微专题14
函数的切线问题
一、基础知识：
（一）与切线相关的定义
1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上
（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线
（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）
2、切线与导数：设函数上点在附近有定义且附近的点，则割线斜率为：
当无限接近时，即接近于零，直线到达极限位置时的斜率表示为：
,
即切线斜率，由导数定义可知：。故为在处切线的斜率。这是导数的几何意义。
3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：
（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数
（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子在处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可
（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：在处不可导
综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数
。
（二）方法与技巧：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素，进而转化成第一类问题
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：（图像为圆的一部分）在处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在轴的抛物线切线问题的重要方法）
5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。
二、典型例题
例1：求函数在处的切线方程
思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程
解：
切点坐标为
切线方程为：
小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用
例2：已知函数，则：
（1）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线平行
（2）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线垂直
解：
（1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为，再利用平行条件求出，进而求出切线方程
设切点坐标为
由切线与平行可得：
切线方程为：
（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出，进而求出切线方程
设切点坐标
，直线的斜率为
而
不在定义域中，舍去
不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直
小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件
（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内
例3：函数上一点处的切线方程为，求的值
思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，在直线上，，即，得到的一个等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出
解：在上，
又因为处的切线斜率为
小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜率即为切点导数值
（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确定两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。
例4：曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
思路：
由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程
所以切线方程为：即，
与两坐标轴的交点坐标为
答案：D
小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。
例5：一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(
)．
A.
B.
C.
D.
思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是
答案：B
小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜率即为切点的导数值。
（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：①
斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。②
直线倾斜角的范围为
例6：求过点，且与曲线相切的直线方程
思路：满足，但题目并没有说明是否为切点，所以要分是否为切点进行分类讨论。当是切点时，易于求出切线方程，当不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点，切线斜率为，三个未知量需用三个条件求解：①
，②，③
解：（1）当为切点时
切线方程为：
（2）当不是切点时，设切点，切线斜率为
，消去可得：
而
方程等价于：
解得：（舍），
切线方程为
综上所述：切线方程为或
小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子
（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。
例7：设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值
思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为，进而可得导函数的最小值为，便可求出的值
解：
直线的斜率为，依题意可得：
例8：若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于( )
A.或
B.
或
C.
或
D.
或
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值。设过的直线与曲线切于点
,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得
，同理，切点为解得
答案：A
小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量。通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）
例9：（2014，北京）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围
思路：由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线，所以考虑先设切点，切线斜率为，则满足
，所以切线方程为，即
，代入化简可得：，所以若存在3条切线，则等价于方程有三个解，即与有三个不同交点，数形结合即可解决
解：设切点坐标，切线斜率为，则有：
切线方程为：
因为切线过，所以将代入直线方程可得：
所以问题等价于方程，令
即直线与有三个不同交点
令解得
所以在单调递减，在单调递增
所以若有三个交点，则
所以当时，过点存在3条直线与曲线相切
例10：已知曲线，点在抛物线上且的横坐标为，过作斜率为的直线交于另一点，交轴于，过点且与垂直的直线与交于另一点，问是否存在实数，使得直线与曲线相切？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析。点，则可求出，从而与抛物线方程联立可解得，以及点坐标，从而可写出的方程，再与抛物线联立得到点坐标。如果从坐标入手得到方程，再根据相切求，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于为切点，考虑抛物线本身也可视为函数，从而可以为入手点先求出切线，再利用切线过代入点坐标求，计算量会相对小些。
解：由在抛物线上，且的横坐标为1可解得
设化简可得：
消去：
设直线即
联立方程：
由可得：
切线的斜率
代入得：
小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算简便
（2）本题在求点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知的横坐标求出的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题。
三、近年好题精选：
1、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为________
2、已知直线与曲线切于点，则的值为_________
3、若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（
）
A．最大值为
B．最大值为
C．最小值为
D．最小值为
4、（2015，新课标II文），已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______
5、（2015，陕西理）设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_________
6、（2014，广东）曲线在点处的切线方程为__________
7、（2014，江西）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为__________
8、已知函数，则过原点且与函数图像相切的直线方程为______
9、已知函数，若函数的图像在处的切线方程为，则_______,__________
习题答案：
1、答案：
解析：由切线过可得：，所以，另一方面，，且，所以，从而切线方程为：
2、答案：
解析：代入可得：，，所以有，解得
3、答案：B
解析：设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则。可知在单调递增，在单调递减，所以
4、答案：8
解析：，所以，切线方程为，联立方程，从而由相切可得：
5、答案：
解析：的导数，所以，故处的切线斜率为，设切点，由的导数，可得：，则，即点坐标
6、答案：
解析：，所以，则切线方程为：
7、答案：
解析：，因切点坐标未知，故设，由切线与平行可知切线斜率为，即，解得：，所以，即点坐标
8、答案：
解析：设切点坐标为，切线的斜率为，因为
所以切线方程为：
9、答案：
解析：将代入到直线方程可得切点坐标为
直线方程为
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微专题33
向量的模长问题——代数法
一、基础知识：
利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方：通过可得：，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方
2、坐标运算：若，则。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长
3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题
二、典型例题
例1：在中，为中点，若，则
_____
思路：题目条件有，进而可求，且可用表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题
解：为中点
可得：
代入可求出：
答案：
例2：若均为单位向量，且，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将平方，转化为数量积问题，再求最值。
解：
①
①转化为
答案：B
例3：平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________
思路：发现所给条件均与相关，且可以用表示，所以考虑进行模长平方，然后转化为的运算。从而求出最小值
解：
，代入可得：
答案：
例4：已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：题目所给条件围绕着与，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：，从而模长平方变成数量积问题，可得：，将视为一个整体，则可配方求出最小值
解：
答案：A
小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是
例5：已知平面向量的夹角，且，若，则的取值范围是__________
思路：由和夹角范围即可得到的范围，从而可想到将模长平方，再利用转变为关于的问题，从而得到关于夹角的函数，求得范围。
解：
答案：
例6：已知，，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由条件可得，所以考虑将模长平方，从而转化为数量积问题，代入的值可得到关于的二次函数，进而求出最小值
解：
答案：D
例7：已知直角梯形中，∥，为腰上的动点，则的最小值为__________
思路：所求难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点的纵坐标与梯形的高相关，可设高为，，，则，所以，，即
答案：
例8：如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将进行表示，从而模长平方后可写成关于的表达式，再利用即可消元。
解：
答案：C
例9：已知与的夹角为，，，且，,
在时取到最小值。当时，的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题含两个变量，且已知范围求的范围，所以考虑建立和的关系式，
，从而考虑模长平方，向靠拢，可得：，所以当达到最小值时，，由可得解得，即
解：
时，取得最小值
，所以不等式等价于：
答案：C
例10：已知中，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的范围是__________
思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设，则，设，则由可得，已知条件，所求模长平方后可得，所以问题转化为已知求的最大值。考虑，，寻找两个式子的联系，有，所以，即，从而，而另一方面：由及（符合直线的方程）可得：，所以（时取等号），所以综上可得：
答案：
三、历年好题精选（模长综合）
1、点是的重心，若，则的最小值为__________
2、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_________
3、已知是单位向量，且，若满足，则的范围是_______
4、在中，，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________
5、设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
6、已知向量满足
与的夹角为，，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
7、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则的取值范围是_________
8、（2015，湖南）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
9、已知为非零向量，，若，当且仅当时，取到最小值，则向量的夹角为_______
10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量满足，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
11、（2016，贵阳一中四月考）已知点是的重心，若，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
习题答案：
1、答案：
解析：
为的重心，延长交于，则是中线
2、答案：
解析：，代入已知条件可得：
3、答案：
解析：设，因为是单位向量，且，所以为模长是的向量，由已知可得，所以数形结合可知：，从而的范围是
4、答案：
解析：由余弦定理可得：
5、答案：C
解析：由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，
6、答案：D
解析：设；
以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵与的夹角为，
则，设
∵
即
表示以为圆心，以1为半径的圆，
表示点A，C的距离即圆上的点与点的距离；
∵圆心到B的距离为，
∴的最大值为．
7、答案：
解析：设，中点
由圆可得：
在以为圆心，半径的圆上
即
8、答案：B
解析：由可知为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以关于原点对称，设，则，设，所以可得：，所以，则，因为在圆上，所以，代入可得，故
9、答案：
解析：，设，因为时，取得最小值，所以的对称轴，所以，所以夹角为
10、答案：D
解析：以为基底建立直角坐标系，可知，设
即到的距离和为，
在线段上，直线方程为
，即线段上动点到定点的距离
通过数形结合可得：
所以的取值范围是
11、答案：C
解析：，可知，设为底边上的中线，
由重心性质可得：
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微专题25
定积分
一、基础知识
1、相关术语：对于定积分
（1）称为积分上下限，其中
（2）：称为被积函数
（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为
2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解
3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：
（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么
使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：
①
寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）
②
如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质：假设存在
（1）
作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度
（2）
作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如
（3），其中
作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。
5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算
（1）若为奇函数，则
（2）若为偶函数，则
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：
（1）通过作图确定所求面积的区域
（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数
（3）若时，始终有，则该处面积为
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况
（1）构成曲面梯形的函数发生变化
（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。
二、典型例题：
例1：已知函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：在的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：，而，对于无法找到原函数，从而考虑其几何意义：，为单位圆面积的，即，所以
答案：B
小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分
（2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同
例2：（
）
A.
B.
C.
D.
思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。，所以：
答案：C
例3：设，则________
思路：本题可以通过对的符号进行分类讨论，将写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解，但若观察到为偶函数，则可利用对称性得：
答案：
例4：已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先按部就班求解定积分，再解出关于的方程即可：
解：
解得
答案：D
例5：由曲线（为参数）和围成的封闭图形的面积等于___________
思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为，结合图象可得：
答案：
例6：设（其中为自然对数的底数），则的图像与以及轴所围成的图形的面积为___________
思路：作出图像可得恒在轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：
答案：
例7：曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为，下方为，自变量的取值范围为，其中，，所以所求面积为
答案：D
例8：如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线所围成的阴影部分的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在中，与的交点横坐标为，所以时，余弦函数位于上方，，在处，正弦函数位于上方，
所以
答案：D
小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可
（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至右侧。新的阴影部分始终位于上方，可求得阴影部分位于，所以
例9：已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
①
②
③
④
函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在
其中为区间上的“等积分”函数的组数是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在处的积分，再判断是否相等即可。
解：①
所以①为“等积分”
②
为奇函数，为偶函数
③
由几何含义可得：
所以③为一组“等积分”函数
④
因为为奇函数，所以
④为一组“等积分”函数
综上所述，①③④为“等积分”函数
答案：C
例10：已知函数，直线（为常数，且），直线与函数的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当变化时阴影部分的面积的最小值为___________
思路：可解得与直线的交点为，从而用可表示出阴影部分面积：，化简后可得：，再通过导数分析单调性即可求出的最小值
解：与的交点为：，解得：
所以阴影面积
设，则
在单调递减，在单调递增
答案：
小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法
（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“”后面的字母），然后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。
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微专题13
利用数学模型解决实际问题
一、基础知识：
1、使用函数模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值
（2）需用到的数学工具与知识点：
①
分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。
②
导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值
③
均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。
④
分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解
（3）常见的数量关系：
①
面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：
平行四边形面积底高
梯形面积（上底下底）高
三角形面积底高
②
商业问题：
总价单价数量
利润营业额成本货物单价数量成本
③
利息问题：
利息本金利率
本息总和本金利息本金利率本金
（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。
2、使用线性规划模型解决实际问题
（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
（2）与函数模型的不同之处
①
函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）
②
线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。
（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决
（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小
3、使用三角函数模型解决实际问题
（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关
（2）需要用到的数学工具与知识点：
①
正弦定理：设三边所对的角分别为，则有
②
余弦定理（以和对角为例），
③
三角函数表达式的化简与变形
④
函数的值域
（3）解题技巧与注意事项：
①
在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中
②
在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示
③
在图形中要注意变量的取值范围
二、典型例题：
例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在
的延长线上，在的延长线上，且对角线过
点。已知米，米。
（1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围；
（2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。
（1）思路：根据相似三角形可得线段比例：，从而解出，则，从而可得，解出的范围即可
解：
依题意可得：
解得：
（2）思路：求面积的最大值，即求表达式的最大值，分离常数求解即可
解：设
设，则
则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即
此时，所以
答：当时，四边形的面积最大，为
例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（1）求的值；
（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
解：（1）将代入关系式可得：
（2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点
解：依题意所获利润
化简可得：
令，即解不等式
解得
在单调递增，在单调递减
在取得最大值，即
例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格
（单位：元/kg）满足关系式，其中
为常数.已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg.
（1）求的值；
（2）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大.
解：（1）当时，，解得：
（2）思路：依题意可得销售商品所获得利润，所以也是一个分段函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出的最大值。
解：设商品利润为，则有，由第（1）问可得：
当时，
则
令，由
解得：
在单调递增，在单调递减
当时，
在单调递减
例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付
（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？
（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
解：（1）第8天剩余配料为（千克）
第9天剩余配料为千克
该厂用于配料的保管费为：（元）
（2）当时，
当时，
综上所述：
设为平均每天支付的费用，则
当时，，当时，
当时，
等号成立条件：
（元）
例5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务，乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元，如何安排甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少人？
思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为，乙校人数为，所求问题为目标函数，列出约束条件后通过数形结合即可求出的最大值
解：设甲校人数为，乙校人数为，依题意，应满足的条件为：
目标函数，通过数形结合可得。动直线经过时，取得最大值
例6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，。
（1）分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间
解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到处时间短，所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。
解：从图形可得：，所以（s）
而，所以（s）
，所以救生员的选择是正确的
（2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量
，并构造出时间关于的函数
，再求出的最小值即可。不妨设，则，所以时间，再求导求出的最小值即可
解：设，则，设所用时间为
令，即解不等式
，解得：
在单调递减，在单调递增
（秒）
答：当时，救生员所用的时间最短，为秒
答：甲，乙两校参加活动的人数分别为6和5时，受到服务的老人最多，最多为43人
例7：某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为间，小房间为间，每天的房租收益为元），求各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？
思路：本题的主要变量是，从题目中可发现对的约束条件有3个，一个是房间数必须是非负整数，所以，第二个条件是室内面积为，所以大小房间面积和要不大于，第三个条件是装修费用总和不高于8000元，据此列出约束条件：，所求收益，所以该模型为线性规划问题，数形结合即可。
解：依题意可得对的约束条件为：
，所求目标函数为
作出可行域，依图可得：直线过或时，最大，即
答：当大房间为3间，小房间为8间；或者不设大房间，小房间为12间时，收益最大，最大值为元
例8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是的圆面，该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米
（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面半径的值
（2）因地理条件的限制，边界不能变更，而边界可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值
解：（1）在中，由余弦定理可得：
①
在中，由余弦定理可得：
②
因为四边形内接于圆
所以由①②可得：
解得：
（万平方米）
由余弦定理可得：
（2）设，可知
由（1）可知
若要面积最大，只需最大
在中，由余弦定理可得：
即
，即当且仅当时，等号成立
所以四边形的最大面积为万平方米
例9：如图是一块平行四边形园地，经测量，，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积比为的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设（单位：m）
（1）当点与点重合时，试确定点的位置
（2）求关于的函数表达式
（3）试确定点的位置，使得直路长度最短
解：（1）当与重合时，（设为平行四边形的高）
依题意可得：即
即为的中点
（2）在线段上
当时，可得在线段上
在中
当时，点在线段上，此时四边形为梯形或平行四边形
，由得：
当时，
当时，
即
综上所述可得：
（3）即求的最小值
当时，
等号成立条件：
当时，
等号成立条件：
，此时
例10：如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图像，图像的最高点为，边界的中间部分为长1千米的直线段，且∥，游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧
（1）求曲线的函数表达式
（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口，修一条笔直的景观路到，求景观路的长度
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行
四边形休闲区面积的最大值及此时的值
解：（1）由可知，
对于，
此时，由图像过可得：
曲线的函数表达式为
（2）由已知可得
或
解得：或，由可得：
（3）由图可知，
过作轴于
在中
在中
时，的最大值为
PAGE微专题06
函数的图像
一、基础知识
1、做草图需要注意的信息点：
做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点
（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线
特点：两点确定一条直线
信息点：与坐标轴的交点
（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确
特点：对称性
信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点
（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线
特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线
信息点：渐近线
注：
（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线
例如：
当时，，故在轴正方向不存在渐近线
当时，，故在轴负方向存在渐近线
（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线
例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线。
综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。
例：作出函数的图像
分析：定义域为，且为奇函数，故先考虑正半轴情况。
故函数单调递增，，故函数为上凸函数，当时，无水平渐近线，时，，所以轴为的竖直渐近线。零点：，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到完整图像：
2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数
（1）平移变换：
：的图像向左平移个单位
：的图像向右平移个单位
：的图像向上平移个单位
：的图像向下平移个单位
（2）对称变换：
：与的图像关于轴对称
：与的图像关于轴对称
：与的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的
（4）翻折变换：
：即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于轴对称的图像
：即轴上方的图像不变，下方的图像沿轴对称的翻上去。
3、二阶导函数与函数的凹凸性：
（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，
若一个函数的增减图像为
则称函数为下凸函数
若一个函数的增减图像为
则称函数为上凸函数
（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快
下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢
（3）与导数的关系：设的导函数为（即的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随的增大而增大，即为增函数；上凸函数随的增大而减小，即为减函数；
综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。
二、方法与技巧：
1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：
（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分
（3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察
（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定
2、利用图像变换作图的步骤：
（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图像变换）
（2）找到所求函数与的联系
（3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。
例如：作图：
第一步寻找模板函数为：
第二步寻找联系：可得
第三步制定策略：由特点可得：先将图像向左平移一个单位，再将轴下方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可
3、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①
若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换
②
若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①
横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
②
横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化
例如：可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即
方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位
③
纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行
例如：有两种方案
方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即
方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）
4、变换作图的技巧：
（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性
（2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等
三、例题精析：
例1：己知函数，其导数的图象如图所示，则函数的极大值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由图像可知：时，,单调递增，时，,单调递减，所以的极大值为
答案：B
小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在轴的上方还是下方，导函数的符号决定原函数的单调性
例2：设函数可导，的图象如图所示，则导函数的图像可能为（ ）
思路：根据原函数的图像可得：在单调递增，在正半轴先增再减再增，故在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D符合
答案：D
小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D中“
负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正’”，那么可观察第二条标准：从图上看在负半轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随的增大而增大，进而导函数在负半轴也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征
例3：函数的部分图象为（
）
思路：，可得在单调递增，在单调递减，且可估计当，即，所以为函数的渐近线，当由此可判断出图像正确
答案：A
小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通过单调性也可排除其他三个选项
（2）关于渐近线的判断：对于，可这样理解，时，均趋向正无穷，但的速度更快，进而伴随着，将远远大于，进而比值趋于0，当,增长速度的排名为：直线（一次函数）<二次函数<指数函数
例4：函数的图像可能是（
)
思路：观察解析式可判断出为奇函数，排除A,C.
当时，,故选择B
答案：B
小炼有话说：有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的解析式。
例5（2015
浙江文）：函数
的图像可能为（
）
思路：观察4个选项的图像，其中A，B图像关于轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性，可判断出
所以为奇函数，排除A，B，再观察C,D的区别之一就是的符号，经过计算可得，所以排除C
答案：D
例6：已知为的导函数，则的图像是(
)
思路：，，可判断为奇函数，图像关于原点中心对称，排除。因为，排除。故正确。
答案：A
小炼有话说：可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于选项而言，其不同之处有两点，一点是从处开始的符号，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在轴正半轴中靠近轴的函数值小于零，从而选择最接近0的特殊角，除此之外，图像的不同之处还在于从开始时的单调性，所以也可对求导，，则时，，即应先减再增。所以排除C
例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是(
)
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间上导函数的值为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区间上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所以不正确.故选B.
答案：B
小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。
例8：已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
思路：由图像可得：时，，时，，所以所解不等式为：或，可得：
答案：D
例9：函数的大致图象如图所示,则等于(
)
A.
B.
C.
D.
思路：由图像可得：为的极值点，为函数的零点
,即是方程的两个根，
,,
由
答案：C
小炼有话说：在观察一个函数图像时，有几个地方值得关注：
极值点——单调区间的分界点，导函数的零点；
零点——函数符号的分界点；
单调性——决定导函数的符号。
例10：（2015
安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察函数图像突出的特点便可确定的符号：特点1：渐近线在正半轴，从解析式可知的竖直渐近线为即，所以
特点2：
时，仍大于0，通过解析式可得的符号由决定，所以从“时，仍大于0”中可推断出
特点3：图像与轴交点纵坐标为正，，所以
综上所述，选项
答案：C
x
y
O
图1
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x
PAGEwww.
微专题19
利用函数证明数列不等式
利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。
一、基础知识：
1、考察类型：
（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题
2、恒成立不等式的
（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。
（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式
3、常见恒成立不等式：
（1）
对数→多项式
（2）
指数→多项式
4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：
（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点
（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）
（3）等比数列求和公式
（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。
注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。
5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。
6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向
7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）
8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）
二、典型例题：
例1：
已知函数在处取得极值
（1）求实数的值
（2）证明：对于任意的正整数，不等式都成立
解：（1）
为的极值点
（2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在中，存在对数，且左边数列的通项公式也具备项的特征，所以考虑分析与的大小关系，然后与数列进行联系。
解：下面求的单调区间
,令
即（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式，不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）
令，则即
即
小炼有话说：
（1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（），通过对应项的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值，而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：①关注函数最值所产生的恒成立不等式
②注意不等号的方向应该与所证不等式同向
（2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关），所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点
思路二：发现不等式两边均有含的表达式，且一侧作和，所以考虑利用数学归纳法给予证明：
解：用数学归纳法证明：
①
当时，不等式为成立
②
假设时，不等式成立（即）
当时，若要证
只需证
（下同思路一：分析的最值可得）
令，由恒成立不等式可得
即所证不等式成立
③
，均有
小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点：（1）格式的书写
（2）要利用所假设的条件
例2：
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围
（3）求证：（其中是自然对数的底数）
解：（1）常规解法，求出单调区间找最值
,令求出单调区间如下：
（2）解：函数图像上的点都在区域内，
条件等价于,恒成立，即
令
令即
①
时，
不符合题意
（此时发现单调性并不能直接舍掉的情况，但可估计函数值的趋势，恒为正，而早晚会随着值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需即可，所以选择）
②
时，即
在单调递减
，符合题意
综上所述：
（3）思路：观察所证不等式，左边连乘，右边是，可以想到利用两边取对数“化积为和”，同时利用第二问的结论。第二问给我们提供了恒成立的不等式，时，，取，即，则可与左边的求和找到联系。
解：所证不等式等价于
由（2）可得，令，即
（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消）
不等式得证
小炼有话说：
（1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路），以及如何将约束条件转变为恒成立问题
（2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式
（3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题
例3：
已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求满足条件的正整数的值；
（3）求证：.
解：（1）
若
当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
（2）思路：不等式等价于，即
而在第（1）问中即为的分子，故考虑利用来确定的符号，进而求出的单调区间及最值
解：
，由（1）得单调递增
,(尽管无法直接求出的零点，但可估计出且，所以可估计零点的所在区间）
的单调区间如下：
（3）思路：由第（2）问得时，均有，所证不等式可两边同取对数“化积为和”，再考虑利用结论进行放缩
解：所证不等式等价于：
由第（2）问可得：
即原不等式成立。
（如果从第一项就进行缩小，则，发现缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）
小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下：
（1）第二问中对零点的处理，参见：3.1.3
最值分析法
（2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常越大，放缩的程度越小），所以考虑数列前几项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。
例4：设函数，其中。:
（1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；
（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立。
解析：
（1），令即解不等式
①
时
方程的两根，
的单调区间为：
②
时，恒成立
在单调递增
（2）考虑时，则
令
在恒成立
在单调递增
，令
即：
例5：已知函数的最小值为0，其中。
（1）求的值
（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值
（3）证明：
解：（1）,定义域
令解得，的单调区间为：
（2）当时，取，有，故不合题意。
当时，令，即。
，令，得
当时，在上恒成立
因此在上单调递减，
对于任意的，总有，即在上恒成立。
故符合题意。
当时，
，，在内单调递增，
取时，，即不成立。
故不合题意
综上，的最小值为。
（3）由第（2）问可得：当时，不等式恒成立
令
即
即
例6：
已知函数
（1）求的最大值；
（2）证明不等式：。
解：（1），令，单调区间如下：
（2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为，无法直接求和，所以考虑利用条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将放缩为等比数列模型。由（1）可得，令进行尝试
解：由（1）可得
令，即
（寻找次方的来源）
不等式得证
小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项）。
例7：函数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：.
