第二篇
破解中档大题，保提分必须锤炼的7个热点专题
专题1 正余弦定理与解三角形
1.利用正弦、余弦定理解题的两种思路方程思想:在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;转化思想:实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.2.判断三角形形状的四种方法(1)化边:通过因式分解、配方等得边的相对应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状(此时要注意应用A+B+C=π这个结论).①钝角三角形:a2>b2+c2或A>90°.②锐角三角形:若a为最大边,且满足a2
A.4.区分公式:区分是利用正弦定理,还是余弦定理.
【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos
A=.(1)求A;(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.(1)求角A的大小,想到角A的三角函数,观察结构特征,利用诱导公式、平方关系求解.(2)判断是否为直角三角形,想到勾股定理,进而想到余弦定理,结合边的关系,利用方程求解.【标准答案】(1)因为cos2+cos
A=,所以sin2A+cos
A=,
1分即1-cos2A+cos
A=,
2分解得cos
A=,
4分又06分(2)因为A=,所以cos
A==,即b2+c2-a2=bc①,
8分又b-c=a②,将②代入①得,b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,
10分所以a=c,故b2=a2+c2,
11分即△ABC是直角三角形.
12分测试目标(1)直接运用定理、方程求解;(2)利用关系创建方程测试素养逻辑推理:利用逻辑推理由边的关系到三角形的形状;数学建模:建立关于cos
A的方程;数据分析:分析数据特点,利用余弦定理;数学运算:利用余弦定理、方程分别求解
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且asin
A-bsin
B=(a-c)sin
C,a∶b=2∶3.(1)求sin
C的值;(2)若b=6,求△ABC的面积.
1.(恒成立问题)已知函数f(x)=cos
x(sin
x-cos
x)+.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,不等式c2.(与向量、不等式结合)在△ABC中,角A,B,C所对的边长是a,b,c,向量m=,且满足|m|2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,求△ABC的周长的最大值.
3.(与零点结合)已知函数f(x)=
2sin.
(1)求函数f(x)的对称中心;
(2)若g(x)=f(x)-m2+2m在上存在零点,求实数m的取值范围.
4.(与向量结合)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos
C=.
(1)若·=,求△ABC的面积;
(2)设向量x=,y=,且x∥y,b=5,求a的值.
5.(与图象结合)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
6.(与平面图形结合)在平面四边形ABCD中,已知∠ABC=,AB⊥AD,AB=1.
(1)若AC=,求△ABC的面积;
(2)若sin∠CAD=,AD=4,求CD的长.
7.(与实际应用结合)某省会城市计划新修一座城市运动公园,设计平面如图所示:其为五边形ABCDE,其中三角形区域ABE为球类活动场所;四边形BCDE为文艺活动场所,AB,BC,CD,DE,EA为运动小道(不考虑宽度)∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=2BC=2CD=6千米.
(1)求小道BE的长度;
(2)求球类活动场所△ABE的面积最大值.
8.①3asin
C=4ccos
A;②2bsin=asin
B这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知________,a=3.?
(1)求sin
A;
(2)如图,M为边AC上一点,MC=MB,∠ABM=,求△ABC的面积.
第二篇
破解中档大题，保提分必须锤炼的
7个热点专题
专题1 正余弦定理与解三角形
【模拟考场】
【解析】(1)因为asin
A-bsin
B=(a-c)sin
C,
由正弦定理得a2-b2=(a-c)c,
所以a2+c2-b2=ac,
所以cos
B===.
又因为B∈(0,π),所以B=.
因为a∶b=2∶3,所以a=b,则sin
A=sin
B.
所以sin
A=sin=.
由3a=2b知,a所以cos
A==.
所以sin
C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin
Acos
B+cos
Asin
B=.
(2)因为b=6,a∶b=2∶3,所以a=4.
所以S△ABC=absin
C=×4×6×=2+4.
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)f(x)=sin
xcos
x-cos2x+
=sin
2x-cos
2x=sin,
所以f=1.
(2)因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
由不等式c得解得-1所以实数c的取值范围为.
2.【解析】(1)因为m=且|m|2=a2+bc,
所以b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cos
A==,因为0(2)由(1)知a2=b2+c2-bc=-3bc≥-3×=,
所以≤4a2=12,所以b+c≤2,当且仅当b=c=时,等号成立,因此,△ABC的周长的最大值为3.
3.【解析】(1)f(x)=2sincos+
cos=2sincos+
sin
=2sincos+2sin2
=sin+2sin2=sin+1-
cos=2sin+1.
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)的对称中心为,k∈Z.
(2)由x∈得≤2x+≤,
所以-≤sin≤1,则0≤f(x)≤3.
令g(x)=f(x)-m2+2m=0,得f(x)=m2-2m,
则0≤m2-2m≤3,解得-1≤m≤0或2≤m≤3,
所以m的取值范围是[-1,0]∪[2,3].
4.【解析】(1)因为·=,cos
C=,
所以·=abcos
C=ab·=,所以ab=,
因为在△ABC中,C∈且cos
C=,
所以sin
C===,
所以S△ABC=absin
C=××=3.
(2)因为x=,y=,且x∥y,
所以2sincos=cos
B,
所以sin
B=cos
B,
又因为sin2B+cos2B=1,
所以sin2B+=1,
所以sin2B=,
因为在△ABC中,B∈(0,π),
所以sin
B=,则cos
B=,或cos
B=-,此时B=120°显然不成立.
因为在△ABC中,A+B+C=π.
所以sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=×+×=,
又因为b=5且由正弦定理=,
所以=,所以a=4+3.
5.【解析】(1)由题图可知,A=2.
因为=,所以T=π.
所以π=.解得ω=2.
又因为函数f(x)的图象经过点,
所以2sin=2.
解得φ=+2kπ.
又因为|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=2sin.
(2)因为x∈[0,m],所以2x+∈,
当2x+∈时,
即x∈时,f(x)单调递增,
所以f(x)≥f(0)=1,符合题意;
当2x+∈时,即x∈时,f(x)单调递减,
所以f(x)≥f=1,符合题意;
当2x+∈时,
即x∈时,f(x)单调递减,
所以f(x)综上,若对于任意的x∈[0,m],有f(x)≥1恒成立,
则必有06.【解析】(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·
cos∠ABC,即5=1+BC2+·BC?BC2+BC-4=0,
解得BC=(负值舍去).
所以S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.
(2)因为∠BAD=90°,sin∠CAD=,
所以cos∠BAC=,sin∠BAC=,
所以sin∠BCA=sin
===.
在△ABC中,=,
所以AC==.
所以CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=5+16-2××4×=13,所以CD=.
7.【解析】如图所示,连接BD,
(1)在三角形BCD中,BC=CD==3千米,∠BCD=120°,
由余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=27,
所以BD=3,
因为BC=CD,∠BCD=120°,
所以∠CDB=∠CBD=30°,
因为∠CDE=120°,
所以∠BDE=∠CDE-∠CDB=120°-30°=90°,
在Rt△BDE中,
BE===3(千米),
所以小道BE的长度为3千米.
(2)设∠ABE=α,因为∠BAE=60°,
所以∠AEB=180°-∠BAE-α=180°-60°-α=120°-α,
在三角形ABE中,由正弦定理可得:====2,
所以AB=2sin,AE=2sin
α,
所以S△ABE=AB·AEsin
60°=×2×2×
sinsin
α,
=21,
=cos+,
因为0°<α<120°,所以-120°<2α-120°<120°,
故当α=60°时,S△ABE取得最大值,最大值为+=.
所以球类活动场所△ABE的面积最大值为平方千米.
8.【解析】选择条件①,
(1)在△ABC中,由正弦定理得3sin
Asin
C=4sin
Ccos
A,
因为sin
C≠0,所以3sin
A=4cos
A,9sin2A=16cos2A,
所以25sin2A=16,
因为sin
A>0,所以sin
A=.
