是以4为周期的周期函数；故填①④．
22.（2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是
.
【答案】
解析
作出函数与的图像如图所示，
由图可知，函数与仅有2个实数根；
要使关于x的方程有8个不同的实数根，
则，与，的图象有2个不同交点，
由到直线的距离为1，得，解得，
因为两点，连线的斜率，所以，
即的取值范围为.
三、解答题
23．已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式．
【解析】
（1）由得，
由，得，
因为，所以，
解得，由，得．
所以实数的取值范围是．
（2）依题意得，当时，，因此.
B组
一、选择题
1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（
）
A．
B．
[]
C．
D．
【答案】A
【解析】
的图象关于点对称，则关于原点对称.
当时恒有即函数的周期为.所以.
2．已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
定义在上的函数的图像关于轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数满足，所以该函数的周期是2，，，的若当时，则,故选D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，，则下列结论不正确的是（
）
A.函数的最小正周期为
B.
C.
D.函数在区间上单调递减
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，可得函数的最小正周期为，A正确；，C正确；而，B错；故选B.
4．函数对于任意实数满足条件，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得,，则，那么故选D．
5．若是R上周期为5的奇函数，且满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，得，则；故选A．
6．已知定义在实数集上的函数满足：①
；②；③当时，，则、、满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由可得,即函数是周期为的周期函数且函数在区间上是单调递增,由题设可得,故应选D．
7．函数的定义域为，以下命题正确的是（
）
①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；
②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；
③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】
【解析】①正确，因为函数与关于轴对称，而和都是与向右平移1个单位得到的，所以关于直线对称；②正确，因为函数关于点成中心对称，所以，而，所以，即，又根据，可得函数的周期,又有，所以，所以函数关于直线对称；③正确，因为，所以函数关于点对称，而函数是函数向左平移3个单位得到，所以函数是奇函数.故3个命题都正确，故选D.
8．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（
）
A．函数是周期函数，且周期T=3
B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称
D．函数是偶函数
【答案】B
【解析】对于A：∵∴函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到，∴函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，∴对于任意的都成立，令，则，∴函数是偶函数，D对．故选：B．
9．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是（
）
A．②③
B.
①②
C．①③
D.
①②③
【答案】D
【解析】由可得，用代替可得，联立可得，所以是以为最小正周期的函数，所以是它的一个周期；在中用代替可得，所以其图象关于直线对称；
10．已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（
）
A．0
B．-16
C．-8
D．-4
【答案】D
【解析】因为的图象关于点对称，所以函数的图像关于点对称，即函数是奇函数，令，得，
即，解得，
即，等价于，所以函数的周期,那么，故选D.
二、填空题
11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
【答案】
【解析】分析：且，
又时，是增函数，是偶函数，，故
12．已知，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为
.（填序号）
【答案】①②③④
【解析】利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件可以探讨各命题是否正确．因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,①对.因为的图象向右平移个单位，可得的图象，将的图象关于轴对称得的图象，然后将其图象向右平移个单位得的图象，所以的图象关于直线对称,②对．因为，所以，因为为偶函数，，所以，所以的图象自身关于直线对称,③对．因为为奇函数，且，所以，故的图象自身关于直线对称,④对．
13．设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是____________．
【答案】
【解析】因为
所以的周期
三、解答题
14．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
【解析】（1），，是周期为的周期函数．
（2）当时，，由已知得．
又是奇函数，，，
又当时，，，
又是周期为的周期函数，，
从而求得时，．
（3），又是周期为的周期函数，[]
又，
．
C组
一、选择题
1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以．
2．定义在上的函数满足下列三个条件：
①；
②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（
）[来源:学
科
网]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先由，得函数周期为6，得到；再利用的图象关于轴对称得到的图象关于轴对称，进而得到；最后利用条件（2）得出
因为，所以；
即函数周期为6，故；
又因为的图象关于y轴对称，所以的图象关于x=3对称，
所以；
又对任意，都有；所以．故选D．
3．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，∴，则
∴是周期为3的周期函数．则，,
∵函数的图象关于点成中心对称，∴，
∵,∴，∴．故选：B．
4．已知定义在上的函数的图象关于点对称,
且满足,又,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由得，又，
，，的图象关于点对称，所以
，由可得
，故选D.
5．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．
6．定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不妨取的解集为，故选C.
