(共54张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题四 概率与统计(文科)
第1讲 概率
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件．
2．概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度．
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
4、17
古典概型，概率综合题
17
Ⅱ卷
4
概率应用
5
Ⅲ卷
18(1)
古典概型
4
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
17
用频率估计概率
12
Ⅱ卷
5
古典概型
5
Ⅲ卷
3
古典概型
5
2018
Ⅰ卷
19(1)
用频率估计概率
4
Ⅱ卷
5
古典概型
5
Ⅲ卷
5
互斥事件的概率
5
02
考点分类
·
析重点
考点一 古典概型
(1)(2020·安庆模拟)古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为
( )
A．0.3
B．0.4
C．0.5
D．0.6
典例1
B
C
求解古典概型应注意的地方
(1)求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．
(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
B
2．(2020·江苏省天一中学调研)从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为_____.
考点二 几何概型
典例2
C
求解几何概型应把握的两点
(1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．
(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
3．(1)(2019·蚌埠一模)如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1
089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为
( )
A．4
B．5
C．8
D．9
(2)(2020·南通模拟)已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，
|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在区
域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率
为_____.
B
作为大数据分析的一项必备技能，“概率与统计”已成为当今的命题热点，且难度渐呈增大的趋势．本题因阅读量大、理解困难；图表多、观摩分析能力要求较高；运算计算量大，耗时伤神而成为考生考出优异成绩的“拦路虎”．找到了“限制”才能找到“自由”，突破概率与统计大题，先从制约解题的“四大关口”着手．
考点三 概率与统计的综合问题
(1)文字关——抓关键语句，破干扰信息
(2)图表关——会转换信息，建解题模型
(3)运算关——数据巧处理，公式活变形
(4)计算关——重计算能力，防不慎失分
(2020·衡阳模拟)为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分)．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90,100)，第二组[100,110)，第三组[110,120)，第四组[120,130)，第五组[130,140)，第六组[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示．
典例3
(1)求a的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法
是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x、y.求事件|x－y|≤20的概率．
【解析】 (1)由频率分布直方图可知(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，
解得a＝0.035．
这800名学生数学成绩的平均数为：
95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋
125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120．
(2)由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A，B，则100≤A，B＜110，
第五组抽取3名学生，其成绩记为C，D，E，则130≤C，D，E＜140，
第六组抽取1名学生，其成绩记为F，则140≤F≤150，
现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15个．
解答概率与统计的综合问题的解题策略
(1)概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算．
(2)在求解该类问题时要注意两点：
①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．
②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成
4．(2020·襄城区校级模拟)近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，
为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一(1)班(共40人)举行了一次摸底考试(选考科目全考，单科全班排名)，知这次摸底考试中的物理成绩(满分100分)频率分布直方图，化学成绩(满分100分)茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．
(1)采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；
(2)若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；
(3)若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．
(2)∵40名学生中，赋分70分的有40×15%＝6人，
这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96，
赋分60分的有40×35%＝14人，其中包含80多分的共有10人，
70多分的有4人，分数分别为76,77,78,79，
∵小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，
∴小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79．
03
易错清零
·
免失误
典例1
1．概念认识不清致误
先后抛掷三枚均匀硬币，求出现“两个正面、一个反面”的概率．
典例2
2．几何概型与古典概型混淆
心理学家分析发现视觉和空间能力与训练时间有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，进行了对比试验，经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
【剖析】 (1)误认为时间是离散度的，将其看成一个古典概型．(2)时间是一个连续性随机变量，在求解时应建立几何概率模型．
04
真题回放
·
悟高考
A
【解析】 如图，从O，A，B，C，D
5个点中任取3个有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}共10种不同取法，
B
D
4．(2018·新课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【解析】 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4．故选B．
B
5．(2018·新课标全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
( )
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
D
6．(2017·新课标全国卷Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____.(共104张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题四 概率与统计(理科)
第2讲 统计与统计案例
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．抽样方法、样本的数字特征、统计图表主要以选择题、填空题形式命题，难度较小．
2．注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析、独立性检验与概率是近年命题的热点．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
5
散点图的识别
5
Ⅱ卷
18
平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取
12
Ⅲ卷
3、18
标准差的大小比较、方差公式的应用；利用频数分布表计算频率和平均数、独立性检验的应用
17
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
?