(2)方法一:设BM=MC=m(m>0),
易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin
A=-,
在△BMC中由余弦定理得:18=2m2-2m2·,解得m=.
所以S△BMC=m2sin∠BMC=×5×=.
在Rt△ABM中,sin
A=,BM=,∠ABM=,
所以AB=,所以S△ABM=,
所以S△ABC=+=;
方法二:因为MB=MC,所以∠MBC=∠C,
因为∠ABM=,所以∠A+2∠C=,2∠C=-∠A,
所以sin
2C=sin=cos
A,
因为A为锐角,所以sin
2C=cos
A=,
又===,
所以b=sin
B,c=sin
C,
所以S△ABC=bcsin
A=×sin
B×sin
C×
=sinsin
C=sin
Ccos
C=×sin
2C=.
选择条件②,
(1)因为2bsin=asin
B,所以2bsin=asin
B,
由正弦定理得2sin
Bcos=sin
Asin
B,
因为sin
B≠0,所以2cos=sin
A,
cos=sincos,
因为cos≠0,所以sin=,则cos=,
所以sin
A=2sincos=.
(2)同选择①.
PAGE专题2 数列求和及等差、等比数列的综合
1.错位相减求和的三个注意事项一是判断模型,判断cn=an·bn中的数列{an},{bn}中一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置,一般先乘公比,再把前n项和退后一个位置来书写,这样避免两式相减时看错列;三是错位相减,相减时一定要注意式中最后一项的符号,考生常在此步出错,一定要细心.2.分组并项求和的两点提醒(1)要善于识别题目类型,注意合理拆分通项.(2)出现(-1)n时一般多用并项求和法,特别注意项数的奇偶.3.裂项相消求和的两个注意事项(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. 数列求和的步骤第一步找关系:根据等差、等比数列基本量寻求关系;第二步求通项:确定等差、等比数列的通项公式;第三步构差式:写出前n项和的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子,两式作差;第四步准求和:根据差式的特征准确求和.1.步骤分:(1)列出Sn;(2)构建-2Sn;(3)求出3Sn.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如列出Sn.3.计算分:计算准确是根本保证,如求出3Sn,再求Sn.4.区分公式:牢记等差、等比数列的相关公式,熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,解题时结合实际情况合理选择.5.反思检验,规范解题步骤.
【典例】(12分)(2020·全国Ⅰ卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.(1)看到求{an}的公比,想到利用基本量法列出方程求解;(2)看到求数列{nan}的前n项和,想到利用错位相减法求数列的前n项和.【标准答案】(1)设的公比为q,已知a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3,a1≠0,所以q2+q-2=0,
2分因为q≠1,所以q=-2.
4分(2)设{nan}的前n项和为Sn,a1=1,an=(-2)n-1,
6分Sn=1+2×(-2)+3×(-2)2+…+n(-2)n-1,①
7分-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n,②
8分①-②得,3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n
10分=-n(-2)n=,所以Sn=.
12分测试目标(1)直接利用基本量列方程求解;(2)确定错位相减模型,数列求和测试素养数据分析:利用数据分析列出方程;逻辑推理:利用逻辑推理写出-2Sn;数学建模:建立错位相减模型,运用错位相减法解决问题;数学运算:求解Sn的值
设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,当n≥2时,(n-1)an=(n+1)Sn-1+n(n-1),n∈N
.(1)证明:数列为等比数列;(2)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn.
1.(一般与特殊)Sn为等比数列的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.
(1)求an及Sn;
(2)是否存在常数λ,使得数列是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
2.(分组转化)已知在等比数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N
),数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与n2+2n的大小.
3.(与不等式结合)已知数列是公比大于1的等比数列(n∈N
),a2=4,且1+a2是a1与a3的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设bn=log2an,Sn为数列的前n项和,记Tn=+++…+,证明:1≤Tn<2.
4.(裂项求和)数列满足:++…+=n2+n,n∈N
.
(1)求的通项公式;
(2)设bn=,数列的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.
5.(错位相减法)已知等比数列,其公比q>1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10.
(1)求数列的通项公式;
(2)若bn=nan,Tn是数列的前n项和,求使Tn-n·2n+1+14=0成立的正整数n的值.
6.(探索问题)已知数列的前n项和记为An,且An=,数列是公比为q的等比数列,它的前n项和记为Bn.若a1=b1≠0,且存在不小于3的正整数k,m,使得ak=bm.
(1)若a1=1,a3=5,求a2的值;
(2)求证:数列是等差数列;
(3)若q=2,是否存在整数m,k,使得Ak=86Bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.
7.(与三角结合)已知函数f(x)=,方程f(x)=在上的解按从小到大的顺序排成数列(n∈N
).
(1)求数列的通项公式;
(2)设bn=sin
an,求数列的前n项和Sn.
8.在①S2=6,an+1=Sn+2;②Sn=2an-a1且a1,a2+1,a3成等差数列;
③log2(Sn+2)=n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.
设数列{an}的前n项和为Sn,已知______,bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,问是否存在n(n∈N
),使得|Tn-1|>成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,请说明理由.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
专题2 数列求和及等差、等比数列的综合
【模拟考场】
【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
所以(n-1)(Sn-Sn-1)=(n+1)Sn-1+n(n-1),
即(n-1)Sn=2nSn-1+n(n-1),则=2×+1,
所以+1=2×,
又+1=2,
故数列是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知+1=·2n-1=2n,
所以Sn=n·2n-n,
故Tn=(1×2+2×22+…+n·2n)-(1+2+…+n).
设M=1×2+2×22+…+n·2n,
则2M=1×22+2×23+…+n·2n+1,
所以-M=2+22+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,
所以M=(n-1)·2n+1+2,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2-.
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1.【解析】(1)由题意得,解得,
所以an=a1qn-1=3n-1,Sn==.
(2)存在.理由如下:假设存在常数λ,使得数列是等比数列,
因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,
又因为=·,
所以=·,所以λ=,
此时,Sn+=×3n,则==3,
故存在λ=,使得数列是以S1+=为首项,公比为3的等比数列.
2.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为a1,a2,a3-1成等差数列,
所以2a2=a1+(a3-1)=a3,所以q==2,
所以an=a1qn-1=2n-1(n∈N
).
(2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,
所以Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1)
=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)
=·n+=n2+2n-1.
因为Sn-(n2+2n)=-1<0,
所以Sn3.【解析】(1)由题意得:2=a1+a3
设数列的公比为q,则2=+a2q,
即2q2-5q+2=0,解得:q=(舍去)或q=2,
则a1==2,
所以an=a1qn-1=2n.
(2)由(1)得:bn=log22n=n,可知为首项为1,公差为1的等差数列,则Sn==,
所以==2×,
所以Tn=2×
=2×=2-,
因为0<≤1,所以1≤2-<2,即1≤Tn<2.
4.【解析】(1)因为++…+=n2+n.
n=1时,可得a1=4,
n≥2时,++…+=n2-n.
与++…+=n2+n,
两式相减可得=2n,
所以an=2n.n=1时,a1=4也满足,
所以an=2n.
(2)bn===,
所以Sn=
=,
又Sn>,可得n>9,可得最小正整数n为10.
5.【解析】(1)等比数列,其公比q>1,且满足a2+a3=12,a2和a4的等差中项是10,
即有a1q+a1q2=12,20=a2+a4=a1q+a1q3,
解得:a1=q=2,所以an=2n.
(2)由(1)知:bn=nan=n·2n,
则Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
相减可得:-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,
化简可得:Tn=2+·2n+1,
Tn-n·2n+1+14=0,即为16-2n+1=0,解得:n=3.
6.【解析】(1)当n=3时,A3=a1+a2+a3=,
因为a1=1,a3=5,所以a2=3.
(2)由An=,
得An+1=,两式相减,
得an+1=,
即(n-1)an+1-nan+a1=0,
所以nan+2-(n+1)an+1+a1=0.
两式相减,得2an+1=an+an+2,
所以数列为等差数列.