（1）解：恒成立不等式等价于：，令
(注：在中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）
可视为关于的一次函数且递增
令
则对
恒成立。若要，只需，下面进行证明：
,只需证即可
考虑时，
从而
（注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点,但要利用零点存在性定理估计所在区间）
,使得
且当
在单调递减，在单调递增
恒成立
,进而对每一个均满足
（2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为(注意左边是项求和），考虑利用前面条件对通项公式放缩：令，则恒成立，但如果直接进行代入，不等号右边的无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将挪至左侧并与合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和
解：由（2）可得：
令
可得
(注：通项公式为，而恒成立不等式中的三角函数为，所以令，反求即可）
小炼有话说：
（1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见3.3.3有关内容），在证明上需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的代替，但要确定好所处的大概区间
（2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将与进行合角，而不是直接代入)的应用是本题的一大亮点。方程，不等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构造时要关注所求不等式的结构特点。
（3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个是左边求和的项数是项，第二个在中，同一个所代表的含义不同。分母每一项都是,与项数相关。给定一个，数列项的分母就固定了。而分子的代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变化的，从1变到,在，同一个在分子分母中扮演的角色不同。所以在写通项公式时，引入了字母用来区分序数与项数。
例8：定义：若在上为增函数，则称为“次比增函数”，其中，已知:
（1）当时，求函数在上的最小值
（2）求证：
解：
（1）
令解得
在单调递减，在单调递增
①
时，
②
，
③
，
综上所述：
（2）由第（1）问可得：时，，即
所求和的通项公式为，由可得：
，
令，可得：
例9：已知函数
（1）设，讨论函数在区间上的零点个数
（2）记，若对任意正整数，对任意恒成立，则称在上是“高效”的。试判断是否在上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由
解：（1），令即
的零点个数即为函数与交点的个数
设，，令解得
单调区间如下：
，草图如下：
或时，无零点
或，一个零点
，两个零点
（2）思路：观察到结构上与（2）中的很相似，而实质上是，故考虑对每一项进行放缩使得求和具有规律性，结合的特点可写成（将视为整体），进而利用单调性进行放缩
解：单调区间如下：
（，进而放缩为，而可放缩为能够裂项求和的式子。）
在上是“高效”的
小炼有话说：
（1）此题中的第（2）问对第（3）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要善于利用前面问题的条件与结论
（2）第（3）问的关键之处在于寻找与的联系，以及通过不等关系消
（3）求和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中的放缩技巧如下：
而左右两边均可裂项求和
例10：
已知函数
（1）若在定义域内为减函数，求的范围
（2）若满足，试证明：时，
解：（1）为减函数
（2）思路：由（1）可得为减函数，进而即，所求是有关的不等关系（①有的指数幂，所以可能与自然对数相关，②考虑数列的单调性），已知条件是递推数列，可尝试利用递推公式寻找不等关系求解。
解：
单调递增
时，
即
（利用进行放缩，消掉多余的，由，联想到是可裂项的。再由的特点决定两边同取对数）
由（1）可得为减函数，进而即
（再次利用不等关系去掉根式，且降低项的次数，进而不等号右侧可求和。
所用不等关系：）
得证
小炼有话说：
（1）对付较复杂的题目，首先要把准备工作做好，在第三问中你可做的准备工作有这些：
①如果你计算了，也许就知道左边的的来源进而决定进行数列单调性分析。
②如果你观察了递推公式，便可发现有可处理的地方
③如果你观察了所证不等式的右边，便会由的指数幂联想到对数不等式
④如果利用第一问出个可用的不等式结论，也许你就发现了对数与根式的不等关系
这些准备工作不会直接得到答案，但是起码会给你提供一些方法和可选择的道路
（2）第三问依然用到了数列求和，有关消项的求和通常有两种，一种是相邻的项做差（累加法），另外一种就是相邻的项做商，此时利用对数即可将“累乘消项”转变为“累加消项”
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微专题44
线性规划中的非常规问题
一、基础知识：
在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。在处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算。做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。
二、典型例题：
例1：不等式组所表示的平面区域为，若的面积为，则的最小值为________
思路：先作出平面区域。直线，可判断出过定点，通过作图可得平面区域为直角三角形。所以三角形面积。从而，因为，所以
答案：32
例2：关于的不等式组所确定的区域面积为，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：要求出的最值，则需要的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为，宽为，所以，即，作出双曲线，通过平移可得直线与相切时，取得最小值。即：
解得，所以的最小值为
答案：B
例3：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是（
）
A.
或
B.
C.
D.
或
思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线为一组平行线，在平移的过程中观察能否构成一个三角形。一方面，本身就构成一个三角形。所以当时，不等式组的区域与区域相同，从而符合题意。继续将直线向下平移。可得时，不等式组的区域为一个四边形。当时，从的区域中切割出来了一个三角形。所以符合题意。而时，不等式组无公共区域。综上所述，或
答案：A
例4：已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为_______
思路：作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。，所以外接圆圆心为中点，半径为，所以圆方程为
答案：
例5：过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为(
)
A.
B.
C.
D.
思路：通过作图可知与关于对称，从而，从而问题转化为寻找的最小值。可利用三角函数，，且，所以越大，则越小，从而越小。将问题转化为在平面区域中寻找距离最远的点。通过数形结合可得点，所以。从而
答案：C
例6：(2013,北京，8)设关于的不等式组，表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是__________
思路：约束条件含参，但两条直线有特点，和的交点，依题意可得平面区域与直线有公共点，结合图像可判断出，从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直角三角形（如图）。若区域与有公共点，则只需位于的下方即可。因为的下方区域对应的不等式为，代入可得
答案：
例7：当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是_________
思路一：先作出不等式组所表示的区域（如图），设，则有，，则要对斜率的符号进行分类讨论，若，从图上可看出，不符题意；时，不符题意；若，无论为何值，最优解在顶点处取得，所以代入区域的顶点，可得：
，解得
思路二：从恒成立的不等式入手，考虑进行参变分离。由约束条件可得，所以恒成立不等式为，所以，只需找到两个分式的最值即可，而由分式可联想到斜率，所以作出平面区域，分别找区域中的点与定点连线斜率的最值即可。（处取得），（处取得），可得：
答案：
例8：若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线为绕定点的一条动直线，设直线交于，若将三角形分为面积相等的两部分，则，观察可得两个三角形高相等，所以即为中点，联立直线方程可求得，则，代入直线方程可解得
答案：C
例9：在约束条件，当时，目标函数的最大值的变化范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：目标函数可化为，斜率为介于直线斜率之间，先在坐标系中作出的范围，再平移直线，在移动过程中可发现时，可行域为四边形；当时，可行域为三角形。所以进行分类讨论：当，可行域为四边形，最优解为，联立方程：，所以；当时，可行域为三角形，最优解在取到，此时，综上所述，
答案：D
例10：已知区域，则圆与区域有公共点，则实数的取值范围是__________
思路：先在坐标系中作出区域，圆的圆心为，半径为，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时，则，由圆心位置可得；当圆与相切时，
，所以
答案：
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微专题15
函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：
1、函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系
（1）函数在可导，那么在上单调递增
此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：
，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内。
（2）函数在可导，则在上单调递减
（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础）
3、利用导数求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域
（2）求出的导函数
（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间
（4）列出表格
4、求单调区间的一些技巧
（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解
（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式
（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）
（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数
（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。
5、求单调区间的一些注意事项
（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）
（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。
6、二阶导函数的作用：
①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于而言，决定的是的单调性。当时，单调递增，意味着随的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率随的增大而增大；同理，当时，单调递减，则切线斜率随的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？
单调增有三种：
其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说是决定函数单调性的，那么在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当，其图像特点为：
我们称这样的函数为下凸函数
（2）当，其图像特点为：
我们称这样的函数为上凸函数
②代数意义：当通过无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。
二、典型例题：
例1：下列函数中，在上为增函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题只需分析各个函数在上的单调性即可。A选项通过其图像可知显然在不单调；B选项，当时，，所以在单调递增；C选项可得在单调递减，在单调递增；D选项，可得在单调递增，在单调递减。综上，B符合条件
答案：B
例2：函数的单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先分析的定义域：，再观察解析式可得可视为函数的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于而言，对是减函数。所以如要求得增区间，则中对也应为减函数。结合定义域可得的单调增区间为
答案：D
例3：求函数的单调区间（2009宁夏，21题（1））
思路：第一步：先确定定义域，定义域为，
第二步：求导：
,
第三步：令,即
第四步：处理恒正恒负的因式，可得
第五步：求解,列出表格
例4：求函数的单调区间
解：定义域
令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程）
例5：求函数的单调区间
解：
令，即解不等式，解得
的单调区间为
↘
↗
↘
例6：求函数的单调区间
思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析
解：，当时，为减函数
当时，
在单调递增
综上所述：在单调递减，在单调递增
小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在时，利用之前所学知识可直接判断出单调递减，从而简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便
例7：（1）若函数在区间单调递增，则的取值集合是__________
（2）若函数的递增区间是，则的取值集合是___________
解：（1）思路：，由在单调递增可得：，。
（2）思路：的递增区间为，即仅在单调递增。
令，若，则单调递增区间为不符题意，若，则时，。所以
答案：（1），（2）
小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明在区间单调递增，那么也可以在其他区间单调递增，即是增区间的子集。而（2）明确提出单调增区间为，意味着不再含有其他增区间，为单调区间的分界点，从而满足条件的只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。
例8：，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______
思路：，有已知条件可得：，使得，即，只需，而，所以
答案：
小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。
（2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例6的条件改为“在上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法解出的的范围时，但当时，满足不等式的的解仅有，不能成为单调区间，故舍去，答案依然为
例9：设函数（其中是自然对数的底数），若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围
思路：条件中只是提到为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是恒成立或恒成立，进而求出的范围即可
解：
若在单调递增，则恒成立
即
，设
则
若在单调递减，则恒成立
即
，设
则，且当或时，
综上所述：或
例10：若函数在区间内单调递增，则取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
思路：先看函数的定义域，则在恒成立，
可看成是由的复合函数，故对进行分类讨论。当时，单调递增，所以需单调递增，，与矛盾；当时，单调递减，所以需单调递减，
答案：B
小炼有话说：
（1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点
（2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的），可分别分析底数与1的大小（对数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性特点（同增异减），故本题对底数以1为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。
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微专题38
向量的数量积——数量积的投影定义
一、基础知识
1、向量的投影：
（1）有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果实数满足，且当与轴同向时，，当与轴反向时，，则称为轴上有向线段的值。
（2）点在直线上的投影：若点在直线外，则过作于，则称为在直线上的投影；若点在直线上，则在在直线上的投影与重合。所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量，若的起点在所在轴（与同向）上的投影分别为，则向量在轴上的值称为在上的投影，向量称为在上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记为向量的夹角
（1）为锐角：则投影（无论是在上的投影还是在上的投影）均为正
（2）为直角：则投影为零
（3）为钝角：则投影为负
3、投影的计算公式：以在上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现
（1）当为锐角时，，因为，所以
（2）当为锐角时，，因为，所以即
（3）当为直角时，，而，所以也符合
综上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以两向量的夹角
4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：
向量数量积公式为，可变形为或，进而与向量投影找到联系
（1）数量积的投影定义：向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即（记为在上的投影）
（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：
即数量积除以被投影向量的模长
5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题
（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
二、典型例题：
例1：已知向量满足，且，则在方向上的投影为（
）
A．3
B．.
C．
D．
思路：考虑在上的投影为，所以只需求出即可。由
可得：，所以。进而
答案：C
小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长
例2：如图，在中，，是边上的高，则的值等于（
）
A．0
B．4
C．8
D．
思路：由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以
答案：B
例3：两个半径分别为的圆,公共弦长为3，如图所示，则__________.
思路：为两个圆的公共弦，从而圆心到弦的投影为的中点，进而在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。
解：取中点，连结，由圆的性质可得：
例4：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（
）
A. 4
B.
C.
D.
思路：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以
答案：B
小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。
例5：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
思路：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是
答案：
例6：已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________
思路：题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。即，只需计算的模长即可
解：当与同向时，在上的投影最大
在中，
即
答案：
例7：如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：在所给菱形中方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可，而点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的，结合图像可发现的投影距离最远，所以，再由表示后进行数量积运算即可
解：
答案：9
小炼有话说：
（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况
（2）在找到取到最值的点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。
例8：如图，在等腰直角中，，点分别是的中点，点是内（包括边界）任一点，则的取值范围是____________
思路：因为点为内任一点，所以很难用定义表示出，考虑利用投影定义。由长为定值，可得为乘以在上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过作的垂线，则点的投影为，当在点时，
在上的投影最大且为线段的长，当在点时，
在上的投影最小，为，分别计算相关模长即可。在图中有条件可得：
，所以可得：，则，所以，由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为
答案：
例9：已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则_________
思路：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。考虑到为直径，所以延长交圆于，即可得，则在上的投影向量为。所求，而由联想到相交弦定理，从而。考虑与已知条件联系求出直径上的各段线段长度。由射影定理可得：，且，所以解得，再由为的中点可得，所以，进而
答案：
例10：已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则。由及所求可想到投影与数量积的关系，即在上的投影相等，即可得到平分。再分析，且为的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分，而与和向量共线，从而平分，由此可得为的内心，作出内切圆。所求也可视为在上的投影，即，由内切圆性质可得：，所以，且有，可解得
答案：C
小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。
三、历年好题精选（数量积三种求法综合）
1、如图：在平行四边形中，已知，，则的值是
.
2、已知的半径为1，四边形为其内接正方形，为的一条直径，为正方形边界上一动点，则的最小值为_________
3、已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4、已知是单位圆上互不相同的三个点,且满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5、如图，是半径为1的圆上两点，且，若点是圆上任意一点，则的取值范围是__________
6、（2015，福建文）设，若，则实数的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
7、（2015，天津）在等腰梯形
中,已知
,动点和分别在线段和上,且,
则的最小值为
____
答案：
8、（2015，山东）已知菱形的边长为，则（
）
A.
B.
C.
D.
9、（2015，福建）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（
）
A.
B.
C.
D.
10、（2016，无锡联考）如图，已知正方形的边长为2，点为的中点．以为圆心，为半径，作弧交于点．若为劣弧上的动点，则的最小值为________
11、（2016，南京金陵中学期中）如图，梯形中，∥，若，则_______
12、已知圆的直径为，点是圆周上异于的一点，且，若点是圆所在平面内一点，且，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
13、如图，在半径为1的扇形中，为弧上的动点，与交于点，则最小值是__________
14、如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
15、在直角梯形中，，，且，是的中点，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
16、如图，在平行四边形中，，点在边上，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：
解析：，，
所以，
即，解得．
2、答案：
解析：以为坐标轴建系，则，设
，所以的最小值只需找到的最小值
即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得：
3、答案：C
解析：考虑如图建立坐标系，可得：，内切圆方程为：，故设，则
设，可得，
再由可得：，所以
4、答案：B
解析：设，则由可得：
，其中
当时，可得
5、答案：
解析：方法一：以为原点，为轴建系，则，设，则。所以
方法二：考虑在上的投影为中点，利用数量积投影定义数形结合可知取最大值时，与重合；当取最小值时，在反向延长线与圆的交点处，经计算可得：
6、答案：A
解析：由已知可得：，因为，所以
7、答案：
解析：因为
，，
，
当且仅当即时的最小值为.
8、答案：D
解析：
9、答案：A
解析：以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则，为单位向量，坐标为，，则
所以，因为，所以
10、答案：
解析：可依正方形以为坐标轴建系，则，其中，，，
其中，所以当时，取到最小值，为
11、答案：0
解析：依题意可得：
12、答案：C
解析：因为为直径，所以可知，设，则，以为原点，所在直线为轴建系，可得，且为的单位向量，则坐标分别为，所以，即，可得到，则，由可得
13、答案：
解析：点在上的投影为中点，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知在线段上时，，设，则，所以的最小值为
14、答案：B
解析：
设，其中，则由可得：
15、答案：D
解析：如图可依直角建立坐标系，则，所以，由可知，所以，所以
16、答案：D
解析：可知，
由已知可得：，代入可得：
PAGE微专题11
函数零点的性质
一、基础知识：
1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：
（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点
（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫
（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点
2、此类问题的处理步骤：
（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像
（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围
（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，
3、常见处理方法：
（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值
（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系
二、典型例题：
例1：已知函数，若，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先做出的图像，通过图像可知，如果，则，设，即，由范围可得：，从而，所以，而，所以
答案：C
小炼有话说：（1）此类问题如果图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点
（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量，从而用表示出，达到消元效果，但是要注意是有范围的（通过数形结合需与有两交点）；一个是通过图像判断出的范围，从而去掉绝对值。
例2：已知函数
，若有三个不同的实数，使得
，则的取值范围是________
思路：的图像可作，所以考虑作出的图像，不妨设，由图像可得：
，且关于轴对称，所以有，再观察，且，所以，从而
答案：
小炼有话说：本题抓住关于对称是关键，从而可由对称求得，使得所求式子只需考虑的范围即可
例3：定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，，且满足方程即，解得：，关于轴对称，
答案：B
例4：已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：从解析式中发现可看做与的交点，可看做与的交点，且，从而均可由进行表示，所以可转化为关于的函数，再求最小值即可
解：由图像可得：
答案：B
例5：已知函数有两个不同的零点，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可将零点化为方程的根，进而转化为与的交点，作出图像可得，进而可将中的绝对值去掉得：
，观察选项涉及，故将②①可得：，而为减函数，且，从而，即
答案：D
例6：已知函数，存在，，则的最大值为
思路：先作出的图像，观察可得：，所求可先减少变量个数，利用可得：，从而只需求出在的最小值即可：，所以函数在单增，在单减。从而
答案：
例7：已知定义在上的函数满足：
，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先做图观察实根的特点，在中，通过作图可发现在关于中心对称，由可得是周期为2的周期函数，则在下一个周期中，关于中心对称，以此类推。从而做出的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看图像，，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，其中，与
关于中心对称，所以有。所以
答案：C
例8：函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有以下四个结论
①
②
③
④
若关于的方程恰有三个不同实根，则的取值唯一
则其中正确的结论是（
）
A.
①②③
B.
①②④
C.
①③④
D.
②③④
思路：本题涉及到的取值，及4个交点的性质，所以先作出的图像，从而从图上确定存在个交点时，的范围是，所以①正确。从图像上可看出在同一曲线，
在同一曲线上，所以②③在处理时将放在一组，放在一组。
②涉及到根的乘积，一方面为方程的两根，所以由韦达定理，可得，而为方程的两根，且，从而，即，所以有，②正确
③由②中的过程可得：，，所以，从而，而，
设，则为增函数，所以
③正确
④可将问题转化为与的交点个数问题，通过作图可得的值不唯一
综上所述：①②③正确
答案：A
例9：已知函数，若，且，则的值（
）
A.
恒小于2
B.
恒大于2
C.
恒等于2
D.
与相关
思路：观察到当时，为单调函数，且时，的图像相当于作时关于对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得时，必在两段上。设
，可得，考虑使用代换法设，从而将均用表示，再判断与的大小即可。
解：设，不妨设，则
若，则为减函数，且
若，则为增函数，且
的值恒大于2
答案：B
例10：定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为（
）
A．
B．
C．
D．
思路：从可得：函数是以区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，同时竖直方向上缩为原来的，从而先作出时的图像，再依以上规律作出的图像，的零点无法直接求出，所以将转化为，即与的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可归纳出中极大值点为，所以所有零点之和为
答案：D
小炼有话说：（1）本题考查了合理将轴划分成一个个区间，其入手点在于的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。
（2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现恰好与相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当时，，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置
三、近年模拟题题目精选
1、（2016四川高三第一次联考）已知函数，若存在，当时，，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2016，苏州高三调研）已知函数有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则_________
3、已知函数的零点分别为，则的大小关系是_______
4、已知函数的零点为，有使得，则下列结论不可能成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
5、已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6、已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：C
解析：如图可知：
2、答案：
解析：，即与恰有三个公共点，通过数形结合可得：横坐标最大值为直线与曲线在相切的切点。设改点，的导数为，所以，代入到所求表达式可得：
3、答案：
解析：
，在同一坐标系下作出如图所示可得。令，解得，所以，从而
4、答案：C
解析：可判断出为减函数，则包含两种情况，一个是均小于零。可知当时，。所以的零点必在中，即，A选项可能；另一种情况为，则，即B,D选项可能。当时，由和为减函数即可得到不再存在零点。
5、答案：B
解析：作出的图像可知若有四个不同的解，则，且在这四个根中，关于直线对称，所以，，所以，即，所以，由可得的范围是
6、答案：B
解析：不妨设，作出的图像可知若与有四个不同交点，则，且关于轴对称。所以有即
因为，所以，求出该表达式的范围即为www.
微专题48多变量表达式的范围——数形结合
一、基础知识：
1、数形结合的适用范围：
（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组
（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）
2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决
3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式
4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。
二、典型例题
例1：三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先由减函数的条件得到的关系，，所以时，恒成立，通过二次函数图像可知：，由关于的不等式组可想到利用线性规划求得的取值范围，通过作图可得
答案：D
例2：设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：首先考虑变形，若想得到的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由可得：，所以关于中心对称，即，所以：
，利用单调递增可得：，所以满足的条件为①，所求可视为点到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以为圆心，半径为的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是，所以
答案：C
例3：已知函数是上的减函数，函数的图像关于点对称，若实数满足不等式，且，则的取值范围是_____
思路：从所求出发可联想到与连线的斜率，先分析已知条件，由对称性可知为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：
，即，所以有。再结合可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是
答案：
例4：已知是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由极值点可想到方程的根，，依题意可得：的两根分别在中，由二次函数图像可知：，且所求可视为与定点连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出可行域，数形结合可知的范围是
答案：A
例5：已知实系数方程的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则的取值范围是_________
思路：以抛物线离心率为突破口可得是方程的根，设，则，从而，进而因式分解可知，所以椭圆与双曲线的离心率满足方程，设，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知一根在，一根在，所以，由不等式组想到利用线性规划求的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到
答案：
例6：已知三个正实数满足，则的取值范围是______
思路：考虑将条件向与有关的式子进行变形，从而找到关于的条件：，可发现不等式组只与相关，不妨设，则不等式组转化为：
即，所求恰好为的范围，作出可行域即可得到的范围为
答案：
例7：设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，，若，则的最大值为（
）
A．4
B．3
C．5
D．6
思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。题目所求为的表达式。所以可视其为核心变量，若要求得的最值，条件需要关于的不等式组。所以考虑利用与的关系将原先关于的不等式组替换为关于的等式组即可
解：设
，代入到约束条件中可得：，作出可行域即可解出的最大值为
答案：A
例8：若实数满足条件，则的取值范围是_________
思路：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则
答案：
小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为
例9：（2016，天津六校联考）已知实数满足，则的取值范围是________
思路：由，可建立直角坐标系，建立圆模型：，则圆上的点为，所求分式可联想到斜率，即可视为两点连线的斜率。数形结合可得：过的直线与圆有公共点时斜率的取值范围，设，即，解得：
答案：
例10：（2012江苏）已知正数满足：，则的取值范围是________
思路：可先将所给不等式进行变形：，，从而将所给不等式转化为关于的关系，为了视觉效果可设，则已知条件为：，而所求为，即可行域中的点与连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范围是，其中为与原点连线的斜率，为过原点且与曲线相切的切线斜率
答案：
小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下：
因为
另一方面：
，设，则
可得在单调递减，在单调递增
，即，令，则有
综上所述：
PAGEwww.
微专题24
恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。
一、基础知识：
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
①
观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
②
缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题：
例1：设，当时，恒成立，求的取值范围
思路：恒成立不等式为，只需，由于左端是关于的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法
解：恒成立不等式为，令则对称轴为
（1）当时，在单调递增，
即
（2）当时，在单调递减，在单调递增
终上所述：
小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。
思路二：从另一个角度看，本题容易进行分离，所以也可考虑参变分离法
解：
（1）时，则
(由于系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）
令（换元时注意更新新元的取值范围）
则
（2），不等式对任意的均成立
（3），(注意不等号变号！！）
令,则
综上所述：
小炼有话说：
（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比
（2）最后确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对进行的，的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集
例2：已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________
思路：若不等式恒成立，则，与差的最大值即为最大值与最小值的差。所以考虑求在的最大最小值，，若，则，所以，若，则，所以。而，所以无论为何值，，则在单调递增。，从而，解得
答案：
例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围
思路一：恒成立的不等式为即,令观察到两点特征：(1)导函数易分析单调性，（2）,对单调性会有一定要求进而限制参数的取值。所以考虑使用最值法求解。
解：恒成立即不等式恒成立，令
只需即可，
，令（分析的单调性）
当时
在单调递减，则
(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用）
当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）
若，单调性如表所示
（（1）可以比较的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在处取得，所以让它们均大于0即可。（2）由于并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若，则在上单调递增，，符合题意
综上所述：
小炼有话说：此题在的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在中是极大值点，不可能是最小值，所以无论是否在，最小值（或临界值）均只会在边界处产生，所以只需即可
思路二：不等式
中与便于分离，所以只要分离后的的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分离法
解：，令，则只需即可
（单调性受分子影响，但无法直接分析）
令，（求导函数，便不含，可分析单调性，且零点找到，所以方法二可继续进行）
在上单调递增
（体会零点配合单调性对确定函数符号的作用）
，在上单调递增
（无最大值，只有临界值，故可取等号）
小炼有话说：第一点是分析时由于形式复杂并没有对直接求导，而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析的重要原因
例4：
已知，若对任意的，均有，求的取值范围
思路：恒成立不等式为，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来分析。发现时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向
解：令，
（从起应单调递增）
令，即
下面分情况讨论：
时，恒成立，在单调递增
时，
，恒成立，在单调递增
时，
时，恒成立，在单调递增
时，
在单调减，在单调递增
，不符题意，舍去
综上所述：
小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍
例5：
已知函数对任意的，均有，求实数的范围
思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，，所以函数要从开始增，求导观察特点：
解：
（不易直接出单调性，但是发现其中，且再求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解）
，令即，下面进行分类讨论：
（1）当时，，单调递增。
单调递增，，满足条件
（此处为此题最大亮点，体会三点：①单调性与零点是如何配合来确定的符号的；②每一步的目的性很强，的作用就是以符号确定的单调性，所以解题时就关注的符号。而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；③
的零点是同一个，进而引发的连锁反应）
（2）当时，（可正可负，而，所以讨论
的符号）
①
当时，恒成立，即恒大于零，则：
单调递增。
单调递增，，满足条件
②
当，则时，即在单调递减，
在单调递减，，不符题意，故舍去
综上所述：时，恒成立
小炼有话说：这道题的重要特点在于的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。
例6：已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围
解：（1）
令即
①
当时，恒成立。在单调递增
②
当时，解得
（2）思路：恒成立不等式为，即
若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当时，左边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数的取值。
解：恒成立不等式等价于
设，
恒成立，
否则若，由于连续
所以必存在区间使得，即在单调递减
进而，，不符题意
（本质：，所以要保证从开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号）
（这是要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证均满足条件或者寻找一个更精确的范围）
下面证任意的均满足条件。
构造函数（时的）
则
，若要恒成立，只需证明即可
成立
在单调递增，
在单调递增，成立
时，恒成立，符合题意
小炼有话说：
（1）的构造的的解析式可看为以为自变量的一次函数，且单调递增（），所以对于，无论为何值，，即，与恒成立的不等式不等号方向一致。
（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数取值范围的验证。
（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数
首先先说考虑使用这个方法的前提：
①
以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）
②
参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中，而刚好关于单调递增，且要。故可引入位于与之间）
其步骤如下：
①
代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A
②
因为最终结果A的子集，所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围
③
如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小
④
证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A中的所有值均满足条件，即为最后结果
例7：
已知函数，若在区间上，恒成立，求实数的取值范围
思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用缩小的讨论范围
解：
令，即
（1）时，即，恒成立
在单调递减
满足条件
（2）时，，考虑，不符题意，舍去
（注：这里需要对函数值进行估计，显然，总有一个时刻，大于零，进而，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要即可，解得，进而舍掉的情况）
例8：已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数
（1）求的值
（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围
解：（1）
，切线方程：
，而且在切线中，
解得：
（2）思路：恒成立不等式为：，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于的符号不确定（以为界），从而需进行分类讨论。当时，不等式变形为：，设，可观察到，则若要时，，则需，进而解出，再证明时，即可。将的范围缩至时再证明时，即可。
解：由（1）可得恒成立的不等式为：
当时，
设，可得
若，则，使得时，
在单调递减
则时，与恒成立不等式矛盾
不成立
解得：
下面证明均可使得时，
在单调递增
，即不等式恒成立
当时，
同理，
在单调递增
即时不等式在
恒成立
综上所述，
例9：
设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）思路：由题意可知在处有公共点，且切线斜率相同
在处有相同的切线.