?
?
Ⅱ卷
5
样本的数字特征
5
Ⅲ卷
17
频率分布直方图、均值的应用
12
2018
Ⅰ卷
3
统计图的识别和分析
5
Ⅱ卷
18
折线图、线性回归方程模型问题
12
Ⅲ卷
18
茎叶图的应用以及独立性检验
12
(文科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
5、17
散点图的识别，频率分布表的应用
17
Ⅱ卷
18
平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取
12
Ⅲ卷
3、18
方差及其性质，利用频数分布表计算频率和平均数、独立性检验的应用
17
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
6、12(2)
系统抽样，独立性检验
10
Ⅱ卷
19
样本的频率分布以及样本的数字特征
12
Ⅲ卷
4、17
随机抽样以及用样本估计总体；由频率分布直方图求参数的平均值
17
2018
Ⅰ卷
3
统计图的识别与分析
5
Ⅱ卷
18
折线图、线性回归方程模型问题
12
Ⅲ卷
14、18
抽样方法；茎叶图的应用及独立性检验
17
02
考点分类
·
析重点
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．
考点一 抽样方法
(1)(2020·中卫三模)某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2
400名学生中抽取30人进行调查．现将2
400名学生随机地从1～2
400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2
321～2
400号)，若第3组抽出的号码为176，则第6组抽到的号码是
( )
A．416
B．432
C．448
D．464
典例1
A
(2)(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n＝
( )
A．9
B．10
C．12
D．13
D
【解析】 (1)样本间隔为2
400÷30＝80，
设首个号码为x，则第三个号码为x＋160，
则x＋160＝176，解得x＝16，
则第6组抽到的号码为16＋80×5＝400＋16＝416，
故选A．
1．(2020·福田区校级模拟)某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，需征集20名志愿者参与活动服务工作，现决定采取分层抽样的方式从“摄影协会”、“记者协会”、“管理爱好者协会”中抽取，已知三个协会的人数比为5︰2︰3，且每个人被抽取的概率为0.2，则该校“摄影协会”的人数为
( )
A．10
B．20
C．50
D．100
C
2．(2020·武汉模拟)某校有高中生1
500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人)按1,2,3，…，1
500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为
( )
A．15
B．16
C．17
D．18
C
【解析】 由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组，
高二学生编号为496到985，在第17组到33组内，
第17组编号为16×30＋23＝503，为高二学生，
第33组编号为32×30＋23＝983，为高二学生，
故所抽样本中高二学生的人数为33－17＋1＝17．
故选C．
考点二 用样本估计总体
考向1 样本的数字特征
(2020·唐山二模)某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名学生的成绩，依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的
( )
A．平均分、方差都变小
B．平均分、方差都变大
C．平均分不变、方差变小
D．平均分不变、方差变大
典例2
D
学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
修改前成绩
126
130
104
100
133
123
100
120
139
103
修改后成绩
126
135
99
100
138
123
95
120
144
98
关于平均数、方差的计算
样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意区分方差与标准差，不能混淆，标准差是方差的算术平方根．
3．(2020·广陵区校级模拟)某地区连续5天的最低气温(单位：℃)依次为8，－4，－1,0,2，则该组数据的方差为_____.
16
4．(2020·亭湖区校级一模)若样本a1、a2、a3的方差是2，则样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的标准差是______.