(3)存在.理由如下:依题意:ak=bm=a1·2m-1,
由Ak=86Bm得:×k=86×,
即×k=86×,2m=-2,
所以344-k=.
因为29=512,且m≥3,所以2≤m-1≤9,
又因为516=4×129=4×3×43,且2m-1+1为奇数,
所以2m-1+1=129时,是整数,此时m-1=7,
所以m=8,k=340.
7.【解析】(1)f(x)==tan
2x,解得f(x)=tan
2x=,2x=kπ+,k∈Z,则x=π+,k∈Z,
依题意,an=+=-,n∈N
.
(2)bn=sin
an=sin是周期T==4的数列,b1=,b2=,b3=-,b4=-,
S1=,S2=,S3=,S4=0,从而S5=S4+b5=b1=,S6=S5+b6=b1+b2=S2=,…,
所以Sn是周期为4的数列,Sn=(k∈N
).
8.【解析】选①:S2=6,an+1=Sn+2,
由题意得则
当n≥2时,an+1-an=(Sn+2)-(Sn-1+2)=an,解得an+1=2an,
又a2=2a1,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n,
bn====-,
Tn==1-,
|Tn-1|=>,即>,
所以n+1<10,得n<9,
又n∈N
,所以n的最大值为8.
选②:Sn=2an-a1且a1,a2+1,a3成等差数列,
由题意得当n≥2时,Sn-Sn-1=2an-2an-1,解得an=2an-1,
又a1,a2+1,a3成等差数列,
所以2(2a1+1)=4a1+a1,解得a1=2,
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n,
bn====-,
Tn==1-,
|Tn-1|=>,即>,
所以n+1<10,得n<9,
又n∈N
,所以n的最大值为8.
选③:log2(Sn+2)=n+1,
由题意得Sn+2=2n+1,Sn=2n+1-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,
当n=1时,a1=S1=2,
综上,an=2n.
bn====-,
Tn==1-,
|Tn-1|=>,即>,
所以n+1<10,得n<9,又n∈N
,
所以n的最大值为8.
PAGE专题3 立体几何中的证明与计算
1.平行关系之间的转化转化方向视题目的具体条件而定,不可过于“模式化”.2.垂直关系之间的转化证明平面⊥平面,先寻找平面的垂线,若不存在,则可通过作辅助线来解决.3.求空间几何体的体积(1)规则几何体:直接利用柱体、锥体或台体公式进行求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)不规则几何体:通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)注意“公式法”“换底法”“割补法”的应用,等体积法可以用来求点到面的距离、多面体内切球的半径等.4.求几何体的表面积注意几何体表面的构成,特别是组合体中重合以及由于切割新形成的表面等,切忌遗漏或重复.5.求点到平面的距离(1)垂线段法:①作:作点到平面的垂线段;②找:找出垂线段所在的三角形;③求:通过解直角三角形求出垂线段的长度.(2)等积法:当过点的垂线段不容易找时,①利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解.可以将该点转化为其他点到相应平面的距离;②当直线与平面平行时,该直线上任一点到平面的距离相等.1.步骤分:(1)由平行线的传递性证明线线平行;通过线线垂直证得线面垂直,由线面垂直证得面面垂直.(2)由线面垂直求得高的长度,再求出底面的面积,由棱锥体积公式求出体积.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第二问中,要求高的长度,必须先证线面垂直,如果没有证明,则不给分.3.计算分:计算准确是根本保证.4.区分公式:区分棱锥体积公式与棱柱体积公式.
【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=,求四棱锥B-EB1C1F的体积.(1)平面A1AMN⊥平面EB1C1F?EF⊥平面A1AMN?BC⊥平面A1AMN.(2)求?锥体体积公式?和M到PN的距离.【标准答案】(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥BB1,又AA1∥BB1,所以MN∥AA1
2分在等边△ABC中,M为BC的中点,则BC⊥AM,又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BC⊥BB1,因为MN∥BB1,MN⊥BC,由MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,所以BC⊥平面A1AMN,
4分又因为B1C1∥BC,且B1C1?平面ABC,BC?平面ABC,所以B1C1∥平面ABC,又因为B1C1?平面EB1C1F,且平面EB1C1F∩平面ABC=EF,所以B1C1∥EF,所以EF∥BC,又因为BC⊥平面A1AMN,所以EF⊥平面A1AMN,因为EF?平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.
6分
(2)过M作PN的垂线,交点为H,如图,因为AO∥平面EB1C1F,AO?平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=NP,所以AO∥NP,又因为NO∥AP,所以AO=NP=6,因为O为△A1B1C1的中心,所以ON=A1C1sin=×6×sin
=,故ON=AP=,则AM=3AP=3,因为平面EB1C1F⊥平面A1AMN,平面EB1C1F∩平面A1AMN=NP,MH?平面A1AMN,所以MH⊥平面EB1C1F,
8分又因为在等边△ABC中,EF∥BC,所以=,即EF===2,由(1)知,四边形EB1C1F为梯形,所以=·NP=×6=24,
10分所以=·h,h为M到PN的距离MH=2·sin
=3,所以V=×24×3=24.
12分测试目标(1)直接运用定理证明(推断)命题;(2)通过线面垂直,四棱锥体积求解测试目标逻辑推理:利用公式直接证明;直观想象:想象出各种要素的空间性质;数学运算:通过四棱锥体积公式求解问题
1.(线面平行)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)若△ABC是边长为2的正三角形,且BC=BB1,∠CBB1=60°,平面ABC⊥平面BB1C1C,求三棱锥A-DCA1的体积.
2.(线面垂直)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为4的菱形,PA=PC,BD⊥PA,E是BC上一点,且BE=1,设AC∩BD=O.
(1)证明:PO⊥平面ABCD;
(2)若∠BAD=60°,PA⊥PE,求三棱锥
P-AOE的体积.
3.(线面平行)如图,四边形ABCD为矩形,△BCF为等腰三角形,且∠BAE=∠DAE=90°,EA∥FC.
(1)证明:BF∥平面ADE.
(2)设=λ,问是否存在正实数λ,使得三棱锥A-BDF的高恰好等于BC?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
4.(线面垂直)如图,四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB=2,BC=SC=SD=2,BC⊥SD.
(1)求证:SC⊥平面SAD;
(2)求四棱锥S-ABCD外接球的体积.
5.(面面垂直)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD,CD=SD,点M是SA的中点,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD=BC=a.
(1)求证:平面MBD⊥平面SCD;
(2)若∠SDC=120°,求三棱锥C-MBD的体积.
6.(面面垂直)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD,
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
7.(面面垂直)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,BC∥AD,AB⊥AD,AD=2BC=2,四边形ABB1A1和ADD1A1均为正方形.
(1)证明:平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)求四面体AB1CD1的体积.
8.(线面垂直)如图,多面体ABCDEF中,AB=DE=2,AD=1,平面CDE⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,BC∥EF,点G在线段CE上,且EG=2GC=AB.
(1)求证:DE⊥平面ABCD;
(2)若EF=2BC,求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比.
9.(探究性问题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△BCC1为正三角形,AC⊥BC,AC=BC=2,AC1=2,点P为线段BB1的中点,点Q为线段B1C1的中点.
(1)在线段AA1上是否存在点M,使得C1M∥平面A1PQ?若存在,指出点M的位置;若不存在,请说明理由.
(2)求三棱锥A-A1C1P的体积.
专题3 立体几何中的证明与计算
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接AC1交CA1于E,连接DE,
因为D是AB的中点,E是AC1的中点,所以DE∥BC1.
因为BC1?平面A1CD,DE?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)取BC的中点H,连接B1H,CB1,
因为BC=BB1,∠CBB1=60°,所以△CBB1是等边三角形,
所以B1H⊥BC,
又因为平面ABC⊥平面BB1C1C,
平面ABC∩平面BB1C1C=BC,B1H?平面BB1C1C,
所以B1H⊥平面ABC,
所以B1H是三棱柱的高,B1H=,
因为△ABC是边长为2的正三角形,
所以S△ABC=,
==·S△ADC·=··=.
