北师大版九年级数学下册 第三章： 圆的基本性质 课件(共27张PPT)

第21讲　圆的基本性质
(必考，1～3道，4～17分)
垂径定理的相关计算（2016.14）

命题点
1
玩转贵阳10年中考真题
1. (2016贵阳14题4分)如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为 8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是______．
第1题图
拓展训练
2. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为P，若CP＝4，PB＝2，
则⊙O的半径为(　　)
A. 4　　　B. 5　　　C. 4　　　D. 2
第2题图
B
与圆周角定理有关的计算（10年5考）

命题点
2
3. (2010贵阳8题3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC＝8，AB＝10，OD⊥BC于点D，则BD的长为(　　)
A. 1.5　　　B. 3　　　C. 5　　　D. 6
4. (2014贵阳13题4分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝________度.
第3题图
第4题图
B
40
5. (2013贵阳13题4分)如图，AD、AC分别是⊙O的直径和弦，∠CAD＝30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO＝5 cm，则CD等于________cm.
第5题图
拓展训练
6. 如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点(位于AB两侧)，CD＝AD，
且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是(　　)
A. 50° B. 45° C. 35° D. 30°
第6题图
C
正多边形与圆的相关计算（近5年每年必考一道选择题或填空题）

命题点
3
7. (2019贵阳6题3分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，
则∠CBD的度数是(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
8. (2016贵阳8题3分)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(　　)
A. 2 cm B. 4 cm
C. 6 cm D. 8 cm
A
B
9. (2018贵阳14题4分)如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是________度．
10. (2015贵阳12题4分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于________．
第9题图
第10题图
72
2π
11. (2017贵阳13题4分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．
第11题图
圆的基本性质
圆内接四边形的性质
正多边形和圆的关系
垂径理论及其推论
圆的定义
圆的有关概念及性质
有关概念
性质
弦、弧、圆心角的关系
定理
推论
圆周角定理及其推论
定理
推论
三角形的
外接圆
圆心O名称
性质
角度关系
考点精讲
圆的有关概念及性质
性质
圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合
有关概念
圆心角：顶点在圆心的角，如图①中的∠BOC，∠AOC,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，
如图①中的∠BAC,
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做_______, 如图①中的AB
圆弧：圆上任意两点间的部分，如图①中的优弧 劣弧
1.圆是轴对称图形，任意一条直径都是它的对称轴
2.圆也是中心对称图形，　　　　是它的对称中心
对称性
旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
图①
直径
圆心
返回思维导图
名称
文字描述
(数学符号如图②)
垂径
定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
CD⊥AB
CD是直径
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
_________
CD是直径
总结：根据圆的对称性，在以下五个结论中：① ；② ；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是直径.只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”
?
AM＝BM＝　　　　AB
?
CD＝　　　　AB
应用：如图②，半径（OB）、弦心距（OM）和弦的一半（MB）构成直角三角形，满足勾股定理, OB2＝OM2＋BM2，常用于圆中求线段的长
AM＝BM
⊥
垂径定理及其推论
图②
返回思维导图
弦、弧、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等
推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量, 都分别_______　　　
内容
_____________________________________________________
情况
圆心在圆周角的一条边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
图形
结论
∠APB＝_____∠AOB
圆周角定理及其推论
定理
相等
相等
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
返回思维导图
文字描述
数学符号（如图③）
作用
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等
证明圆周角相等
推论2
直径所对的圆周角是_________,90°的圆周角所对的弦是________
1.AB是直径?∠ACB＝