（2）思路：恒成立不等式为，尽管可以参变分离但分离后关于的函数结构复杂，不易分析单调性。所以考虑最值法
解：令，只需
令
均成立，
（上一步若直接求单调增区间，则需先对的符号进行分类讨论。但通过代入（，便于计算），解得了要满足的必要条件，从而简化了步骤。）
解得
下面根据是否在进行分类讨论：
①
在单调递增。
与已知矛盾（舍）
②
在单调递增。
满足条件
③
则
恒成立，故满足条件
综上所述：
小炼有话说：本道题的亮点在于代入以缩小的范围，并不是边界点，但是由于易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画的范围，故首选
例10：（2011浙江,22）设函数
（1）若为的极值点，求实数
（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数
解：（1）
是的极值点
或，经检验符合题意
（2）思路一：恒成立的不等式为，考虑选择最值法
当时，无论为何值，不等式恒成立（的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除，缩小的取值范围以方便后期讨论）
，记
恒成立，所以
（通过特殊值代入缩小的范围，便于分析讨论）
（解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到与的关系：)
单调递增
若，只需
由得代入①得：
由②式得
综上所述，
小炼有话说：本题有以下几处亮点：
1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生
2、对极值点的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题
思路二：参变分离法：
当时，无论为何值，不等式恒成立
考虑,则不等式(体会将范围缩小后所带来的便利）
恒成立
则只需成立
设，
在单调递增，
再设,
令即,由左边可得时，，而单调递增，由此可得,,,(单调性+根→符号）
在单调增，在单调递减。故
综上所述：
小炼有话说：思路二有另外几个亮点：
1、缩小自变量范围的作用：使为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用
2、在处理的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中的单调性可以快速判断。增，增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数。
三、近年模拟题题目精选（三类方法综合）
1、已知定义域为的奇函数，当时，，且对，恒有，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3、（2014，辽宁）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2014，新课标全国卷II）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2015，新课标I）设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6、（2014，辽宁）已知定义在上的函数满足：
①
②
对所有的，且，有
若对所有的，恒成立，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
7、（2016，唐山一中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
9、已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______
10、已知不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____
11、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是___________
12、（2016，上海理工大附中一月考）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围是_______
13、（2014，重庆）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________
14、（2016，上海十三校12月联考）已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________
15、已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为_______
16、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______
17、（2016，内江四模）已知函数，，若，则实数的取值范围是
18、（2016四川高三第一次联考）已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______
19、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________
20、若不等式对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是________
21、已知，函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
22、（2014，庆安高三期中）已知函数，其中
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围
23、（2016，抚顺一模）已知函数。
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数，讨论函数的单调性；
（3）若（2）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。
24、（2015，山东）设函数，其中
（1)讨论函数极值点的个数，并说明理由
（2）若成立，求的取值范围
25、（2015，新课标II）设函数
（1）证明：在单调递减，在单调递增
（2）若对于任意，都有，求的取值范围
26、（2015，北京）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）求证：当时，
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值
27、（2016，苏州高三调研）已知函数，是自然对数的底数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）①
若存在实数，满足，求实数的取值范围
②
若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围
习题答案：
1、答案：D
解析：利用对称性可作出的图像，可视为的图像向左平移个单位，则恒成立不等式的几何含义为的图像始终在的上方，通过数形结合可得：若，则；若，也满足。所以的取值范围是
2、答案：D
解析：若恒成立，则，，所以在单调递减，在单调递增。，所以
3、答案：C
解析：时，恒成立不等式等价于
设
在单调递减，在单调递增
当时，可知无论为何值，不等式均成立
当时，恒成立不等式等价于
，同理设
在单调递增
综上所述：
4、答案：C
解析：，令可得：
不等式转化为：
整理后可得：
，使得
若且，则，不等式不能成立
只需或时，不等式成立即可
5、答案：D
解析：
当时，不等式不成立
当时，可得，与矛盾，故不成立
当时，可得
设
在单调递增，在单调递减
唯一的整数使得即，又
在单调递增
6、答案：B
解析：不妨设
当时，
当时，
即
7、答案：B
解析：
问题转变为：，使得，即
8、答案：A
解析：不妨设，则恒成立不等式等价于
即，设，则在单调递增
对恒成立，即
设，可知在单调递增
9、答案：
解析：恒成立不等式为：
设
令
定义域
解得
的单调区间为：
10、答案：
解析：恒成立不等式为，所以，由均值不等式可知：，所以，即
11、答案：
解析：恒成立不等式为：，设，则不等式恒成立只需
，所以
解得
12、答案：
解析：不等式组的解集为，由子集关系可将问题转化为，不等式恒成立，从而恒成立，因为为减函数，所以，从而
13、答案：
解析：若不等式恒成立，则
设可知
14、答案：
解析：作出的图像可知为减函数，所以恒成立不等式等价于在恒成立，即，解得：
15、答案：4
解析：作出函数和的图像，可知，，，所以，即的最大整数值为4
16、答案：
解析：问题转化为，恒成立
，设
可得：
17、答案：
解析：，作出函数图像可知若，则
恒成立
即对恒成立
设，恒成立
设，对称轴
（1）当时，，不符题意
（2）当时，
综上所述：
18、答案：
解析：令可得：
由可知：在上单调递增
19、答案：
解析：若恒成立，则，由均值不等式可得：，所以解得：
20、答案：或
解析：由可设，恒成立不等式可知，而，所以解得：或
21、解析：（1）
，
可得在单调递减，在单调递增
的极小值为，无极大值
（2）设
，令
有两不等实根，其中，不妨设
在单调递减，在单调递增
由可得：
所以
令
在单调递增，在单调递减
代入到可得：
的取值集合为
22、解析：（1）
（2）
当时，可得恒成立
在单调递增
当时，令可解得：或，所以的单调区间为：
（3）若在上恒成立，则只需
由（2）可知在的边界处取得最大值
对任意的恒成立
所以可得：
23、解析：（1）由可得：
，当时，
切线方程
（2）
令，即
①
时，恒成立
在单调递增
②
当时，
当时，
的单调区间为：
当时，
在上单调递减，在单调递增
（3）由（2）可得：函数有两个极值点，则，且
恒成立不等式为：，只需
设
由可得：
即在单调递减
24、解析：（1），定义域为
，
设，
当时，，函数在为增函数，无极值点.
当时，，
若时，，函数在为增函数，无极值点.
若时，设的两个不相等的实数根，且，
且，而，则，
所以当单调递增；
当单调递减；
当单调递增.
因此此时函数有两个极值点；
当时，但，，
所以当单调递増；
当单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.
（2）由（1）可知当时在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
25、解析：
可知单调递增，且
时，
时，
在单调递减，在单调递增
（2）若不等式恒成立
则
在连续
在有最大最小值
由（1）可知在单调递减，在单调递增
设，可知
在单调递减，在单调递增
，使得
26、解析：（1）
切线方程为：
（2）所证不等式等价于证明：
设
时，恒成立
在单调递增
，即不等式得证
（3）设
当时，由（2）可知不等式恒成立
当时，令即
解得
在单调递减，在单调递增
与恒成立不等式矛盾
的最大值为2
27、解析：（1）当时，
当时，
当时，
在单调递减，在单调递增
（2）①
当时，；当时，
设，
在区间单调递增，在单调递减
当时，
当时，
当时，不成立
的取值范围是
②
由①可得时，，且
在上单调递增，在单调递减，且
当时，，且
在上单调递减，在单调递增，且
解得
综上所述：
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微专题26
求未知角的三角函数值
在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧
一、基础知识：
1、与三角函数计算相关的公式：
（1）两角和差的正余弦，正切公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
（2）倍半角公式：
①
②
③
（3）辅助角公式：，其中
2、解决此类问题的方法步骤：
（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配
（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开
（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值
（4）将结果整体代入到运算式即可
3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：
，则）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如：，可判断出在第一象限
二、典型例题：
例1：已知，
，求：
（1）
（2）
解：（1）已知的角为
，而所求角,故可以考虑
而
而，故在第一象限
（2）
与（1）类似。考虑，则
小炼有话说：
（1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解
（2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值的符号
（3）本题第1问也可利用方程的思想，即
来求解，但方程过于复杂，难于计算，要进行比较，体会题目所给方法的方便之处
例2：已知，且.
（1）求；
（2）求.
解：（1）
（2）
例3：已知，，求的值．
解：
小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解
例4：设，求
解：
例5：已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求角与相关，但题目中有，所以考虑利用消去，即，化简后可得：即
答案：D
例6：已知，且均为锐角，求
解：
①
若为锐角，
则根据在单调递增，可知，与条件矛盾
，代入①可得：
例7：已知，，，则_______
思路一：考虑用已知角表示未知角，，从而，展开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由和可知，但，所以不能判定的符号，所以由可得：，分别代入表达式可计算出或，由可知
解：
当时，
当时，
答案：
思路二：本题以，为突破口，发现其三角函数值含有一定关系，计算出，从而，所以得到与的关系。结合可知，即，所以
解：
或，
若即，与矛盾，故舍去
若即，则：
答案：
小炼有话说：（1）在思路一中，虽然在计算的正弦时，没有办法简单地根据角的范围进行取舍，但是在最后的结果中会发现有一个解是不符合题意的。在解题过程中，要时刻关注角的范围，使之成为一道防线赶走不符合条件的解
（2）思路二是从三角函数值的特点作为突破口，进而寻求已知条件中的角之间的关系，这也是对题目条件的一种妙用
例8：已知，则的值是______________
解：
例9：已知，求
思路：若要求出的值，则需要它的一个三角函数。所给条件均为正切值，所以也考虑计算，其中可由求出。再代入式子中可得：，下面考虑的范围。如果按照原始条件：可得，则或，但本题可通过进一步缩小的范围。由可知，由可知，所以，从而
解：
且
且
由可知
例10：已知在中，，则角的大小为（
）
A.
B.
C.
或
D.
思路：在中，可知，，所以若要求角，结合条件
可知选择，将的两个方程平方后相加可得：，即，所以或，以为突破口，若，则，那么，且。与条件不符。所以
解：
即
或
若，则
与条件不符
故舍去
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微专题40利用函数性质与图像解不等式
高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：
（一）构造函数解不等式
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时，
(单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）
3、导数运算法则：
（1）
（2）
4、构造函数解不等式的技巧：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整
（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。
（二）利用函数性质与图像解不等式：
1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：的对称轴为，且在但增。则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系
2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。再由可知的图像在图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。
二、典型例题：
例1：定义在上的可导函数满足：，，则的解集为（
）
A.
B.
C
.
D.
思路：本题并没有的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起来，故设，则在上单调递减。，所以的解集为
答案：C
小炼有话说：
（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号
（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”
（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解
例2：
函数的定义域为，，对任意的，有，则的解集是
；
思路：所解不等式化为，令，则
由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。考虑，
答案：
例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为_________
思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。进而不等式可利用单调性解出的范围。，所以
答案：
小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂，所以依然选择利用单调性
（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：
奇偶性：①
奇+奇→奇
②
偶+偶→偶
③
奇×奇→偶
④
奇×偶→奇
⑤
偶×偶→偶
单调性：①
增+增→增
②
减+减→减
③
增×（-1）→减
④
1/增
→减（仅在函数值恒正或恒负时成立）
（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以要保证均在上
（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。
例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
思路：，令，则在单调递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。另一方面，的解集与的解集相同，进而只需求出的解集。，由增函数可得时，，由对称性可知时，
答案：D
例5：若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是
.
思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：
，由偶函数与单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得，解出的范围即可
解：所解不等式等价于：
为偶函数
为偶函数，且上单增
答案：
小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。
例6：
已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为____________
思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对称的图像关于轴对称；，由轮流求导的特点联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母），观察所求不等式与条件的联系，而，进而找到联系。构造函数，则，得到在单调递增，所解不等式也变为求的解。考虑时的值，再利用单调性求解。，而，考虑，图像关于轴对称，故,
由在单调递增可得的解集为
答案：
小炼有话说：
（1）本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化，看条件能提供什么，再与所求部分（或者是选择题中的选项）进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。
（2）本题对条件的利用，以及猜想的解是一个难点。对于指对数运算，结果比较整齐时（尤其是），要想到一些特殊结果，比如等。
例7：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：此题一入手便发现需用函数单调性解不等式，观察条件：出现轮流求导，所解不等式中，均具备“”的形式，进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行变形：
(注意，不等式变号），令，则，故在上单调递减。所解不等式变为
答案：C
小炼有话说：此题在处理条件时也有另一个选择，即，但是这与所求不等式之间没有联系（不等式中没有出现的形式），所以此套方案舍弃，将仅仅用于判断符号。在数学题目中，条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行选取要借助其他条件与所求带来的暗示
例8：（2015
红桥一模）已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题如果按照传统不等式解法，则要通过零点分段法去掉绝对值，再解不等式，过程较为复杂。分析，，每一段均可作出图像，而所解不等式在图像上是位于下方的部分。所以作出图像找到边界值：，解得，，解得：，所以满足的的范围是
答案：B
例9：已知，若同时满足条件：①
或；②
，则的取值范围是__________
思路：本题如果用代数方法求解，则由于本身含参，在解含参不等式时涉及分类讨论较为复杂，同时对于条件①②，均可翻译为图像上的特点，①表示的图像在每一点处至少有一个在轴下方，②表示在中至少存在一个位置，分居轴两侧；再考虑到图像便于作出，所以可用数形结合求出的范围
解：因为为常系数函数，先做出图像
由图像可得：时，，故图像必为开口向下的抛物线（否则不满足条件①），可得，与轴有两个交点，结合条件①②可得，较小的根应小于，较大的根应小于1。故对进行分类讨论：
或
解得：
答案：
例10：定义在上的可导函数满足：，
当时，，则不等式的解集为__________
思路：不易入手时可先梳理条件与结论能提供什么：
①
所解不等式，令
，可猜出，进而目标转向求的单调性。
②（注：是复合函数，求导时要用复合函数求导法则：），想办法确定其符号
③：两边求导可得
④当时：此为用表示的一个条件，进而有可能将中抽象的表示出来
由此发现，只要能确定当时与的关系，即可处理的符号，联系条件③
当时，，
，进而单调递减
时，
答案：
小炼有话说：
（1）在解决此类条件零碎的问题时，除了将所给条件和结论进行进一步的分析外，还要在做得过程中明确下一步需要做什么，需要得到什么。
（2）在考试中本题也可利用特殊函数得到答案。由可构造一个符合条件的函数如“+奇函数”的形式。在根据进行调整。例如，然后求解不等式即可。（因为从题目上看可发现只要满足条件的函数均可使不等式的解集相同）
三、历年好题精选
1、已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
2、若关于的不等式有解，则实数的取值范围是_______
3、（2014，庆安高三期中）设，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4、（2016，北京西城高三期末）已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.
5、设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6、设函数，则使得成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7、（2015新课标II）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8、（2014，新课标全国卷II）已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是_______
9、（2014，浙江）设函数，若，则实数的取值范围是________
10、（2016，重庆万州二中）已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
11、设偶函数满足，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数，则关于的不等式的解集是_______.
13、设函数，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
14、设是定义在上的奇函数，在上有且，则不等式的解集为__________
15、设函数在上存在导数，对任意的，有，且时，，若，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
16、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
17、已知函数则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
18、定义在上的函数满足：，且对于任意的,都有，则不等式的解集为
__________________.
习题答案：
1、答案：C
解析：由为偶函数可知关于轴对称，因为在上单调递减，所以结合对称性与单调性，数形结合可知距离越近的点，函数值越大。则，即，可解得：
2、答案：
解析：不等式变形为：，设
结合图像可知：若不等式有解，则的图像有位于下方的部分，所以，解得
3、答案：C
解析：若，则，所以有
若时，可得：解得：，所以
综上所述：不等式的解集为
4、答案：1
解析：由图像可知：当的范围应该在，即不等式的解集为：，依题意可得：
5、答案：A
解析：分两种情况，若，则解得，当设方程的两根为，则问题转化为，从而用根分布进行求解，设，则：，解得：，综上所述，可得：
6、答案：A
解析：由可知为偶函数，当时，可判断出单调递增，由对称性和单调性通过作图可知：距离轴越近，则函数值越小。所以，解得
7、答案：A
解析：设，所以为偶函数，且，由已知可得：时，，所以在单调递减。由为奇函数可知，所以，所以可得时，，从而，同理时，，再由奇函数的特点可得时，。综上所述：时，
8、答案：
解析：令，则先解，在单调递减，
时，
是偶函数
的解集为
9、答案：
解析：通过数形结合处理，的图像如图所示，令，则先解，由图可得：即，再由图可知
10、答案：D
解析：由可得：，设，可得为减函数，。所解不等式中令，则，即解，由为减函数及可知。苏哟哟
11、答案：B
思路：是偶函数，在中可得时，，由对称性可得：时，，所以对于不等式，只需，解得：
12、答案：
思路：虽然有具体解析式，但若代入解析式，则形式过于复杂，所以考虑利用函数性质求解。分析可得以下性质：①
定义域；②
可判定单调递增；③
可判定为奇函数，从而
进而可得：，解得：
注：本题解题时要注意应在定义域之中，也是本题的易错点
13、答案：A
解析：方法一：当时，，解得：，当时，，解得：，综上可得：
方法二：本题分段函数易于作图，可以考虑作图，所解不等式为位于水平线上方的部分，计算出临界值再利用图像直接写出解集
14、答案：
解析：为奇函数
为奇函数
设
为偶函数，故只需考虑的情况即可
，即
在单调递减
时
有偶函数性质可得：的解集为
15、答案：B
解析：所解不等式没有具体表达式，考虑利用函数性质求解。由可得：，构造函数，可猜得：，进而考虑的单调性。，若要判断的符号，首要解决。条件提供了将放缩为表达式的方式，但仅局限于，而所求并不知其符号，所以考虑解决的情况。由，当时，，，可得或时，均有，从而，可得单调递减。再由可得：的解集为
16、答案：A
思路：这道题条件零散，寻找其中的联系。所求不等式中有，而在所给不等式中存在轮流求导，想到导数的乘除法则。两边同乘（只有的导函数与原函数相同），
单调递增，由此再观察所求不等式便会发现联系，，由单调性可得当时，，即
17、答案：B
通过作图可得：只需，即或
18、答案：
解析：设，即解不等式，因为，所以，设，则为减函数，且
时，，所以
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微专题32
解三角形中的不等问题
一、基础知识：
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式：
此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式：
（1）
（为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（其中为外接圆半径）
4、三角形内角和：，从而可得到：
（1）正余弦关系式：
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的
5、两角和差的正余弦公式：
6、辅助角公式：，其中
7、三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。
8、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值
二、例题精析：
例1：△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是
A．
B．
C．
D．
思路：从所给条件入手，进行不等式化简：
，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示：，可解得：
答案：A
例2：在中，角所对的边分别为，已知
（1）求的大小
（2）若，求的取值范围
解：（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”
（2）思路：考虑在中，已经已知
，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用
这个条件，考虑利用角来解决
解：
例3：在锐角中，角所对的边分别为，且
（1）求角
（2）求的取值范围
解：（1）方法一：使用余弦定理
由余弦定理得：
方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理
（2）
为锐角三角形
小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
例4：在中，角所对的边分别为，已知，且
（1）当时，求的值
（2）若角为锐角，求的取值范围
解：（1）
或
（2）思路：以“角为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而也刚好得到与的关系式，再由可解得的范围
解：考虑余弦定理
为锐角，
例5：若的内角满足，则的最小值是
思路：所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可
解：
由可得：
答案：
例6：在锐角中、的对边长分别是、,则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：，只需求出的范围即可。条件所给的是关系，从而，利用减少角的个数：，代入可得：，根据锐角三角形求出的范围即可。
解：
由
因为为锐角三角形
解得：
答案：B
小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是，所以在求表达式范围时将均用来进行表示，以便于求得值域。
例7：已知的角所对的边分别是，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为__________
思路：由可联想到余弦定理求，所以，从而，所求面积可表示为，则只需解出的最大值即可。由外接圆半径及可得：，所以，而，所以有，所以
答案：
小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出，在计算面积时有三组边角可供选择：，通常是“依角而选”，从而把目标转向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。
例8：设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是______________
思路：由成等比数列可得：，也可视为
，所求表达式也可视为。如果从角入手，则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得：，在中，若
，则，所以，即，同理，若，则，解得：。综上
答案：
例9：已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，且BC边上的高为，则的取值范围为______．
思路：一方面由所求出发，可用均值不等式得到，验证时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手可联想到余弦定理，而由题目中的底和高可得，所以有：
，只需求得的范围即可，考虑，，所以，综上：
答案：
小炼有话说：
（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的），从而整理出一个可操作的表达式
（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并用的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到的范围，从而确定的范围能经过，所以能够取到
例10：（2014，重庆）已知的内角满足，面积满足，记分别是所对的边，则下列不等式一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得，即，联想到面积公式及可得：，从而可用进行表示求出范围，另一方面可由，利用不等式的传递性即可求出的范围
解：
即
由正弦定理可得：
所以由可得：
，所以均不正确
正确
同理
，不正确
三、近年好题精选
1、（2016，上海十校联考）设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2016江苏高三第一次联考）在中，是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围是_______
3、（2015，新课标I）在平行四边形中，，，则的取值范围是_______
4、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为_________
5、（2014，新课标全国卷I）已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_______
6、（2016，洛阳12月月考）在的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是________
①
若，则
②
若，则
③
若，则为锐角三角形
④
若，则
7、（2014，陕西）的内角的对边分别为
（1）若成等差数列，证明：
（2）若成等比数列，求的最小值
8、设的内角所对的边分别为且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
9、已知和满足：
（1）求证：是钝角三角形，并求最大角的度数
（2）求的最小值
10、（2016，安徽六校联考）已知函数.
（1）求的对称中心
（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围
习题答案：
1、答案：A
解析：
由锐角可知：，解得，所以，从而
2、答案：
解析：
方法一：若存在点，使得，则为锐角或直角
在中
代入，可得：
方法二（向量法）
以为原点，直线为轴建系，则，设，
由和可得
3、答案：
解析：延长交于点，则在中，
设，则由正弦定理可得设，则由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以
，由可知，所以
4、答案：
解析：由余弦定理可得：，代入可得：，即，所以有：
所以当时，有最大值为
5、答案：
解析：由正弦定理可得：
且
即
6、答案：①②③
解析：①
由正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：，所以
②
从而，从而
③
，所以，即，则，所以最大角为锐角。即是锐角三角形
④
取满足，则，不符题意
7、解析：（1）成等差数列
，由正弦定理可得：
（2）成等比数列
由余弦定理可得：
等号成立当且仅当
的最小值为
8、解析：（1）
（2）
解得：
9、解析：（1）不妨设，由可得：
若，则
，三式相加可得：，
等式显然不成立
若，则，显然不成立
，此时，三式相加可得：
，解得：
（2）由（1）可得：且
（在处取得）
10、解析：（1）
对称中心为：
对称中心为：
（2）由已知可得：
（舍）或
因为为锐角三角形
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微专题17
函数的极值
一、基础知识：
1、函数极值的概念：
（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点
（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点
极大值与极小值统称为极值
2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
3、极值点的作用：
（1）极值点为单调区间的分界点
（2）极值点是函数最值点的候选点
4、费马引理：在处可导，那么为的一个极值点
说明：①前提条件：在处可导
②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点
③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）
5、求极值点的步骤：
（1）筛选：
令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点
（3）定性：
通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点
6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。
8、极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点
（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点
二、典型例题：
例1：求函数的极值.