7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（
）
A．①，②
B．②，③
C．①，④
D．①，②，③，④
【答案】C
【解析】由当时，有知当时有正周期，又为定义在上的偶函数，且当时，，所以，所以①正确，排除B；若函数在定义域上是周期为的函数，则，同时因为当时，有，所以，显然矛盾，所以②错误，这样就排除A,D；综上故选C.
8．函数是定义在上周期为的奇函数,
若,则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，故选B.
二、填空题
9．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：
①2是函数的一个周期；
②函数在上单调递减，在上单调递增；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④当时，．
其中，正确结论的序号是
．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】,当时，单调递增；根据函数是定义在上的偶函数得当时，单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以函数的最大值是1，最小值是；当时，；综上正确结论的序号是①②④[]
10．已知是定义在实数集上的函数，且,则
．
【答案】
【解析】，
．
三、解答题
11．已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．
函数在上为减函数.
若，则，∴，
∴，∴成立．
若，则，∴．
∴，∴成立．
综上，对任意，当时，有恒成立
（2）依题意可知，得，
解得，故所求实数的取值范围是.
1第02讲
函数的奇偶性单调性周期性综合
A组
一、选择题[]
1．（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．（2018年全国卷Ⅱ理科）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（
）
A．
B．0
C．2
D．50
3．(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
4．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
5．定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（
）
A.336
B.337
C.1676
D.2017
6．已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，
则（
）
A．1
B．-1
C．
D．
7．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（
）
A．10个
B．9个
C．8个
D．1个
8．已知函数的定义域为.当时，
；当
时，；当时，
，则=（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．2
9．已知定义在上的函数满足，，则（
)
A．
B．
C．
D．
10．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．定义在上的函数满足时，，则的值为（
）
A.-2
B.0
C.2
D.8
12．已知函数的定义域为,当时,,
当时,,
当时,,
则（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．-12
B．-16
C．-20
D．0
14．已知定义在上的奇函数满足，且，则（
）
A．0
B．-1
C．1
D．2
二、填空题
15．（2019全国Ⅱ理）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
16．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
17．定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是
.
18．已知是定义在R上的函数，且满足：，，则的值为
；
19．对于函数,给出下列命题：①
在同一直角坐标系中,
函数与的图象关于直线对称；
②若,则函数的图象关于直线对称；
③若,则函数是周期函数；
④若,则函数的图象关于对称.
其中所有正确命题的序号是
．
20．（2019北京理）设函数
(a为常数)，若为奇函数,则a=______；
若是上的增函数，则a的取值范围是
________.
21．有下列4个命题:
①若函数定义域为R,则是奇函数;
②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于对称;[]
③已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;
④若是定义在R上的奇函数,
也是奇函数,则是以4为周期的周期函数．
其中,正确命题是
（把所有正确结论的序号都填上）．
22.（2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是
.
三、解答题
23．已知函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式．
B组
一、选择题
1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，，则下列结论不正确的是（
）
A.函数的最小正周期为
B.
C.
D.函数在区间上单调递减
4．函数对于任意实数满足条件，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．若是R上周期为5的奇函数，且满足（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知定义在实数集上的函数满足：①
；②；③当时，，则、、满足（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的定义域为，以下命题正确的是（
）
①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；
②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；
③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
8．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（
）
A．函数是周期函数，且周期T=3
B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称
D．函数是偶函数
9．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是（
）
A．②③
B.
①②
C．①③
D.
①②③
10．已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（
）
A．0
B．-16
C．-8
D．-4
二、填空题
11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
12．已知，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为
.（填序号）
13．设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是____________．
三、解答题
14．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
[]
C组
一、选择题
1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．定义在上的函数满足下列三个条件：
①；
②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
[来源:学
科
网]
3．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在上的函数的图象关于点对称,
且满足,又,则（
）
A．
B．
C．
D．
5．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（
）
A．
B．
C．
D．
[]
6．定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（
）
A．①，②
B．②，③
C．①，④
D．①，②，③，④
8．函数是定义在上周期为的奇函数,
若,则有（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：
①2是函数的一个周期；
②函数在上单调递减，在上单调递增；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④当时，．
其中，正确结论的序号是
．（请写出所有正确结论的序号）
10．已知是定义在实数集上的函数，且,则
．
三、解答题
11．已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求实数的取值范围．
9
