北师大版九年级数学下册 2.4二次函数的应用 同步测试(word版 含答案)

北师大版九年级数学下册第一章2．4二次函数的应用
同步测试
一．选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是(
)
a＞0
c＜0
函数有最小值
y随x的增大而减小
2.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y=
-x2+50x
B．y=x2-50x
C．y=
-x2+25x
D．y=
-2x2+25
3．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（　　）
﹣1≤x≤3
B．x≤﹣1
C．x≥1
D．x≤﹣1或x≥3
已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
A
B
C
D
5.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t-5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）
A．6s
B．4s
C．3s
D．2s
6．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝300﹣10x
B．y＝300（60﹣40﹣x）
C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）
D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）
7.如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=
表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（　　）
A．不大于4m
B．恰好4m
C．不小于4m
D．大于4m，小于8m
8.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
9．用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（　　）
A．m2
B．m2
C．3m2
D．m2
10.如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=
-x2，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（　　）
A．3m
B．
m
C．
m
D．9
m
11.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（　　）
A．0.4米
B．0.16米
C．0.2米
D．0.24米
12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是80m
②小球抛出后至3秒，速度越来越慢
③小球抛出6秒时速度为0
④小球的高度h＝30m时，t＝1.8s
其中正确的是（　　）
A．①②
B．①④
C．②③④
D．①②③
二．填空题
抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是
．
14．某商店将进货价为70元/个的商品按零售价100元/个出售时，每天能卖出20个，若零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价　
　元．
15．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是　
　m．
16．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围　
　．
17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价x（x＞0）元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为　
　．
18.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为____________
19．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　　元．
20.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P.Q分别从A.B同时出发，那么经过____秒，四边形APQC的面积最小．
三．解答题
21.每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．
（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？
（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m=
-10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
22．如图所示，△ABC的面积为2400c
m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x
cm，S平行四边形BDEF=y
cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?
23．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
24．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，），点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2﹣（6a﹣2）x+b与直线AC交于另一点B（4，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知x轴上一动点Q（m，0），连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出m的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QA+QC最小，求出Q点的坐标，并求出此时△QAC的周长．
答案提示
1．D.
2.C．3．D.4．C.5.A．6.D．7.A．8.B．9.B．10.D．
11.解：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x=
-0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故选C．
12.解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在下落到地面又走了40m，共经过80m，故①正确；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，小球抛出6秒时速度不为0，故③错误；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当h＝30m时，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
综上，正确的有①②，
故选：A．
13．－3.
14.5．
15.
10．
16.y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）．
17.y＝﹣10x2+100x+6000．
18.0.5米．
19．25.
20.解：设P.Q同时出发后经过的时间为t秒，四边形APQC的面积为S平方毫米，
则有：S=S△ABC-S△PBQ
=
=4t2-24t+144
=4（t-3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值．
21.解：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得
ba（1-5%）≥（5+0.7）a，
∵a＞0，
∴95%b≥5.7
∴b≥6
所以，水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，由题意得
w=（x-6）m
=（x-6）（-10x+120）
=
-10（x-9）2+90，
∵a=
-10＜0
∴w有最大值
∴当x=9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
22．解：(1)设A到BC的距离为d
cm，E到BC的距离为h
cm，则y=S平行四边形BDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80．
(3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200．
23.解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，6），B（6，0）代入y＝kx+b（k≠0），得，
∴，
则直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵抛物线过点B（6，0），C（﹣2，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），
将点A（0，6）代入y＝a（x﹣6）（x+2），得﹣12a＝6，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6；
（3）如图，
过点P作PN∥y轴，交AB于N，
设P点坐标为（t，﹣t2+2t+6）（0＜t＜6），
则N（t，﹣t+6），
∴PN＝yP﹣yN＝﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+2t+6+t﹣6＝﹣t2+3t．
∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN
＝PN?|xP﹣xA|+PN?|xB﹣xP|
＝PN?（xB﹣xA）＝×（﹣t2+3t）×6
＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3，即点P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值．
24．解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，）代入y=ax2得：a=，
∴二次函数的解析式为y=x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
如图，过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF==x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴x2+1=4，
解得：x=±2，
∴x2=×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
25.解：（1）点C的坐标为（0，1），b＝1，
将点B坐标代入代入一次函数表达式得：3＝4k+1，解得：k＝，
则一次函数表达式为：y＝x+1，则点A坐标为（﹣2，0），
把点C.B坐标代入二次函数表达式得：3＝a×42﹣4（6a﹣2）+1，解得：a＝，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣x+1；
（2）①如下图，当∠AQB＝90°时，
△ABQ与△AOC相似，m＝4，
②当∠ABQ＝90°时，△ABQ与△AOC相似，
AB＝＝3，cos∠BAO＝＝，
则AQ＝＝，
则m＝﹣2＝，
即：m的值为4或．
26.解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）在y＝x2+bx+c上，
则，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得0＝x2﹣2x﹣3，解得x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），且C（0，﹣3），
∴经过B.C两点的直线为y＝x﹣3，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），如图，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E（x，x﹣3），
∵S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP＝×4×3+（3x﹣x2）×3＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为（，﹣），
∴四边形ABPC的最大面积为；
（3）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点Q，连接AQ，则此时△QAC的周长最小，
理由：△QAC的周长＝AC+AQ+QC＝AB+AQ+QC＝BC+CQ为最小，
由点B.C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，即点Q（1，﹣2），
则△QAC的周长最小值＝BC+AC＝3+＝3+．