考向2 统计图表
(1)(2019·广东百校联考)如图1为某省2019年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是
( )
典例3
A．2019年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2
000万件
B．2019年1～4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C．从两图来看，2019年1～4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1～4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长
【答案】 D
(2)(2019·株洲二模)某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量(单位：克)的频率分布直方图如图所示．则该物质含量的众数和平均数分别为
( )
A．83和84
B．83和85
C．85和84
D．85和85
C
【解析】 (1)对于选项A：2019年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，
差值为4
397－2
411＝1
986，接近2
000万件，
所以A是正确的；
对于选项B：2019年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，
所以B是正确的；
对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；
对于选项D,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%，并不是逐月增长，D错误．
故选D．
众数、中位数、平均数与直方图的关系
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．
5．(2019·绵阳二诊)下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩(每道题5分，共8道题)．已知两组数据的中位数相同，则m的值为
( )
A．0
B．2
C．3
D．5
D
【解析】 甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为35，乙班成绩30、30、30＋m、35、40，因为中位数相同，所以30＋m＝35，解得m＝5．故选D．
考点三 统计案例
考向1 回归分析
(2020·长治模拟)《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．
典例4
(1)若将被污损的数字视为0～9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y(单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如表所示)：
年龄x
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间y
3
3.5
3.5
4
6．(2020·四川省成都市期末)某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
(1)根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
(2)根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；
(3)按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x(单位：万元)
1
2
3
4
5
销售收益y(单位：百万元)
2
3
2
?
7
【解析】 (1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.08＋0.1＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)·m＝0.5m＝1，故m＝2．
(2)由(1)知各小组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，
其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
故可估计平均值为1×0.16＋3×0.2＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5．
考向2 独立性检验
(2020·珠海三模)随机调查某城市有80名子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：
典例5
是否辅导
性别
辅导
不辅导
合计
男
25
?
60
女
?
?
?
合计
40
?
80
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】 (1)
?
辅导
不辅导
合计
男
25
35
60
女
15
5
20
合计
40
40
80
独立性检验的关键
(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k0，若没有列出2×2列联表，要先列出此表．
(2)K2的观测值k0越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．
7．(2020·四川省绵阳市二诊)每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别
的学生(其中男生45名)，统计了每个
学生一个月的阅读时间，其阅读时
间t(小时)的频率分布直方图如图所
示：
(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m；
(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．
2×2列联表
?
男
女
总计
t≥m
?
?
?
t?
?
?
总计
?
?
?
【解析】 (1)由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5．
所以阅读时间的中位数m＝10．
(2)由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，
由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为100×0.5＝50人，故列联表补充如下：
?
男
女
总计
t≥m
25
25
50
t20
30
50
总计
45
55
100
03
易错清零
·
免失误
典例1
60
典例2
2．混淆回归直线的斜率和截距
(2020·襄阳四中月考)某城市新开一大型楼盘，由于该楼盘位于城市的黄金地段，预售场面异常火爆，故该楼盘开发商采用房屋竞价策略，竞价的基本规则是：①所有参与竞价的人都是网络报价，每个人并不知道其他人的报价，也不知道参与当期竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期房屋配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额，某人拟参加2019年11月份的房屋竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数，如表所示：
(2020·沈阳铁路中学月考)司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．
(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
典例3
?
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
?
?
?
女性司机人数
?
?
?
合计
?
?
?
【解析】 (1)填写2×2列联表，如下：
?
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
40
15
55
女性司机人数
20
25
45
合计
60
40
100
【剖析】 (1)在找出相关数据，填写2×2列联表，把所给的数据代入独立性检验公式，求K2的观测值时出错，只要认真计算，就能有效避开此易错点；(2)在将K2的观测值与临界值进行对比时，不知比大还是比小，导致推理出错．
04
真题回放
·
悟高考
1．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10
℃至40
℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
( )
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex
D．y＝a＋bln
x
D
【解析】 由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln
x．故选D．
B
3．(2019·课标全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
( )
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
A
4．(2019·课标全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
( )
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【解析】 由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7．故选C．
C
5．(2019·课标全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_______.
0.98
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
7．(2020·全国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
?
人次≤400
人次>400
空气质量好
?
?
空气质量不好
?
?