2.【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是AC的中点.
因为BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.
因为PO?平面PAC,所以BD⊥PO.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC.
因为AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,AC∩BD=O,
所以PO⊥平面ABCD.
(2)由四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
得△ABD和△BCD都是等边三角形,
所以BD=AB=4.因为O是BD的中点,所以BO=2.
在Rt△ABO中,AO==2.
在Rt△PAO中,PA2=AO2+PO2=12+PO2.
取BC的中点F,连接DF,则DF⊥BC.
所以在Rt△BDF中,DF==2.
因为BE=1,所以E是BF的中点.
又因为O是BD的中点,所以OE=DF=.
在Rt△POE中,PE2=OE2+PO2=3+PO2.
在△ABE中,由余弦定理得
AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos
120°=21.
因为PA⊥PE,所以PA2+PE2=AE2.
所以12+PO2+3+PO2=21.所以PO=.
因为S△AOE=S△ABC-S△ABE-S△COE
=×4×4×sin
120°-×4×1×sin
120°-×3×=,
所以VP-AOE=S△AOE·PO=××=.
3.【解析】(1)因为AD∥BC,AD?平面ADE,BC?平面ADE,所以BC∥平面ADE,
因为EA∥FC,AE?平面ADE,FC?平面ADE,所以FC∥平面ADE,
又BC∩FC=C,所以平面ADE∥平面BCF,
故BF∥平面ADE.
(2)存在.因为∠BAE=90°,所以AE⊥AB,又EA∥FC,CD∥AB,所以CF⊥CD,
因为BC⊥CF,BC∩CD=C,所以CF⊥平面ABCD,设AB=a,BC=b,则b=λa,
在矩形ABCD和△BCF中,有
BD=DF==a,BF=b,
所以在△BDF中,BF边上的高h===a,
又S△ABD=ab=λa2,
所以,由等体积法得×λa2·b=×b·
a·b=×·ab2,
即=,所以λ=2,
所以存在正实数λ=2,使得三棱锥A-BDF的高恰好等于BC.
4.【解析】(1)因为BC⊥SD,BC⊥CD,SD∩CD=D,SD,CD?平面SDC,
所以BC⊥平面SDC,
又AD∥BC,所以AD⊥平面SDC,
因为SC?平面SDC,
所以SC⊥AD,
又在△SDC中,SC=SD=2,DC=AB=2,
故SC2+SD2=DC2,
所以SC⊥SD,
因为SD∩AD=D,SD,AD?平面SAD,
所以SC⊥平面SAD.
(2)设G为矩形ABCD的对角线的交点,则AG=BG=CG=DG=,
作SO⊥CD于O,
因为BC⊥平面SDC,BC?平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面SDC,
又平面ABCD∩平面SDC=CD,SO?平面SDC,
故SO⊥平面ABCD,
因为OG?平面ABCD,所以OG⊥SO,
连接OG,SG,则SG===,
所以G为四棱锥S-ABCD外接球的球心,且球的半径为,
故所求的球的体积为V=π=4π.
5.【解析】(1)取BC中点E,连接DE,则AB=AD=a,BC=2a.由题意可得:四边形ABED为正方形,且BE=DE=CE=a,BD=CD=a.
所以BD2+CD2=BC2,则BD⊥CD,
又平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,
所以BD⊥平面SCD,BD?平面MBD,
所以平面MBD⊥平面SCD.
(2)过点S作SH⊥CD,交CD的延长线于点H,连接AH.
则∠SDH为SD与底面ABCD所成的角,即∠SDH=60°.
由(1)可得:SD=CD=a,所以在Rt△SHD中,SD=a,HD=a,SH=a.
所以点M到平面ABCD的距离d=a.
所以三棱锥C-MBD的体积V=××BD×CD·d=×a×a×a=a3.
6.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=,故x=2,
在Rt△ABE中,AE===,
在Rt△EBD中,DE===,
在Rt△AEC中,EC===.
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.
7.【解析】(1)因为四边形ABB1A1和ADD1A1均为正方形,所以AA1⊥AD,AA1⊥AB.
又AD∩AB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD.
所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1?平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)=×2=6,
=××1×2×2=,
=××2×2×2=,
=××1×2×2=,
=××2×2×2=,
所以=----=2.
8.【解析】(1)因为四边形ABCD为矩形,所以CD=AB.
因为AB=DE=2,所以CD=DE=2.
因为点G在线段CE上,且EG=2GC=AB,
所以EC=AB=CD=2,
所以DE2+CD2=EC2,即DE⊥CD,
又平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,
DE?平面CDE,
所以DE⊥平面ABCD.
(2)设三棱锥G-BCD的体积为1,连接EB,AE.
因为EG=2GC,所以CG=EC,所以VE-BCD=3VG-BCD=3.
易知VE-BCD=VE-ABD=3.
又EF=2BC,BC∥EF,所以2S△ABD=S△EFA,故2VE-ABD=VB-AEF,
又VB-ADE=VE-ABD=3,所以VB-AEF=6,
故VB-AFE+VE-ABD+VE-BDG=6+3+(3-1)=11.
故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11∶1.
9.【解析】(1)存在线段AA1的中点M满足题意,
证明如下:
因为点P为线段BB1的中点,Q为B1C1的中点,
所以BC1∥PQ,
又C1B?平面A1PQ,PQ?平面A1PQ,
所以C1B∥平面A1PQ.
取AA1中点M,连接BM,C1M,则BM∥PA1,
同理BM∥平面A1PQ.
又C1B∩BM=B,所以平面C1BM∥平面A1PQ.
又C1M?平面C1BM,所以C1M∥平面A1PQ.
(2)由AC=BC=2,△BCC1为正三角形,及棱柱侧面为平行四边形知△BB1C1为正三角形,C1P⊥BB1,C1P⊥CC1,CC1=2,C1P=.
因为AC1=2,所以A=AC2+C,
所以AC⊥CC1,所以A1C1⊥CC1,
又C1P∩A1C1=C1,所以CC1⊥平面A1C1P.
因为AA1∥CC1,所以AA1⊥平面A1C1P.
又AC⊥BC,所以A1C1⊥B1C1,
因为B1C1∩CC1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1.
又C1P?平面BCC1B1,所以A1C1⊥C1P,
所以=A1C1·C1P=×2×=,
所以=AA1·=×2×=.
PAGE专题4 统计与概率
1.频率分布直方图中的数字特征(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A与事件B互斥,则P=P+P.(2)若事件B与事件A互为对立事件,则P=1-P.4.互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生(或都发生),即有且仅有一个发生.5.求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再求和;(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P=1-P求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法. 求古典概型概率的基本步骤第一步:将题目条件中的相关内容转化为事件;第二步:判断事件是否为古典概型;第三步:选用合适的方法确定基本事件个数;第四步:代入古典概型的概率公式求解.1.步骤分:(1)由频数求频率公式不能缺少;(2)平均值的公式不能少.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如平均值公式,不能缺少.3.计算分:概率计算要保证正确.
【典例】(12分)(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?(1)A级品的概率?频数分布表;(2)方案选择?平均利润?甲、乙两分厂分别加工100件产品的总利润.【标准答案】(1)由表可知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值为=0.4,
3分乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值为=0.28.
6分(2)甲分厂加工100件产品总利润为40×+20×+20×-20×=1
500元,所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件;
9分乙分厂加工100件产品的总利润为28×+17×+34×-21×=1
000元,所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件.
11分故厂家应选择甲分厂承接加工任务.
12分
测试目标(1)直接运用公式解决问题;(2)平均值的求法.测试目标数据分析:通过分析数据求出平均值;数学运算:运用公式,由频数估计概率. 疫情期间,为支持学校隔离用餐的安排,保证同学们的用餐安全,食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后,食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度,从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分,满分100分,同学们打分的频率分布直方图如图:(1)求频率分布直方图中a的值;(2)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在中的概率;(3)若打分不低于60分可视为对送餐服务满意,用样本的统计结果估计总体,请估计全年级有多少同学对送餐服务满意.
