2021届高三理科数学二轮复习专练：利用导数解决零点问题（Word含解析）

《利用导数解决零点问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程恰有三个不等的实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数有两个零点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数有两个零点，，则(
)
A．2
B．4
C．5
D．6
6．已知函数在无零点，则实数的取值范围为（
）.
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，若有三个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若是在上唯一的极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，若两个零点，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数，若关于x的函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．函数与（为常数）图象有两个不同的交点，则的取值范围为______.
14．函数与（，为常数）的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为_________.
15．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是___
16．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______.
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围
18．函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数.
19．已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数在区间的零点个数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）当时，判断函数的零点个数.
21．设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；.
（2）当时，讨论零点的个数.
《利用导数解决零点问题》专练解析
1.【解析】设，可得，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
则当，函数取得极大值，
当，函数取得极小值，
要使得方程恰有三个不等的实根，
即函数与的图象有三个不同的交点，
所以，解得，
即实数的取值范围是.故选：B.
2.【解析】因为函数有2个零点，
则有2个解，当时，，，
令得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，又，
当时，的图象与直线有2个交点，
当时，则与直线无交点，
即在上无解，即在上无解，
当时，符合题意，
当时，与的负半轴始终交点，不符合题意，
当时，若在上无解，
则，即，所以，
综上知：，即的取值范围是.故选：C
3.【解析】由题意得，当时，有且仅有两个零点，
当时，函数在上是增函数，显然不成立.
当时，由，得.
易得当时，；当时，.
函数在上是增函数，在是减函数，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
当及时，
要使当时，仅有两个零点，只需，
解得，故.故选：D.
4.【解析】因为函数有两个零点，定义域为；
所以方程在上有两不等实根，显然
即方程在上有两不等实根，
令，
则直线与曲线在上有两不同交点；
因为，
令，则在上显然恒成立，
因此在上单调递减，
又，所以当时，，即，所以单调递增；
当时，，即，所以单调递减；
因此，
又当时，；当时，，
所以为使直线与曲线在上有两不同交点，
只需，解得.故选：C.
5.【解析】因为
因为，所以的图象关于直线对称，
又为上的单调递增函数，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数只有两个零点，，
所以根据对称性可知，.故选：B.
6.【解析】由函数，则，
由选项可知，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以是函数的极小值点，若要函数在无零点，
只需，即，解不等式可得.故选：B
7.【解析】函数的定义域为：.，显然方程必有一个根为，由题意可知：方程必有两个不等于1的正实根，
，令，当时，单调递增，当时，单调递减，故，因此有.故选：A
8.【解析】函数，定义域，
所以，
因为是在上唯一的极值点，
所以是的唯一变号零点，
令，则在无变号零点，
，
①时，恒成立，在上单调递增，
所以，所以无零点，满足题意；
②时，的解为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
要是在无变号零点，
所以，解得，所以，
综上所述满足题目要求的的范围为.故选：D.
9.【解析】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点
当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.
故选：B.
10.【解析】当时，，∴，
当时，，；
∴，
所以两个零点，，
等价于方程有两个根，，
则，即有两个根，（不妨设），
则时，；当时，，
令，则，；所以，；
则，，设，，
则，当时，显然恒成立，
所以函数单调递减，则，
所以的值域为，即的取值范围为.
故选：A.
11.【解析】或，
时，，，
时，，递减，时，，递增，
∴的极小值为，又，因此无解．
此时要有两解，则，
又是奇函数，∴时，仍然无解，要有两解，则．综上有．故选：C．
12.【解析】设函数，则，因为，则，
设，则，
所以，即，，，
则在单调递减，在单调递增，，
又，要使函数有两个零点，等价于曲线与有两个交点，所以实数的取值范围为，故选:D．
13.【解析】由已知，可得有两个不等实根，即有两个不等实根.
设（），则，
易知当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增，
所以，所以.
故答案为：.
14.【解析】由已知，可得有两个不等实根，即有两个不等实根.
设，则，
当时，
，故在上单调递减；
当时，
，故在上单调递增，
所以，，
函数的图象，如图所示：
由图象可得.
15.【解析】设，则，由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为（）．
方程化为．
解得或．如图画出函数图象：可得的取值范围是．
故答案为：
16.【解析】当时，，
所以，当时，，递增，
当时，，递减，
所以当时，
取得最大值1，又当时，，
所以的大致图象如图所示：
令，则转化为方程有两个不等根，
且各有3个根，
方程在有两个不同的解，
设，所以，
解得.故答案为：
17.【解析】（1）的定义域是，
当时，，
，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）函数有两个零点等价于方程有两个不等的实数根，
又函数的定义域为，
所以有两个不等的实数跟，
设，则，设，
易知在上单调递减，且，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以，又时，，
时，，所以实数的取值范围是.
18.【解析】（1）因为，所以，
又，切点坐标为，
所以函数在处的切线方程为：；
（2）构造函数
则，
令，，则在单调递增，
且，，
所以存在，使得，即，从而.
所以当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增.
所以，如下图所示：
所以当时，没有零点；
当时，有个零点；
当时，有个零点.
19.【解析】（1），，
故在递增，又，
，故在上存在唯一零点
因此在区间的零点个数是1个；
（2），恒成立，即，恒成立
令，，则
，令，
，时，，时，
故在递减，递增，因此
所以，，故在递增
故，因此.
20.【解析】（1）由题意，函数的定义域为
，且，令，解得；令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，函数的零点个数等价于方程的根的个数，令，则，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当，，即在上恒成立，
所以.
所以在上单调递增，
所以，，
当或时，函数在上没有零点；
当时，函数在上有一个零点.
21.【解析】（1）当时，，
则，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
即函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）因为，
所以，
因为，由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
因此，
要使有两个不同的零点，
则首先，
即，所以，解得；
当时，，
令，，则，，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此在上单调递增，因此，即在上恒成立，所以当时，，
此时；
当时，，
令，可得；
取且知，
故满足在和各有一个零点；
综上，的取值范围为.
22.【解析】由，得.
（1）时，可得，，
则切线方程为，即.
（2）（ⅰ）当时，，
可知，，又为的增函数，且，所以仅有一个零点.
（ⅱ）当时，由得或，
①若，即，则
当时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
而，，
此时，仅有一个零点
②若，即，则，为上的增函数，
因为，，此时仅有一个零点.
③若，即，则
当时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因，则，，
结合知仅有1个零点，
综上，当时，有1个零点.
2
2