第24讲以平面向量为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知在平面四边形中，
，，,，，点为边上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，
过点作轴，过点作轴，
∵，，，，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，，，
设，∴，，，∴，
当时，取得最小值为，故选C.
2．已知平面向量满足，则最大值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，
与所成夹角为，则：
，则向量的夹角为60°，
设，则，故：，设O到BC的距离为，
则，由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，
A到BC的距离的最大值为，
则△ABC的面积的最大值为：
故最大值为本题选择D选项.
3．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为点的坐标分别是和所以
又由点P在线段AB上，且
所以
则?，当t=0时候取最大为.故选A.
4．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（
）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
【答案】C
【解析】||=
只考虑x>0，则===?2，当且仅当=?时取等号。∴的最大值等于2.故答案为：2.
5．若向量，且，则的最大值是
A．
1
B．
C．
D．
3
【答案】D
【解析】
,选D.
6．已知在三角形中，
，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】有题可知.
建立如图所示的坐标系，有点.
设，则.
所以
.
因为点到边的距离，所以的面积为定值.
所以，故，故选C.
7．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，，，则.
设
，则，故，故选A.
8．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设与的夹角为θ，因为，所以，
本题选择B选项.
9．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（
）
A．
3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵是半径为1的圆上三点，
，
∴根据余弦定理可知边所对的圆心角为60°则∠=30°
在中，根据正弦定理可知.
∴
的最大值为，故选C.
10．已知向量与的夹角为，
，
，
，
，
在时取最小值，当时，
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：
，
由向量关系可得：
，
则：
，
整理可得：
，
满足题意时：
，
据此可得三角不等式：
，
解得：
，即
的取值范围是
.
本题选择D选项.
11．已知平面向量，
，
，
，且.若为平面单位向量，
的最大值为（
）
A．
B．
6
C．
D．
7
【答案】C
【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值，
∴，则的最大值为，故选C.
12．如图在中，
为边上一点（含端点），
，则的最大值为（
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
【答案】D
【解析】
,
,
，因为，所以，即的最大值为
.
13．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】建立坐标系如图所示，设，其中，
，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.
14．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得：
，故选则D.
法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图，
因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以，
，所以，故选择D.
15．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
建立如图所示平面直角坐标系，设，则，故，因为，所以；又因为，所以（当且仅当取等号），应选答案D。
二、填空题
16．，
分别为的中点，设以为圆心，
为半径的圆弧上的动点为
(如图所示)，则的取值范围是
______________.
【答案】
【解析】
以A
为原点，以AB为x轴，以AD
为y轴建立平面直角坐标系，设，则，
，
，
，
，（其中
），当时，
取得最大值，当在点位置时
，
取最小值
，则的取值范围.
17．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意知，，，；直线AB的方程为；
，；
，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；，
，时取“”；
又，；要使恒成立，k的取值范围是．
故答案为：．
18．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边 交于，若，，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
中，为边的中点，为的中点，且，
，，
同理，，
又与共线，存在实数，使，
即，，解得，
，
当且仅当时，
“=”成立，故答案为.
19．设向量，
，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题知，又夹角为锐角即，由数量积运算可得
即．当时，夹角为，舍去．故本题应填．
20．已知梯形中，
是边上一点，且.当在边上运动时，
的最大值是________________．
【答案】
【解析】设，则
，故．
21．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，是圆
上任意一点，可设，
若点满足条件，则是的中点，则的坐标为，
若在直线上，则，变形可得，
即表示单位圆上的点与点连线的斜率，
设过点的直线与圆相切，则有，解可得或，
则有，即的取值范围为,故答案为
22．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．
【答案】
【解析】因为，，，所以,
因为为圆上，所以，，，，
，，，故答案为1．
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）?=c?且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____
【答案】
【解析】∵（（2a﹣c）?=c?，可化为：
即：（2a-c）cacosB=cabcosC，∴（
2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（C+B），即
2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，∴
，即
；
∵
，即b2=4，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得4=a2+c2-ac，由基本不等式可知4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴△ABC的面积
，即当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．故答案为：.
24．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】设已知圆的圆心为C,由已知可得，∴,
又由中点公式得，所以：
又因为，点P在圆(x?3)2+(y?4)2=4上，所以,且，
所以，
即,故，所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20.
的取值范围是.
25．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，，
，
，故答案为.
26．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．
【答案】．
【解析】根据D为AB的中点，若，得到，
化简整理得，即，
根据正弦定理可得，进一步求得，
所以
，
求导可得当时，式子取得最小值，代入求得其结果为，故答案为.
27．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，
∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
作垂直线段CD⊥AB，CD==1，所以点D的轨迹为,
则，
因为圆P和圆D的圆心距为，所以两圆外离，
所以|PD|最小值为，所以的最小值为4﹣2.故答案为：4﹣2.
28．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】已知扇形的弧长为，半径为，所以。
由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。
29．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，
设，所以，
所以，
即，令，则，所以，
所以
，当且仅当时，取得最小值.
30．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______．
【答案】9
【解析】如图，
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
由于菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，故点，则，
设，N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.
因为，则，
令，则，由图像可得当目标函数过点时，取得最大值，此时，故答案为9.
31．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．
【答案】24.
【解析】
由，得，，，即，
以为坐标原点建立如图所示的坐标系，则，设，
则
，当时取得最小值，此时，
则，故答案为.
32．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__．
【答案】.
【解析】
：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为由题,的面积为6，
，设
的夹角为，
故与所成角的余弦值取值范围是.即答案为.
33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；
若向量，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以
，因为，所以，所以，所以的范围是；
根据，可得，即，从而可以求得，所以，
因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.
34．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．
【答案】
【解析】
当且仅当时取等号，即的最小值是3.
35．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．
【答案】
【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，
则?
?
设
?.又向量
所以，
∴，∴，
∴．
令，则所以当时，取最小值为.
36．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________．
【答案】
【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形，∴．设，
∵，∴，
又，∴，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立。
又，∴，故的范围为．
第2页，总16页
试卷第1页，总16页第24讲以平面向量为背景的取值范围问题专题
一、选择题
1．已知在平面四边形中，
，，,，，点为边上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
2．已知平面向量满足，则最大值为(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（
）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
5．若向量，且，则的最大值是
A．
1
B．
C．
D．
3
6．已知在三角形中，
，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
.
7．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（
）
A．
3
B．
C．
D．
10．已知向量与的夹角为，
，
，
，
，
在时取最小值，当时，
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知平面向量，
，
，
，且.若为平面单位向量，
的最大值为（
）
A．
B．
6
C．
D．
7
12．如图在中，
为边上一点（含端点），
，则的最大值为（
）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
13．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
15．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．，
分别为的中点，设以为圆心，
为半径的圆弧上的动点为
(如图所示)，则的取值范围是
______________.
17．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______．
18．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边 交于，若，，则的最小值是________．
19．设向量，
，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
20．已知梯形中，
是边上一点，且.当在边上运动时，
的最大值是________________．
21．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______．
22．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）?=c?且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____
24．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.
25．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________．
26．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．
27．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．
28．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．
29．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____．
30．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______．
31．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．
32．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__．
33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；
若向量，则的最小值为_________.
34．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．
35．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．
36．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________．
第2页，总6页
试卷第1页，总6页