1.(方案设计)某企业对某种产品的生产线进行了改造升级,已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量,并依据质量指标值m划分等级如表:
质量指标值m
300≤m<350
250≤m<300或350≤m<400
150≤m<250或400≤m<450
等级
一等品
二等品
三等品
该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本,检测其质量指标值,得到如图的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数(同一区间数据用该区间数据的中点值代表);
(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间和内的产品中随机抽取4件,再从这4件中任取2件进一步研究,求这2件都取自区间内的概率;
(3)该企业统计了近100天中每天的生产件数,得下面的频数分布表:
件数
[5
500,6
500)
[6
500,7
500)
[7
500,8
500)
[8
500,9
500]
天数
20
30
40
10
该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工,有A,B两种设备可供选择.A设备每台每天最多可以加工30件,每天维护费用为500元/台;B设备每台每天最多可以加工4件,每天维护费用为80元/台.该企业现有两种购置方案:
方案一:购买100台A设备和800台B设备;
方案二:购买200台A设备和450台B设备.
假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入,在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下,试依据使用A,B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润=日增加的收入-日维护费用)的均值为该公司决策,选择哪种方案更好?
2.(成绩分析)参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题:
(1)求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在,内的人数;
(2)若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话,求恰好有一人分数在内的概率.
3.(运动状况)某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动,为了了解学生的运动状况,采用样本按比例分配的分层抽样方法,从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试,如表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟)
学生编号
1
2
3
4
5
跳绳个数
179
181
170
177
183
踢毽个数
82
76
79
73
80
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率;
(3)高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定?
4.(节约用水)我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨),月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值.
(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
5.(文化自信)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
年利润y(单位:亿元)
29
33
36
44
48
52
59
(1)求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润;
(2)当统计表中某年年利润的实际值大于由(1)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为A级利润年,否则称为B级利润年.将(1)中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值,现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年,求恰有1年为A级利润年的概率.
6.(成绩分析)某校高一年级1
000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组情况如表:
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
(1)求生物成绩在[50,60)内的人数;
(2)若同组中的每个数据用该组区间中点值代替,根据频率分布直方图,估计这
1
000名学生生物成绩的平均分;
(3)现有5名同学,其中3人的成绩在第三组内,2人的成绩在第四组内,从这5名同学中随机抽取2名,求这2名同学来自不同组的概率.
专题4 统计与概率
【模拟考场】
【解析】(1)因为2a+2a+3a+6a+7a=20a,所以20a×10=1,所以a=0.005.
(2)成绩在的人数=2×0.005×10×20=2,成绩在中的学生人数=3×0.005×10×20=3,
用a,b表示成绩在的2名学生,用c,d,e表示成绩在的3名学生,从5人中任取2人,有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情形.符合条件的有3种(cd,ce,de),
所以概率P=.
(3)样本20人中有18人打分成绩不低于60分,即有的学生对送餐服务满意.用样本的统计结果估计总体,则估计全年级500人中,有500×=450人对送餐服务满意.
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)由题意得=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+375×0.2+425×0.1=312.5.
(2)因为区间和内的产品的频率之比为1∶3,
所以应从区间内抽取1件,记为A1,从区间内抽取3件,记为B1,B2,B3,
则从中任取2件的情况有,,,,,共6种,
其中2件都取自区间内的情况有,,,共3种,
所以其概率P==.
(3)每天生产件数的频数分布表为:
件数
6
000
7
000
8
000
9
000
天数
20
30
40
10
若采用方案一,使用100台A设备和800台B设备每天可进一步加工的件数为30×100+4×800=6
200,可得实际加工件数的频数分布表为
实际加工件数
6
000
6
200
频数
20
80
所以方案一中使用A,B设备进一步加工后的日增加的利润均值为25×-500×100-80×800=40
000;
若采用方案二,使用200台A设备和450台B设备每天可进一步加工的件数为30×200+4×450=7
800,可得实际加工件数的频数分布表为
实际加工件数
6
000
7
000
7
800
频数
20
30
50
所以方案二中使用A,B设备进一步加工后的日增加的利润均值为
25×-500×200-80×450
=44
000.
综上所述,公司应该选择方案二更好.
2.【解析】(1)分数在内的频数为2,由频率分布直方图可以看出,分数在内同样有2人.
由=10×0.008,得n=25,
由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73.
分数在内的人数为25-=4,
参加数学抽测的人数n=25,中位数为73,分数在,内的人数分别为4人、2人.
(2)设“从分数在内的学生中任选两人,恰好有一人分数在内”为事件M,
将内的4人编号为a,b,c,d;内的2人编号为A,B,
在内任取两人的基本事件为:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB,共15个,
其中,恰好有一人分数在内的基本事件有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,共8个,
故所求的概率P(M)=.
3.【解析】(1)高一年级的学生人数为336×=196.
高二年级的学生人数为336×=140.
(2)设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75”为事件A,
由表中的数据可知:
高二年级选出的5名学生中每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人,
所以从5人中任选一人,事件A发生的概率为,
由此估计从高二年级的学生中任选一人,事件A发生的概率为.
(3)由表中的数据可以估计:
高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为×(179+181+170+177+183)=178.
高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为=×[(179-178)2+(181-178)2+(170-178)2+(177-178)2+(183-178)2]=20.
高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为×(82+76+79+73+80)=78.
高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为=×[(82-78)2+(76-78)2+(79-78)2+(73-78)2+(80-78)2]=10,
由于>,所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定.
4.【解析】(1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,
解得a=0.30.
(2)用频率估计概率,由题可知80×0.5×(0.04+0.08+
0.12)=9.6,
所以全市居民中月均用水量不低于3吨的约为9.6万人.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+
0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,而前5组的频率之和为
(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
5.【解析】(1)根据表中数据,计算可得=4,=43,
=140,
又=28,
所以==5,
因为=-,所以=43-5×4=23,
所以y关于x的线性回归方程为=5x+23.
将x=8代入,得=5×8+23=63.
所以该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.
由可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元),
其中实际利润大于相应估计值的有2年.
故这6年中,被评为A级利润年的有2年,分别记为A1,A2;
评为B级利润年的有4年,分别记为B1,B2,B3,B4,
从2015年至2020年中随机抽取2年,总的情况分别为:
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共计15种情况.
其中恰有一年为A级利润年的情况分别为:A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4共有8种情况.
记“从2015年至2020年这6年的年利润中随机抽取2年,恰有一年为A级利润年”的概率为P,故所求概率P=.
6.【解析】(1)由题意,生物成绩在内的频率为
1-(0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10)=0.05,
所以生物成绩在内的人数为0.05×1
000=50.
(2)由频率分布直方图得,分数在[50,60)内的频率为0.05,[60,70)内的频率为0.35,[70,80)内的频率为0.3,[80,90)内的频率为0.2,[90,100]内的频率为0.1,
所以这1
000名学生期中考试生物成绩的平均分的估计值为:55×0.05+65×0.35+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74.5.
(3)设“这2名同学来自不同组”为事件A,设第三组的3名同学为a,b,c,
第四组的2名同学为x,y,则样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y)},
事件A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)}.
所以P(A)==.
PAGE专题5 统计与统计案例的交汇
1.求线性回归方程的关键是确定回归系数,,应充分利用回归直线过样本点中心(,),而所有样本点可能都不在直线上.2.根据线性回归方程计算的值,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.3.求线性回归方程的关键(1)正确理解计算,的公式和准确计算.(2)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.4.独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k,若2×2列联表没有列出来,要先列出此表.(2)K2的观测值k越大,则两类分类变量有关的把握越大,犯错的概率越小. 独立性验证的步骤:(1)列出2×2列联表:注意求出各行各列的总值,方便计算;(2)将表中数据代入K2公式,计算出K2的观测值k;(3)根据k的值参考表格,求出相关的概率;(4)下结论.1.步骤分:(1)相关性系数公式;(2)K2公式.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如选择分层抽样的依据为各个地块物种数量差异性很大.3.计算分:用平均值估计这种野生动物数量的总值,相关系数的求解.4.注意区分分层抽样与简单随机抽样,如:(1)整体分成了有明显差异的几部分,要选择分层抽样,(2)如果个体的差异不明显,可以选择简单随机抽样.
