北师大版九年级下册 2.2 二次函数图像与性质 （23张PPT）

o
y
x
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
情境引入
学习目标
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点）
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
a,c的符号
a>0,c>0
a>0,c<0
a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
问题2 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
问题3 函数 的图象，能否也可以由函数
平移得到？
应该可以.
讲授新课
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
一
例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
－2
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
0
x
y
类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质
y=a(x-h)2
a＞0
a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
要点归纳
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
知识要点
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
用y=a（x-h)2
求对称轴时括号内一定是减号
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
练一练
C
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.
当堂练习
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=2x2
…
8
2
0
2
8
…
y=2(x-1)2
…
…
8
2
0
2
8
y=2(x-1)2+1
…
…
9
3
1
3
9
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
y=2(x–1)2+1
y=2(x–1)2
y=2x2
的图像可以由
向上平移一个单位
向右平移一个单位
向右平移一个单位
向上平移
一个单位
先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.
平移的规律总结：
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 个单位
当k>0时,向上平移k个单位
当k<0时,向下平移 个单位
y=a(x-h)2+k也称为顶点式，即顶点坐标
为
（h，k）前减后加
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口
方向
增减性
最值
（-2，2）
（2，-3）
直线x=-2
直线x=2
向上
向下
当x=-2时,
最小值为2
当x=2时,
最大值为-3
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
y=(x+1)2+3
y=x2+3
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
y=(x+4)2
y=(x+2)2+1
3．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
y=3(x+3)2-2
y=-3(x+6)2
4.抛物线
的顶点坐标是________；
向上平移3个单位后，
顶点的坐标是________；
5.抛物线
的对称轴是_____.
6.抛物线
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
?
这样解答
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_____________的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______．
右
2
y=-3x2-1
(-3,-2)
10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0；
当x在 _____ 范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
当-1.53
0或-2
<
－2 < x<0
-1
3
11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
(2)y=(x+4)2－5
12.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点（2，-3）的抛物线解析式为 ．
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3