第23讲
平面向量选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
．
若点为边上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形中，，，
所以，，，设,，
所以，，
因为，所以，
即，解得，即，
因为在上，所以，由，得，即，
因为，，
所以
，令，．
因为函数在
上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．
2．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，
所以，
当时，所求的最小值为，故选B。
3．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
A．I１B．I１C．I３D．I２【答案】C
【解析】因为，所以，选C.
4．在中，，，，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，，（，），则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，，三点共线可得存在实数使得，同理由，，三点共线可得存在实数使得，∴，解得，∴，设，则，即，即，故，即的最小值为，故选：D．
5．已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，∴，则
.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，∴，故选：D.
6．设向量，，且，，则的值等于（
）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【解析】因为,，所以，即，所以，，
，，故选C.
7．如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为（
）
A．-1
B．0
C.
1
D．2
【答案】B
【解析】设,以所在直线为轴,建立直角坐标系,可得,直线的方程为,由于与共线,在的角平分线上,可得所在直线方程是,设与共线得的纵坐标为,将代入直线方程,得,可得直线的方程为,再令得,可得点坐标为,故选B.
8．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为为正方形的中心,所以为的中点,又,所以在线段上,平面与交于,即的延长线与交于,在平面中,取的中点,连接,则,所以相似于,相似比为,因此,又,,所以,,故选A.
9．由点向圆：引两条切线，切点为，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，则，，，，所以的最小值是.
10．在△中，，，是边上的一点，且，则的值为（
）
A．0
B．4
C．8
D．
【答案】B
【解析】，
,故选B.
11．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】甴已知易得．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B．
二、填空题
12.（2019天津卷理）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则
.
【答案】
解析
因为，，，所以在等腰三角形中，，
又，所以，所以.
因为，所以.又，
所以
.
13．
，则
【答案】
【解析】
,则
14．已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______.
【答案】4，
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
15．已知点，，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为
．
【答案】．
【解析】由题意可知，问题等价于以为直径的圆与圆有交点，故以为直径的圆：，而圆化为标准方程：，圆心距为，
∴，即实数的最小值是，故填：．
16．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则__________．
【答案】
【解析】依题意有，故.
17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.
【答案】最小值为0，最大值为．
解析：正方形ABCD的边长为1，可得，，，
,
由于2，3，4，5，取遍，可得，，
可取，可得所求最小值为0；
由，，
可取可得所求最大值为．
B组
一、选择题
1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=
+，则+的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．2
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是
，若满足
即
，
，所以，设
，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即
，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
2．.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由题意得：，所以，.设点，
所以由可得：，即.
由双曲
线的第二定义可得：，所以，所以，所以
，故应选.
3．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，由，解得，，
由，得，，点在圆上，因此
，解得．故选D．
4．如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得
，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.
5．在矩形中，点为的中点，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
.
6．如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分三种情况讨论：①当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；②当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；③当在阴影部分内（含边界），则，故选C．
7．在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．
【解析】设,因为
所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图：
在中，,,,由正弦定理,解得,
,
,,所以,故选B.
二、填空题
8．已知是的中线，，，则的最小值是
.
【答案】
【解析】，，．
9．如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是
．
【答案】
【解析】由已知，.
C组
一、选择题
1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则，当P在CD边上时，设，则；当P在AB边上时，设，则；当P在BC边上时，设，则；当P在AD边上时，设，则；因此实数的取值范围是，选D.
2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（
）
A.
1:2:3
B.
1:4:9
C.
6:1:2
D.
3:1:2
【答案】D
【解析】取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，
由，得，∴，
即；
同理得，∴，；
∴，；∴P到BC的距离等于A到BC距离的，
设的面积为S，则；∴P到AC的距离等于B到AC距离的，
∴，，∴.故选D.
3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设,因,且,故，所以，
,故应选B.
4．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】．A
【解析】
由题意，
f（x）=（0，-5）?（x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），
所表示的平面区域如图所示
由，可得y=，所以f(m)=-5×=-5(1-)=-5+，
由于m≥2，所以当m=2时，f(m)max=，故选A．
5．设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】．C
【解析】试题分析：由条件，∵是的重心，则有，即，而.
6．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.4
【答案】A
【解析】如图令，由于故,,
如图，AB=1，故，,故，同理可求得，所以，
所以的最大值为2.
二、填空题
7．在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，依题意得，，设，依题意，即，，两式相减得，，.
8．在中，，，设交于点，且，，则的值为
．
【答案】．
【解析】由题设可得,即,
也即,所以,解之得,故,第2页，总17页
试卷第14页，总14页
答案第14页，总15页第23讲
平面向量选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
．
若点为边上的动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
3．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
A．I１B．I１C．I３D．I２4．在中，，，，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，，（，），则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设向量，，且，，则的值等于（
）
A．1
B．
C．
D．0
7．如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为（
）
A．-1
B．0
C.
1
D．2
8．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．由点向圆：引两条切线，切点为，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．在△中，，，是边上的一点，且，则的值为（
）
A．0
B．4
C．8
D．
11．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（
）
A．
B．
C.
D．
二、填空题
12.（2019天津卷理）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则
.
13．
，则
14．已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______.
15．已知点，，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为
．
16．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则__________．
17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.
B组
一、选择题
1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=
+，则+的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．2
2．.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（
）
A．2
B．
C．3
D．
3．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则
A．
B．
C．
D．
4．如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
5．在矩形中，点为的中点，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．已知是的中线，，，则的最小值是
.
9．如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是
．
.
C组
一、选择题
1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（
）
A.
1:2:3
B.
1:4:9
C.
6:1:2
D.
3:1:2
3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
5．设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.4
二、填空题
7．在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是__________．
8．在中，，，设交于点，且，，则的值为
．
答案第14页，总15页
答案第2页，总6页
