(共70张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题二 数列(文理)
第1讲 等差数列、等比数列
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查等差数列、等比数列性质的应用，考查等差数列、等比数列的判断与证明等．
2．近三年高考考查数列多出现17(或18)题，试题难度中等，2021年高考可能以客观题考查，以基本运算为主，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
17(1)
等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质
5
Ⅱ卷
4、6
等差数列前n项和有关的计算、利用等比数列求和求参数的值
10
Ⅲ卷
17(1)
求等差数列的通项公式
5
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
9、10
等差数列的基本运算、等比数列的判定
10
Ⅱ卷
19
等差(比)数列的证明及通项公式的求法
12
Ⅲ卷
5、14
等比数列、等差数列的基本运算
10
2018
Ⅰ卷
4
等差数列基本计算
5
Ⅱ卷
17
等差数列基本量的计算，和的最值问题
10
Ⅲ卷
17
等比数列基本量的计算
10
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
10
等比数列基本量的计算
5
Ⅱ卷
6
等比数列的通项公式的基本量计算
5
Ⅲ卷
17
等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用
10
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
14、18
等比数列的基本运算；等差数列的通项公式及求和
17
Ⅱ卷
18
等比数列的通项公式等差数列的求和
12
Ⅲ卷
6、14
等比数列的基本运算；等差数列的基本运算
10
2018
Ⅰ卷
17
数列的递推公式、等比数列的判定和计算
12
Ⅱ卷
17
等差数列的通项公式、前n项和公式及最值
12
Ⅲ卷
17
等比数列的通项公式、前n项和公式
12
02
考点分类
·
析重点
考点一 等差、等比数列的基本运算
典例1
B
B
9
20
等差(比)数列基本运算的解题途径
(1)设基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
1．(1)(2020·江苏省镇江中学调研)设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)(2020·天水市第一中学期末)若a、b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
p＋q的值等于____.
2n－1
9
等差数列、等比数列常用性质
考点二 等差(比)数列的性质
?
等差数列
等比数列
性
质
(1)若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(2)an＝am＋(n－m)d.
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列．
(4)前2n－1项和S2n－1＝(2n－1)an.
(1)若m，n，p，q∈N
，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
(2)an＝amqn－m；
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0).
(1)(2020·北京房山区期末)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝6，Sn为{an}的前n项和，则S7＝
( )
A．28
B．21
C．14
D．7
(2)(2020·北京市朝阳区抽样检测)已知等比数列{an}，满足log2a3＋log2a10＝1，且a3a6a8a11＝16，则数列{an}的公比为
( )
A．4
B．2
C．±2
D．±4
典例2
C
B
(3)(2020·四川省成都七中模拟)已知等差数列{an}，且a4＝8，则数列{an}的前7项和S7＝_____.
(4)(2020·江苏省苏州市五校月考)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为_____.
56
1．利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
2．活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
C
B
8
考点三 等差(比)数列的判定与证明
(2020·广州市调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？
典例3
(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．
(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{an}为等比数列．
(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．
考点四 等差、等比数列与其他知识的综合
2．数列与其他知识的结合
(1)数列与函数．
(2)数列与方程．
(3)数列与不等式．
(4)数列与平面向量．
典例4
B
B
[0，＋∞)
数列与其他知识的交汇问题的处理思路
(1)以数列知识为纽带，在与函数、方程、向量不等式的交汇处命题，利用函数观点、方程思想、向量的性质、不等式的性质等，作为解题口解决问题．
(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．
A
50
8
03
易错清零
·
免失误
1．忽视数列首项的重要性致误
已知数列{an}的前n项之和为Sn＝n2＋n＋1，则数
列{an}的通项公式为_________________
【错解】 an＝2n
【剖析】 若an＝2n，则a1＝2，事实上a1＝S1＝3．
典例1
【易错防范】 本题的失分原因是没有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下才能成立．这是由于对数列概念理解不透彻所致．在解关于由Sn求an的题目时，按两步进行讨论，可避免出错．①当n＝1时，a1＝S1；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1．检验a1是否适合由②求得的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数．
典例2
2．忽视对等比数列中公比的分类讨论致误
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是_________.
