2021届高三理科数学二轮复习专练：利用导数解决函数的极值点问题（Word含解析）

《利用导数解决函数的极值点问题》专练
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，函数的两个极值点分别在区间与内，则的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若函数无极值点则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1）
A．
B．
C．
D．
8．若函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若是函数唯一极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
12．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13．已知是函数的极值点，则实数的值为_______．
14．若函数只有一个极值点，则的取值范围为___
15．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.
16．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是__
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数，且函数有且仅有两个极值点，(其中).
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.
18．已知函数()．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
19．已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得在有极值点？若存在，求a的取值范围：若不存在，请说明理由.
20．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，求证：函数存在唯一的极大值点，且．（参考数据：，）
21．已知函数．
（1）若在处的切线过点，求的值；
（2）若恰有两个极值点，，求的取值范围．
22．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，证明：当时，有两个极值点，，并求的取值范围.
《利用导数解决函数的极值点问题》专练解析
1.【解析】因为有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以在有2个不同的零点，
所以，解可得，．故选：．
2.【解析】由，求导，
因为函数的两个极值点分别在区间与内，
即方程的两个根分别在区间与内，
即，则，
所以，.
综上所述，的取值范围是.故选：B.
3.【解析】由在处取得极大值可知，当时，；
当时，，其等价于①存在，使得，
且②存在，使得；
若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；
若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；
若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；
若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.
综上，的取值范围是.故选：A.
4.【解析】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，
所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为时，；当时，；当时，，
所以当有两个不同实数根时
，
所以，所以，故选：D.
5.【解析】由题意知有两个相异实根，即，也即与的图象有两个交点.，所以当时，，递增，当时，，递减.
且，当时，，所以在处取得极大值也即是最大值为.画出的图象如下图所示，由图可知，要使与的图象有两个交点，则需.故选：B
6.【解析】,
，由函数无极值点知，
至多1个实数根，，解得，
实数a的取值范围是，故选：B
7.【解析】因为，
所以若要使函数有两个极值点，则有两个零点，
令，，则要使函数、的图象有两个不同交点，
易知直线恒过点，，
在同一直角坐标系中作出函数、的图象，如图，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，所以，，
所以当且仅当时，函数、的图象有两个不同交点，
所以若要使函数有两个极值点，则，故A、B错误；
当时，由图象可得当时，，函数单调递减，
且，所以，
，故C正确，D错误.
故选：C.
8.【解析】由题意：有两个不同正根，∴，即：，故选:C.
9.【解析】，
因为是函数唯一极值点，所以有唯一实数根，
所以无实根，也即与两个函数图象没有交点，
，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，故选：A
10.【解析】
,
令，解得，
则当时，，
故函数在上单调递增，
当时，，函数为减函数，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为，
且时，，时，，
因为函数只有一个零点，所以或，解得或或，
因为，所以，故选：A
11.【解析】因为函数有两个极值点，
所以有两个不相等的实根，
所以，此时,
因为，所以，
而方程的判别式，
所以此方程有两解且或，不妨设，
（1）把的图像向下平移个单位即可得的图像
因为，所以可知方程有两解，
（2）把的图像向下平移个单位即可得的图像
因为，所以，可知方程只有一解，
由（1）（2）可知，方程或，只有3
个实数解，即关于的方程的不同实根个数为3，故选：B
12.【解析】由题意可知有两个不等根．方程
，，有一根．中，另一根满足方程（），
令，，，
所以在上单调递增．所以，
即．所以．故选：C．
13.【解析】由，得．
因为是的极值点，所以，即，所以．
此时，当时，；当时，．
因此是函数的极小值点，即符合题意．
14.【解析】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点，
则，易知，
①当时，，显然不合题意；
②当时，，当时，为减函数，
当时，为增函数，
所以为函数唯一极值点，满足题意；
③当时，若为唯一的零点只有唯一解，则，可得无解，即无解，
设，则，当时，，为减函数，
当时，，为增函数，，
所以，经验证满足题意；
④当，若不是唯一的零点，可能有2个或3个零点，当有3个零点时候显然不合题意，当有两个零点时，有一个零点时，，
当有两个零点时，结合题意，为其中一个零点，所以，经验证满足题意；
故答案为：
15.【解析】因为，
所以，设，
因为函数在上存在两个极值点，
所以在上存在两个零点，
所以在上存在两个零点，设为且，
所以根据韦达定理有：，故
，
因为，所以，
，由于，
所以.
16.【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，
令，，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故答案为：．
17.【解析】（1），令，
由函数有且仅有两个极值点，，可知函数有且仅有两个零点；
又.
①当时，，此时函数单调递增，不可能有两个零点，不合题意；
②当时，由可得；由可得；
因此函数的增区间为，减区间为
若函数有且仅有两个零点，必有，可得，
又由，有，
令，有，
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
所以，可得当：时，
当且时，
故当函数有两且仅有两个极值点时，实数a的取值范围为
（2）由（1）可知，且，可得，
，故有.
18.【解析】（1）的定义域为，，
若函数有两个极值点，则有两个变号零点，
等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，
令，的定义域为，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
则为的极大值，也为最大值，
当时，，当时，，
当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时；
（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，则，令，
则，
当时，，，，
则，则在时单调递增，
又，∴时，，则在时单调递增，∴当时，即当时，．
19.【解析】（1）当时，，
（），，
所以在上单调递增且，
即，解得，
即，解得，
综上，在上单调递减，在上单调递增；
（2）令（），则，
（i）当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则为的极小值点，
（ii）当时，令，得，
x，，的变化情况列表如下：
x
a
－
0
＋
↘
↗
①时，（当且仅当时取等号），
所以在上
单调递增，无极值点，
②当时，x，，在上的变化情况列表如下：
x
1
－
0
＋
↘
0
↗
所以在上
单调递减，在上单调递增，
则为的极小值点，
③当时，x，，在上的变化情况列表如下：
x
1
＋
0
－
↗
0
↘
所以在上
单调递增，在上单调递减，
则为的极大值点，
综上，存在实数a，a的取值范围为.
20.【解析】（1）函数定义域是，，
当时，，在上是增函数；
时，时，，时，，所以在上递增，在是递减．
（2），，
，，，
设，则，
当时，，递增，时，，递减，
是的极大值也是最大值，，，，
∴在和都有一个零点，设且，
则在和均小于0，在上大于0，
即在和均小于0，在上大于0，
，
上，∴，
∴在和均递减，在上递增，∴只有一个极大值点．
，，
，
∵，∴，
且，综上，．
21.【解析】（1）定义域为，，
则，，
在处的切线方程为，
又切线过，，解得：.
（2）由（1）知：，
令，则，
①当，即时，恒成立，在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不合题意；
②当，即或时，
令，解得：，，
⑴若，则，，在上恒成立，
在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不合题意；
⑵若，则，
当和时，；当时，；
在和上单调递增，在上单调递减，
恰有两个极值点，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
22.【解析】（1）当时，，
.
令，即，解得（负值舍去）.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）得，
.
设，
因为，且，，
所以在上有两个不等实根，，
且当，时，，；
当时，，，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
故，是的两个极值点.由，.
得.
又因为，所以，解得.
即的取值范围是.
2
2