【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1
200,(xi-)2=80,(yi-)2=9
000,(xi-)(yi-)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r=,≈1.414.(1)该地区这种野生动物数量的估计值?样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数;(2)样本相关系数?相关系数公式;(3)分层抽样方法?提高样本数据的代表性?各地块间植物覆盖面积差异较大.【标准答案】(1)样区这种野生动物数量的平均数为yi=×1
200=60,
2分地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为200×60=12
000.
4分(2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数为r===≈0.94.
8分(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样,理由如下:由(2)知各地块的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关,由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异
也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
12分测试目标(1)直接运用公式解决问题;(2)直接运用相关系数公式解题;(3)通过对分层抽样的理解选择合适的抽样方法.测试目标逻辑推理:根据不同地块的物种差异较大特征选择抽样方法;数据分析:通过平均数求得野生动物数量的估计值;数学运算:运用公式求解相关系数.某地区某农产品近几年的产量统计如表:年份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y(万吨)6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据,建立关于t的线性回归方程=t+;(2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.(参考数据:=2.8,计算结果保留小数点后两位)
1.(独立性检验)在新冠肺炎疫情期间,为了指导不同人群科学合理地选择和使用口罩,现对N95口罩的了解情况进行调查.现随机抽取40人进行调查,其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中,对于N95这种口罩了解的占50%,在了解的人中45岁以上(含45岁)的人数占.
(1)将列联表补充完整;
了解
不了解
总计
45岁以下
45岁以上(含45岁)
总计
40
(2)判断是否有99%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关.
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
2.(回归分析)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)和购买人数y(单位:万人)的关系如表:
流量包的定价x(元/月)
30
35
40
45
50
购买人数y(万人)
18
14
10
8
5
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;
(2)①求出y关于x的回归方程;
②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.
参考数据:≈158,≈161,≈164.
3.(独立性检验)2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》,郑州正式进入城市生活垃圾分类时代.为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解,积极参与到垃圾分类的行动中,某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训.为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度,社区居委会随机选取了40名辖区成员,将他们分成两组,每组20人,分别对线上、线下两种培训进行满意度测评,根据辖区成员的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高,并说明理由.
(2)求这40名辖区成员满意度评分的中位数m,并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级.
(ⅰ)利用样本估计总体的思想,估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意;
(ⅱ)根据茎叶图填写下面的列联表.
基本满意
非常满意
总计
线上培训
线下培训
总计
并根据列联表判断能否有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异?
4.(独立性检验)2020年3月,因为新冠肺炎疫情的影响,我市全体学生只能在网上在线学习,为了研究学生在线学习情况,市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查(其中,男生与女生的人数之比为3∶1),结果发现:男生中有40名对于线上教学满意,女生中有10名表示对于线上教学不满意.
(1)请完成如表2×2列联表,并回答能否有95%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”;
态度性别
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
120
(2)采用分层抽样的方法,从被调查的对线上教学满意的学生中,抽取6名学生,再从这6名学生中抽取2名学生,作线上学习的经验介绍,求所选取的2名学生性别不同的概率.
5.(回归分析)某电子科技公司由于产品采用最新技术,销售额不断增长,最近5个季度的销售额数据统计如下表(其中2018Q1表示2018年第一季度,以此类推):
季度
2018Q1
2018Q2
2018Q3
2018Q4
2019Q1
季度编号x
1
2
3
4
5
销售额y(百万元)
46
56
67
86
96
(1)公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析,求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率;
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2019Q3的销售额.
附:线性回归方程=x+,其中=,=-.参考数据:xiyi=1
183.
6.(独立性检验)今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情传播,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名,其中50岁以下的人占.
确诊患新冠肺炎
未确诊患新冠肺炎
总计
50岁及以上
40
50岁以下
总计
10
100
(1)请将列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关;
(2)现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况,若从这5人中随机抽取3人,求恰有2人为50岁及以上的概率.
7.(回归分析)某单位响应党中央“精准扶贫”号召,对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶,每年跟踪调查统计一次,从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下(人均年纯收入):
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
年份代码x
1
2
3
4
收入y(百元)
25
28
32
35
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+,并估计甲户在2019年能否脱贫;(国家规定2019年脱贫标准:人均年纯收入为3
747元)
(2)2019年初,根据扶贫办的统计知,该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫,现从这5户中抽取2户,求至少有一户没有脱贫的概率.
8.(独立性检验)2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率,为庆祝该节日,某校举办数学趣味知识竞赛活动,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在,分数在,分别获二等奖和一等奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图.
(1)填写下面的2×2列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?
文科生
理科生
总计
获奖
5
不获奖
总计
200
(2)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人,再从这4人中任意选取2人,求2人均获二等奖的概率.
专题5 统计与统计案例的交汇
【模拟考场】
【解析】(1)由题意可知:==3.5,
==7,
=+++0.52+1.52+2.52=17.5,所以===0.16,
又=-=7-0.16×3.5=6.44,所以y关于t的线性回归方程为=0.16t+6.44.
(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码t=8,
此时=0.16×8+6.44=7.72,所以,可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)由题意可得对于N95这种口罩了解的人数为40×50%=20,则45岁以上(含45岁)的人对N95这种口罩了解的人数为20×=5.故补充列联表如下:
了解
不了解
总计
45岁以下
15
5
20
45岁以上(含45岁)
5
15
20
总计
20
20
40
(2)由题意可得,K2的观测值k==10,
因为10>6.635,所以有99%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关.
2.【解析】(1)根据题意,得==40,
==11.
可列表如下
i
1
2
3
4
5
xi-
-10
-5
0
5
10
yi-
7
3
-1
-3
-6
(xi-)(yi-)
-70
-15
0
-15
-60
根据表格和参考数据,得=-160,
==≈161.
因而相关系数r==
≈-0.99.
由于≈0.99,很接近1,因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.
由于r<0,故其关系为负相关.
(2)①===-0.64,
=11+0.64×40=36.6,
因而y关于x的回归方程为=-0.64x+36.6.
②由①知,若x=25,则=-0.64×25+36.6=20.6>20,故若将流量包的价格定为25元/月,可预测该市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.
3.【解析】(1)由茎叶图可知,线上培训的满意度评分在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,线下培训的满意度评分分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布,故可以认为线下培训满意度评分比线上培训满意度评分更高,因此辖区成员对线下培训的满意度更高.
(2)由茎叶图知m==80.
(ⅰ)参加线上培训满意度调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意,频率为,又本次培训共200名成员参加,所以对线上培训非常满意的成员约有200×=60(人).
(ⅱ)列联表如下:
基本满意
非常满意
总计
线上培训
14
6
20
线下培训
6
14
20
总计
20
20
40
于是K2的观测值k==6.4,由于6.4<7.879,
所以没有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异.
4.【解析】(1)由题意可知抽取的120名学生中男生有90人,女生有30人,则列联表如下:
态度性别
满意
不满意
总计
男生
40
50
90
女生
20
10
30
总计
60
60
120
K2的观测值k=≈4.4>3.841,则有95%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.
(2)由分层抽样的性质可知,抽取的6名学生中,男生4人,女生2人,
记4名男生分别为a,b,c,d,2名女生分别为A,B,
从这6名学生中抽取2名学生的所有情况为:,,,,,,,,,{c,d},{c,A},{c,B},{d,A},{d,B},{A,B},共15种,
其中所选取的2名学生性别不同的共有8种,
则所选取的2名学生性别不同的概率P=.
5.【解析】(1)从5个季度的数据中任选2个,这2个季度的销售额有10种情况:(46,56),(46,67),(46,86),(46,96),(56,67),(56,86),(56,96),(67,86),(67,96),(86,96).
