2021届高三理科数学二轮复习专练：利用导数解决恒成立问题（Word含解析）

《利用导数解决恒成立问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数，若恒成立，则整数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，，对任意的恒成立，则的最大值为（
）
A．
B．1
C．2
D．
3．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如果不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
6．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（
）
A．，
B．，
C．，
D．
7．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知函数，，若，，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.
14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.
15．已知函数有两个不同的零点为，，若恒成立，则实数的最大值为______．
16．已知函数，，若不等式有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_________.
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）令，若x>1时，h(x)<0恒成立，求a的取值范围
18．设函数，.
（1）时，求的最小值.
（2）若在恒成立，求的取值范围.
19．设函数．
（1）设，求的极值点；
（2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数，．
（1）当时，求的最小值；
（2）若恒成立，求实数a取值的集合．
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对于任意的都成立，求的最大值.
22．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对函数定义域内任一个实数，有恒成立，求实数的取值范围.
（3）求证：对一切，都有成立.
《利用导数解决恒成立问题》解析
1.【解析】，
可化为，即，
令，
则
令，则，时，
，在单调递增.
又使，
即.当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，，正整数的最大值为.故选：B.
2.【解析】若，则单调递减，单调递增，
不能满足且对恒成立，故而．
若，则．
若，由得，则．
设函数，，
令得，解得，
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；
当时，函数取最小值，的最小值为．
设，，
由得，
当时，，当时，．
当时，取得最大值．
的最大值为．故选：．
3.【解析】，令，则，
故当时，，单调递减，当时，单调递增，，从而当时，，在区间上单调递增.设，
则在上单调递减，在上单调递增，，
存在，使成立，等价于.，解得.故选：D.
4.【解析】由已知，不等式对于恒成立.
①当时，则有恒成立，此时；
②当时，由可得，
令，，
所以，函数在区间上为增函数，则，则，得；
③当时，由可得，
令可得，列表如下：
极大
此时，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.故选：A.
5.【解析】设，则恒成立等价于成立，显然时不合题意．当时，，
∴当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴，∴，，此时，．
故选：B
6.【解析】表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，等价于，时恒成立，
时，，不合题意，
时，只需，即在，恒成立，
故，故的范围是，，故选：A
7.【解析】即为，，
因为，所以，即在上恒成立．
设，则，
令，则在上是增函数，，，
所以在上存在唯一零点，即，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以，
所以，又，所以的最小整数值为2．故选：B．
8.【解析】由题意知，对于，，
可得在上的最小值不小于在上的最大值，
由，则，
可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又由，，即在区间上的最大值为4，
所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，
令，则，
当时，，函数单调递减，即在上单调递减，
又由，所以在上大于，在上小于，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，所以.
9.【解析】由得，即.
当时，令，则，得，则时，，单调递减，时，，单调递增，故，故.所以.
设，则存在，使，需要.又，当时，，
所以当，，单调递减；
当，，单调递增，
又，，
所以，所以.故选：C.
10.【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立，
令，，因为，
所以在，上递减，所以，所以问题转化为恒成立，
令，则，由，可得；，可得．所以在上递增，在上递减．所以（1），所以．故选：C．
11.【解析】因为，所以，即，所以（为常数），
，由，，
不等式为，时，不等式为，成立，
时，，时，，
设，则，
当或时，，当或时，，
所以在和上是减函数，在和上是增函数，
时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，
时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，
综上有．故选：D．
12.【解析】根据题意，对任意的，都有
即，，恒成立
，在内先增后减，
，故，则，，
解得，令，则，
，
在区间内，，递减，，故递减，
，，则实数的取值范围是
故选
13.【解析】由得或，
在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.
又，，，∴，
又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，
∴，即a的取值范围是
14.【解析】，则，
两边加上得到，
单调递增，，即，
令，则，因为的定义域为
时，，单调递增，，，单调递减，，.
15.【解析】的定义域为.
，是的两个不同的零点，不妨设
则，
两式相加，得，故.
两式相减，得，故，
即，
也即恒成立．令，则
有恒成立，即恒成立．
记，，则．
，
下证充分性．时，
在上单调递增，故恒成立，得证．
所以实数的最大值为.故答案为：
16.【解析】由不等式，可得，
即有且仅有一个整数解，令，
则，显然，
则时，，所以单调递增，
当时，，故单调递减，
所以函数在时取得最大值，
作函数的大致图象如下，
由及函数图象可知，
要使，有且仅有一个整数解，则需，
即，
故答案为：
17.【解析】（1）由题意可知，该函数定义域为，
①当时，恒成立，∴在上单调递增；
②当时，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
（2）依题意，，
①当时，，
∴在恒成立，
∴在为增函数，∴，∴不满足恒成立，
∴不符合题意；
②当时，∵，h(x)<0恒成立，∴只需在恒成立，记，
∴，
令，得．
若，则，∴对恒成立，
∴为增函数，∴（不合题意）；
若，，故时，，
∴为增函数，∴（不合题意）；
若，，故当时，，
∴为减函数，∴，符合题意．
综上所述，．
18.【解析】（1）当时，，则，
令，解得，
当时，，所以在单调递减函数；
当时，，所以在单调递增函数；
所以.
（2），则，
设，则，
当时，，所以在上为增函数，
又，所以，即，
所以在在上为增函数，又，
所以，满足题意；
当时，令，解得，
当时，，所以在为减函数，
所以当时，，即，
所以在为减函数，又
所以，不满足题意，综上：a的取值范围是
19.【解析】（1），，
，显然，当时，，当时，，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故是函数的极大值点；
（2）对于可化为，
令，，在上单调递减，
在上恒成立，即，
又在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
，即实数m的取值范围为．
20.【解析】（1）定义域为，．
当时，，因此在上单调递减；
当时，，因此在上单调递增．
故．
（2）由已知，有．
当时，，与条件矛盾；
当时，若，则，单调递减，
若，则，则单调递增．
所以在上有最小值，
由题意，所以．
令，所以．
当时，，单调递增；
当，，单调递减．
所以在上有最大值，
所以，
故，，．
综上，当时，实数a的取值的集合为．
21.【解析】（1）当时，，得，
则，，所以在处的切线方程为：.
（2）当且时，
由于，
构造函数，
得在上恒成立，所以在上单调递增，
，
由于对任意的都成立，
又，，再结合的单调性知道：
对于任意的都成立，即对于任意的都成立.
令，得，
由，由，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，故，所以的最大值为.
22.【解析】（1），而点在直线上，∴，又直线的斜率为-1，∴，
故有，解得：；
（2）由（1）得，由，得：，
令，，
令，则，，
∴在区间上是减函数，
∴当时，，当时，，
从而当时，，当时，，
∴在是增函数，在是减函数，
故，要使成立，只需，故m的取值范围是；
（3）证明：要证，对成立，
即证明：对成立，
设，，
当时，，递增；当时，，递减；
∴，
设，
当时，，递增；当时，，递减；
∴，∴，
∴，对成立，
∴对成立.
2
2