解：
令解得：
的单调区间为：
极大值
的极大值为，无极小值
小炼有话说：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断
（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在
例2：求函数的极值。
解：，令解得：
的单调区间为：
极小值
的极小值为，无极大值
小炼有话说：本题若使用解极值点，则也满足，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间
例3：求函数在上的极值
思路：利用求出的单调区间，进而判断极值情况
解：
令解得：
的单调区间为：
的极小值为，极大值为
小炼有话说：在本题中如果仅令，则仅能解得这一个极值点，进而丢解。对于与，实质上在这两点处没有导数，所以在中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点经验
（1）利用来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。例如：中的，是极值点却不存在导数
（2）在寻找极值点时，若能求出的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的
例4：已知函数，在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。
思路：，由极值点条件可得：，两个条件可解出，进而求出单调区间
解：
在点取得极小值
，令，解得或
的单调区间为：
小炼有话说：关注“在点处有极小值”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于的两个方程。
例5：若函数在时有极值，则_________
思路：，依题意可得：，可解得：
或，但是当时，
所以尽管但不是极值点，所以舍去。经检验：符合，
答案：
小炼有话说：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点
例6：在处有极小值，则实数为
.
思路：,为极小值点，，解得：或，考虑代入结果进行检验：时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为极小值点符合题意，而当时，，可得在单调递增，在单调递减。进而为极大值点，故不符合题意舍去
答案：
小炼有话说：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：①
已知极值点是否仍为函数的极值点
②
参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。
例7：
（1）已知函数有两个极值点，则的取值范围是___________
（2）已知函数存在极值点，则的取值范围是_________
（1）思路：，若有两个极值点，则方程有两个不等实根，从而只需，即或
答案：或
（2）思路：存在极值点即有实数根，，但是当即时,
，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，的范围为或
答案：或
小炼有话说：本题有以下几个亮点
（1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系
（2）方程根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化
（3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其时，其根不能作为极值点所致。
例8：设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
思路：，定义域为，若函数的有极值点，则有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定的范围
解：（1），令即
有极值点
有正的实数根，设方程的根为
①
有两个极值点，即,
②
有一个极值点，即
综上所述：
（2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论
方程的两根为：
①
当时，
的单调区间为：
的极大值点为，极小值点为
②
当时，
的单调区间为：
的极小值点为，无极大值点
综上所述：
当时，的极大值点为，极小值点为
当时，的极小值点为，无极大值点
小炼有话说：
（1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取值有关，一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时，参数会影响到解是否在定义域内。只有符合这两个条件的解才有可能成为极值点。这两点也是含参函数中对参数分类讨论的入手点
（2）对于二次方程而言，可利用韦达定理或者实根分布来处理极值存在问题。韦达定理主要应用于判定极值点的符号，而根分布的用途更为广泛，能够将实根分布区间与二次函数的判别式，对称轴，端点值符号联系起来。在本题中由于只需要判定根是否为正，从而使用韦达定理即可
例9：若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________
思路：,令.函数在内不是单调函数，所以，又因为是定义域的子区间，所以，综上可得：
答案：
小炼有话说：本题虽然没有提到极值点，但是却体现了极值点的作用：连续函数单调区间的分界点。所以在连续函数中，“不单调”意味着极值点位于所给区间内。
例10：设，若函数有大于零的极值点，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：，,，
由此可得：
，所解不等式化为：
所以
答案：C
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微专题28
三角函数及函数性质
一、基础知识：
1、正弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数
（6）单调增区间：
单调减区间：
2、余弦函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间：
单调减区间：
3、正切函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值
4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴：
（5）零点：
（6）单调增区间：
单调减区间：
5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可
注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。
2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质
二、典型例题：
例1：函数
（
）
A.
在上单调递减
B.
在上单调递增
C.
在上单调递减
D.
在上单调递增
思路：
单调递增区间：
单调递减区间：
符合条件的只有D
答案：D
例2：函数的一个单调递减区间为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求
答案：D
例3：的递减区间为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于
答案：D
例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（
）
A.
最小正周期为，一个对称中心是
B.
最小正周期为，一个对称中心是
C.
最小正周期为，一个对称中心是
D.
最小正周期为，一个对称中心是
思路：
对称中心：
时，一个对称中心是
答案：A
例5：函数的单调递增区间为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取单调增的部分，所以可得：，即，解得：
答案：A
例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（
）
A.
是偶函数
B.
的最小正周期是
C.
图像关于点对称
D.
在区间上是增函数
思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。
对称轴：，不是偶函数
对称中心：，关于点对称
单调增区间：
答案：C
例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半
，所以间距为：
答案：B
例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______
思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：
因为关于直线对称，
思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意
答案：
例9：已知在单调递增，求的取值范围
思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得：
，即
答案：
例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________
思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合可得
答案：
三、近年好题精选
1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称
2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2016，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（
）
A.
B.
C.
D.
4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______
6、（2014，安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是__________
7、（2014，北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______
8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______
9、（2014，福建）已知函数
（1）若，且，求的值
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间
10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数（）．
（1）求最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
习题答案：
1、答案：B
解析：由最小正周期可得：，向右平移个单位后解析式为，即，由奇函数可知，所以，对称轴：，
对称中心：，即，配合选项可得B正确
2、答案：D
解析：，由可知分别取到最大最小值，不妨设，所以，由可知
3、答案：C
解析：先求出的单调性，，解得单调递减区间为：，即在上单调递减。所以在单调减，，所以，有，可知C符合题意
4、答案：B
解析：先利用图像变换求出解析式：，即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点
5、答案：
解析：，由在内单调递增，且对称轴为可知在达到最大值，所以，由在单增可知，从而解得
6、答案：
解析：平移后的解析式为：，由对称轴为可知，令即得到最小正值
7、答案：
解析：由可得为一条对称轴，由可知为一个对称中心。因为在区间单调，所以可知与为相邻的对称轴与对称中心，所以
8、答案：
解析：
由可得：，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和对称中心为，所以
9、解析：（1）由及可得：
（2）
解得：
的单调递增区间为
10、解析：（1）
周期
单调递增区间：
所以单调递增区间：
（2）
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微专题20
一元不等式的证明
利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。
一、基础知识：
1、证明方法的理论基础
（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值
（2）已知的公共定义域为，若，则
证明：对任意的，有
由不等式的传递性可得：，即
2、证明一元不等式主要的方法有两个：
第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性
第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。
3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。
4、若在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。
5、合理的利用换元简化所分析的解析式。
6、判断解析式符号的方法：
（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号
（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号
（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号
二、典型例题：
例1：求证：
思路：移项构造函数求解即可
证明：所证不等式等价于：
令
则只需证明：
令解得：
↗
↘
即所证不等式成立
小炼有话说：
（1）此题的解法为证明一元不等式的基本方法，即将含的项移至不等号的一侧，构造函数解决。
（2）一些常见不等关系可记下来以备使用：
①
②
③
例2：设函数，证明：当时，
思路：本题依然考虑构造函数解决不等式，但如果仅仅是移项，则所证不等式为，令，其导函数比较复杂（也可解决此题），所以考虑先对不等式进行等价变形，转变为形式较为简单的不等式，再构造函数进行证明
证明：
，所以所证不等式等价于
设
只需证即可
令
在单调递减，在单调递增
故不等式得证
小炼有话说：本题在证明时采取先化简再证明的策略，这也是我们解决数学问题常用的方法之一，先把问题简单化再进行处理。在利用导数证明不等式的问题中，所谓的“简化”的标准就是构造的函数是否易于分析单调性。
例3：已知函数，证明：
思路：若化简不等式左边，则所证不等式等价于，若将左边构造为函数，则函数的单调性难于分析，此法不可取。考虑原不等式为乘积式，且与0进行比较，所以考虑也可分别判断各因式符号，只需让与同号即可。而的正负一眼便可得出，的符号也不难分析，故采取分别判断符号的方法解决。
解：
在单调递减，在单调递增
为增函数
时，
时，
综上所述，成立
小炼有话说：与0比较大小也可看做是判断一侧式子的符号，当不等式的一侧可化为几个因式的乘积时，可分别判断每一个因式的符号（判断相对简单），再决定乘积的符号。
例4：已知，其中常数
（1）当时，求函数的极值
（2）求证：
解：（1）当时，
，
在单调递增
时，，，
在单调递减，在单调递增
的极小值为，无极大值
（2）思路：本题如果直接构将左侧构造函数，则导数过于复杂，不易进行分析，所以考虑将所证不等式进行变形成“”的形式。由第（1）问可得：，即，则所证不等式两边同时除以，即证：，而，所以只需构造函数证明即可
解：由（1）得
所证不等式：
设
令可解得：
在单调递增，在单调递减
即
例5：已知
（1）当时，求在的最值
（2）求证：，
解：
（1）
的单调区间为
↘
↗
①
②
时，
（2）思路：所证不等式，若都移到左边构造函数，则函数很难分析单调性，进而无法求出最值。本题考虑在两边分别求出最值，再比较大小即可
解：所证不等式等价于
设
令
在单调递减，在单调递增
设
在单调递增，在单调递减
所证不等式成立
例6：设为常数），曲线与直线在(0，0)点相切.
(1)求的值.
(2)证明：当时，.
解：（1）过点
（2）思路：所证不等式等价于，若将的表达式挪至不等号一侧，则所构造的函数中，求导后结构比较复杂。观察到对数与根式均含有，进而考虑换元化简不等式。另一方面，当时，，而是所证的临界值，进而会对导数值的符号有所影响。
解：
所证不等式等价于：
令
则不等式转化为：
（若不去分母，导函数比较复杂，不易分析）
令
只需证即可
观察
进而考虑的单调性
（尽管复杂，但有零点在，就能够帮助继续分析，坚持往下进行）
单调递增，
单调递减
（是的零点，从而引发连锁反应）
单调递减
即所证不等式成立
当时，
小炼有话说：本题有以下两个亮点
（1）利用换元简化所证不等式
（2）零点的关键作用：对于化简后的函数而言，形式依然比较复杂，其导函数也很难直接因式分解判断符号，但是由于寻找到这个零点，从而对导函数的符号判断指引了方向，又因为发现也是导函数的零点，于是才决定在对导函数求一次导，在二次导函数中判断了符号，进而引发连锁反应，最终证明不等式。可以说，本题能坚持对进行分析的一个重要原因就是这个零点。
例7：（2015，福建，20）已知函数
（1）求证：当时，
（2）求证：当时，存在，使得对任意的，恒有
解：（1）思路：所证不等式为：，只需将含的项移植不等号一侧，构造函数即可证明
证明：所证不等式等价于：，设
在单调递减
时，
即得证
（2）思路：本题的目标是要找到与相关的，因为函数形式较为简单，所以可以考虑移至不等号一侧：，设，，因为，所以只需在单增即可。可对进行和分类讨论。
证明：
设
则且
令，即
①
当时，解得
恒成立
在单调递增
可取任意正数
②
当时，，当，，故可取任意正数
③
当时，解得，而
在单调递增，在单调递减
，均有，只需取即可
综上所述：存在，使得对任意的，恒有
例8：已知函数（为常数，，是自然对数的底数），曲线在处的切线与轴平行
（1）求的值
（2）设，其中为的导函数。
证明：对
解：（1）
处的切线与轴平行
:
（2）所证不等式等价于：
设
令
在单调递增，在单调递减
，即
若要证，只需证
设
，令解得：
在单调递增
，即原不等式得证
例9：已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．
（1）求的极值；
（2）当时，对于，求证：．
解：（1）函数的定义域为，．
当时，，在上为增函数，没有极值；
当时，令
在单调增，在单调递减
有极大值，无极小值
（2）当时，，令，即
，则在上为增函数
在上为增函数
时，
时，
在单调递减，在单调递增
，
，由可知
即
例10：设函数.
（1）证明：时，函数在上单调递增；
（2）证明：.
解：（1）
只需证即可
令
在单调递增
即
函数在上单调递增
（2）思路：对所证不等式，若直接将左侧构造函数，则无法求出单调区间和最值。（导函数中含有无法进一步运算），所以考虑将左侧的一部分挪至不等号另一侧，构造两个函数进行比较。
(右边,考虑能否恒大于4，,在处单调减，在单调递增，
故为增函数，但无法求的最小值。无法用证明。考虑其他思路。所证不等式也可变为，在第一问中令可得,只需证明即可）
解：所证不等式等价于
设
在单调递减，在单调递增
即
由（1）问可得：
原不等式得证
小炼有话说：（1）前两种尝试是最容易想到的，但是尝试后为什么放弃？第一种尝试是因为导函数中项结构复杂，无法判断单调区间。而第二种尝试局限性较大，即必须左端最小大于右端最大才可，尽管新的函数单调性能够分析，但是无法确定其最小值，所以放弃。在构造函数证不等式时，一要看构造的函数能否进行分析（即单调性，最值），二要看是否吻合预期的结果。否则便要考虑从其他角度入手。
（2）对于第二种尝试，求单调区间比较麻烦。有能力的同学可以尝试特殊值法来排除，比如令，那么显然左边要小于4。
（3）本题的解法有几个亮点：
①
提取一个后，左端构造的函数更易分析性质
②
利用第一问过程中产生的结论：，这也是一个常见的不等式。
③
所用的不等式性质为：（注意必须均为正项）。由此性质也可推广出一条判断函数增减性的方法：已知在区间恒大于零，若均在区间单调递增，则在区间也单调递增。例如在是单调递增的。
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微专题23
恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若，均有的图像始终在的下方
（2）若，均有的图像始终在的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题：
例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则的图像应在的上方，所以应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图像可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得：，综上可得：
答案：
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）
（3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________
思路：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，即，所以
答案：
例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围
思路：恒成立不等式变形为，即的图像在图像的上方即可，先作出的图像，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可得只需，解得：
答案：
小炼有话说：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是______
思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为
,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或
答案：或
小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。
（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧
例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________
思路：恒成立的不等式为，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为所在区间含参，的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到是开口向上的抛物线，若要，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是否在区间内），所以只需
，解得
答案：
小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可
例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________
思路：首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，，即可保证，的图像始终在的下方。解得：；当时，代入验证不符题意。
答案：
小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系
（2）注意函数奇偶性对作图的影响
（3）本题中参数扮演两个角色：①
二次项系数——决定抛物线开口，②
决定二次函数对称轴的位置；
③
图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。
例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________
思路：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值决定的开口，观察可得，且时，即可，
当时，不等式为，可证明其成立
答案：
小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。
例8：设，若时均有，则_________
思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：，，则在图像上要求这两个函数同时在轴的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点，且为开口向上的抛物线。所以的斜率必大于0，即，通过观察图像可得：与与轴的交点必须重合。，所以，解得：（舍）或
答案：
小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。
（2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。
例9：(2015山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是与很难确定其范围，从而与无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出图像，看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然是分段函数，但是图像连续且单调递减。所以是上的减函数。那么无论与位于哪个区间，由及单调性均可得到：只需，所以，解得
答案：A
例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时，
，若，则实数的取值范围是_____________
思路：是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面的图像比较容易作出，另一方面可看作是的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式：，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图像。恒成立，意味着的图像向右平移一个单位后，其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得：
答案：
m+1
m
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微专题37
向量的数量积——坐标法
在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
一、基础知识
1、向量的坐标表示
（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一。其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标
（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时，终点的坐标
（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则
（可记为“终”“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标
2、向量的坐标运算：设，则有：
（1）加减运算：
（2）数乘运算：
（3）数量积运算：
（4）向量的模长：
3、向量位置关系的判定：
（1）平行：
（2）垂直：
（3）向量夹角余弦值：
4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决
（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形
（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形
（3）具备特殊角度的图形（等）
二、典型例题：
例1：在边长为1的正三角形中，设，则__________
思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题
，如图建系：
下面求坐标：令
由可得：
答案：
例2：（2012江苏，9）如图，在矩形中，，点为中点，点在边上，若，则的值是____________
思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以为坐标原点如图建系：,设,由在上可得,再由解出:，
，
答案：
例3：如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则_________
思路：本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解
解：以为轴，过的垂线作为轴
可得：
答案：
例4：已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为_____________
思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出坐标，可先设高为。
解：以为轴建立直角坐标系，设梯形高为
则，设动点，则
（等号成立：）
答案：
小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用
例5：给定平面上四点满足，则面积的最大值为
．
思路：由可计算出的夹角，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由可知在以为圆心，半径的圆上。
，
若要求
的最大值，只需找到到的最大值，数形结合可得距离的最大值为，进而可求出的最大值。
解：
即
答案：
例6：如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______
思路：直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设，从而可得，而所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解
解：以为轴建立直角坐标系
，设
数形结合可得：
答案：
例7：平面向量满足，则的最小值是______
思路：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可
解：如图建系可得：
由可得：
而，由轮换对称式不妨设，则
答案：
例8：已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为
.
思路：本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值
解：以为轴建立直角坐标系
设直线
由可得：
解得：
解得：
若直线与相交，则
答案：
例9：如图，四边形是半径为的圆的外切正方形，是圆的内接正三角形，当绕着圆心旋转时，的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以为坐标原点如图建系：，确定点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论如何转动，，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设，从而，用的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出的范围
解：，
答案：选
小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的），可依靠参数的几何意义将条件充分的利用起来。
例10：在平面上，
，，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中和点坐标均未知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设，则
，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可
解：如图以为轴建立坐标系：设，
则
①
②与①联系可得：
，所以②转变为：
，即
另一方面：
同理，由可得：
综上所述：，则
答案：D
小炼有话说：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从入手，选择为坐标原点，这样在以原点为圆心的单位圆上，且所求只需计算出的坐标即可。但这种选法继续做下去会发现，首先在圆上的位置不确定，坐标不易写出，其次无法定位，从而使得条件不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中障碍重重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得的坐标易于表示，进而求出坐标，只剩一个不好表示的点，难度明显低于前一种建系方法。
（2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的
y
x
y
x
y
x
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微专题49
等差数列性质
一、基础知识：
1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示
2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：
（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差
（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数
3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如，则不一定成立
②
利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系：
，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：，递增；，递减。
5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可
（2）由通项公式可得：
作用：①
这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
②
，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。
（3）当时，
因为
而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
，即偶数项和与中间两项和的联系
6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析
（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：
通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。
（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值
7、由等差数列生成的新等差数列
（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列
例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列。
如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距
（2）已知等差数列，
设，
，则相邻项和成等差数列
（3）已知为等差数列，则有：
①
为等差数列，其中为常数
②
为等差数列，其中为常数
③
为等差数列
①②③可归纳为也为等差数列
8、等差数列的判定：设数列，其前项和为
（1）定义（递推公式）：
（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）
（3）前项和公式：
注：若，则从第二项开始呈现等差关系
（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项
二、典型例题：
例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________
思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以
答案：
小炼有话说：关于等差数列钱前项和还有这样两个结论：
（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）
（2）若，则有
例2：已知数列为等差数列，若，则_______
思路：条件与所求都是“”的形式，由为等差数列可得也为等差数列，所以为的等差中项，从而可求出的值
解：为等差数列
也为等差数列
答案：
例3：设为等差数列的前项和，，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于的方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项
解：
思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。
答案：A
小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。
例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前
项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即
答案：B
例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____
思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有：
，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：
答案：
小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。
例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以
答案：D
例7：已知等差数列中，，则的值为___________
思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：，可得：
，解得，考虑，所以
答案：
小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值
例8：等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可根据已知两项求出公差，进而求出的通项公式，再进行求和即可
解：
答案：C
例9：在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路一：考虑从的项出发，由可得，可得，因为，所以，从而最大
思路二：也可从的图像出发，由可得图像中是对称轴，再由与可判断数列的公差，所以为开口向下的抛物线，所以在处取得最大值
答案：D
例10：设首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是___________
思路：将用进行表示，从而方程变形为含的方程。而的取值只需让关于的方程有解即可，所以通过求出的范围
解：
所以关于的方程应该有解
解得或
答案：或
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第1炼
命题形式变化及真假判定
一、基础知识：
（一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则
（1）否命题：“若，则”
（2）逆命题：“若，则”
（3）逆否命题：“若，则”
2、，
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为
（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为
3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法
（1）一些常用词的“否定”：是→不是
全是→不全是
至少一个→都没有
至多个→至少个
小于→大于等于
（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：
或→且
且→或
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：
存在性命题：
规律为：两变一不变
①
两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定
②
一不变：所属的原集合的不变化
（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、，，如下列真值表所示：
或
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
且
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
简而言之“一真则真”
简而言之“一假则假”
3、：与命题真假相反。
4、全称命题：
真：要证明每一个中的元素均可使命题成立
假：只需举出一个反例即可
5、存在性命题：
真：只需在举出一个使命题成立的元素即可
假：要证明中所有的元素均不能使命题成立
二、典型例题
例1：命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是（
）
A.
“若，则方程的两根均大于”
B.
“若方程的两根均不大于，则”
C.
“若，则方程的两根均不大于”
D.
“若，则方程的两根不全大于”
思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的对立面是“”，“均大于”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确
答案：D
例2：命题“存在”的否定是（
）
A．
存在
B．不存在
C．
对任意
D．对任意
思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化，但所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意”
答案：D
例3：给出下列三个结论
（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题
（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”
（3）命题“”的否定是“”，则以上结论正确的个数为（
）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
思路：（1）中要判断的真假，则需要判断各自的真值情况，为假命题，则为真命题，所以一假一真，为真命题，（1）错误
（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“或”的否定应该为“且”，所以（2）错误
（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确
综上只有（3）是正确的
答案：C
例4
：有下列四个命题
①
“若，则互为相反数”的逆命题
②
“全等三角形的面积相等”的否命题
③
“若，则有实根”的逆否命题
④
“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题
其中真命题为（
）
A.
①②
B.②③
C.
①③
D.
③④
思路：①中的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。时，判别式，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确
答案：C
小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解
例5：下列命题中正确的是（
）
A.
命题“，使得”的否定是“，均有”
B.
命题“若，则”的否命题是“若，则”
C.
命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题
D.
命题“若，则”的逆否命题是真命题
思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“，均有”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误
答案：B
例6：如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（
）
A.
命题“或”是假命题
B.
命题“或”是假命题
C.
命题“且”是真命题
D.
命题“且”是真命题
思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的
答案：C
例7：已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④
中，真命题是（
）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④
思路：可先判断出的真假，从而确定出复合命题的情况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确
答案：D
例8：下列4个命题中，其中的真命题是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：为存在性命题，所以只要找到符合条件的即可。可作出的图像，通过观察发现找不到符合条件的；同样作图可得，所以正确；通过作图可发现图像中有一部分，所以错误；在中，可得当时，，所以，正确。综上可得：正确
答案：D
小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定
（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中运用的数形结合，而通过选择中间量判断。
例9：已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
或
C.
D.
思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。
解：为假命题
均为假命题
为真命题
对于
当时，
对于，设，由图像可知：若成立，则
，解得：或
所以综上所述：
小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解
例10：设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围
思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行讨论即可
解：
命题“”为真命题，且“”为假命题
一真一假
若假真，则函数的定义域不为
恒成立
或
若真假，则函数的定义域为
或
，不等式
解得
综上所述：
三、近年模拟题题目精选：
1、（2014河南高三模拟，9）已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:
①
若为真命题，则为真命题
②
“”是“”的充分不必要条件
③
命题，使得，则，使得
④
命题：“若，则或”的逆否命题为：“若或，则”
其中错误命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题，命题，则（
）
A.
命题是假命题
B.
命题是真命题
C.
命题是假命题
D.