设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A,事件A包含(67,86),(67,96),(86,96),共3种情况.
所以P(A)=.
(2)=(1+2+3+4+5)=3,=(46+56+67+86+96)=70.2.
===13,所以=-=31.2.
所以y关于x的线性回归方程为=13x+31.2.令x=7,得=13×7+31.2=122.2(百万元).
所以预测该公司2019Q3的销售额为122.2百万元.
6.【解析】(1)因为100人中确诊的有10名,其中50岁以下的人占,
所以50岁以下的确诊人数为4,50岁及以上的确诊人数为6.
因为50岁及以上的共有40人,
列联表补充如下,
确诊患新冠肺炎
未确诊患新冠肺炎
总计
50岁及以上
6
34
40
50岁以下
4
56
60
总计
10
90
100
则K2的观测值k=≈1.852<3.841,所以没有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.
(2)现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况,则抽取的5人中,有3人50岁及以上,分别记作a,b,c;2人50岁以下,记作d,e.从中任取3人,可能的不同结果有:
abc,abd,abe;acd,ace;ade;bcd,bce;bde;cde,共10种不同的情况,
恰有两人为50岁及以上的情况有abd,abe,acd,ace,bcd,bce,共6种不同的情况,
由于每种情况都是等可能的,所以恰有2人为50岁及以上的概率为=.
7.【解析】(1)根据表格中数据可得,
==,==30,xiyi=1×25+2×28+3×32+4×35=317,=12+22+32+42=30,
所以==3.4,=-=30-3.4×=21.5,
所以y关于x的线性回归方程是=3.4x+21.5,当x=5时,=38.5(百元),因为3
850>3
747,所以甲户在2019年能够脱贫.
(2)设没有脱贫的2户为A,B,另3户为C,D,E,所有可能的情况为:AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共有10种.其中至少有一户没有脱贫的情况有7种.所以至少有一户没有脱贫的概率为.
8.【解析】(1)补全2×2列联表如下.
文科生
理科生
总计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
总计
50
150
200
K2的观测值k=≈4.167>3.841.所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.
(2)由已知可得,分数在获二等奖的参赛学生中抽取3人,分数在获一等奖的参赛学生中抽取1人.
记获二等奖的3人分别为a,b,c,获一等奖的1人为A,事件E为“从这4人中抽取2人且这2人均获二等奖”.
从这4人中随机抽取2人的基本事件为,,,,,,共6种,
其中2人均获二等奖的情况有,,,共3种,由古典概型的概率计算公式得P==.
故2人均获二等奖的概率为.
PAGE专题6 坐标系与参数方程
1.极坐标方程与直角坐标方程互化的两个易错点(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.2.消参的三个技巧(1)代入消参:利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征,灵活地选用一些方法从整体上消去参数.3.对直线参数方程几何意义的理解(1)过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数),t的几何意义是的数量,即|t|表示P0到P的距离,t有正负之分.(2)使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2). 求解坐标系与参数方程问题的步骤第一步找关系:寻找参数方程,极坐标方程的参数关系;第二步求方程:利用参数间的关系互化求解;第三步用意义:利用参数方程联立,借助直线方程的几何意义第四步求结论:利用根与系数的关系或转化关系求解.1.步骤分:(1)方程组联立不能缺少;(2)圆的直角坐标方程要明确求出.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如确定圆的半径.3.计算分:计算准确是根本保证.如求P点坐标.4.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
【典例】(10分)(2020·全国Ⅱ卷)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(θ为参数),C2:(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.(1)消去参数θ和t?普通方程;(2)两方程联立?点P坐标?确定圆心,半径?圆的普通方程?圆的极坐标方程.【标准答案】(1)由cos
2θ+sin
2θ=1得C1的普通方程为:x+y=4(0≤x≤4),
2分由得,得C2的普通方程为:x2-y2=4.
5分(2)由得P;
6分设所求圆圆心的直角坐标为(a,0),其中a>0,则+=a2,解得:a=,所以所求圆的半径为,8分所以所求圆的直角坐标方程为:+y2=,即x2+y2=x,所以所求圆的极坐标方程为ρ=cos
θ.
10分测试目标(1)直接消参可得结论;(2)联立方程组,求圆心,写出圆的方程,转化为极坐标方程.测试素养数学抽象:由参数方程想到消参;逻辑推理:方程的互化;数学建模:求圆的方程;数学运算:方程组联立求交点P.
已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos
θ+2ρsin
θ-4.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA|·|OB|.
1.(求参问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos
θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan
α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
2.(极径问题)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin
θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
3.(角度问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈[0,π]).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.
(1)求曲线C1的极坐标方程;
(2)设C1与C2的交点为M,N,求∠MON.
4.(定值问题)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=2.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)设直线l与y轴交点为P,经过点P的直线与曲线C交于A,B两点,证明:|PA|·|PB|为定值.
5.(坐标问题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值以及此时P的直角坐标.
6.(范围问题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin-2=0,曲线C2的极坐标方程为θ=,C1与C2相交于A,B两点.
(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点A,B的直角坐标;
(2)若P为C1上的动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.
7.(最值问题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1过原点且倾斜角为α.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2cos
θ.在平面直角坐标系xOy中,曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称.
(1)求曲线C2的极坐标方程;
(2)若直线l2过原点且倾斜角为α+,设直线l1与曲线C1相交于O,A两点,直线l2与曲线C2相交于O,B两点,当α变化时,求△AOB面积的最大值.
8.(探究性问题)在直角坐标系xOy中,设P为☉O:x2+y2=9上的动点,点D为P在x轴上的投影,动点M满足2=,点M的轨迹为曲线C.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2,点A(ρ1,0),B为直线l上两点.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)是否存在M,使得△MAB的面积为8?若存在,有几个这样的点?若不存在,请说明理由.
专题6 坐标系与参数方程
【模拟考场】
【解析】(1)由消去t,
得y-=(x-1),即y=x.
所以直线l的普通方程为y=x.
曲线C:ρ2=4ρcos
θ+2ρsin
θ-4.
所以其直角坐标方程为x2+y2=4x+2y-4,
即(x-2)2+(y-)2=3.
(2)由y=x,得直线l的极坐标方程为θ=.
代入曲线C的极坐标方程为ρ2-5ρ+4=0,
所以|OA|·|OB|=|ρA·ρB|=4.
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos
θ,y=ρsin
θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin
θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin
θcos
θ+1-a2=0,
由已知tan
θ=2,可得16cos2θ-8sin
θcos
θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上,所以a=1.
2.【解析】(1)由l1:(t为参数)消去t,得l1的普通方程为y=k(x-2),①
同理得直线l2的普通方程为x+2=ky②,联立①,②消去k,得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x+y=,
联立得
所以ρ2=x2+y2=+=5,
所以l3与C的交点M的极径为.
3.【解析】(1)由得x2+y2=3.
又α∈[0,π],
所以曲线C1是以O为圆心,为半径的圆的上半部分.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ=(θ∈[0,π]).
(2)将ρ=代入ρ2=中,
得1-sin
2θ+cos
2θ=2,
即-sin
2θ+cos
2θ=1.
所以2=1,
即cos=.
又2θ+∈,
所以2θ+=或2θ+=2π-,
即θ=或θ=.
所以∠MON=-=.
4.【解析】(1)由题意,可得x2+y2=+=4,
化简得曲线C:x2+y2=4.
直线l的极坐标方程展开为ρcos
θ-ρsin
θ=2,
故l的直角坐标方程为x-y-4=0.
(2)显然P的坐标为,不妨设过点P的直线方程为(t为参数),
代入C:x2+y2=4得t2-8tsin
α+12=0,
所以|PA|·|PB|=|t1t2|=12为定值.
5.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos
α,sin
α),
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
6.【解析】(1)由题意知,曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:x-y=0.
联立
得或
即A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1).