【错解】 －1
【剖析】 当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1．
1或－1
典例3
C
04
真题回放
·
悟高考
1．(文)(2020·全国卷Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝
( )
A．12
B．24
C．30
D．32
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，
因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．
故选D．
D
B
3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝
( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
B
A
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝
( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【解析】 设该等比数列的首项为a1，公比为q(q>0)，
由已知得，a1q4＝3a1q2＋4a1，
因为a1>0且q>0，则可解得q＝2，
又因为a1(1＋q＋q2＋q3)＝15，
即可解得a1＝1，则a3＝a1q2＝4．
C
6．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为
( )
A．－24
B．－3
C．3
D．8
A
4
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4．
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
9．(2020·全国卷Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.(共76张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题二 数列(文理)
第2讲 数列求和及其综合应用(文理)
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和，难度中等偏下．
2．在考查数列求和的同时，将数列与函数、不等式交汇渗透．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
17
等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和
12
Ⅱ卷
6
用等比数列求和求参数的值
5
Ⅲ卷
17
等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和
10
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
14
等比数列前n项和公式
5
Ⅱ卷
19
等差等比数列定义及通项公式
12
Ⅲ卷
14
等比数列通项公式、等差数列的前n项和公式
5
2018
Ⅰ卷
14
an与Sn关系的应用
10
Ⅱ卷
17
等差数列前n项和与通项公式及最值问题
12
Ⅲ卷
17
等比数列的通项公式和前n项和公式
10
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
16
数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和
5
Ⅱ卷
14
等差数列的前n项和
5
Ⅲ卷
17
等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用
10
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
14,18
等比数列求和；等差数列的通项公式以及求和
17
Ⅱ卷
18
等比数列的通项公式、等差数列的求和
12
Ⅲ卷
6,14
等比数列的通项公式，等差数列的通项公式以及求和
10
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2018
Ⅰ卷
17
数列的递推公式以及等差数列通项公式求和
12
Ⅱ卷
17
等差数列前n项和与通项公式及最值问题
12
Ⅲ卷
17
数列的递推公式及通项公式、裂项相消法求和
10
02
考点分类
·
析重点
考点一 数列的通项公式
典例1
B
A
考点二 数列的求和问题
典例2
裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N
)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．
考向2 错位相减法求和
(2020·百校联盟联考)已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a4＝9，a2a3＝8．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n·Sn}的前n项和Tn.
典例3
应用错位相减法求和的关注点
(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
21
(3)公差d大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，可得2a1＋12d－(a1＋12d)＝1，即a1＝1，由a1，a3－1，a6＋5成等比数列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5)，即为(1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2(负值舍去)，
则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N
，
所以数列{(－1)n－1an}的前21项和为a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．
(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．
(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用．
(3)如果是解不等式，注意因式分解的应用．
(4)当已知数列关系式时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．
考点三 与数列相关的综合问题
典例4
1．求解数列与函数交汇问题注意两点：
(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视．
(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．
2．数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理．
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．忽视等比数列中的隐含条件致误
各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝______.
【错解】 150或－200
【剖析】 数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0．忽略了此隐含条件，就产生了增解－200．
150
典例2
【解析】 (1)因为点(an＋1，Sn)在直线y＝x－2上，所以an＋1＝2＋Sn(n∈N
)．①
当n≥2时，an＝2＋Sn－1．②
①－②，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，
即an＋1＝2an(n≥2)．
当n＝1时，a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a2＝4，则a2＝2a1．
综上，an＋1＝2an(n∈N
)．
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n(n∈N
)．
典例3
3．用错位相减法求和时对项的位置处理不当
(2020·合肥一中10月月考)设等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝10．
(1)令Tn＝a1a2a3…an，求Tn的最大值；
(2)令bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Sn.
【剖析】 运用错位相减法求和的一般步骤为：一是判断模型，如本题中数列{an}，{bn}一个为等比数列，一个为等差数列；二是错开位置，如本题的②式，向右错开一个位置来书写，这样为两式相减不会看错项做准备；三是相减，如本题中相减时要注意②式中的最后一项的符号，学生常在此处出错，一定要小心．
04
真题回放
·
悟高考
1．(理)(2020·全国卷Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C
2．(2020·全国卷Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝____.
【解析】 an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；
当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1．
设数列{an}的前n项和为Sn，
7
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16
＝a1＋a3＋a5…＋a15＋(a2＋a4)＋…(a14＋a16)
＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)
＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，
∴a1＝7．
3．(文)(2020·全国卷Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_____.
【解析】 ∵{an}是等差数列，且a1＝－2，a2＋a6＝2
设{an}等差数列的公差d
根据等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d
可得a1＋d＋a1＋5d＝2
即：－2＋d＋(－2)＋5d＝2
整理可得：6d＝6
25
4．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝_______.
－63
5．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝______.
100
6．(理)(2020·全国卷Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
【解析】 (1)设{an}的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，
∵2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，
∵q≠1，∴q＝－2．
7．(理)(2020·全国卷Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
【解析】 (1)由题意可得a2＝3a1－4＝9－4＝5，a3＝3a2－8＝15－8＝7，
由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n＋1，
证明如下：
当n＝1时，a1＝3成立；
假设n＝k时，ak＝2k＋1成立．
那么n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1也成立．
则对任意的n∈N
，都有an＝2n＋1成立．
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
【解析】 (1)设{an}的公比为q(q>0)，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0．
解得q＝－2(舍去)或q＝4．
因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1．
9．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5．
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