命题是真命题
4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2014
新课标全国卷I）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：
其中真命题是（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：C
解析：分别判断真假，令，可得
由零点存在性定理可知，使得，为真；通过作图可判断出当时，，故为假；结合选项可得：为真
2、答案：B
解析：判断每个命题：①若真假，则为真命题，为假命题，故①错误；②
不等式的解为或，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③
存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④
“或”的否定应为“且”，故④错误，所以选择B
3、答案：B
解析：对于：当时，，故正确；对于：因为，所以当时，，故错误，结合选项可知是真命题
4、答案：C
解析：命题的否定为：“，使得”，此为真命题，所以转为恒成立问题，利用二次函数图像可得：
，解得
5、答案：C
解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线，观察图像可知：阴影部分恒在的上方，所以成立；且阴影区域中有在中的点，所以成立，综上可得：正确
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微专题39
传统不等式的解法
一、基础知识
1、一元二次不等式：
可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点
2、高次不等式
（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）
①求出的根
②
在数轴上依次标出根
③
从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根
④
观察图像，
寻找轴上方的部分
寻找轴下方的部分
（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式
3、分式不等式
（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式
（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即
（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需
同号即可，所以将分式不等式转化为
（化商为积），进而转化为整式不等式求解
4、含有绝对值的不等式
（1）绝对值的属性：非负性
（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方
（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：
①
的解集与或的解集相同
②
的解集与的解集相同
（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理
5、指对数不等式的解法：
（1）先讲一个不等式性质与函数的故事
在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如：
，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即
由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号
在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当
同号时，
（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：
时，
时，
进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了
（3）对于对数的两个补充
①
对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，
②
如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁
例如：？
某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数
6、利用换元法解不等式
（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解
（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围
（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：
①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体
②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解的范围
二、典型例题：
例1：解下列一元二次不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）
即与轴的交点为
由图像可得满足的的范围为
不等式的解集为
（2）
令，则
可解得：
作图观察可得：或
不等式的解集为
（3）令，则中，
则与轴无公共点，即恒在轴上方，
注：由（1）（2）我们发现，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀
①
让最高次项系数为正
②
解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可
（4）解：先将最高次项系数变为正数：
方程的根为
不等式的解集为
例2：解下列高次不等式：（1）
（2）
（1）解：
则的根
作图可得：
或
不等式的解集为
（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解
，可得且
不等式的解集为
小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。
穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为
的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时的符号一定为正），当经过
时，由正变负，而其余的式子符号未变，所以的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生改变，曲线也就跑到
轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是在经历每一个根时，式子符号的交替变化。
例3：解下列分式不等式：（1）
（2）
解：（1）不等式等价于
不等式的解集为
（2）不等式等价于
解得：
不等式的解集为
例4：（1）
（2）
（3）
分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解
解：（1）
或
不等式的解集为
（2）
不等式的解集为
（3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了
解：
不等式的解集为
例5：解不等式：
（1）
（2）
解：（1）方法一：
所解不等式可转化为
方法二：观察到若要使得不等式成立，则，进而内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解即可。解得
不等式的解集为
（2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，所以直接可得：
不等式的解集为
小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法
例6：解不等式：（1）
（2）
解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论
令两个绝对值分别为零，解得：，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论
①
不等式变为
②时，不等式变为
时不等式均成立
③
不等式变为
综上所述：不等式的解集为
小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性
（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观察，所解不等式为，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。
解：
不等式的解集为
例7：解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
或
不等式的解集为
不等式的解集为
（3）
或
不等式的解集为
（4）
或
可解得：
不等式的解集为
例8：解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）思路：，从而可将视为一个整体，则所解不等式可看做关于的二次不等式，解出的范围，再反求的范围即可
解：
令
即
不等式的解集为
（2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：，从而选择一项进行变形（比如选择)，再将视为一个整体解不等式，解出的范围后进而求出的范围
解：
令
不等式转化为：
或，即或
可解得：或
（3）
令
不等式转化为：
即
不等式的解集为
（4）思路：所解不等式等价于，本题可以考虑对的符号进行讨论，从而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现，从而所解不等式转化为：
，将视为一个整体，先解出范围，进而解出的范围
解：
令，所解不等式转化为
即
即
或
不等式的解集为
例9：已知不等式的解集为，则___，____
思路：所解不等式，即，观察可得只要让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集为，则为的两根，代入解得，再解得
答案：
小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而简化所解不等式的个数
例10：已知不等式的解集为，则的取值范围是________
思路：所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得：
解得：
答案：
4
-1
1
2
3
PAGE微专题16
含参数函数的单调区间
在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解
（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
例如：解不等式：，可得：此时扮演两个角色，一个是的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定的大小，进而要和来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以系数的正负，进行分类。
①当时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于，以此为前提，故小大根不存在问题，解集为
②当时，不等式变为
③当时，不等式解集为小大根之外，而，的大小由的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）
时，不等式解集为
时，不等式化为
时，不等式解集为
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。
二、典型例题：
例1：已知函数，求的单调区间
解：定义域
令，所解不等式为
当时，即解不等式
的单调区间为：
当时，
恒成立
为增函数:
例2：已知函数
（1）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值
（2）求函数的单调区间
解：（1）由切线与垂直可得：
（2）思路：导函数，令解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根
解：
令即
①
（将的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用的条件使得大小能够确定下来，避免了进一步的分类）
的单调区间为：
②
的单调区间为：
例3：已知函数，求的单调区间
解：定义域：
，令，可得：
即
当时，
的单调区间为：
当时，为增函数
当时，恒成立
为增函数
例4：讨论函数的单调区间
解：
令
即
（注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）
①
时
（求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手）
恒成立，在单调递增
②
函数
为增函数
③
时
（下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）
当即时，恒成立，在单调递减
当即时，解得：
的单调区间为：
小炼有话说：本题定义域为，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在时，表格中自变量的区间是从处开始分析的
例5：已知函数，讨论的单调性
解：定义域为
令即
考虑
（左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点）
①
时
恒成立，故在单调递增
②
时
的解
的解集为
的单调区间为：
③
时
在单调递增
小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。，说明两根同号，而，说明的符号决定的正负，从而在的情况下进行再次分类讨论
例6：已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间．
解：（1）
切线方程为：，即
（2），
令，即解不等式：
①
当时，解得：，故的单调区间为：
②
当时
，所以解得：
故的单调区间为：
③
，则，常值函数不具备单调性
④
时，解得：或
故的单调区间为：
例7：已知函数.求函数的单调区间.
解：
令，即，
（参数角色：①
的大小，②
是否在定义域内，以①为目标分类）
①
即
（此时一定在定义域中，故不再分类）
不等式的解集为或
的单调区间为：
↗
↘
↗
②
在单调递增
③
，要根据是否在进行进一步分类
当时，
不等式的解集为或
的单调区间为：
↗
↘
↗
当时，则，不等式的解集为
，的单调区间为：
↘
↗
小炼有话说：
（1）在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。
（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。
例8：已知函数，求的单调区间
解：定义域
令，即解不等式
（1）当时，可得，则不等式的解为
的单调区间为：
（2）当时，
①
时，即，解得或
的单调区间为：
②
，代入到恒成立
为增函数
③
，解得：或
的单调区间为：
例9：设函数，求的单调区间；
解：，令即
（1）
则恒成立
在上单调递增
（2）或
①
当时，解得
，单调区间为：
②
当时，解得：或
单调区间为：
例10：已知函数，其中，试讨论的单调性
思路：，可令，则需解不等式，由于的奇偶不同会导致解集不同，所以可对分奇偶讨论
解：
令解得
当为奇数时，为偶数，可解得：
的单调区间为：
当为偶数时，为奇数，可解得：
的单调区间为：
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微专题34
向量的模长问题——几何法
一、基础知识：
1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：
（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线
（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形
2、向量数乘的几何意义：对于
（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向
（2）模长关系：
3、与向量模长问题相关的定理：
（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为
①
正弦定理：
②
余弦定理：
（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线
特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件
4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
二、典型例题：
例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量的夹角为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出
即可。
解：如图可得：，在中，有：
即：
解得或（舍）
所以，
答案：选
例2：若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
思路：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是同向（如图1，此时夹角均为0），则为
，另一种情况为两两夹角
（如图2），以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C
答案：C
例3：已知向量，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先作出，即有向线段，考虑，将的起点与重合，终点绕旋转且，则即为的长度，通过观察可得与共线时达到最值。所以，且连续变化，所以的取值范围是
答案：C
例4：设是两个非零向量，且，则_______
思路：可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由可知满足条件的只能是底角为，边长
的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为
答案：
例5：已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可知为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在中，，由正弦定理可得：，即
答案：D
例6：已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为（此时的终点位于点）
答案：A
例7：在中，，设是的中点，是所在平面内的一点，且，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题的关键在于确定点的位置，从而将与已知线段找到联系，将考虑变形为，即，设，则三点共线，且，所以由平行四边形性质可得：
答案：B
例8：已知向量，对任意的，恒有，则的值为________
思路：本题以作为突破口，通过作图设，为直线上一点，则有。从而可得，即，所以点为直线上到距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为到的垂线段。所以，即，所以有
答案：0
小炼有话说：本题若用图形解决，找到在图上的位置和两个向量的联系是关键
例9：已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是_________
思路：由条件可得夹角的余弦值，若用代数方法处理夹角的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设，则，即，从而，可判定四点共圆，则的最大值为四边形外接圆的直径，即的直径。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即
答案：
小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。
例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量满足
，且与的夹角为，则的取值范围是___________
思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围
解：在中，由正弦定理可得：
而
答案：的取值范围是
小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：
例1：解：
，解得
例2：解：
夹角相同
当同向时，可得，所以
当两两夹角时，可得
，所以
综上所述：或
例3：解：
因为
即
例4：解：可得
代入得
例8：解：以为原点，为轴建立直角坐标系。所以，设，则，由可得：，所以
因为为中点
例9：解：
对恒成立
即
，所以
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微专题08
函数方程问题的分析
一、基础知识：
1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：
（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）
（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即
（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值
2、双变量函数方程的赋值方法：
（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。
（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质
3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程
（1）：
（2）：
（3）①
当时，：
②当时，：
二、典型例题
例1：已知函数对任意的均有，且当时，
（1）求证：为奇函数
（2）求证：为上的增函数
（1）思路：要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可
解：（1）令，则
令，则解得
为奇函数
（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑，进而。只需判断的符号即可
解：任取，且，令，代入方程可得：
，依题意可得：
即
为增函数
小炼有话说：第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的
例2：已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，
（1）求的值
（2）求证：在上是增函数
（3）求不等式：的解集
解：（1）令，则有，解得或
令可得：
（2）思路：考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而，由和已知条件可得：所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证
证明：，则令，代入函数方程有：
，下证
由已知可得，时，所以只需证明时，
令
，即
在上单调递增
（3）思路：本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解。由（1）（2）问可得，从而，再根据单调性即可得到关于的不等式，解出不等式即可
解：
，且
由（2）可得单调递增
解得
例3：定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简，由可得：，令解得：，即，所给方程左边已经作差，所以考虑，，则，因为，所以，从而，即，得到在单调递增，所以
答案：D
小炼有话说：本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：
假设，因为
且
由可得成立，从而
例4：函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：从所求中发现互为相反数，所以联想到判定是否具有奇偶性。令，则有，需求出：令，则，再令，则，所以，为偶函数。所以，所解不等式为，因为为偶函数，且区间上单调递增，所以自变量距离轴越近，则函数值越小，所以，即，解得，因为，所以的范围为
答案：D
例5：设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为
思路：首先从所求出发，由确定代入的特殊值。令得：，则下一步需要确定的值，令，则有，所以，由角的终边在第一象限可得：，从而的集合为
答案：
例6：定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可
解：，且，令代入函数方程可得：
，
在单调递增
令，可得：
答案：D
例7：已知函数满足：，对任意实数都有，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，所以，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，所以，且
答案：B
例8：已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么
__________
思路：函数方程为“和→积”的特点，抓住，可发现令，则，所以可得：自变量间隔,，其函数值的和为0，所以将求和的式子两两一组，即：
答案：
例9：设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________
思路：观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时，
①，时，
②，则求是关键，结合，可令，则，代入到①②可得：，即，消去解得：
答案：:
例10：已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，
，，考察下列结论：
①
②为奇函数
③数列为等差数列
④数列为等比数列，其中正确的个数为(
)
A．
B．
C．
D．
思路：考虑按照选项对函数方程中的进行赋值。
①计算，令，可得；令，则，所以，①正确
②
使等式中出现，令，则，需要计算出，结合方程可令，则有，即，所以，为奇函数，②正确
③
从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：
，从而判定为等差数列，③正确
④若按照等比数列定义，考虑，则不易于进行化简。可由③出发得到的表达式：，所以，即，所以，从而可判定是一个等比数列，④正确
答案：D
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微专题21
多元不等式的证明
多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。
一、基础知识
1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：
（1）利用条件粗略确定变量的取值范围
（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用
2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序
3、证明多元不等式通常的方法有两个
（1）消元：①
利用条件代入消元
②
不等式变形后对某多元表达式进行整体换元
（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式
（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
二、典型例题：
例1：已知，其中图像在处的切线平行于轴
（1）确定与的关系
（2）设斜率为的直线与的图像交于，求证：
解：（1）
，依题意可得：
（2）思路：，所证不等式为
即，进而可将视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式
解：依题意得，故所证不等式等价于：
令，则只需证：
先证右边不等式：
令
在单调递减
即
对于左边不等式：
令，则
在单调递增
小炼有话说：
（1）在证明不等式时，由于独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式：使得不等式以为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式
（2）所证不等式为轮换对称式时，若独立取值，可对定序，从而增加一个可操作的条件
例2：已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）设，且，证明：
解：
（1）定义域为
令
解得：
∴的单调增区间是，单调减区间是
的极小值为，无极大值
（2）思路：所证不等式等价于证，轮换对称式可设，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量
证明：不妨设
（由于定序，去分母避免了分类讨论）
（观察两边同时除以，即可构造出关于的不等式）
两边同除以得，
令，则，
即证：
令
令，
（再次利用整体换元）
，在上单调递减，所以
即，即恒成立
∴在上是减函数，所以
∴得证
所以成立
小炼有话说：
（1）本题考验不等式的变形，对于不等式而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以，结果为或者1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以，结果为或者1，进而就将不等式化为以为核心的不等式
（2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式
例3：已知函数（a∈R）．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）如果函数恰有两个不同的极值点,
证明：．
解：
（1）是上是增函数
(注意：单调递增→导数值）
设
令解得
故在单调递减，在单调递增
（2）思路：，。所证不等式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数。由为极值点可得
从而可用表示，简化所证不等式。
解：依题意可得：
，
是极值点
两式相减可得：
所证不等式等价于：，不妨设
两边同除以可得：，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以使得多项呈的形式）
从而考虑换元减少变量个数。令
所证不等式只需证明：，设
由（2）证明可得：
在单调递减，
证明完毕
原不等式成立即
小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0的等式消去，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对的处理，此时对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以，使得不等式的左右都是以为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。
例4：已知
（1）讨论的单调性
（2）设，求证：
解：（1）定义域
令，即
①
则恒成立，为增函数
②
则，恒成立，为增函数
③
时，
当，则恒成立，为减函数
当时，解得：
↗
↘
（2）思路：所证不等式含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（1）问可知单调递减，故只需知道的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且任取，进而可定序，所证不等式，即，发现不等式两侧为关于的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。
解：不妨设，，所以由第（1）问可得单调递减，
所证不等式等价于：，令，只需证明单调递减即可
。
设
方程
在单调递减。
即所证不等式成立
小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。
例5：已知函数.
（1）当时，讨论函数在上的单调性；
（2）如果是函数的两个零点，为函数的导数，证明：
解：（1）
可判断在单调递减
在单调递减
（2）思路：可得：，含有三个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由可得：
两式相减便可用表示,即,代入可得：
从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明
解：
是函数的两个零点
只需证
，令
则设
下面证
恒成立
在单调递减，
即
小炼有话说：
（1）体会在用表示时为什么要用两个方程，而不是只用来表示?如果只用或进行表示，则很难处理，用两个变量表示，在代入的时候有项，即可以考虑利用换元法代替,这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特点
（2）在这一步中，对项的处理可圈可点，第三问的目的落在判断的符号，而符号为负，且在解析式中地位多余（难以化成)，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化且能表示为的表达式
例6：（2010年天津，21）已知函数
（1）求函数的单调区间和极值
（2）已知函数的图像与函数的图像关于对称，证明当时，
（3）如果，且，求证：
解：（1）
令
的单调区间为：
↗
↘
的极大值为，无极小值
（2）解：与关于轴对称的函数为
所证不等式等价于证：
设
在单调递增
即
（3）思路：所给条件，但很难与找到联系。首先考虑的范围，由（1）可得是极值点，应在的两侧，观察已知和求证均为的轮换对称式，所以可设，进而，既然无法直接从条件找联系，不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于自变量的，，而，根据的单调区间可发现同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系
由可得所证不等式等价于，刚好使用第二问的结论。
解：，是极值点
在的两侧，不妨设
所证不等式等价于
而
在单调递增
只需证明
由第（2）问可得
成立
得证
小炼有话说：（1）本题第（3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间
（2）本题第（2）（3）两问存在图形背景。首先说第三问：所证不等式
，即证的中点横坐标大于1，而恰好是的极值点。可理解为与一条水平线交于，而说明什么？说明如果是以极大值点为起点向两边走，左边下降的快而右边下降的慢！从函数角度来看说明增长快下降慢（如图）。那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？本题的第二问提供了一个方法，就是以极值点所在竖直线为对称轴，找的对称图形（虚线），这样便把极值点左边的情况对称到右边来（即），由于对称轴右边都是从起开始下降，那么通过证明对称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。
例7：已知函数
（1）求的极值
（2）若对任意的均成立，求的取值范围
（3）已知且，求证：
解：（1）
令解得
在单调增，在单调递减
有极大值，无极小值
（2）
(参变分离法）
设(即时的)
（3）思路：所求证不等式无法直接变形，联系的特点可以考虑不等式两边取对数，即，由且可得，联系第（2）问的函数即可寻找与的联系了。
解：，
考虑在单调递增
同理：
即
例8：已知函数
（1）函数有两个不同的零点，求实数的取值范围
（2）在（1）的条件下，求证：
解：（1）有两个不同的零点，即有两个不同的根
设
令可得：
在单调递减，在单调递增
且时，，
（2）思路一：所证不等式中含有两个变量，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式，由零点可知，从中可以找到，即，下面只需用将消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得，从而，只需证明，两边同除以，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式来进行证明
解：不妨设
由已知可得：
即只需证明：，在方程可得：
只需证明：
即
令，则，所以只需证明不等式：①
设
在单调递增
在单调递增
，即不等式①得证
即
思路二：参照例题6的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数值的不等式进行证明。由（1）可知在构造的函数中，有，且在单调递减，在单调递增，所以考虑使用来进行转换，所证不等式，通过（1）中的数形结合可知，从而有，所以所证不等式转化为，即，转化为关于的一元不等式，再构造函数证明即可
解：所证不等式
因为有两不同零点
满足方程，由（1）可得：
考虑设，
由（1）可得：在单调递减，在单调递增
结合的单调性可知：只需证明
所以只需证明：
即证明：
设，则
，则
，则
单调递减
单调递减
单调递减
即得证
得证，从而有
例9：已知函数，其中常数
（1）求的单调区间
（2）已知，若，且满足，试证明：
解：
（1）定义域
令即
①
↗
↘
↗
②
恒成立
在单调递增
③
↗
↘
↗
（2）
思路一：分别用表示出，并利用进行代换，然后判断的符号即可。
解：，，所以只需证明：
即
只需证
若要证，只需证明：即可
下面判断的范围
单调递减，不妨设
得证
即不等式得证
思路二：在证明时，固定(视为一个参数），将作为一个整体视为自变量，构造函数判断符号
解：考虑证明
同思路一判断出
令
设
在单调递增
即
不等式得证
小炼有话说：（1）思路一的方法比较直接，在整理完后通分判断符号。其中证明借鉴了例6的思路，通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系，构造函数证明。
（2）思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数，以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法
（3）第（3）问中对范围的判定是一个亮点，利用极值点与单调性来进行判定。此方法通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用代数语言进行说明和证明。
例10：已知函数，其中
（1）当时，求的极小值
（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：
解：（1）
①
当时，恒成立
为增函数，无极小值
②
当时，令，解得
在单调递减，在单调递增
有极小值为
（2）思路：，可得①，，考虑减少变量个数。由是零点可得：，可得，若直接代入不等式消去，则不等式过于复杂。且之间很难通过变形构造函数，所以考虑分别判断的取值范围，寻找它们之间的“中间量”。构造函数，通过判断单调性可得到，从而，而，不利于通过换元减少变量个数，但观察到，从而，可通过换元构造函数，再分析其最值即可得到，从而通过桥梁“0”证明不等式
解：
有两个不同的零点
考虑：，设
，因为
在单调递减，在单调递增
再考虑
设，则
设
在单调递减
，进而
综上可得：
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微专题10
函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点
2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
①
若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
②
若，那么在不一定有零点
③
若在有零点，则不一定必须异号
3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧）
二、方法与技巧：
1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用
（1）函数的零点：
工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关
（2）方程的根：
工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数
（3）两函数的交点：
工具：数形结合
作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。
缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7
函数的图像）
3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的。
三、例题精析：
例1：直线与函数的图象有三个相异的交点，则的取值范围为
( )．
A．
B．
C．
D．
思路：考虑数形结合，先做出的图像，，令可解得：或，故在单调递增，在单调递减，函数的极大值为，极小值为，做出草图。而为一条水平线，通过图像可得，介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：
答案：A
小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先分析参数所扮演的角色，然后数形结合，即可求出参数范围。
例2：设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_________
思路：方程等价于：，即函数与的图像恰有两个交点，分析的单调性并作出草图：
令解得：
在单调递减，在单调递增，，由图像可得，水平线位于之间时，恰好与有两个不同的交点。
答案：
小炼有话说：（1）本题中的方程为，在构造函数时，进行了与的分离，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于的函数易于作出图像，则优先进行参变分离。所以在本题中将方程转变为，构造函数并进行数形结合。
（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形结合时也要注意能否取到边界值。
例3：已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：函数有三个零点，等价于方程有三个不同实数根，进而等价于与图像有三个不同交点，作出的图像，则的正负会导致图像不同，且会影响的位置，所以按进行分类讨论，然后通过图像求出的范围为。
答案：D
小炼有话说：（1）本题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。
（2）本题所求在图像中扮演两个角色，一方面决定左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的位置与轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形结合。
例4：已知函数满足，当，若在区间内，
函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B.
C．
D．
思路：，当时，，所以，而有三个不同零点与有三个不同交点，如图所示，可得直线应在图中两条虚线之间，所以可解得：
答案：B
小炼有话说：本题有以下两个亮点。
（1）如何利用
，已知的解析式求的解析式。
（2）参数的作用为直线的斜率，故数形结合求出三个交点时的范围
例5：已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（
）
A．
4
B．6
C．8
D．10
思路：由为偶函数可得：只需作出正半轴的图像，再利用对称性作另一半图像即可，当时，可以利用利用图像变换作出图像，时，，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出，，……的图像，的零点个数即为根的个数，即与的交点个数，观察图像在时，有5个交点，根据对称性可得时，也有5个交点。共计10个交点
答案：D
小炼有话说：
（1）类似函数的周期性，但有一个倍数关系。依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可
（2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，便于数形结合。
（3）巧妙利用的奇偶性，可以简化解题步骤。例如本题中求交点个数时，只需分析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决
例6：对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由“局部奇函数”可得：
，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），即或，解得：或
（2）若方程有两解，则，解得：，综上所述：
答案：A
小炼有话说：本题借用“局部奇函数”概念，实质为方程的根的问题，在化简时将视为整体，进而将原方程进行转化，转化为关于的二次方程，将问题转化为二次方程根分布问题，进行求解。
例7：已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．0或2
思路：，结合的零点个数即为方程，结合条件中的不等式，可将方程化为，可设，即只需求出的零点个数，当
时，，即在上单调递增；同理可得：在上单调递减，，故，所以不存在零点。
答案：A
小炼有话说：
（1）本题由于解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。
（2）所给不等式呈现出轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得，而的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中的相联系，从而构造出
例8：定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差，联想到周期性，考虑先求出的值，由为偶函数，可令，得
，
为周期是2的周期函数。已知条件中函数有三个零点，可将零点问题转化为方程即至少有三个根，所以与有三个交点。先利用在的函数解析式及周期性对称性作图，通过图像可得：时，不会有3个交点，考虑的图像。设，则，利用图像变换作图，通过观察可得：只需当时，的图像在上方即可，即
所以
答案：B
小炼有话说：本题有以下几个亮点：
（1）的周期性的判定：
可猜想与周期性有关，可带入特殊值，解出，进而判定周期，配合对称性作图
（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择能够做出图像的函数，例如在本题中，的图像可做，且可通过图像变换做出
例9：已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得，即的周期为，所解方程可视为与的交点，而的作用为影响图像直线的斜率，也绝对此段的最值（），先做出的图像，再根据三个交点的条件作出的图像（如图），可发现只要在处，的图像高于图像且在处的图像低于图像即可。所以有
，即
答案：B
例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数
的图像上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：考虑设对称点为，其中，则问题转化为方程至少有三个解。即有三个根，所以问题转化为与有三个交点，先做出的图像，通过观察可知若与其有三个交点，则，进一步观察图像可得：只要，则满足题意，所以
，所以
答案：A
三、近年模拟题题目精选：
1、已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是(
)．
A．或
B．
C．或
D．
2、（2014吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点都在函数的图像上；点关于原点对称，则称是函数的一个“姊妹点对”（与可看作同一点对），已知，则的“姊妹点对”有______个
3、（2015，天津）已知函数
函数
，其中，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2015，湖南）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是______
5、（2014，新课标全国卷I）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6、（2014，山东）已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7、（2014，天津）已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是_________
8、（2015，江苏）已知函数，则方程实根的个数为__________
9、已知函数，若存在唯一的零点，且
，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
10、对于函数，设，若存在使得，则称与互为“零点关联函数”，若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
11、已知偶函数满足对任意，均有且，若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是
.