(2)设P(-1+2cos
α,1+2sin
α),不妨设A(-1,-1),B(1,1),
则|PA|2+|PB|2=(2cos
α)2+(2sin
α+2)2+(2cos
α-2)2+(2sin
α)2=16+8sin
α-8cos
α=16+8sin,
所以|PA|2+|PB|2的取值范围为[16-8,16+8].
7.【解析】(1)方法一:由题意可知,C1的直角坐标方程为:x2+y2-2x=0,
设曲线C2上任意一点关于直线y=x的对称点为,所以
又因为+-2x0=0,即x2+y2-2y=0,
所以曲线C2的极坐标方程为:ρ=2sin
θ.
方法二:由题意可知,y=x的极坐标方程为:θ=,
设曲线C2上一点关于θ=的对称点为,所以
又因为ρ0=2cos
θ0,即ρ=2cos=2sin
θ,
所以曲线C2的极坐标方程为:ρ=2sin
θ.
(2)直线l1的极坐标方程为:θ=α,直线l2的极坐标方程为:θ=α+,设A,B,
所以解得ρ1=2cos
α,
解得ρ2=2sin,
所以S△AOB=|ρ1·ρ2|sin=
=
=
=,
因为0≤α<,所以≤2α+<,
当2α+=,
即α=时,sin=1,S△AOB取得最大值为+.
8.【解析】(1)设P(3cos
α,3sin
α),M(x,y),则D(3cos
α,0).
由2=,得
即曲线C的参数方程为
(2)依题意,直线l:x+y-4=0,
设点M(3cos
α,sin
α),
设点M到直线l的距离为d,
d==≥.
将θ=0,代入ρsin=2,
得ρ1=4,ρ2=4,|AB|==8.
S△MAB=|AB|d≥4,
因为8>4,故存在符合题意的点M,且存在两个这样的点.
PAGE专题7 不等式选讲
1.含绝对值不等式的解法(1)用零点分段法①求零点;②划区间、去绝对值符号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)数形结合法:用于求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观.2.绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数:根据不等式将参数分离,化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式.(2)转化最值:①f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)a有解?f(x)max>a;f(x)a无解?f(x)max≤a;f(x)【典例】(10分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.求f(x)≥4的解集,想到a=2时f(x)=|x-4|+|x-3|.(1)分别讨论x≤3,31分当x≤3时,f(x)=4-x+3-x=7-2x≥4,解得:x≤;
2分当33分当x≥4时,f(x)=x-4+x-3=2x-7≥4,解得:x≥;
4分综上所述:f(x)≥4的解集为.
5分(2)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|(x-a2)-(x-2a+1)|=|-a2+2a-1|=(a-1)2(当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号),
7分所以(a-1)2≥4,解得:a≤-1或a≥3,
9分所以a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞)
10分测试目标(1)直接运用零点分类讨论求解;(2)利用不等式的性质创建不等式(a-1)2≥4测试素养数据分析:根据每个绝对值的特点分析出讨论的依据.逻辑推理:利用逻辑推理求并集;数学建模:利用转化的思想,建立关于a的不等式;数学运算:分别求解不等式.
已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
1.(面积问题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
2.(集合问题)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.
(1)若a=0,求不等式f(x)>的解集;
(2)若f(x)3.(分类讨论问题)已知f(x)=|x+a|.
(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求a的值;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,求实数a的取值范围.
4.(恒成立问题)已知函数f(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+f≥6;
(2)对a+b=1及?x∈R,不等式f-f≤+恒成立,求实数m的取值范围.
5.(与方程结合)设函数f(x)=2x-1-|x-1|.
(1)求不等式f(x)<3的解集;
(2)若方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根,求a的取值范围.
6.(存在问题)已知函数f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集为.
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=f(x)+f,若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求实数t的取值范围.
7.(最值问题)已知f(x)=|2x+2|+|x-1|的最小值为t.
(1)求t的值;
(2)若实数a,b满足2a2+2b2=t,求+的最小值.
8.(证明问题)已知a,b,c均为正实数,求证:
(1)(a+b)≥4abc;
(2)若a+b+c=3,则++≤3.
专题7 不等式选讲
【模拟考场】
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
则当x≥1时,f(x)=2>1恒成立,所以x≥1;
当-11,所以当x≤-1时,f(x)=-2<1.
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于
当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为,
所以≥1,故0综上,a的取值范围为(0,2].
///高考演兵场·检验考试力///
1.【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0,
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,
B,C,△ABC的面积为.
由题设得>6,故a>2.
所以a的取值范围为.
2.【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|,
当x<0时,f(x)>等价于|x|+|x-1|>-2,该不等式恒成立,
当0等价于1>2,该不等式不成立,
当x>1时,f(x)>等价于,解得x>.
所以不等式f(x)>的解集为(-∞,0)∪.
(2)由f(x)得x∈[0,1]时f(x)即|x-a|+1-x即|x-a|即-a2+1-x所以,解得a>或a<,
所以a的取值范围是∪.
3.【解析】(1)不等式f(x)≥|2x-1|,即|x+a|≥|2x-1|,
两边平方整理得3x2-x+1-a2≤0,
由题意知0和2是方程3x2-x+1-a2=0的两个实数根,即,解得a=1.
(2)因为f(x)+|x-a|=|x+a|+|x-a|≥|-|=2|a|,
所以要使不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,只需2|a|≥3a-2,
当a≥0时,2a≥3a-2,解得a≤2,即0≤a≤2;
当a<0时,-2a≥3a-2,解得a≤,即a<0;
综上所述,a的取值范围是.
4.【解析】(1)f(x)+f=|x-2|+|2x-1|
=
当x<时,由3-3x≥6,解得x≤-1;
当≤x≤2时,x+1≥6不成立;
当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.所以不等式f(x)+
f(2x+1)≥6的解集为∪.
(2)因为a+b=1,
所以+==5++≥
5+2=9(当且仅当a=,b=时等号成立).
由题意知对?x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9,
即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,
因为|x-2-m|-|-x-2|≤|-|
=|-4-m|,所以-9≤m+4≤9,解得-13≤m≤5.
5.【解析】(1)f(x)=2x-1-|x-1|=,
因为f(x)<3,所以或,
所以x≤1或1所以不等式的解集为(-∞,3).
(2)方程f(x)=x2+ax,即2x-1-|x-1|=x2+ax,
显然x=0不是方程的根,故a=,
令g(x)==
,
当x<0时,-x-+3=+3≥2+3,
当且仅当x=-时取等号,
作出g(x)的图象,如图所示:
因为方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根,
所以由图象可知a∈∪.
6.【解析】(1)由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4,
即-2≤ax≤6,
当a>0时,-≤x≤,
所以,解得a=1;
当a<0时,≤x≤-,
所以,无解,
所以实数a的值为1.
(2)由已知得g(x)=f(x)+f=|x-2|+|x+1|=,
不等式g(x)-tx≤2,即g(x)≤tx+2,
由题意知y=tx+2恒过(0,2)点,如图,
由图可知,当t<0时,t≤kEM,当t>0时,t≥kFM,
又因为kEM=-1;kFM=,所以t≤-1或t≥.
7.【解析】(1)f(x)=|2x+2|+|x-1|=
故当x=-1时,函数f(x)有最小值2,
所以t=2.
(2)由(1)可知2a2+2b2=2,
故a2+1+b2+2=4,
所以+=·
=≥1,
当且仅当a2+1=b2+2=2,即a2=1,b2=0时等号成立,
故+的最小值为1.
8.【证明】(1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc,
可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0,
需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0,
即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,
当且仅当a=b=c时,取等号,由已知,上式显然成立,
故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立.
(2)因为a,b,c均为正实数,
由不等式的性质知·≤=,
当且仅当a+1=2时,取等号;
·≤=,
当且仅当b+1=2时,取等号;
·≤=,
当且仅当c+1=2时,取等号;
以上三式相加,
得≤=6,
所以++≤3,
当且仅当a=b=c=1时,取等号.
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