8．(2019·课标全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【解析】 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10．
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00．(共73张PPT)
第二部分
专题篇?素养提升(文理)
专题四 概率与统计(理科)
第1讲 概率、随机变量及其分布列
1
解题策略
·
明方向
2
考点分类
·
析重点
3
易错清零
·
免失误
4
真题回放
·
悟高考
5
预测演练
·
巧押题
1．古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度．
2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，常考查独立事件的概率、正态分布，超几何分布和二项分布的期望等．
(理科)
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2020
Ⅰ卷
19
独立事件、对立事件的概率求法及其应用
12
Ⅱ卷
3
概率的应用
5
Ⅲ卷
18(1)
古典概型
4
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2019
Ⅰ卷
6、5、21
古典概型，独立重复试验，随机变量的分布列、等比数列
22
Ⅱ卷
18
互斥事件、独立事件、离散型随机变量的分布列
12
Ⅲ卷
?
?
?
年份
卷别
题号
考查角度
分值
2018
Ⅰ卷
10,20
几何概型，二项分布，随机变量的数学期望，决策性问题
17
Ⅱ卷
8
古典概型
5
Ⅲ卷
8
相互独立事件及二项分布
5
02
考点分类
·
析重点
考点一 古典概型与几何概型
(1)(2020·江苏省南京市高三联考)现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_____.
(2)(2020·南通模拟)已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率为_____.
典例1
1．古典概型求解的关键点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．
(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
2．解决几何概型问题的关键
寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
A
B
考点二 互斥事件、相互独立事件和独立重复试验
典例2
C
C
D
求相互独立事件的概率的两种方法
(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．
(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．
A
(2)(2020·长春四模)田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是
( )
A．0.832
B．0.920
C．0.960 D．0.992
D
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为实数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点三 随机变量的分布列、均值与方差
典例3
C
(2)(2020·江苏模拟)五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．
①求2和4不相邻的概率；
②定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E(X)．
当且仅当a＝b时取等号，
∵a≠b，∴c＞2，
∴D(X)＝c－1＞2－1＝1，
故选C．
随机变量分布列问题的两个关键点
(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．
(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．
3．(2020·北京房山区期末)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
A：41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2，55.3，56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2；
B：46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,52.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7．
(1)从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；
(2)从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．
考点四 正态分布
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
3．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682
6；
(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954
4；
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997
4．
从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量其尺寸(单位：cm)，得到如下频数分布表：
典例4
分组
[67.5，72.5)
[72.5，77.5)
[77.5，82.5)
[82.5，87.5)
[87.5，92.5)
[92.5，97.5)
[97.5，102.5)
频数
2
9
22
33
24
8
2
由正态分布可知，每生产一件该种产品，尺寸在(72.8,97.2]内的概率P≈0.954
5，即每生产一件该种产品，该产品是正品的概率是0.954
5．
设该企业每生产一件该种产品的利润为Y，则Y的可能取值为100，－40，则P(Y＝100)＝0.954
5，P(Y＝－40)＝1－0.954
5＝0.045
5，
则该企业每生产一件该种产品的利润的期望为E(Y)＝100×0.954
5－40×0.045
5＝93.63．
该企业生产1
000件该种产品的利润X＝1
000Y，则X的数学期望E(X)＝1
000E(Y)＝93
630．
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1．
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
4．(2020·武汉模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于
( )
A．0.3
B．0.35
C．0.5
D．0.7
B
180
03
易错清零
·
免失误
典例1
【剖析】 Si≥0且S8＝2是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件．Si≥0对S8＝2的概率是有影响的，所以解答应为：
典例2
2．混淆“互斥”与“独立”出错
甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
【剖析】 本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．
典例3
3．混淆有放回与不放回致错
某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：
(1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
(2)恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值．
【剖析】 错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)．
04
真题回放
·
悟高考
A
2．(2018·全国Ⅰ，理，3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
A
【解析】 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
?
新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加了一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C对
养殖收入
＋第三产
业收入
(30%＋6%)a＝36%a
(30%＋28%)×2a＝116%a
超过经济收入2a的一半
D对
3．(2019·全国Ⅰ，理，15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4︰1获胜的概率是_______.
【解析】 记事件M为甲队以4︰1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18．
0.18
5．(2019·课标全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10︰10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10︰10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解析】 (1)X＝2就是10︰10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．
(2)X＝4且甲获胜，就是10︰10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．