12、（2016，河南中原第一次联考）已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为________
13、（2014，四川）已知函数为自然对数的底数
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
习题答案：
1、答案：B
解析：根据周期性和对称性可作出的图像，直线过定点
结合图像可得：若内有四个根，可知。若直线与在相切，联立方程：，令可得：，当时，解得，综上所述：
2、答案：2
解析：关于原点对称的两个点为和，不妨设，则有，从而，所以“姊妹点对”的个数为方程的个数，即曲线与的交点个数，作出图像即可得有两个交点
3、答案：D
解析：由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
4、答案：
解析：由两个零点，即方程有两个根，从而与
有两个交点。可在同一直角坐标系下作出，观察图像可得：时，水平线与有两个交点，故符合题意；当时，为增函数，所以最多只有一个零点，不符题意；当时，存在水平线与分别有一个交点，共两个符合题意。综上所述：
5、答案：C
解析：，令，依题意可知与应在有唯一交点且位于的区域。设，所以，则在单增，在单减，，作出图像可知只有当时，与有唯一交点，且在的区域。
6、答案：B
解析：方法一：方程有两个不等实根可转化为函数与的图像有两个不同交点，其中为直线的斜率。通过数形结合即可得到
方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合，中显然不是方程的解，当时，，设
，则问题转化为与交点为2个。作出图像后即可观察到的范围
7、答案：
解析：方程为：，显然不是方程的解，所以时，，即，令，则与有4个交点即可，作出图像数形结合即可得到
8、答案：4
解析：方程等价于，即或共多少个根，，数形结合可得：与有两个交点；，同理可得与有两个交点，所以共计个
9、答案：C
解析：，令，依题意可知只有一个零点且，即与只有一个在横轴正半轴的交点。可知在减，在增，
作出图像可得只有时，与只有一个在横轴正半轴的交点。
10、答案：C
解析：先从入手，可知为单增函数，且，所以有唯一零点，即；所以，即在有零点。考虑方程，即
与在有公共点即可，数形结合可得：
11、答案：
解析：当时，方程恰有5个解方程有两个解且方程无解，考虑这两个方程的判别式可得；由对称性，当时，方程恰有5个解的范围是；所以的取值范围是
12、答案：
解析：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．
13、解析：（1）
当时，
当时，
单调递增
当时
在单调递减，在单调递增
当时，
单调递减
综上所述：时，
时，
时，
（2）且在区间内有零点
.在不单调，且至少有两个极值点
在至少有两个零点
由（1）可得：若或，则在单调，至多一个零点，均不符题意
在单调递减，在单调递增
由可得：，代入到不等式组可得：
由
下面判断：时，是否恒成立
设
令解得：
在单调递增，在单调递减
在时恒成立
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微专题41
指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论：
（令）
二、典型例题：
例1：设，则的大小关系是______________
思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以
答案：
例2：设，则的大小关系是___________
思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为
答案：
例3：设
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：
，通过比较底数的大小可得：
答案：C
小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”
（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较，从而，同理再比较或即可
例4：设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察可发现：
，所以可得：
答案：D
例5：设
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上：
答案：B
例6：已知三个数，则它们之间的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。，而，从而，大小顺序为
答案：A
小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。
例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而
答案：D
例8：设且，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。，而，因为，所以，所以顺序为
答案：C
例9：下列四个数：的大小顺序为________
思路：观察发现，其余均为正。所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：，所以，综上所述，大小顺序为
答案：
例10：已知均为正数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。观察到，从而，所以顺序为
答案：A
小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。
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微专题35
形如条件的应用
一、基础知识：
1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量，均存在唯一确定的，（其中），使得。其中称为平面向量的一组基底。
（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
（2）唯一性：若且，则
2、“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
二、典型例题：
例1：在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：若要求出的最值，则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图，所以，其中，下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系：且，所以，因为，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以
答案：A
例2：如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以
答案：C
例3：在平面内，已知，设，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求为，可以考虑对两边同时对同一向量作数量积，从而得到的方程，解出，例如两边同对作数量积，可得：，因为，，所以有，同理，两边对作数量积，可得：，即，所以，通过作图可得或，从而，代入可得：
答案：B
小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量
（2）本题也可通过判定，从而想到建立坐标系通过坐标解出，进而求出
例4：如图，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：
答案：
例5：已知，则与的夹角的余弦值为__________
思路：若要求与的夹角，可联想到，所以只需确定与，由一方面可以两边同时对作数量积得到，另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出，进而求出
解：
且
答案：
例6：如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为_______
思路一：由图像可得：，由此条件中可提供的模长及相互的夹角，若要求得，可考虑求出的值。则需要两个方程。对两边同时对作数量积，即，由，可得：
，再将两边对作数量积，则，即，所以，即
思路二：从图形中可想到建系，得到的坐标，从而利用坐标可求得的值：如图建系可得：，所以，从而可得，所以
答案：6
例7：已知在中，为的外心，，且，则___________
思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求，从而考虑利用计算数量积，如何利用这个条件呢？对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积，从而得到关于的实数方程。由于是外心，进而在上的投影为各边的中点，所以可用数量积的投影定义计算出，结合所求，可确定两边同时与作数量积即可。
解：由，可得：（
）
在上的投影向量为（为中点）
，同理：
所以（
）变形为：
小炼有话说：对于形如，若想得到关于的方程，可以考虑对同一向量作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。
例8：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_____.
思路：所求的最值，可考虑对等号两边对同一向量作数量积，从而转化为的等式：
即
即，从而可发现，所以只需求得的最大值，其中根据扇形的特点可知的终点为的中点，即，所以，只需最大即可。可知重合时，，所以的最大值为
答案：
例9：已知是外接圆的圆心，为的内角，若，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D.
思路：本题所求与等式中的系数相关，是外心所以在上的投影为两边中点，考虑两边同时对
做数量积，再结合正弦定理变形等式即可
解：可得：
（
），因为是外心
（
）变形为
在中，设外接圆半径为，即
，且
（
）变形为：
例10：已知的外接圆圆心为，且满足，且，，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由外接圆的性质可知在上的投影为中点，所以考虑对两边同时对作数量积，从而得到系数的关系：，因为，所以有，再结合，解三元一次方程组即可得到：
答案：A
三、历年好题精选
1、如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为__________
答案：
2、（2016，郑州一测）已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．
3、（2015，北京）在中，点，满足．若，则
；
．
4、（2015，新课标I）设为所在平面内一点，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5、（安徽六校联考）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6、（2016，河南中原第一次联考）在直角梯形中，为边上一点，为中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8、如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于__________
9、在中，，若（是的外心），则的值为___________
10、在中，边，过作于，且，则________
11、如图，是圆的直径，是圆上的点，且
若，则（
）
A.
B.
C.
D.
12、如图，将的直角三角板和的直角三角板拼在一起组成平面四边形，其中的直角三角板的斜边与的直角三角板的所对的直角边重合，若，则分别等于（
）
A.
B.
C.
D.
13、如图，在中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
14、在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与不重合），若，则的取值范围是________
15、已知在中，，点为的外心，若，则有序实数对为（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以为轴建立坐标系。设正方形边长为单位长度，则
，点所在圆方程为，设
则，，
，由得：
，解得：
设
令，所以：
由可得：，结合分式的单调性可得当时，达到最小值，即
2、答案：
解析：设，，
∵，∴．
∴，∴，
∵∴，即
∴表示的可行域为平行四边形，如图：
由，得，由，得，
∴,
∵到直线的距离，
∴，
∴，∴，
∴，.
3、答案：
解析：，所以
4、答案：A
解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：
5、答案：D
解析：以为轴建立坐标系，设，则，，由可得：
，若存在最大值，则存在极值点
在有零点
令，因为
，解得：
6、解析：取的中点，连结，，则，所以，
＝，于是＝＝
7、答案：C
解析：由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线
圆的半径
设，由可得：
在圆内
设，则
，其中
由可知
，且
所以
8、答案：
解析：可依直角建立坐标系，则
设，则有，由图可得所在的区域为不等式组：
所求，利用线性规划可得：的最大值为，最优解在处取得
9、答案：
解析：由可得：
由是的外心可得：
，所以
10、答案：
解析：，由可得：，所以
即
另一方面，由三点共线可得：，所以解得：
，所以
11、答案：A
解析：以圆为单位圆建系，可得
由图可知，所以
，由可得：
从而
12、答案：D
解析：可如图以所在直线为轴建立坐标系，以为单位长度，则只需求出点坐标即可，由已知可得：
，联立方程可解得，所以可得：
13、答案：D
解析：连结，由“爪字型”图的模型可知，因为，代入可得：①，在中，由三点共线以及①可得：，所以，设，则，因为，所以可得的最小值在处取得，即
14、答案：
解析：设
15、答案：A
解析：
为的外心
由可得：
解得：，所以为
O
A
C
B
D
P
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微专题36
向量的数量积——寻找合适的基底
在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将两个向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法
一、基础知识：
（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：
1、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）
2、向量数量积运算，其中为向量的夹角
3、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，
其中：同向
：反向
：
4、数量积运算法则：
（1）交换律：
（2）系数结合律：
（3）分配律：
因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：
例如：
5、若，则
由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将用基底表示出来，则可计算
（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：
1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。
2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：
（1）向量的加减运算
（2）“爪”字型图：在中，是上的点，如果，则，其中知二可求一。特别的，如果是边上的中线，则
3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角
二、例题精炼
例1:如图，在中，是边上一点，，则_______________
思路：模长未知（尚可求出），夹角未知，所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底，，可计算出,进而对于,模长均已知，数量积已求，条件齐备，适合作为基底。用表示：,,
答案：
例2：如图，已知在中，，则______
思路：观察条件，很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,条件中(数量积有了），（模长有了），所以考虑用作为基底。下一步只需将表示出来，（底边比值——联想到“爪”字型图）,解得：
所以
答案：
例3:在边长为1的正三角形中，设，则__________
思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，两两数量积均可计算，所以考虑用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得,
(注意向量夹角）
答案：
小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴。坐标完成之时，就是计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。
例4：如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：在本题中已知及两个向量的夹角，所以考虑将作为一组基底。则考虑将用进行表示，再做数量积即可
解：
且，所以有：
由已知可得：
答案：C
例5：已知向量的夹角是，且，若，且，则实数的值是____________
思路：题中模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示，再根据求出即可
解：
即
①
①式变为：解得
答案：
例6：在边长为的正三角形中，，则的最大值为___________
答案：
思路：所给为等边三角形，则三边所成向量两两数量积可解。所以用三边向量将表示出来，再作数量积运算并利用消元即可求出最值
解：
且
等号成立条件：
答案：
小炼有话说：（1）本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决：
（2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题中用把消掉，则所满足的条件除了已知的之外，还有，即
例7：如图，在四边形中，是等边三角形，则的值为_____________
思路：从条件中可分析，的边所成的向量两两之间数量积可求，其公共边为，所以以作为突破口，所求数量积中只有需要转换，可得，所以，进而可解
解：
在中，
在等边三角形中，
答案：
小炼有话说：（1）在求时要注意夹角不是，而是它的补角！
（2）在求也可以用投影定义来解，即在上的投影为，所以
例8：如图，四边形满足，若是的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题要抓住这个条件，所求表达式中主要解决。从图中可发现分别是的中线，从而可用条件中的向量进行表示：，从而求得表达式的值
解：
答案：D
例9：菱形边长为，，点分别在上，且，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的所涉及的向量用菱形的边和进行表示，进而列出关于的方程，解出方程便可求出
解：
答案：D
例10：已知向量满足条件：，且，点是内一动点，则_________
思路：本题已知模长，可对进行变形得到更多条件：，同理，从而可将所求式子中的向量均用表示再进行计算即可。
解：
，代入
可得：，同理
答案：
小炼有话说：（1）本题在处理关系时，从入手两边同时模长平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式→数量积等式”的常见变形方法
（2）在处理关系时也可以通过数形结合，从和中发现在图像上的特点，推断出两两夹角从而计算出它们的数量积
（3）为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正规方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即为等边三角形，且是中心，然后再给选择一个特殊位置（比如与重合）计算出结果。
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微专题43线性规划——作图与求解
一、基础知识
1、相关术语：
（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组
（2）可行解：满足线性约束条件的解
（3）可行域：所有可行解组成的集合
（4）目标函数：关于的函数解析式
（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、如何在直角坐标系中作出可行域：
（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线
（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：
①
竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断
②
一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方
③
过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤
（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域
（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）
①
线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。
②
分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。
③
含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。
（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）
4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。
例如：若变量满足约束条件，则的最大值等于_____
作出可行域如图所示，直线的斜率，直线的斜率，目标函数的斜率，所以，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比还要平，则会发现最优解在处取得，以及若平移的直线比还要陡，则会发现最优解在处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。
（1）在斜率符号相同的情况下：越大，则直线越“陡”
（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确
（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）
（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。
二、典型例题：
例1：若变量满足约束条件，则的最小值等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在点处，纵截距最大。且解得，所以的最小值
答案：A
例2：设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数，通过平移可得最优解为，所以
答案：B
例3：若变量满足，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：目标函数可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为，所以
答案：D
例4：设变量满足约束条件，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求可视为点与定点连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在处的斜率最小，即，在处的斜率最大，为，结合图像可得的范围为
答案：D
例5：若实数满足条件，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：设，则可先计算出的范围，即可求出的最大值：，则最优解为，所以，则
答案：B
例6：设为坐标原点，点的坐标为，若点满足不等式组，则使取得最大值的点的个数有（
）
A.
1
B.
C.
D.
无数个
思路：设，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线重合，所以有无数多个点均能使取得最大值
答案：D
例7：（2015，福建）变量满足约束条件，若的最大值为，则实数等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数，若最大则动直线的纵截距最小，可观察到为最优解。，则有，解得：
答案：C
小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数
例8：在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先做出常系数直线，动直线时注意到，斜率为常数1，且发现围成的区域恒为一个三角形。目标函数，通过图像可得最优解为，所以，则解得：
答案：D
例9：若变量满足约束条件，若的最大值为4，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：如图作出可行域，目标函数为，由于决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑的符号：
当时，此时与的斜率进行比较：
若，则的最大值为0，不符题意；
若，则最优解为，代入解得与初始范围矛盾，故舍去；当时，直线与斜率进行比较：
若，则最优解为，代入解得，符合题意
若，可得的最大值为2，不符题意，舍去
若，则最优解为，代入解得与初始范围矛盾，舍去
综上所述：
答案：B
小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。
（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出的值，再带入验证。
例10：设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先做出可行域，目标函数，由可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值在处取得，即，所以
答案：C
小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而后与均值不等式结合求出最值
三、历年好题精选
1、（2016，衡阳联考）如果实数满足条件，则的最小值为，则正数的值为__________
2、(2014，温州中学三月考)已知实数满足，则的最小值是_________
3、若点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是_________
4、（2016，南昌二中四月考）已知实数满足，则的取值范围是________
5、设实数
满足
,则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
6、设实数满足，则为（
）
A.
有最小值2，最大值3
B.
有最小值2，无最大值
C.
有最大值3，无最小值
D.
既无最小值，也无最大值
7、设满足约束条件：，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
8、（2016，湖南师大附中月考）若实数满足，设，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
9、（2015，北京）若满足，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
10、（2015，广东）若变量满足约束条件，则的最小值为（
）
A．
B.
C.
D.
11、（2015，新课标I）若满足约束条件，则的最大值为________
答案：3
12、（2015，新课标II）若满足约束条件，则的最大值为____
13、（2015，山东）已知满足约束条件，若的最大值为，则（
）
A.
B.
C.
D.
14、（2014，北京）若满足约束条件，且的最小值为，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：1
解析：根据约束条件画出可行域，可知时，即
2、答案：
解析：设，则有，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图可知当与抛物线相切时，此时取得最小值，联立方程，所以判别式
3、答案：
解析：将代入可得：，作出可行域，可视为点到原点距离的平方。结合图像可知：到原点距离最大，即原点到直线的距离为，所以
4、答案：
解析：，其中可视为与连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线与在第一象限相切时，取得最大值，解得：，，而时，，所以
5、答案：C
解析：令，作出可行域，可知可视为连线的斜率，
且为关于的增函数，所以
6、答案：B
解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线即可得到在处达到最小值，即，但没有最大值
7、答案：B
解析：，则可视为可行域中的点与连线的斜率，作出可行域可得：，所以的最小值为3
8、答案：C
解析：方法一：，其中为可行域中的点与原点连线斜率的倒数，作出可行域可知：，所以，从而可计算出
方法二：由可得：，代入到不等式组可得：，作出可行域，所求为与连线的斜率，数形结合即可得到最大值为
9、答案：D
解析：，作出可行域，可得最优解为时，取得最大值
10、答案：C
解析：由可得：，数形结合可知经过时，取得最小值
11、答案：3
解析：作出可行域（如图所示），所求分式，即可行域中点与原点连线的斜率最大值，由图可知点与原点连线斜率最大，所以的最大值为
12、答案：
解析：目标函数变为，即求动直线纵截距的最大值，作出可行域，数形结合可得直线过，则
13、答案：B
解析：由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，所以
14、答案：D
解析：目标函数变形为，由直线可得该直线过定点，分讨论，若，则由图可知纵截距的最小值在直线过处取得，即，不符题意；当时，可知直线纵截距的最小值过与轴的交点，所以，解得
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微专题07
分段函数的性质与应用
分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看”
一、基础知识：
1、分段函数的定义域与值域——各段的并集
2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较的关系，要注意的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题
（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如
中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为：
5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
二、典型例题
例1：已知函数，若，则实数_____
思路：从里向外一层层求值，
所以
答案：
例2：设函数，则的值为_________
思路：由解析式可知，只有，才能得到具体的数值，时只能依靠向
正数进行靠拢。由此可得：
，而
答案：
小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。
例3：函数，则不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
思路：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式：当时，，可解得：或。所以或；当时，解得，所以，综上所述：
答案：B
例4：已知函数，则不等式的解集是________
思路：要想解不等式，首先要把转变为具体的表达式，观察已知分段函数，
，占据整个括号的位置，说明对于函数而言，括号里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对的符号进行分类讨论。（1）当时，，不等式变为：
（2）当时，，不等式变为：
答案：
例5：已知函数，则不等式的解集为___________
思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析的图像性质，发现的两段解析式均可作图，所以考虑作出的图像，从而发现是增函数，从而无论在哪个范围，，从而解得：或
答案：
小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。
例6：已知函数.若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
思路：本题可以对进行分类讨论，以将变成具体不等式求解，但也可从的特点出发，考虑判断的奇偶性，通过作图可发现为偶函数，所以，所解不等式变为，再由图像可得只需，即
答案：C
小炼有话说：
（1）本题判断函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示
（2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到
，只是在代入过程中要注意的范围：设，则，，所以，即为偶函数
例7：已知函数，若，则的值域是_______________
解析：是一个分段函数，其分段标准以的大小为界，所以第一步先确定好的取值，解不等式：，解得：，故
，分别求出每段最值，再取并集即可
答案：
例8：已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________
思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：
，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即
综上所述可得：
答案：
例9：已知，则下列选项错误的是（
）
A.
①是的图像
B.
②是的图像
C.
③是的图像
D.
④是的图像
思路：考虑先作出的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A.
为向右平移一个单位，①正确；B.
为关于轴对称的图像，②正确；C.
为正半轴图像不变，负半轴作与正半轴关于轴对称的图像，③正确；D.
的图像为在轴上方的图像不变，下方图像沿轴对称翻折。而图像均在轴上方，所以应与图像相同。④错误
答案：D
例10：函数
，则下列结论正确的是（
）
A.
函数在上为增函数
B.
函数的最小正周期为4
C.
函数是奇函数
D.
函数无最小值
思路：可观察到的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC选项错误，D选项存在最小值，所以D错误，A选项是正确的
答案：A
小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。
（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中就属于部分，所以才存在最小值。
三、近年模拟题题目精选
1、已知函数若，则______
2、已知，若，则__________.
3、（2016，湖州中学期中）函数,若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4、已知，则的解集为______________
5、（2015，北京）设函数
①若，则的最小值为________
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________
6、（2015，福建）若函数的值域是，则实数的取值范围是___________
7、（2015，新课标II）设函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
8、（2015，山东）设函数，则满足的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
9、已知函数，则的值域是（
）
A.
B.
C.
D.
10、已知函数，无论为何值，函数在上总是不单调，则的取值范围是____________
11、已知，且，则使不等式成立的还应满足的条件为（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：
解析：，所以
2、答案：或
解析：若，则，无解；若，则，由解析式可得：或
3、答案：C
解析：
当，即时；，故，故不成立；当，即时；，又在上显然成立即故，故选C．
4、答案：
解析：时，，可得，当时，，综上可得：
5、答案：①
②
或
解析：①
时，，当时，，当时，，综上所述可得：
②
当时，为单调增函数，且，当时，解析式可能的零点为，因为恰有2个零点，所以的区域中至少有一个零点。当时，可知在各有一个零点，符合题意。当时，在已有两个零点，所以在不能有零点，故，综上所述：或
6、答案：
解析：从常系数函数入手，时，可得：，所以当时，的值域应为的子集，从而可知，所以，则，所以
7、答案：C
解析：由分段函数可得：，因为，所以，则
8、答案：C
解析：可将视为一个整体：，则有，根据分段函数特点可推断出，即，所以有或，解得：
9、答案：C
解析：，由三角函数性质可得：，即可求得值域为
10、答案：
解析：由得，解得，所以在单调递增，在单调递减。对于可知为单调函数或水平线。当单调递增时，无论为何值，只要将取到足够小，总能使为增函数。当单调递减或是为水平线时，可知恒不单调。所以
11、答案：D
解析：观察可得题目条件具备轮换对称的特点，所以可以给定序，不妨设，又由可知异号，从而，所以：
即
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微专题29
图像变换在三角函数中的应用
在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：
（一）图像变换规律：设函数为（所涉及参数均为正数）
1、函数图像的平移变换：
（1）：的图像向左平移个单位
（2）：的图像向右平移个单位
（3）：的图像向上平移个单位
（4）：的图像向下平移个单位
2、函数图像的放缩变换：
（1）：的图像横坐标变为原来的（图像表现为横向的伸缩）
（2）：的图像纵坐标变为原来的倍（图像表现为纵向的伸缩）
3、函数图象的翻折变换：
（1）：在轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于轴对称的图像
（2）：在轴上方的图像不变，轴下方的部分沿轴向上翻折即可（与原轴下方图像关于轴对称）
（二）图像变换中要注意的几点：
1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？
在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①
若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换
②
若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换
2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：
（1）加“常数”
平移变换
（2）添“系数”放缩变换
（3）加“绝对值”翻折变换
3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①
横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求
②
横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化
例如：可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即
方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位
③
纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行
例如：有两种方案
方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即
方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）
二、典型例题：
例1：要得到函数的图像，只需要将函数的图像（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向右平移个单位
D.
向左平移个单位
思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含的地方进行了变化，所以只有，所以是向右平移个单位
答案：C
小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。
（2）对于前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。
例2：把函数的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位，这是对应于这个图像的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：，经过化简可得：
答案：A
例3：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向右平移个单位
D.
向左平移个单位
思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：；原函数：
可得平移了个单位
答案：B
小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦
例4：要得到的图像只需将的图像（
）
A.
先向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
B.
先向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的
C.
先将图像上各点的横坐标缩短至原来的，再将图像向左平移个单位
D.
先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的倍，再将图像向右平移个单位
思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同
A.
B.
C.
D.
答案：B
例5：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（
）
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从入手化为的形式：，从而得到需要向左平移个单位。
答案：D
例6：将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（
）
A．
B．
C．
D．
思路：首先先求出平移后的解析式，
即，在由已知可得其中一条对称轴为，所以
，解得：，当时，
答案：C
小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目
例7：若将函数的图像向右平移个单位可得到一个奇函数的图像，向左平移个单位可得到一个偶函数的图像，则可取的一组值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题也可按照例6的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出的方程组求解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移个单位后关于对称，则原函数关于中心对称；向左平移个单位关于轴对称，则原函数关于轴对称，从而确定周期，进而，而向右平移个单位得到奇函数，可得
答案：C
例8：若把函数图像向左平移个单位，则与函数的图像重合，则的值可能是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：首先将两个函数的三角函数名统一：，将函数向左平移得到的解析式为，由于两个函数图像重合，可得，所以，解得：，故选择D
答案：D
例9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可以考虑先求出的解析式，从而减少中的变量个数。，而，即，所以，依题意，可得：或，解得：或，只有B符合题意
答案：B
例10：函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（
）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得：最小值为，所以，再由对称中心与对称轴距离可得周期，从而。此时，由过可得：，所以，，则需向右平移个单位：
答案：A
三、近年好题精选
1、函数的图像向左平移个单位得函数的图像，则函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
2、（2016，陕西八校联考）下图是，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（
）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
3、（2015，山东）要得到函数的图像，只需将函数的图像（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向左平移个单位
D.
向右平移个单位
4、（2014，辽宁）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（
）
A.
在区间上单调递减
B.
在区间上单调递增
C.
在区间上单调递减
D.
在区间上单调递增
5、（2014，四川）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（
）
A.
向左平行移动个单位长度
B.
向右平行移动个单位长度
C.
向左平行移动个单位长度
D.
向右平行移动个单位长度
6、为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（
）
A.
向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B.
向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍
C.
向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
D.
向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
7、把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（
）
A.
B.
C.
D.