_________；
2.∠ACB＝_________?AB是直径
（1）连接弦，直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形；
（2）确定圆的直径
1.∠A和_______是 所对的
圆周角?∠A＝_______
2. ?∠A＝_______
∠D
∠D
∠BCD
直角
直径
90°
90°
推论
图③
圆周角定理及其推论
返回思维导图
三角形的外接圆
(1)圆心O名称：外心，即三角形三条边的___________的交点
(2)性质：三角形的外心到三角形___________________
(3)角度关系：∠BOC＝2∠A
如图④
圆内接四边形的
性质
1.圆内接四边形的对角互补，如图⑤，∠A＋∠BCD＝ ________，∠B＋∠D＝________
2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，
如图⑤，∠DCE＝________
正多边形和圆
的关系
1. 设正n边形的边长为a，则边心距
2. 正n边形的周长l＝na；正n边形面积
3. 中心角θ＝
如图⑥
图⑤
图④
图⑥
垂直平分线
三个顶点的距离相等
180°
180°
∠A
返回思维导图
重难点突破
一、垂径定理的证明与计算
①②③⑤⑦⑧⑨?
例1　如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.
(1)连接AC，BC，AD，BD，OC，则下列结论正确的是__________________(填序号)；
①CE＝DE；② ；③BC＝BD；④△OCB是等边三角形；⑤∠ACB＝∠ADB＝90°；⑥∠COB＝3∠CDB；⑦△ADC是等腰三角形；⑧△ABC≌△ABD；⑨∠CDB＝∠ACO；⑩CD2＝4AE·AB；?DE2＝AE·BE.
(2)把上述错误的结论改正确；
(3)若∠CAB＝22.5°，AB＝4，求CD的长；
(2)④△OCB是等腰三角形，⑥∠COB＝2∠CDB，⑩CD2＝4AE·BE；
例1题图
(3)∵∠CAB＝22.5°，
∴∠COB＝2∠CAB＝45°，
∵AB＝4，
∴OC＝ AB＝2，
∵AB⊥CD，
∴∠OEC＝90°，CD＝2CE，
∴∠OCE＝45°，OE＝CE，
在Rt△COE中，
∵OE2＋CE2＝OC2，
∴2CE2＝4，
∴CE＝ ，
∴CD＝2CE＝2 ；
(4)若CD＝18，AE∶EB＝9∶1，求AB的长．
(4)∵AB⊥CD，CD＝18，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°， ，
CE＝DE＝ CD＝ ×18＝9，
∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠ECB，
∴△AEC∽△CEB，
【思维教练】结合已知及所求AB恰好位于“母子型”相似模型Rt△ACB中，故构造Rt△AEC∽Rt△CEB，即可求解．
∴
即CE2＝AE·EB，
∵AE∶EB＝9∶1，
∴设EB的长为x，则AE为9x，
∴92＝9x·x，
解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3，
∴AE＝27，EB＝3，
∴AB＝AE＋EB＝27＋3＝30.
运用垂径定理解题时应注意：
1. 两条辅助线：(1)过圆心作弦的垂线，(2)连接圆心和弦的一端(即半径)，这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解；
2. 方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路．另外，在圆中求线段长，三角形相似也是常用的方法．
满分技法
二、圆周角定理的证明与计算
例2　如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径．
(1)如图①，∠CAB＝________°；
(2)如图②，连接OA，若∠AOB＝60°，则∠ACB＝______°；
(3)如图③， P为⊙O上一点，连接AP，BP，∠ACB＝30°，则∠APB＝________°，若B为 的中点，则∠PAB＝________°；
(4)如图④，P为 上一点，∠P＝30°，AC＝2，则∠ACB＝_____°；AB＝____．
例2题图①
例2题图②
例2题图③
例2题图④
90
30
30
30
60
练习1　如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数
为(　　)
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 60°
练习1题图
C
练习2　如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上任意一点，
延长AG与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG.
(1)求证：∠AGD＝∠FGC；
(2)若AG＝12，GF＝4，CD＝4 ，求⊙O的半径．
练习2题图
练习2　(1)证明：如解图，连接AC、BC，
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1＋∠AGC＝180°，∠AGC＋∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即∠AGD＝∠FGC；
练习2题解图
(2)解：如解图，∵∠FCG＋∠DCG＝180°，∠DCG＋∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
∴
∴AC2＝AG·AF＝192，
∴AC＝8，
在Rt△ACE中，
∵∠AEC＝90°，AC＝8 ，CE＝2 ，
∴AE＝
易知△ACE∽△ABC，
∴
∴AC2＝AE·AB，
∴AB＝
∴⊙O的半径为
满分技法
1. 如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC、BD是⊙O的两条弦，根据同弧所对
的圆周角相等和对顶角相等可得到①△ABM∽△DCM；②△BCM∽△ADM，从而得到
(MA·MC＝MB·MD)．
2. 如图②，延长四边形ABCD的边BA、CD交于点P，根据圆内接四边形的性质∠PAD＝∠BCD，∠PDA＝∠ABC，可得到△PDA∽△PBC， ，而AD和BC分别在△ADM和△BCM中，且△ADM∽△BCM，从而得到更多的线段关系．
3. 如图③，当AC⊥BD时，恰好构成垂径定理的基本图形，适用于与其相关的所有结论．