第22讲
平面向量综合问题
A组
一、选择题
1.在中，已知是边上一点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知，，，若P点是ΔABC所在平面内一点，且，的最大值等于(
)
A．13
B．15
C．19
D．21
4.
如图，在四边形ABCD中，
，则的值为（
）
A.2
B.
C.4
D.
二、填空题
5.
如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为
．
6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
三、解答题
7.
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值
8.已知向量满足条件，，求证：是正三角形
9..已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.
10.
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，
.
若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c
=
2，角C
=
，求ΔABC的面积
.
11.在中，，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
B组
一、选择题
1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为（）
A.(2,14)
B.(2,-
)
C.(-2,
)
D.(2,8)
3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、填空题
5.
如图，在中，是边上一点，则.
6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则
，
.
图2
三、解答题
7.已知点是
且试用
8.已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求及的值。
9.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,
=,且满足||+||=4.
⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.
⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为
=(1,1)
的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
10.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
11.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
求关于θ的表达式;
求的值域。
C组
一、选择题
1.
在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9
(B)
6
(C)
4
(D)
3
3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是
(
)
A．三角形区域
B．四边形区域
C．五边形区域
D．六边形区域
4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
(
)
A.重心
外心
垂心
B.重心
外心
内心
C.外心
重心
垂心
D.外心
重心
内心
二、填空题
5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________．
三、解答题
7.已知向量m＝(sin
x，cos
x)，n＝(，)，x∈R，函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最大值；
(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－)，求角C的大小．
8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cos
B,2cos2－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值．
9.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.
(1)求|－|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．
10.已知向量＝(cos
x，sin
x),
＝，定义函数f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当⊥时，求锐角x的值．
11．已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos
φ的值．
4第22讲
平面向量综合问题
A组
一、选择题
1.在中，已知是边上一点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
解析：在?ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则?，∴??=，
2.
设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
解析,若函数
的图象是一条直线，即其二次项系数为0，
0
3.
已知，，，若P点是ΔABC所在平面内一点，且，的最大值等于(
)
A．13
B．15
C．19
D．21
解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则B，C，＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以，，因此因为
所以的最大值等于13，当，即时取等号．
4.
如图，在四边形ABCD中，
，则的值为（
）
A.2
B.
C.4
D.
解析：
二、填空题
5.
如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为
．
解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，
6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
解析
设
，即
∴
三、解答题
7.
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值
解:
(1)
由
得
(2)
8.已知向量满足条件，，求证：是正三角形
解：令O为坐标原点，可设
由，即
(
①
)
(
②
)
两式平方和为，，
由此可知的最小正角为，即与的夹角为，
同理可得与的夹角为，与的夹角为，
这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.
9..已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.
解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，
=－=(－1－x,－y）,
=(1－x,－y),
=－=(2,0),∴·=2(1+x),
·=x2+y2－1,
=2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0)
10.
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，
.
若//，求证：ΔABC为等腰三角形；
若⊥，边长c
=
2，角C
=
，求ΔABC的面积
.
证明：（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，
为等腰三角形
解（2）由题意可知
由余弦定理可知，
11.在中，，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
解
(1)由余弦定理知：，又，
所以，又即为的取值范围；
（Ⅱ），因为
，所以，因此，.
B组
一、选择题
1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（
）
A．
B．
C．
D．
解．把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)=
，选C。
2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b为（）
A.(2,14)
B.(2,-
)
C.(-2,
)
D.(2,8)
解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,结合图形可知选B
3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.
4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【解析】解法一：??
（1）
若A为直角，则；
（2）
若B为直角，则；
（3）
若C为直角，则。
所以
k
的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以
k
的可能值个数是2，选B
二、填空题
5.
如图，在中，是边上一点，则.
【分析】法一：由余弦定理得可得，
又夹角大小为，，
所以.
法二：根据向量的加减法法则有:
,此时
.
6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则
，
.
图2
解析
作,设，,
由解得故
三、解答题
7.已知点是
且试用
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
8.已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求及的值。
（I）解；
得到的单调递增区间为
（II）
9.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,
=,且满足||+||=4.
⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.
⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为
=(1,1)
的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1)
=,
||=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为
(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m,
=
因此，
当时，即m=时，
10.已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解
（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，则，
11.如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
求关于θ的表达式;
求的值域。
解：（1）由正弦定理，得
（2）由，得
∴，即的值域为.
C组
一、选择题
1.
在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：
，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.
2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9
(B)
6
(C)
4
(D)
3
解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为△ABC的重心，∴
A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，
∴
|FA|+|FB|+|FC|=，选B。
3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是
(
)
A．三角形区域
B．四边形区域
C．五边形区域
D．六边形区域
解析
本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.
属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，
即点P可以是点A.
4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
(
)
A.重心
外心
垂心
B.重心
外心
内心
C.外心
重心
垂心
D.外心
重心
内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析
二、填空题
5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
解析 设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.
6.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________．
解析 因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos
120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.
三、解答题
7.已知向量m＝(sin
x，cos
x)，n＝(，)，x∈R，函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最大值；
(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－)，求角C的大小．
解 (1)f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin(x＋)，
所以f(x)的最大值为.
(2)因为b＝2af(A－)，由(1)和正弦定理，得sin
B＝2sin2A.
又B＝2A，所以sin
2A＝2sin2A，即sin
Acos
A＝sin2A，
而A是三角形的内角，所以sin
A≠0，故cos
A＝sin
A，tan
A＝，
所以A＝，B＝2A＝，C＝π－A－B＝.
8.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cos
B,2cos2－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值．
解 (1)∵m＝(cos
B，cos
C)，n＝(2a－b，c)，m∥n，
∴ccos
B＝(2a－b)cos
C，∴sin
Ccos
B＝(2sin
A－sin
B)cos
C，
sin
A＝2sin
Acos
C，∴cos
C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴a2＋b2－ab＝12，①
∵S△ABC＝absin
C＝2，∴ab＝8，②
由①②得或.
9.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.
(1)求|－|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．
解 (1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.
又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|－|＝||＝14.
(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.
由余弦定理，得cos
A＝＝.
由x＝＋t，y＝t＋，
知k＝x·y＝(＋t)·(t＋)＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.
10.已知向量＝(cos
x，sin
x),
＝，定义函数f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当⊥时，求锐角x的值．
解析：(1)f(x)＝－sin
xcos
x＋sin
2x＝－
＝－sin，
∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当⊥时，f(x)＝0，即－sin＝0,
sin＝，
又<2x＋＜，故2x＋＝，故x＝.
11．已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos
φ的值．
解析：(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin
θ－2cos
θ＝0，即sin
θ＝2cos
θ，代入sin2
θ＋cos2
θ＝1得sin
θ＝±，cos
θ＝±，
又θ∈，∴sin
θ＝，cos
θ＝.
(2)∵0＜φ＜，0＜θ＜，∴－＜θ－φ＜.
∴cos(θ－φ)＝＝.
∴cos
φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos
θcos(θ－φ)＋sin
θsin(θ－φ)＝×＋×＝.
1