习题答案：
1、答案：A
解析：
2、答案：D
解析：由图像可得的周期，所以，另一方面由最值可得，即，由可知，可解得，即。那么。可知按选项D的方式变换即可得到
3、答案：B
解析：，故将向右平移单位即可
4、答案：B
解析：变换后的图像解析式为：，考虑其单增区间：，解得：，B正确
5、答案：A
解析：，故只需将的图像向左平行移动个单位长度
6、答案：A
解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动，再将坐标变为原来的，A符合
7、答案：C
解析：
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微专题09
零点存在的判定与证明
一、基础知识：
1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法：
（1）可直接判断的几个结论：
①
若为增（减）函数，则也为增（减）函数
②
若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③
若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像
7、证明零点存在的步骤：
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
例1：函数的零点所在的一个区间是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：函数为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可
解：
，
，使得
答案：C
例2：函数的零点所在的大致区间是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：先能判断出为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。时，，从而，，所以，使得
答案：A
小炼有话说：（1）本题在处理时，是利用对数的性质得到其的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。
（2）本题在估计出时，后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。
例3：（2010，浙江）已知是函数的一个零点，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：条件给出了的零点，且可以分析出在为连续的增函数，所以结合函数性质可得
答案：B
例4：已知函数，当时，函数的零点，则________
思路：由的范围和解析式可判断出为增函数，所以是唯一的零点。考虑，，所以，从而
答案：
例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可先求出，由“新驻点”的定义可得对应方程为：，从而构造函数
，再利用零点存在性定理判断的范围即可
解：
所以分别为方程的根，即为函数：
的零点
在单调减，在单调增，而，时，，而
答案：C
例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，
则可以是（
）
A．
B．
C．
D．
思路：可判断出单增且连续，所以至多一个零点，但的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断的零点所在区间即可
解：设各选项的零点分别为，则有
对于，可得：
，所以C选项符合条件
答案：C
例7：设函数，若实数分别是的零点，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范围：，从而；，从而
，所以有，考虑，且发现为增函数。进而，即
答案：A
例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于
思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性
解：
在单调递增
，使得
因为单调，所以若，且
则由单调性的性质：与题设矛盾
所以的零点唯一
小炼有话说：如果函数在单调递增，则在中，，即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性
例9：（2011年，天津）已知，函数（的图像连续不断）
（1）求的单调区间
（2）当时，证明：存在，使得
解：（1）
令
解得：
在单调递减，在单调递增
（2）思路：由（1）可得在单调递减，在单调递增，从而从图像上看必然会在存在使得，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以可以考虑将所证等式变为，构造函数，从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可。
解：设
由（1）可得：当时，在单调递减，在单调递增
，因为
根据零点存在性定理可得：
，使得
即存在，使得
小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。
（2）本题在寻找小于零的点时，先观察表达式的特点：，意味着只要取得足够大，早晚比要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可，选择等等也可以。
例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证：
思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且，即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范围为
，从而，只需将视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可。
解：
令
设，可得为增函数且
时，
时，
在单调递减，在单调递增
所以在，
有两个零点
在单调递增
在单调递增
而
，使得即
另一方面：
而
，使得即
综上所述：
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微专题45
利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1、高中阶段涉及的几个平均数：设
（1）调和平均数：
（2）几何平均数：
（3）代数平均数：
（4）平方平均数：
2、均值不等式：，等号成立的条件均为：
特别的，当时，即基本不等式
3、基本不等式的几个变形：
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当求的最小值。此时若直接使用均值不等式，则，右侧依然含有，则无法找到最值。
①
求和的式子→乘积为定值。例如：上式中为了乘积消掉，则要将拆为两个，则
②
乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
①
若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
②
若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
例如：已知，求的最小值
解：
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例如：已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以
二、典型例题：
例1：设，求函数的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为
答案：
例2：已知，且，则的最大值是________
思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：
，解得：，所以最大值为4
答案：4
例3：已知实数，若，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。，结合分母可将条件，变形为，进而利用均值不等式求出最值
解：
，即的最小值为
答案：A
例4：已知正实数满足，则的最小值为__________
思路：本题所求表达式刚好在条件中有所体现，所以考虑将视为一个整体，将等式中的项往的形式进行构造，，而可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于的不等式，解不等式即可
解：
方程变形为：
解得：
答案：的最小值为
例5：已知，则的最小值为______________
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：
思路二：观察到表达式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，从而，设，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：
答案：3
小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解
（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元
（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验
例6：设二次函数的值域为，则的最大值为__________
思路：由二次函数的值域可判定，且，从而利用定值化简所求表达式：，则只需确定的范围即可求出的最值。由均值不等式可得：，进而解出最值
解：二次函数的值域为
答案：
例7：已知，则的最大值是________
思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以
答案：
小炼有话说：本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。
例8：已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________
思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用均值不等式换成，然后解出的范围再求最小值即可
解：
解得：或（舍）
（在时取得）
例9：已知，则的最小值是___________
思路：观察到所求的两项中部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形的分子。因为，所以，则，所以原式，因为要求得最小值，所以时，，故最小值为
答案：
小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造
例10：已知，且是常数，又的最小值是，则________
思路：条件中有，且有，进而联想到求最小值的过程中达到的最值条件与相关：，即的最小值为，所以，解得，所以
答案：7
三、历年好题精选
1、(2016，天津河西一模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2016，南昌二中四月考）已知都是负实数，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2016，重庆万州二中）已知为正实数，且，则的最小值为________
4、（扬州市2016届高三上期末）已知且，则的最小值为________
5、已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
不存在
6、设，为坐标原点。若三点共线，则的最小值是_________
7、已知，且，则的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
8、设，若，则的最大值为
9、已知，且，则的最小值是
习题答案：
1、答案：D
解析：，因为三点共线，所以，根据所求表达式构造等式为，所以有：，由均值不等式可得：，所以
2、答案：B
解析：
是正实数
3、答案：
解析：
4、答案：3
解析：
或
5、答案：A
解析：
解得：或（舍）
而
下面验证等号成立条件：解得：
所以等号成立，的最小值为
注：本题要注意到，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件
6、答案：
解析：三点共线
7、答案：A
解析：
8、答案：1
解析：
9、答案：
解析：
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微专题18
函数的最值
一、基础知识：
1、函数的最大值与最小值：
（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值
（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值
（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系
右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是
（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点
5、利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础
7、在比较的过程中也可简化步骤：
（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点
（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点
8、最值点的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式：
例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式
二、典型例题：
例1：求函数的最值
思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值
解：，令,解得：
的单调区间为：
，无最小值
小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
例2：已知函数,是的一个极值点，求：
（1）实数的值
（2）判断在区间上是否存在最大值和最小值
解：（1）
是的一个极值点
（2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值
解：
,令,解得：或
的单调区间为：
计算
小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。
例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出
解：，
（1）当时，
在单调递减
（2）当时，
在单调递增
或
小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）
例4：求函数()的最值
思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较
解：
恒成立
当时，
可得：在单调递增，在单调递减
时,
当时，
在单调递减，
当时，
可得函数的最值为，
思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。
解：令
,
令，解得:或
的单调区间为：
的值域为
的值域为
，
小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较
（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。
例5：已知函数的定义域为，求在上的最值
思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论
解：，令解得
在单调递减，在单调递增
为的极小值点
（1）当时，在单调递增
（2）当时，
在单调递减，在单调递增
下面比较的大小
若
时，
当时，
当时，
综上所述：时，
时，，
时，
时，
例6：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．
思路一：
函数的定义域为，．当时，，当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；当时，若，，为减函数，若，，为增函数，所以为极小值，也是最小值；①当，即时，在上单调递增，所以，所以（矛盾）；②当，即时，在上单调递减，，所以．③当，即时，在
上的最小值为，此时（矛盾）．综上．
思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。
答案：
小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂
（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。
例7：已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小值的差为，则________.
思路：含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用的条件确定的取值范围，，由在上是增函数可得对任意的，恒成立
，而，，
，绝对值的分界点为，由及定义域
需对是否在区间中进行分类讨论
（1）当时，则
，可判断出为减函数
，故舍去
（2）当时，
时，单调递减，
当时
单增，。，所以。所以，从而有，解得。
答案：
例8：若函数有最小值，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若取到最小值，则底数且
真数取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，从而，解得，另一方面，所以
答案：C
例9：已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是 .
思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于任取，
也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件：①
均大于零，即，②
极端情形短边均取最小值，和大于第三边即可。
令结合定义域解得：，故在单调减，在单调增。，，
答案：
例10：若函数在上有最小值，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
思路：，令或，所以在单调递增，在单调递减，为函数的极小值点。因为函数在上有最小值，则函数的极小值点必在区间
内，且左端点的函数值不小于，,
答案：C
PAGEwww.
微专题42
利用函数性质与图像比较大小
一、基础知识：
（一）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）
（2）
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（二）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小
三、例题精析：
例1：对于上可导的任意函数，若满足，则必有（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可按各项符号判断出与异号，即时，,时，
在单调递减，在上单调递增
，进而
答案：C
小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。
例2：
已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则下列关于的大小关系正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的的结构均为的形式，故与不等式找到联系。当时，，即，令，由此可得在上单调递增。为奇函数，可判定出为偶函数，关于轴对称。，作图观察距离轴近的函数值小，
与可作差比较大小：
进而可得：
答案：D
例3：函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可判断出关于轴对称，再由，可得时，，所以在单调递增，由轴对称的特点可知：在单调递减。作出草图可得：距离越近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离的远近即可判断出
答案：B
例4：已知是周期为的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：的周期为，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：，而由偶函数及单调递增，作图可知在区间中，距离轴近的函数值小，所以有
答案：C
小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。
例5：已知函数为偶函数，当时，函数，设，，则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析的性质，由为偶函数可得：，从而关于轴对称，当，可计算，所以在单调递减，结合对称性可得距离对称轴越近，函数值越大，所以
答案：D
小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。
例6：已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，则大小关系为________
思路：由为偶函数且在单调递增可得距离轴越近，函数值越小。所以需比较自变量与轴距离：，则需比较的大小，因为，所以，所以
答案：
小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，时，；而时，。
例7：已知函数，且，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题具备同构特点，但导数
难于分析
单调性，故无法比较的大小。换一个角度，可发现的图像可作，且具备几何含义，即，即与原点连线的斜率。所以作出的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由可得：
答案：B
例8：已知函数在上可导，其导函数为，若满足：
，则下列判断一定正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
思路：联系选项分析条件：当时，，即
令
在单调递增，而选项中均不在单增区间中，考虑利用进行转换。首先要读懂说的是与的关系，而与刚好在的两侧，所以达到一个将左侧的点转到右侧的作用。在中令可得：，可代入B,C选项进行比较，C正确。而A,D两个选项也可以代入进行验证。
答案：C
小炼有话说：由于，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所以对于形如等轮流求导的式子可猜想隐含项，进而结合选项进行变形
例9：定义在上的函数，为它的导函数，且恒有成立，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：尽管发现存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现规律：
等，不等号两侧均为的形式，其导函数为于是考虑构造条件中的不等式：
即,在上单调递增，根据单调性即可判断四个选项是否正确
答案：D
例10：设均为实数，且，则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题单从指对数方面，不便于比较大小。进一步可发现均可视为两个函数的交点，且每一个等式的左侧为同一个函数，而右侧也都可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出的大小
答案：A
三、历年好题精选
1、（2016，内江四模）设函数在R上存在导数，在上，且，有，则以下大小关系一定正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2015，福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2015，陕西文）
设，若，则下列关系式中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2015，天津）已知定义在上的函数为偶函数，记，则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2014，山东）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
6、已知的导函数是，记
，则（
）
A.
B.
C.
D.
7、定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
8、（2014
陕西省五校联考
10）已知为R上的可导函数，且均有，则有（
）
A．
B．
C．
D．
习题答案：
1、答案：C
解析：由可得：
设，则在单调递减
，可得关于中心对称
在上单调递减且
分别比较四个选项，可知在C选项中：
再由可知
2、答案：C
解析：构造函数，则，即在上为增函数，因为，所以，，所以可得：，C错误。其它选项则无法判断对错
3、答案：C
解析：，所以，由可得，从而
4、答案：C
解析：通过数形结合可知为偶函数时，即，作图可知距离轴越近的点，其函数值越小。考虑，所以
5、答案：D
解析：由可得：，观察到四个选项不等号两侧式子同构，所以构造函数，利用单调性即可判断不等式是否成立：在单增，在单减，所以不恒成立。同理，均不单调，所以不等式不能恒成立。为增函数，所以由可得
6、答案：A
解析：可视为两点连线斜率，而分别为曲线在处的切线斜率，数形结合可得：
7、答案：A
解析：题目条件为，具备轮流求导特点，可猜测所研究的函数为，从中也印证这一点：，，，进而分析，
为在单调递增，所以
即
8、答案：A
解析：对四个选项进行变形可发现所比较的两项结构均呈现的形式，而条件
，体现轮流求导的特点。验证：
，刚好和条件找到联系。
单调递减
，
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e;微专题05
函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。
①
要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
②
本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
3、中心对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于轴对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于轴对称。
①
要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
②
本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
①
若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
②
若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③
若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴
（或对称中心），则
存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
二、典型例题：
例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：
，所以
答案：
例2：定义域为的函数满足，当时，，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：
答案：D
小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以
答案：D
例4（2009山东）：定义在上的函数满足，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故
，而
答案：C
小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。
（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而
（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内
例5：函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为___________
思路：从已知出发可知时，为增函数，且，所以时，，时，，由偶函数可得：时，，时，。从而可作出草图。由所解不等式可将分为两部分，当时，，所以，当时，，所以，综上解集为：
答案：
例6：已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值
答案：B
例7：已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（
）
A.
可正可负
B.
恒大于0
C.
可能为0
D.
恒小于0
思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有。代入
可得，从而
思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0
答案：D
小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系
（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近。
例8：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（
）
A.
是偶函数
B.
是奇函数
C.
D.
是奇函数
思路：从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：
，所以关于中心对称，双对称出周期可求得，所以不正确，且由已知条件无法推出一定符合。对于选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，即关于对称，所以为奇函数，正确
答案：D
例9：已知定义域为的函数在上只有和两个零点，且与
都是偶函数，则函数在上的零点个数为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：已知区间仅是，而所求区间为，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手为偶函数可得关于轴对称，从而判断出是周期函数，且，故可以考虑将以10为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可
解：为偶函数
关于轴对称
为周期函数，且
将划分为
关于轴对称
在中只含有四个零点
而共组
所以
在中，含有零点共两个
所以一共有806个零点
答案：C
小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计
（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。
（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）
例10：设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：设，则，因为为周期函数，故以为突破口，，考虑在中，所以，在中，所以，所以在的值域为
答案：B
三、近年模拟题题目精选
1、（2014，庆安高三期中）已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则的值为（
）
A．0.5
B．1.5
C．
D．1
2、（2014，安徽）设函数满足，当时，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3、（2014，四川）设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则_________
4、（2014，新课标全国卷I）设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
）
A.
是偶函数
B.
是奇函数
C.
是奇函数
D.
是奇函数
5、（2014，会宁县校级月考）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为（
）
A.
B.
C.
D.
6、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________
7、已知定义在上的函数满足，且时，，则（
）
A.
B.
C.
D.
8、已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，求
习题答案：
1、答案：B
解析：由可得：，两式相减可得：，所以的周期，再由是偶函数可得：
2、答案：A
解析：由可知，，，所以可得：
3、答案：1
解析：
4、答案：C
解析：为奇函数，可知为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得：为奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，故C正确
5、答案：D
解析：，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1007个周期，所以有2014个零点
6、答案：
解析：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求出的周期，则
7、答案：
解析：
可知为奇函数，可得，所以
8、答案：
解析：由可得：的周期，由于具备周期性，故求和时可考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多少组周期即可：
故
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微专题27
三角函数的值域与最值
一、基础知识
1、形如解析式的求解：详见“函数解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式
（1）降幂公式：
（2）
（3）两角和差的正余弦公式
（4）合角公式：，其中
2、常见三角函数的值域类型：
（1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域
例：求的值域
解：设
当时，
（2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
例：求的值域
解：
设
，即的值域为
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6）
二、典型例题
例1：已知向量
（1）求函数的单调递增区间
（2）当时，求的取值范围
解：（1）
单调递增区间为：
（2）思路：由（1）可得：，从得到角的范围，进而求出的范围
解：由（1）得：
小炼有话说：对于形如的形式，通常可先计算出的范围，再确定其三角函数值的范围
例2：已知函数
（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程
（2）求函数在区间的值域
解：（1）
对称轴方程：
（2）思路：将视为一个整体，先根据的范围求出的范围，再判断其正弦值的范围
解：
例3：函数的最大值为___________
思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得次数较低，所以不利于转化，而均可以用进行表示，确定核心项为，解析式变形为，化简后为，当时，
答案：2
小炼有话说：当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可
例4：设函数，若，则函数的最小值是______
思路：同例4考虑将解析式中的项统一，，进而可将作为一个整体，通过换元来求值域。
解：
设，由可得：，从而
，所以
所以最小值为
答案：0
例5：函数的值域为___________
思路：可将视为研究对象，令，进而只需求的值域即可。
解：令，可得
答案：
小炼有话说：要注意在时自身带范围，即
例6：函数的值域为____________
思路：可变形为，且可视为与连线的斜率的取值范围，为单位圆上的一点，所以问题转化为直线与圆有公共点的的范围。所以，解得：或，所以
答案：
小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。
（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：
所以的取值范围（即值域）要能保证存在使得等式成立
所以只需
，解得：
例7：设函数的值域是，则实数的取值范围是_____________
思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着计算角的范围为，
可知，值域中最大值为1，所以说明经过，同时范围不能超过（否则最小值就要小于），从而可得，解得：
答案：
例8：已知函数的最大值为，且，则
（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
思路：观察到的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为的形式，通过变形可得：，所以最大值为，即①，再利用可得：②，通过①②可解得：，进而求出的值为或
解：
所以可得：
另一方面：
整理可得：
，解得：
当时，
当时，
的值为或
例9：当时，函数的最小值为__________
思路一：考虑将所有项转变为关于的三角函数，即，从而想到分式与斜率的关系，可视为，结合可得为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4
思路二：考虑将所有项转变为关于的三角函数，则，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以，可得：，因为，所以，所以利用均值不等式可得：
答案：4
例10：求函数的值域
思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解与之间的联系：，从而将解析式的核心变量转化为，通过换元求出值域即可
解：
因为
时，
当时，
所以可得：的值域为
PAGE微专题03
利用数轴解决集合运算问题
数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识：
1、集合运算在数轴中的体现：
在数轴上表示为表示区域的公共部分
在数轴上表示为表示区域的总和
在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）
2、问题处理时的方法与技巧：
（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系
（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域
（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可
3、作图时要注意的问题：
（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察
（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析：
例1：（2009
安徽）集合，则=_______
思路：先解出的解集，，作出数轴，则即为它们的公共部分。
答案：
例2：设集合，则的取值范围是____
思路：可解出
，而集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出的范围，由于，而数轴上有一部分区域没有被包含，那说明集合负责补空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：
即可，解得：
答案：
小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点
（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合
（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端点处既不在里，也不在里，不符题意。
例3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______
思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可
解：由
①
恒成立，可得：
当即时，①变为：恒成立
当时，若要①恒成立，则
解集为空等价于：
设
即
小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。
例4：已知集合，若，则实数的取值范围为
思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围
解：
当时，
当时，恒成立
当时，
且
例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________
思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可
解：
由是的真子集可得：
答案：
小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集
2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。
例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________
思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围
解：时，
时，
对于，分三种情况讨论
当时，
当时，，符合题意
当时，
综上所述：
答案：
例7：已知集合，若，则________
思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围。从而确定出的值，如图所示：可得，所以
答案：
例8：设，
，求
思路：集合的不等式解集为
，集合为一元二次不等式的解集，由题意可知，设的两根为
，则
，在数轴上作图并分析后两个条件：说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了，说明与的公共部分仅有，左侧没有公共部分，从而的位置只能如此（如图），可得：，由韦达定理可得：
例9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
思路：首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可
解：
设解集为
当时，则
当时：
若时，
若时，
综上所述：
答案：D
例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点的取值范围为①，而②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的，结合数轴可得：，求出
答案：
三、近年模拟题题目精选：
1、（2016四川高三第一次联考）已知集合，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（2014吉林九校二模，1）已知
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
3、（重庆八中半月考，1）设全集为，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
4、已知函数的定义域为，的定义域为，则（
）
A.
B.
C.
D.
5、（2014，浙江）
已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
6、（2014，山东）设集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
7、设集合，若，则实数的取值范围是_________
8、已知全集，集合，那么集合（
）
A.
B.
C.
D.
9、若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是_______.
习题答案：
1、答案：B
解析：若，则符合题意，若，则符合题意，当时，解得：，由可知：，综上可得：
2、答案：D
解析：，在数轴上标出的区域即可得出
3、答案：C
解析：分别解出中的不等式，，所以
4、答案：A
解析：的定义域：，的定义域：，所以，
5、答案：C
解析：解出中不等式：或，所以，则
6、答案：D
解析：集合为解不等式：，集合为函数的值域，由可知，所以
7、答案：
解析：集合为，由可知；当时，可得，当时，结合数轴可得：即，综上可得：的取值范围是
8、答案：C
解析：或
9、答案：
解析：因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得的范围为
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微专题22
恒成立问题——参变分离法
一、基础知识：
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
①
，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
二、典型例题：
例1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______
思路：首先转化不等式，，即恒成立，观察不等式与便于分离，考虑利用参变分离法，使分居不等式两侧，，若不等式恒成立，只需，令（解析式可看做关于的二次函数，故配方求最值），所以
答案：
例2：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________
思路：恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
解：，其中
只需要，令
（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）
，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）
在单调递减，在单调递减
答案：
小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。
例3：若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是
．
思路：在本题中关于的项仅有一项，便于进行参变分离，但由于,则分离参数时要对的符号进行讨论，并且利用的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到的范围，，当时，，而
；当时，不等式恒成立；当时，，而
综上所述：
答案：
小炼有话说：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。
（2）在求解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。
（3）注意最后确定的范围时是三部分取交集，因为是对的取值范围进行的讨论，而无论取何值，的值都要保证不等式恒成立，即要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。
例4：设函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是________________
思路：先将不等式进行化简可得：，即，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以，可得：
，，
最小值，即解得：
答案：
小炼有话说：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择
例5：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
．
思路：
，令，对绝对值内部进行符号讨论，即，而在单调递增，在单调递减，可求出
答案：
例6：设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（
）
思路：先将放置不等号一侧，可得，所以，先求出的最大值，，可得在单调递增，在单调递减。故，所以若原不等式恒成立，只需，不等式中只含，可以考虑再进行一次参变分离，，则只需，，
所以解得：
答案：
例7：已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
思路：含有参数，而为常系数函数，且能求出最值，所以以为入手点：若恒成立，则只需。可求出，进而问题转化为，恒成立，此不等式不便于利用参变分离求解，考虑利用最值法分类讨论解决
解：恒成立
只需
由得：，令解得：
在单调递减，在单调递增
，恒成立
即只需
当时，令
则，与矛盾
当时，
解得
在单调递增，在单调递减
综上所述：
小炼有话说：（1）在例6，例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。
（2）在本题处理恒成立的过程中，对令这个反例，是通过以下两点确定的：①
时估计函数值的变化，可发现当时，（平方比一次函数增长的快）
②在选取特殊值时，因为发现时，已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程，刚好符合反例的要求。
例8：若不等式对任意正数恒成立，则正数的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题无论分离还是分离都相对困难，所以考虑将归至不等号的一侧，致力于去求表达式的最值：，从入手考虑使用均值不等式：，所以
答案：B
小炼有话说：（1）在多变量不等式恒成立问题上处理方式要根据不等式特点灵活选择合适的方法，本题分离与很方便，只是在求二元表达式最值上需要一定的技巧。
（2）本题在求的最大值时，还可以从表达式分子分母齐次的特点入手，同时除以（或）：，在通过换元转化为一元表达式，再求最值即可。
例9：已知函数
，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
思路：恒成立不等式为,只需不等号两侧同时乘以即可进行参变分离，且由于,，也不存在不等号变号问题。则可得：,只需
即可，设，尝试利用导数求得最小值，
解：
即只需要
设
令
(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）
在单调递增
在单调递增
答案：
例10：已知函数,若,且
对任意恒成立,则的最大值为_________.
