第26讲
以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=
，且，则λ的值为（ ）
A．
B．
﹣
C．
D．
﹣
【答案】D
【解析】
如图所示：O是锐角△ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则R，由图得，，
则
，
同理可得，，由得，，
所以，则，①
在△ABC中由正弦定理得：，代入①得，，
则，②
由正弦定理得，、，代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ，解得λ，故选D．
2．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（
）
A．
2
B．
4
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，，∴，又，∴，
∴
，
则的最大值为，故选C
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，则，其中，
又f(x)在（，）上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间（，）包含的周期应最多，所以，得0<≤30，即，所以k≤19.5.分类讨论：
①.当k=19时，，此时可使成立，
当时，，所以当或时，都成立，舍去；
②.当k=18时，，此时可使成立，
当时，，当且仅当或时，都成立，
综上可得：ω的最大值为.本题选择C选项.
4．在四边形中,已知是边上的点,且,,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，
在中，，
，
，
在上，,，可得，，，
即的取值范围是，故选C.
5．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
，周期，
又存在实数，对任意实数总有成立，，
的最小值为，故选B.
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（
）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
【答案】B
【解析】由三角函数的性质可得：，
其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，
函数的单调递增区间满足：，即，
令可得函数的一个单调递增区间为：，
在上为增函数，则：，据此可得：，则的最大值为2.本题选择B选项.
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为
，
又，，，∴．故选B．
8．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据正弦函数的单调递减区间为
，所以
的单调递减区间为，可解得
，由余弦函数的单调递减区间为，所以，可解得
因为与在
上同为单调递减函数，所以其交集为，所以
所以选B
9．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】：中，由余弦定理可得，
，，
中，由正弦定理得，，得，
当时，，当时，，
为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.
10．设函数.若,且，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】（特殊值法）画出的图象如图所示．
结合图象可得，当时，；当时，
，满足．由此可得当,且时，．故选B．
11．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，因为其图像关于直线对称，可知，结合的范围，可以求得，从而得到，因为，则有，从而求得，所以有，所以在上的最小值是，故选D.
12．若函数
在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,
因为函数在内有且仅有一个最大值，所以，可得，
即的取值范围是，故选C.
13．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
故函数的周期为
若对恒成立，即当时，
恒成立，，
故有，求得
结合所给的选项，故选D．
14．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为所以函数周期为,，由知
，又时，且
，所以解得，故选D.
15．的三个内角，
，
的对边分别为，
，
，若，
，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，
结合正弦定理有b=2acosA，
，
∵A+B+C=180°，B=2A，∴3A+C=180°,
，
∵2A<90°，∴，
，即的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
16．设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），
又.且.解得.
所以.
当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
17．已知均为锐角，且，则的最小值是________.
【答案】
【解析】由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tanαtanβ=，又=2=．故答案为：.
18．若两个锐角满足，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，令，
则，∴，即，
当且仅当时取等号，∴的最大值时.故填：
19．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题得,
所以,所以
因为
所以
故答案为：
20．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则原函数化为，即，
由，
及知，，即，
当时（1）总成立，对，；
对，，从而可知，故答案为.
21．已知
，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________．（结果用区间表示）
【答案】
【解析】由题意，函数，
由的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，
则，解得，即，
函数的对称轴的方程为，
即，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22．已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.
【答案】12
【解析】设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即，，设，在中，由余弦定理可知，即，
，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.
23．函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范同是__________.
【答案】
【解析】∵的图像在内与轴无交点∴
∵∴
∵由对称中心可知∴
∵假设在区间内存在交点，可知
∴当时，
∴以上并集在全集中做补集，得故答案为
24．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】在为锐角三角形，设，且，
所以，
所以，
又由，则，所以，即的取值范围是.
25．在中，角的对边分别为,
,
,则角的最大值为_____；
【答案】
【解析】在中，由角C的余弦定理可知，又因为，
所以。当且仅当时等号成立。
26．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由正弦定理，得
即
由余弦定理
得；
又
；
由题可知
则
即的范围
27．如图，在中，，点
在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】由可得：，则.
由可知：，则，由同角三角函数基本关系可知：.
设，在△ABD中由余弦定理可得：，
在△CBD中由余弦定理可得：，由于，故，
即：，整理可得：.①
在△ABC中，由余弦定理可知：，则：，
代入①式整理计算可得：，由均值不等式的结论可得：，
故，当且仅当时等号成立，
据此可知△ABC面积的最大值为：.
28．（安徽省宿州市2018届三模）在中，内角A,B,C的对边分别为，且满足，A为锐角，则的取值范围为__________．
【答案】.
【解析】由结合正弦定理可得：，且，
为锐角，则：，即，据此有：，，
，，即，，
据此可得：，则的取值范围为.
29．在圆内接四边形中,
,,则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=，AB=2r，则，，
在中，，即，∴，
∴
令t=，则
当，即时，的最大值为故答案为：
30．在中，，，成等比数列，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，
又因为构成等比数列，设公比为，则，
又由在中，，即，即，解得，所以．
31．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】因为，所以，在△ABD中，由余弦定理可得，，作CE⊥BD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为.故答案为：
32．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】：由余弦定理及，得
即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；故答案为：
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得，
，又平面，
平面
平面，
平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中，
，设，则有中，
，又在中，
，在中，
，又
，则，
，
，故答案为.
34．在中，
，满足的实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】中，
，即
则；
∴由|得：
整理得：
解得
∴实数的取值范围是.故答案为.
35．点，
分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：
，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设，
，
，
，即的最大值为，故答案为.
36．在中，设，
分别表示角，
所对的边，
为边上的高.若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】有题设条件，所以，又
所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。
37．在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为________________．
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.所以的最大值为,故填
38．锐角中，角的对边分别为，若，则
取值范围是__________．
【答案】
【解析】由结合余弦定理可得
，即
，再由正弦定理可得，可得或（舍去），，又均为锐角，由于
可得，可得
，由可得
，故答案为.
14
13第26讲
以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=
，且，则λ的值为（ ）
A．
B．
﹣
C．
D．
﹣
2．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（
）
A．
2
B．
4
C．
D．
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A．
B．
C．
D．
4．在四边形中,已知是边上的点,且,,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
5．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（
）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
7．在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
10．设函数.若,且，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若函数
在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
14．已知函数,
其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
15．的三个内角，
，
的对边分别为，
，
，若，
，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
17．已知均为锐角，且，则的最小值是________.
18．若两个锐角满足，则的最大值是__________．
19．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
20．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
21．已知
，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________．（结果用区间表示）
22．已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.
23．函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范同是__________.
24．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.
25．在中，角的对边分别为,
,
,则角的最大值为_____；
26．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．
27．如图，在中，，点
在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．
28．（安徽省宿州市2018届三模）在中，内角A,B,C的对边分别为，且满足，A为锐角，则的取值范围为__________．
29．在圆内接四边形中,
,,则的面积的最大值为__________．
30．在中，，，成等比数列，则的取值范围是__________．
31．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.
32．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
34．在中，
，满足的实数的取值范围是_________．
35．点，
分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：
，则的最大值为__________.
36．在中，设，
分别表示角，
所对的边，
为边上的高.若，则的最大值是__________．
37．在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为________________．
38．锐角中，角的对边分别为，若，则
取值范围是__________．
4
1