思路：恒成立不等式，，令，则，考虑分子，在单调递增。尽管不能够确定零点，但可以通过零点存在性定理大致的确定零点所在的位置。
，使得。，同理，时，，所以在单调递减，在单调递增。，因为即，
答案：3
小炼有话说：
（1）本题的一个重要技巧在于对零点的“设而不求”，在求得单调增的前提下，判断的符号零点必不可少，但方程无法求出解。那么卡在这一步是否要放弃重来？不然。可暂用一个变量来表示零点，再用特殊点的函数值将零点控制在一个小的范围内。在本题中这种方法带来方法上的两个突破：第一，能够判断的符号进而得到的符号，确定了的单调性，找到最小值。第二，尽管不可求，但是本身自带一个方程，从而达到了一个对数与一次函数的转换。对后面的化简有极大帮助
（2）若所求变量在整数集中取值，则求变量的值时不仅可利用等量关系，也可考虑求关于该变量的不等关系，再由其整数性选取符合条件的整数即可。
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微专题46
多变量表达式的范围——消元法
一、基础知识：
1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域
2、常见消元的方法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
①
要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
②
若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题
注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：
平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：
推广：
平方差：联想到正割（）
与正切（）的平方差为1，则有，
推广：
注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围
3、消元后一元表达式的范围求法：
（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域
（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。
（3）三角函数：
①
形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）
②
形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解
③
形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围
二、典型例题：
例1：设实数满足，则的取值范围是__________
思路：考虑可用进行表示，进而得到关于的函数，再利用不等式组中天然成立的大小关系确定的范围，再求出函数值域即可
解：
由及（
）可得：，解得：
小炼有话说：（
）为均值不等式的变形：
例2：已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值。所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，进而将变为关于的表达式再求最值。
解：令
，设
可得且为增函数
在单调递减，在单调递增
答案：D
例3：设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为
思路：首先要通过取得最小值，得到之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再求最值即可。
解：
①
等号成立条件为：，代入到①可得：
的最大值为2
例4：已知，且，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求表达式为，考虑消元，由已知可得，从而，达到消元效果，所求表达式为，进而将问题转化为求函数的最值。先确定的取值范围，由可得，即，所以，所以当时，
答案：A
小炼有话说：（1）本题处理的关键在于选择作为核心变量，这是因为在条件中可得到，从而可用表示，使得消元变得可能
（2）在处理的最值时，也许会想到均值不等式：，但看一下等号成立条件：并不满足，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最值。
例5：已知，则的最大值为________
解：
设
，其中
可知当时，
答案：
例6：若实数满足条件，则的取值范围是_________
思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则
思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为
答案：
例7：已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是________
解：
为方程的两个根
代入
可得：
设
设
在单调递减
即
答案：
例8：对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值是________
思路：首先要寻找当最大时，之间的关系，以便于求多元表达式的范围
从方程入手，向靠拢进行变形，在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值。
解：由可得：
（等号成立条件：
最大值是，从而可得：
解得：
答案：的最小值为
例9：已知函数，其中且
（1）若，求函数的极值
（2）已知，设为的导函数，若存在使得成立，求的取值范围
解：（1）由已知可得：
令，即解不等式
解得：或
的单调区间为：
的极大值为
的极小值为
（2）由已知可得：
即
设
可得当时，恒成立
在单调递增
，即
例10：已知函数，其中
（1）求的单调区间
（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值
解：（1）
当时，
在单调递增
当时，在单调递增，单调递减
（2）
思路：恒成立的不等式为：，即，设，可得：，从而通过讨论的符号确定的单调性，进而求出的最小值（含的表达式），进而将放缩成单变量表达式，求出的最大值
解：恒成立的不等式为：
设
即
由（1）可得：在单调递减
①
若
则
即在上单调递增
②
若即
则
即在上单调递减
，而
③
当时，
在单调递减，在上单调递增
单调递减
综上所述：的最大值为
PAGEwww.
微专题30
函数解析式的求解
在有关三角函数的解答题中，凡涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，本讲主要介绍求解解析式的一些技巧和方法
一、基础知识：
（一）表达式的化简：
1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）
（1）降幂公式：
（2）
（3）两角和差的正余弦公式
（4）合角公式：，其中（这是本讲的主角，也是化简的终结技）
2、关于合角公式：的说明书：
（1）使用范围：三个特点：①
同角（均为），②齐一次，③正余全
（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为的形式了，通过以下三步：
①一提：提取系数：，表达式变为：
②
二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：
③
三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：
（3）举例说明：
①
②
③
（4）注意事项：
①
在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角
②
此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：
，可视为，那么此时表达式就变为：
，使用两角差的余弦公式：
所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。
当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）
③
通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。
3、表达式的化简攻略：
可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：
（1）观察式子：主要看三点
①
系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）
②
确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换。
③
式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式。例如：
齐二次式：，齐一次式：
（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）
例如：，确定研究对象了：，也齐一次，但就是角不一样（一个是
，一个是）那么该拆则拆，将打开
于是就可合角了
（二）求解的值以确定解析式
1、的作用
（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关
（2）：称为频率，与的周期相关，即
（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点
2、的常规求法：
（1）：
①
对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
②
对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
①
如果相邻的两条对称轴为，则
②
如果相邻的两个对称中心为，则
③
如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
3、确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。
二、典型例题：
例1：化简：
解：原式
例2：化简：
解：
例3：
解：方法一：拆开化简
方法二：将视为一个整体，则
例4：如图，函数的图像经过点，且该函数的最大值为，最小值为，则该函数的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由题目所给最值可得，图中所给两个零点的距离刚好是函数一个周期的长度。所以，此时解析式为，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标与的距离为，所以代入可得：，由可解得：，所以解析式为
答案：A
小炼有话说：
（1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，那么在的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。只要最值点可求，就用最值点求得
（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零点求解再进行对比。代入可得：，从而在中的值有两个：，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现时，，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到时，对应的角只有一个，而正弦值取到时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出现多解问题。那么时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代入非最值点也可得到唯一解。
（3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取值，由前面计算出，可得函数图象从进行了横纵坐标的放缩，此时解析式为，这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于图像向左平移了个单位。所以。利用图像变换求解析式关键要分析出所求图像与的联系（即如何平移得到）。
例5：如图所示为函数的部分图像，其中两点之间的距离为，那么_________
思路：如图可得，从而计算出，所以，进而
而，所以，此时，而，解得，所以
答案：
例6：已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：，可先从周期入手确定的值，，所以，再由最值可得：，代入即可解出：，所以，即。从而的解析式为
答案：B
例7：已知函数的图像如图所示，，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路一：可以考虑确定的解析式进而求出，如图可计算出，所以
，取零点的中点可得对称轴
而，从而，解出一个值。所以，且，所以，进而
思路二：同思路一先解出，则，从图中可得与关于中心对称，从而
答案：C
小炼有话说：（1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍的求解。从计算过程中也可以看出，是可以消掉的。所以求关键在于找到最值点的横坐标
（2）思路二跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到的值。对于函数中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数值时事半功倍。
例8：已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________
思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离可得，从而，由最小值点可得到两个信息：一个是，另一个是点即为求所要代入的特殊点。此时，则，即，解得：，所以
答案：
例9：已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________
思路：先求出的值，由题目所给最值可得：，再由对称轴距离为可求得，从而。此时函数解析式为，因为一条对称轴为，所以，由得：
，当取到最大值时，即，所以，进而，解析式为
答案：
例10：已知是函数
一个周期内图像上的五个点，如图所示，，为轴上的点，为图像上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，关于点中心对称，在轴上的投影为，则函数的解析式为____________
思路：设图像的最高点为，可知关于中心对称，关于点中心对称，所以与关于中心对称，所以在轴上的投影也为，而，所以可得在轴上的投影为，从而，此时
，将代入可得：，所以
，即，从而
答案：
PAGE微专题04
求函数的值域
作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识：
1、求值域的步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）
（3）计算出函数的值域
2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然
（3）换元法：的解析式中可将关于的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数在连续，且可求出的最大最小值，则的值域为
注：一定在连续的前提下，才可用最值来解得值域
3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域
（2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）
例：
解：
对称轴为：
（3）反比例函数：
（1）图像关于原点中心对称
（2）当
当
（4）对勾函数：
①
解析式特点：的系数为1；
注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值
例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得
②
极值点：
③
极值点坐标：
④
定义域：
⑤
自然定义域下的值域：
（5）函数：
注意与对勾函数进行对比
①
解析式特点：的系数为1；
②
函数的零点：
③
值域：
（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）
二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现
1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围
（2）换元的作用有两个：
①
通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的
②
化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种
①
：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围
②
：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如可转化为，从而可确定研究对象为
例1：函数的值域是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：的定义域为
令
，则
的值域为
例2（1）函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数的值域为__________
（3）函数的值域为__________
思路：（1）本题可视为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，则，所以可得
（2）如前文所说，，将视为一个整体令，则可将其转化为二次函数求得值域
解：
令
的值域为
（3）所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围
解：定义域：
令
答案：（1）B
（2）
（3）
例3：已知函数，则的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是的定义域，由已知的定义域为，则的定义域为：，解得：，而不是
解：
的定义域为，且
，解得：
令，则
，即的值域为
答案：C
2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该
函数的图像，从而利用图像求得函数的值域
（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式
例4：（1）设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）定义为中的最小值，设，则的最大值是__________
思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为
（2）本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以
答案：（1）A
（2）
2
例5：已知函数，设，（其中表示中的较大值，表示中的较小值）记的值域为，的值域为，则______________
思路：由的定义可想到其图像特点，即若将的图像作在同一坐标系中，那么为图像中位于上方的部分，而为图像中位于下方的部分。对配方可得：，其中，故的顶点在顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为的图像，其值域与的交点有关，即各自的顶点，所以的值域，的值域。从而
答案：
例6：（1）函数的值域为__________
（2）函数的值域为_________
思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是与定点连线的斜率，那么只需在坐标系中作出在的图像与定点，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可
解：所求函数是与定点连线的斜率
设
，当时，恒成立
为增函数
设曲线上两点
定点
（2）思路：，所以可视为点到点距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。
解：
为动点到点距离和，即
作点关于轴的对称点
（等号成立条件：共线）
当或时，
函数的值域为
小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的，所以找到了一个共同的动点）
答案：（1）
（2）
3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域
（1）判断函数单调性的方法与结论：
①
增增增
减减减
增减
若函数的符号恒正或恒负，则减
②
复合函数单调性：复合函数可拆成，则若的单调性相同，则单调递增；若的单调性相反，则单调递减
③
利用导数：设图像不含水平线的函数的导数，则单增；
单减
（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如，则要确定当时，的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确
例7：（1）函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
（3）函数的值域为________
思路：（1）函数的定义域为，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但的导数较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出的单调区间，从而求得最值
令即解不等式：
在单调减，在单调递增
的值域为
小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设，由可知，所以原函数的值域转化为求的值域，从而有，由可求得。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题
（2）思路：函数的定义域为，从而发现，所以函数的解析式为，观察可得为增函数，且时，，所以当时，的值域为
小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域
②
本题也可用换元法，设后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。
（3）思路：先确定函数的定义域：，为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：且关于单减，且关于单增，即单减，所以为减函数，由可知的值域为
小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如，则当均为增（减）函数，且恒大于0，才能得到为增（减）函数
答案：（1）D
（2）B
（3）
4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数的关于的方程。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值，必能在定义域中找到与之对应的。这个特点反应在方程中，即为若在值域中，则关于的方程在时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“取何值时，方程有解”的问题。利用方程的特点即可列出关于的条件，进而解出的范围即值域
例8：（1）函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）函数的值域为_________
思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于的二次方程（其中为参数）：
，因为函数的定义域为，所以的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当，方程为，无解；当时，二次方程有解的条件为，即得到关于的不等式，求解即可
解：由可得:
函数的定义域为
的取值只需让方程有解即可
当时，不成立，故舍去
当时，
即：
综上所述：函数的值域为
小炼有话说：①
对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”
②
若函数的定义域不是，而是一个限定区间（例如），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“取何值时，方程在有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）
（2）本题不易将函数变为仅含或的形式，考虑去分母得：则的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到，可知方程有解的条件为：，解出的范围即为值域
解：的定义域为
且
，即，其中
因为该方程有解
小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题，从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，不过因为，所以均能保证只要在中，则必有解。但如果本题对的范围有所限制，则用方程的思想不易列出的不等式，所以还是用数形结合比较方便
答案：（1）D
（2）
以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。
例9：已知函数的值域为，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：本题可视为的复合函数，函数的值域为，结合对数函数的性质可知应取遍所有的正数（定义域可不为），即若函数的值域为，则，由二次函数的图像可知，当时，可满足以上要求。所以解得
答案：C
例10：在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数，例如：，设函数，则函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：按的定义可知，若要求出，则要将确定里面的范围，所以若求的值域，则要知道的范围。观察到为偶函数，所以只需找到的值域即可，，，即成立，所以为奇函数，只需确定的范围即可。对中的分式进行分离常数可得：，当时，，从而，所以，由。即，可得，再利用偶函数性质可得时，。当时，，所以，综上所述：的值域为
答案：B
小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑的情况。另外从解析式的特点判断出为奇函数，从而只需计算的范围，再利用奇函数的性质推出的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。
（2）本题在判断的奇偶性时，由很难直接看出之间的联系，但通过“通分”即可得到，奇偶性立即可见；在求的范围时，利用的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数”得到则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围
附：分式函数值域的求法：
分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进行求解。
一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）
1、反比例函数：
2、对勾函数：
3、函数：
注意与对勾函数进行对比
二、分式函数值域的求法
请看下面这个例子：
求的值域
思路：此函数可看为的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出的范围，再得到值域
解：
问题不难，但观察可发现：，所以当遇到的函数为，总可以将分子的每一项均除以分母，从而转化为进行求解。由此得到第一个结论：
对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解。
注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段
例：
思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为的形式，从而求解
解：令
，进而可求出值域：
注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。
由上例，我们可以总结出第二个结论：
对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元
，可转化为的形式，进而用反比例函数进行求解。
再看下一个例子：
例：
解：函数为对勾函数，作图观察可发现极值点在定义域中，故最小值为，而最大值在中产生，
故值域为
思考1：那么你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！
思考2：，那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？
形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像求出值域
继续，还能扩展么？举个例子？
例：
解：设，
（极值点：）
第四个结论：
形如的函数可通过换元将问题转化为第三个结论，然后进行求解
那么，例：呢
不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（）即可化归为上面的情形
那么，例：呢
分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：
，从而转化为上面例子的问题，至此，分式函数的终极形式总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数模型进行求解。
小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧：
①
：换元→分离常数→反比例函数模型
②
：换元→分离常数→模型
③
：同时除以分子：→②的模型
④
：分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
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微专题47多变量表达式的范围——放缩消元法
一、基础知识：
在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值
1、放缩法求最值的理论基础：
不等式的传递性：若，则
2、常见的放缩消元手段：
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。
3、放缩消元过程中要注意的地方：
（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致
（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于
的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到
（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去
二、典型例题：
例1：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________
思路：考虑分别求出的最大值与最小值，先求的最大值，只需取最小，取最大：即
，再求的最小值，由可知利用进行放缩，从而消去，可得：，再利用均值不等式可得：，所以的最小值，从而
答案：
例2：已知是任意三点，，则的最小值是_______
思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以
答案：
例3：设实数满足，则的最大值为__________
思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为：
答案：
小炼有话说：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去
即可得到最值：
例4：已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由不等式恒成立可得：，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去，即，所以，对于该其次分式可两边同时除以，可得：，令由可知从而将问题转化为求的最小值。，从而
答案：D
小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择，则因分式中含的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键
例5（2010，四川）设，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即，从而消去了，得，然后根据分母特征：构造，由均值不等式得：，验证等号成立条件：，从而最小值为
答案：D
小炼有话说：本题在处理的最值时还可以从分式入手：，从而对分母利用均值不等式：消去，所以
例6：已知正数满足，则的最小值是_______
思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的可与条件中的具备不等关系，而可用表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于的表达式求得最值
解：，因为
所以有
（等号成立条件：
）
例7：设，且，则的最大值是____________
思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得。然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，即但本题要注意的取值范围与相关，即，通过配方（或求导）可知的最大值在边界处取得，即，，从而达到消去的效果，再求出中的最大值即可
解：
设
为的极小值点
其中
设
若
可得：
例8：已知函数
（1）求的解析式及单调区间
（2）若不等式恒成立，求的最大值
解：（1），代入可得：
，令可得：
，可知
在上单调递增
时，
时，
在单调递减，在单调递增
（2）恒成立的不等式为：即
设
，令，即解不等式
若，可解得
在单调递减，在单调递增
下面求的最大值
令，设
令，可解得
在单调递增，在单调递减
当时，可得
当时，
为增函数
且时，
，，与恒成立矛盾
综上所述：的最大值为
例9：已知函数，求的最小值
思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将视为自变量，视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去，从而得到关于的函数，然后求得最小值即可。
解：
设
设，可知
在单调递减，在单调递增
恒成立
令，即解不等式
在单调递减，在单调递增
即的最小值为
例10：已知函数
（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求
（2）设，若对恒成立，求的取值范围
解：（1）
①
当时，可得
在单调递增
②
当时，
可得：在单调递减，在单调递增
由可知：
当时，
当时，
③
当时，
可得在单调递减
综上所述：
（2）不妨设
由恒成立可知：恒成立
即对任意的恒成立
且即且
①
当时，由（1）可知
无解
②
当，
，即
即
另一方面：
设恒成立
在单调递增
③当，
，即
解得：
设恒成立
在单调递增
④
当时，
综上所述：
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微专题12
复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为
2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知，计算
解：
3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求
解：令，则解得
当，则
当，则
综上所述：
由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：
4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数
6、求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
复合函数：
二、典型例题
例1：设定义域为的函数
，若关于的方程由3个不同的解，则______
思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为
的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以
答案：5
例2：关于的方程的不相同实根的个数是（
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
8
思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个
答案：C
例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是
．
思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：，
则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，所以，解得
答案：
例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实数根个数为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：已知方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，，则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点
答案：B
小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
思路：由极值点可得：为
①的两根，观察到方程①与结构完全相同，所以可得的两根为，其中，若，可判断出是极大值点，是极小值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个；若，可判断出是极小值点，是极大值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点
答案：A
例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：
答案：B
例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：，分析的图像以便于作图，时，，从而在单调递增，在单调递减，，且当，所以正半轴为水平渐近线；当时，，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于的方程中，，从而将问题转化为根分布问题，设，则的两根，设，则有，解得
答案：C
小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（
）
A.
当时，有4个零点；当时，有1个零点
B.
当时，有3个零点；当时，有2个零点
C.
无论为何值，均有2个零点
D.
无论为何值，均有4个零点
思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如图所示，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一个满足的，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确
答案：A
例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个
思路：先通过分析的性质以便于作图，，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取能对应较多的情况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在取得的值的个数即可，观察图像可得，当时，可以有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数
答案：6个
例10：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。
（1）中可得，进而有2个对应的
，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；
（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得，进而有1个对应的
，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，进而有2个对应的
，有2个，共计4个，（4）正确
则综上所述，正确的命题共有2个
答案：B
PAGE微专题02
充分条件与必要条件
一、基础知识
1、定义：
（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，
（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件
2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假
3、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件
（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件
（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价
（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件
4、如何判断两个条件的充分必要关系
（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如，构造命题：“若，则”为真命题，所以，但“若，则”为假命题（还有可能为），所以不能推出；综上，是的充分不必要条件
（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系
①
充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由就可以得到结论，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到所以可以说对是“充分的”，而反观对，由，要想得到，还要补充一个前提：不能取，那既然还要补充，则说明是“不充分的”
②
必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果不成立，那么必然不为1，但是仅靠想得到也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”
（3）运用集合作为工具
先看一个问题：已知?
,那么条件“”是“”的什么条件？
由?可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：
①
?：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件
②
：是的充分条件
③
：是的充要条件
此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在中，满足的取值集合为，而满足的取值集合为
所以?，进而判断出是的充分不必要条件
5、关于“”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：是的充分不必要条件，则命题“若，则”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若，则”也为真命题。所以是的充分不必要条件
二、典型例题：
例1：已知，则是的（
）
A.
充要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。，解得：，即；或，即。所以?，进而是的充分不必要条件
答案：C
例2：已知，那么是的（
）
A.
充要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“”等价于，所以只需判断与的关系即可。根据的单调性可得：如果，则，但是若，在大于零的前提下，才有，而题目中仅说明。所以不能推出。综上可判断是的充分不必要条件
答案：C
小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可
（2）在推中，因为是条件，表达式成立要求，但是在推中，是条件，且对取值没有特殊要求，所以，那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。
例3：已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____
思路：设，因为是的充分不必要条件，所以?，利用数轴可而判断出
答案：
例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：求的充分不必要条件，则这个条件能够推出，且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出，而不一定能够得到（比如），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要条件，不符题意
答案：A
例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合，则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：先解出两个解集：，的解集与的取值有关：若，则；若，则，观察条件，若，则，所以成立；若，则通过数轴观察区间可得的取值为多个（比如），所以“”是“”的充分不必要条件
答案：A
例6：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：如果是奇函数，图像关于原点对称，则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来，恰好图像关于轴对称，但的图象关于轴对称未必能得到是奇函数（例如），所以“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件
答案：B
例7：已知，则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例，则不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“”是“”的必要不充分条件
思路二：本题也可以运用集合的思想，将视为一个点的坐标，则条件所对应的集合为，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得，所以“”是“”的必要不充分条件
答案：B
例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________
思路：本题如果先将，写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但，容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”，而为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。
解：设，可解得：，
设可解得：，
是的必要不充分条件
是的必要不充分条件
答案：
例9：数列满足，则“”是“数列成等差数列”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：当时，可得，即成等差数列。所以“”是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面，如果成等差数列，则
成等差数列，所以有，代入可得：，解得或，经检验，时，，利用数学归纳法可证得，则也为等差数列（公差为0），所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“”，所以“”是“数列成等差数列”的不必要条件
答案:
A
例10：设，则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：因为，所以。故由可得，即，对于能否推出，可考虑寻找各自等价条件：，，通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分条件
答案：B
三、近年模拟题题目精选
1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若，则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
2、（2014南昌一模，3）设为向量，则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
3、若，则“成立”是“成立”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4、（2014，北京）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
5、（2014上海13校联考，15）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、（2015，福建）“对任意的，”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
7、（2014北京朝阳一模，5）在中，，，则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
8、（2014
湖北黄冈月考，4）已知条件，条件：直线与圆相切，则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9、(2014陕西五校二模，1）命题且满足.命题且满足.则是的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
10、（2015北京理科）设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
习题答案：
1、答案：B
解析：从集合的角度来看，满足条件的取值范围是或，所以可知“”是“”的必要不充分条件
2、答案：C
解析：的夹角为，从而等价于
3、答案：C
解析：由不等式性质可知：，则即，反之若，则即
4、答案：D
解析：若的项均为负项，则“”，“为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件既不充分也不必要
5、答案：B
解析：，，因为，由数轴可得：即可
6、答案：B
解析：左侧条件中恒成立不等式可化为，设，可知，所以若为减函数，则一定有成立。考虑，由可得：，故时，成立，所以为减函数，
成立。所以使不等式恒成立的的范围包含，而，故“对任意的，”是“”的必要不充分条件
7、答案：B
解析：由正弦定理可得：，所以或，均满足题意，由两条件对应集合关系可知“”是“”的必要不充分条件
8、答案：C
解析：从入手，若与圆相切，则解得，所以
9、答案：C
解析：分别解出满足两个条件的解，；，可知两个集合相等，故
10、答案：B
解析：依面面平行的判定和性质可知：“”无法得到“”，但“”可推出“”
11、答案：B
解析：将不等式变形为，设，且，则。当时，可得，从而在单调递减，，即不等式恒成立。所以若“”，则“对任意”；而“对任意”，未必能得到“”（不等式也成立），所以为“必要不充分条件”
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微专题31
解三角形中的要素
一、基础知识：
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式：（1）
①
此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
②
观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出
（2）
此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1）
（为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）
（为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
（5）向量方法：
（其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而
坐标表示：，则
4、三角形内角和（两角可表示另一角）。
5、确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
①
已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
②
已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③
两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
①
已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：
②
已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）
6、解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
7、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则
（知三求一）
证明：在中
①
②
为中点
①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于
为的角平分线
为等腰三角形
而由可得：
二、典型例题：
例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____
（2））的内角所对的边分别为，若，则_____
思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：。由可得：，所以
答案：
（2）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件
答案：或
小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。
例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________
思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出
即可
解：
答案：
例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有
（1）求
（2）若，且的面积为，求
（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出
解：
即
或（舍）
（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可
解：
可解得
小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角
例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________
思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有
和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出
解：由可设则
在中，
在中，由正弦定理可得：
小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。
（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算
例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________
思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出
解：
而
代入可得：
答案：
例6：在
中，内角所对的边分别为
，已知的面积为
，
则的值为
.
思路：已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得
，所以
答案：
例7：设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得：，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而再由可得，所以的值为
答案：C
小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。
例8：设的内角所对边的长分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
思路：由的结构可以联想到余弦定理：，可以此为突破口，即，代入解得：，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出
解：由可得：，
代入到
可得：
例9：已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出
解：设，则
代入可得：
，解得：
答案：A
小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。
例10：在中，为边上一点，，若的面积为，则_________
思路：要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出
解：
同理
答案：
小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素
（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在
中得，再用解出
进而，则在上
所以可得：，所以
三、近年好题精选
1、设的内角所对边的长分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3、在中，为边上一点，，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
4、（2015，北京）在中，，则_______
5、（2015，广东）设的内角的对边分别为，若，则_______
6、（2015，福建）若锐角的面积为，且，则等于_______
答案：7
7、（2015，天津）在中，内角的对边分别为，已知的面积为，，则的值为_________
8、（2014，天津）在中，内角的对边分别为，已知，，则的值为_______
9、（2014，山东）在中，已知，当时，的面积为_____
10、（2014，辽宁）在中，内角的对边分别为，且，已知，求：
（1）的值
（2）的值
11、（2015，陕西）设的内角的对边分别为，向量与平行
（1）求
（2）若，求的面积
12、（2015，新课标II）在中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍
（1）求
（2）若，求的长
13、（2015，安徽）在中，，点在边上，，求的长
14、(2015，江苏）在中，已知
（1）求的长
（2）求的值
习题答案：
1、答案：A
解析：
代入可得：
2、答案：D
解析：
3、答案：C
解析：设，则，由余弦定理可得：
，代入可得：
解得：
4、答案：1
解析：
5、答案：1
解析：由及可得：，从而，由正弦定理可得：，
解得
6、答案：7
解析：由，可得：，即，再由余弦定理可计算
7、答案：8
解析：
由余弦定理可得：
8、答案：
解析：由可得代入到即可得到，不妨设，则
9、答案：
解析：
10、解析：由可得：
由余弦定理可得：即
解得：
（2）由可得：
由正弦定理可知：
为锐角
11、解析：（1）
（2）由余弦定理可得：即
12、解析：（1）
（2）
在中，由余弦定理可得：
再由可解得：
13、解析：
由正弦定理可得：
由可知为等腰三角形
由正弦定理可得：
14、解析：（1）由余弦定理可得：
（2）由余弦定理可得：
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